SỞ GD & ĐT CẦN THƠ TRUNG TÂM GDTX NINH KIỀU Đề tham khảo ĐỀ SỐ 319 KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu (1,0điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y  2x 1 x 1 Câu (1,0điểm) Tìm tất giá trị m để hàm số y  x  x  ( m 1) x 1 đồng biến khoảng (0;3) Câu (1,0điểm) a) Giải phương trình 52 x2  26.5 x2   b) Giải phương trình :  cos x  sin x   cos x  2sin x  1  Câu (1,0điểm) Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo 1, 2 có phương trình: x  y 1 z  x y 3 z 6 1 :   ; 2 :   Viết phương trình đường thẳng  đường 1 2 3 vuông góc chung hai đường thẳng 1 2 Câu (1,0điểm) a) Tìm số phức z thỏa mãn z  zi  b) Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ,5 thẻ mang số chẵn có mang số chia hết cho 10 1   Câu (1,0điểm) Tính: I    x   dx x    1 Câu (1,0điểm) Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, CD = 2AB Gọi I giao điểm hai  17  đường chéo AC BD Gọi M điểm đối xứng I qua A với M  ;  Biết phương trình  3  đường thẳng DC : x  y 1  diện tích hình thang ABCD 12 Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương Câu (1,0điểm) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB = 2a , a AD = a Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM  , cạnh AC cắt MD H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S HCD tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC theo a  y  x  y   x  y ( x  xy  y 1)  Câu (1,0điểm) Giải hệ phương trình:    y  y  x   Câu 10 (1,0điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz xy yz zx Chứng minh :    2 2 2 x  y x z y z y z  y xz x z x z yx y HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Đáp án – cách giải Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y  TXĐ: D   \ {  1} y '  Hàm số đồng biến  x  1 x 1 x 1 1,0đ  0, x  D 0,25  ; 1 ,  1;   ;Hàm số cực trị lim y  2; lim   y  x  Điểm tiệm cân ngang x  0,25 lim y  ; lim    x  1 tiệm cận đứng x 1 x1 Vẽ bảng biến thiên Đồ thị 0,25 0,25 Tìm tất giá trị m để hàm số y  x  x  ( m 1) x 1 đồng biến khoảng (0;3) 1,0đ m ≥ 3x2 – 6x + 1, x ∈ (0; 3) m≥1 a) Giải phương trình x   26.5 x    t  Đặt t = 5x >0 Pt  t2–26t + 25 =   t  25 x    x  b) Giải phương trình:  cos x  sin x   cos x  2sin x  1  0,5 0,5 0,5đ 0,25 0,25 0,5đ  sin x  cos x  sin x  cos x 3  sin x  cos x  sin x  cos x 2 2          sin x cos  cos x sin  sin x cos  cos x sin  sin  x    sin  x   3 6 3 6      x    k 2  ( k  )  x  5  k 2  18 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng chéo 1, 2 có phương trình: x  y 1 z  x y 3 z 6 1 :   ; 2 :   Viết phương trình đường 1 2 3 thẳng  đường vuông góc chung hai đường thẳng 1 2 Viết phương trình mặt phẳng ( ) : x  y  z   d (O,( ))  2 Pt mặt cầu (S) : x  y  z  0 x  t  Pt đt qua O vuông góc mặt phẳng ( )  y  t z  t  0,25 0,25 1,0đ 0,25 0,25 0,25  x  x  t   y  t   2 2 Tọa độ tiếp điểm nghiệm hpt   y   D ; ;  3 3 z  t    x  y  z   z   a) Tìm số phức z thỏa mãn z  zi  0,25 0,5đ Giả sử z  a  bi (a, b   ) z  zi   a  b  (a  bi)i   a  b  b   a  b  b  a  a       Vậy z  0, z  i  b  b  a  0,25 0,25 b) Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có 0,5đ mang số chia hết cho 10 Gọi A biến cố lấy thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn có thẻ mang số chia hết cho 10 Chọn 10 thẻ 30 thẻ có : C1030 cách chọn Ta phải chọn : 0,25  thẻ mang số lẻ 15 mang số lẻ có C155 cách chọn  thẻ chia hết cho 10 thẻ mang số chia hết cho 10, có : C13 cách  thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 12 tấm, có : C412 Vậy xác suất cần tìm : P(A) = C155 C124 C31 99  10 C30 667 0,25 1   Tính: I    x   dx x    1 1,0đ 1 dx  I1  I x2 1 Ta có: I   x  1dx   1 1 Tính I1    x  1 dx   x  1 1 4 0,25 0,25 1 Tính I  ln  x   1  ln 0,25 Vậy: I   ln 0,25 Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, CD = 2AB Gọi I giao điểm hai  17  đường chéo AC BD Gọi M điểm đối xứng I qua A với M  ;  Biết  3  phương trình đường thẳng DC : x  y 1  diện tích hình thang ABCD 12 Viết phương trình đường thẳng BC biết điểm C có hoành độ dương Ta có : tam giác MDC vuông D M (MD): x – y + =  D(–2; 3) B A H MD =  HD = MD = 2 I 3a.2 Gọi AB = a  SABCD = = 12 D a=2  DC = Gọi C(c; – c)  DC2 = 2(c + )2  c = hay c = – (loại)  C(2; –1) B(3; 2)  (BC): 3x – y – = 1,0đ 0,25 0,25 C 0,25 0,25 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a a Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM  , cạnh AC cắt MD H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S HCD tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC theo a 1,0đ * Tính thể tích khối chóp S.HCD: Hai tam giác vuông AMD DAC có AM AD   nên đồng dạng, AD DC  , mà Suy  ADH  DCH    900  DHC   900 ADH  HDC  ADC vuông D: AC  AD  DC  AC  a Hệ thức lượng  ADC: DH.AC = DA.DC DC.DA 2a Suy ra: DH   AC  DHC vuông H: 4a HC  DC  DH  0,25 4a DH HC  4a3 Thể tích khối chóp S.HCD: VS HCD  SH S HCD  15 Tính khoảng cách SD AC: Dựng HE  SD Ta có SH  (ABCD) nên SH  AC DH  AC , AC  (SHD) Mà HE  (SHD) nên HE  AC Từ HE đoạn vuông góc chung SD AC nên HE  d  SD; AC  Do diện tích  HCD: S HCD   SHD vuông H nên: HE 2a Vậy d  SD; AC   HE   SH  HD  HE  2a 0,25 0,25 0,25 Giải hệ phương trình :  y  x  y   x3  y ( x  xy  y  1)  (1)  (2)  y  y  x  y  Điều kiện :  ( y = không thỏa hpt)  x  y  1 ( x  1)  ( x  1)( x2  x  1)  y( x  1)( x  y  1) (1)  y  x  y 1  ( x  1)[ x  x  3xy  y  y   ] y  x  y 1 ] (3)  ( x  1)[ x2  (3 y  1) x  y  y   y  x  y 1 Xét A = x2 + (3y – )x + 3y2 – 3y +  = –3(y – 1)2  x  R  A  x, y  R (3)  x = –1 1,0đ 0,25 0,25 0,25 Thay x = –1 vào (2) ta có: y  y    1  17 y    1  17 (l ) y   0,25  1  17  Vậy hệ phương trình có nghiệm  1;    Cho số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz Chứng minh : xy yz zx    3 2 2 2 x  y x z y z y z  y xz x z x z yx y Ta có : xy + yz + zx = 3xyz  1   3 x y z 11 1 2     ; x + y ≥ 2xy x y 4 x y   xy xy xy  1     3 2 2 x  y  x z  y z xy ( x  y )  ( x  y ) z  xy ( x  y ) ( x  y ) z  1,0đ 0,25 Với x > 0; y > 0; z > ta có x3 + y3 ≥ xy(x + y) ; 10    1 xy 1 xy          2 x  y  x z  y z  ( x  y ) ( x  y ) z   ( x  y) z  3 0,25 1  1    1  (1)            x y  z  16  x y  z Chứng minh tương tự : yz  1     (2) 2 y  z  y x  z x 16  y z  x zx 1 1     (3) 3 2 z  x  z y  x y 16  z x  y 3 Công (1) ; (2); (3) theo vế ta đpcm Đẳng thức xảy x = y = z = 0,25 0,25