SỞ GD & ĐT CẦN THƠ TRƯỜNG THPT TRUNG AN Đề ĐỀtham SỐ khảo 309 KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu (1,0điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x3  x  Câu (1,0điểm) Cho hàm số y  x  3m  x  1  2m x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x  Câu (1,0điểm) a) Giải phương trình: x  6.5 x   b) Tìm môđun số phức z biết z   i  1  i  z Câu (1,0điểm) a) Cho sin    với    Tính M  cos  1, từ giải phương trình sin x  5M  b) Cho tập hợp A gồm số tự nhiện từ đến 2016 ( A  1;2;3; ;2015; 2016 ), Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập hợp A Tính sác xuất để hai số chọn từ tập hợp A có số lẻ số chẵn Câu (1,0điểm) Tính tích phân I   x 3x  1dx x y 1 z    2 2 mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  z   Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A Câu (1,0điểm) Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;2) , đường thẳng (d ) : vuông góc với đường thẳng (d ) Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu (1,0điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc SB mặt phẳng (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SMN), với M, N trung điểm AB AC Câu (1,0điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;4) , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D, đường phân giác  ADB có phương trình x  y   , điểm M (4;1) thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB 2 x  y  xy  x  y   y  x    x Câu (1,0điểm) Giải hệ phương trình:   x  y   x  y   x  y  Câu 10 (1,0điểm) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2x2  y 2 y2  z2 z  x2   xy yz zx HẾT HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Đáp án – cách giải Điểm Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y  x  x  1,0đ Tập xác định D  R y '  3x2  x 0,25 x  y '   3x  x    x  lim y  , lim y   x  x  Bảng biến thiên: x y 0 2 0,25 Hàm số đồng biến khoảng  1;2 Hàm số nghịch biến khoảng  ;1; 2; 0,25 Hàm số đạt cực đại x  0, yCD  Hàm số đạt cực tiểu x  2, yCT  2 Đồ thị cắt Ox 1;0  , cắt Oy  0;  0,25 Cho hàm số y  x  3m  x  1  2m x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu 1,0đ x  Tập xác định: D  R y '  x   3m   x  1  2m  Giả sử hàm số đạt cực tiểu x  Khi đó: y ' 1   4m    m  Thử lại, với m  y "  x  Khi đó: y "1   Vậy với m  hàm số đạt cực tiểu x  0,25 0,25 0,25 0,25 a) Giải phương trình: x  6.5 x   Đặt t  5x t  0 t  PT trở thành: t  6t     t  0,5đ n n t   5x   x  0,25 t   5x   x  b) Tìm môđun số phức z biết z   i  1  i  z z 0,25 i 1 i 1 i 0,5đ 0,25 z 1 0,25  , với    Tính M  cos  1, từ giải phương trình sin x  5M  0,5đ a) Cho sin      16 cos    sin        cos   (vì    ) 25 5 M  cos      5   sin x  5M   sin x    x   k 2  x   k , k  Z 4 0,25 0,25 b) Cho tập hợp A gồm số tự nhiện từ đến 2016 ( A  1;2;3; ;2015; 2016 ), Chọn ngẫu nhiên hai số từ tập hợp A Tính sác xuất để hai số chọn từ tập hợp A có số lẻ số chẵn 0,5đ Số phần tử không gian mẫu:   C2016  2031120 0,25 A biến cố chọn số tự nhiên chẵn số tự nhiện lẻ 1 A  C1008  1016064  P ( A)  C1008 1016064 1008  2031120 2015 0,25 Tính tích phân I  x 3x  1dx  1.0 Đặt t  x   t  x   tdt  xdx Đổi cận: x   t  1, x   t  0,25 I   t dt 31 0,25 t3 91 0,25 0,25 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;2) , đường thẳng (d ) : x y 1 z    2 mặt cầu ( S ) : x  y  z  x  z   Viết phương trình mặt phẳng (P) 1,0 qua điểm A vuông góc với đường thẳng (d ) Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)  VTPT mp(P) n  (2;1; 2) 0,25 Pt (P): x  y  z   0,25 Tâm mặt cầu ( S ) : I (1;0;1) , bán kính R      0,25 d ( I ,( P))  2027 1 1 R 0,25 Vậy mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc SB mặt phẳng (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SMN), với M, N 1,0 trung điểm AB AC SA  ( ABC ) suy AB hình chiếu S vuông góc SB lên (ABC)   600 SBA SA  AB tan 600  a 0,25 H Góc SB (ABC) góc A N C I S ABC  a  VS ABC a3  a2 a  4 M B 0,25 K Kẻ AI  MN , Suy I trung điểm MN, kẻ AH  SI H MN  SA, MN  AI  MN  AH AH  (SMN ) Vậy AH khoảng cách từ A ðến (SMN) AI  a Mà 0,25 1 1 16 a 51 ,      AH  2 AH AS AI 3a 3a 17 d ( A, ( SMN )) MA 51    d ( B,( SMN ))  d ( A, ( SMN ))  a d ( B, ( SMN )) MB 17 0,25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;4) , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D, đường phân giác  ADB có phương trình x  y   , điểm M (4;1) thuộc cạnh AC Viết phương 1,0 trình đường thẳng AB  Gọi AI phân giác BAC  Ta có :  AID   ABC  BAI A E   CAD   CAI  IAD   CAI ,  Mà BAI ABC  CAD  nên  AID  IAD  DAI cân D  DE  AI M' B K I M C PT đường thẳng AI : x  y   Goị M’ điểm đối xứng M qua AI  PT đường thẳng MM’ : x  y   Gọi K  AI  MM '  K(0;5)  M’(4;9)  VTCP đường thẳng AB AM '   3;5    VTPT đường thẳng AB n   5; 3  0,25 D 0,25 0,25 0,25 Vậy PT đường thẳng AB là:  x  1   y     x  y   2 x  y  xy  x  y   y  x    3x (1) Giải hệ phương trình:  (2)  x  y   x  y   x  y  * ĐK: y  x   0, x  y   0, x  y   0, x   y  2x    x  0  (Không TM hệ)   3 x y      10      * Xét trường hợp:  1,0 0,25 * Xét trường hợp: x  1, y  Đưa PT(1) dạng tích ta ( x  y  2)(2 x  y  1)  x y2 y  x    3x   ( x  y  2)   y  x  1  Do y  x    y  x    3x  nên  y  2x    x  y   y  x    3x 0,25 * Thay y   x vào PT(2) ta x  x   x    x  x2  x   3x      x 3x  2 x  ( x  2)( x  1)   3x     x    ( x  2)    1 x   x    3x     x  (vì x  nên  1 x  ) 3x     x * x    x  2  y  (TMĐK) Nghiệm hệ ( x; y)  ( 2; 4) 0,25 0,25 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  xyz  2x2  y2 y2  z2 z  x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    xy yz zx Biến đổi: 1,0 x2  y 2 x2  y 1 1   2  Đặt a  , b  , c  2 x y z xy x y y x  x, y , z  a, b, c   ; Giả thiết đề bài:   xy  yz  zx  xzy  a  b  c  0,25 P  2b  a  2c  b  2a  c   Áp dụng bất đẳng thức : u v       u.v  , với u  (1;1;1), v  (b; b; a) ta có: 10 3(2b  a )  3(b  b  a )  (b  b  a )  (2b  a )  2b  a  (2b  a ) (1) Tương tự, ta có 2c  b  1 (2c  b) (2); a  c  (2 a  c) (3) 3 0,25 0,25 Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có: P  2b  a  2c  b  2a  c  Đẳng thức xảy  a  b  c  (3a  3b  3c )  3  x yz3 Kết luận: P có giá trị nhỏ 0,25