SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ ÔN TẬP THPT QUỐC GIÁ NĂM 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  2 x  1  x  2 2x  m với m  Tìm giá trị tham số m để tiếp x 1 tuyến với đồ thị hàm số giao điểm đồ thị với trục tung, tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y  Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: sin x  sin x  cos x  sin 3x  cos x 1 Câu (1,0 điểm) Gọi S tập hợp số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số khác Trong S chọn ngẫu nhiên số Tính xác suất để chọn hai số mà số gồm chữ số viết theo thứ tự ngược lại số (chẳng hạn 45 54) Câu (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim 3x  ln 2 x  1  x tan x Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B, AD = 2a, AB = BC = a Biết hai mặt phẳng (SBD) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;2;0) , B (1;1;4) , C(3; 2;1) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I qua A, B, C cho OI  Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD CD = 2AB Biết phương trình đường thẳng AB x  y   , phương trình đường thẳng BD x  y 13  đường thẳng AC qua điểm M (3;8) Tìm tọa độ điểm C? Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  y  x  y  5  x  y  10 x     y   3 y  x   3 x  y  x  30  Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P 232a  135b  54  ab  bc  abc   a  b  c  Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM - https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH - TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ÔN TẬP THPT NĂM 2016 - Môn: TOÁN Câu Điể m Đáp án +) Tập xác định D   7 +) Sự biến thiên: y '  x  x  ; y '   x  x   1 7   +) Hàm số đồng biến khoảng:  ;    ;   Hàm số nghịch biến 2 6    7 khoảng   ;   6 +) Cực trị: Hàm số đạt cực đại điểm xCÐ   , yCÐ  125 Hàm số đạt cực tiểu điểm xCT  , yCT   27 +) Giới hạn tiệm cận: lim y  ; lim y   Đồ thị h.số tiệm cận x  (1,0 điểm) Bảng biến thiên x  y  0,25 0,25 x  1 0       0,25 125 27 Đồ thị: 0,25    125   3 Đồ thị hàm số qua điểm A   ;  , B  ;   , C  2;  , D  1;   2    27   Tập xác định: D   \ 1 Giao điểm đồ thị với trục tung: M (0; m ) (1,0 điểm) Phương trình tiếp tuyến  với đồ thị hàm số M: y  (2  m) x  m  m  Giao điểm tiếp tuyến  với trục tọa độ: N  ;  , M  0; m  m2  Diện tích tam giác: SOMN m m   m   m2  m    m2  m  2 0,25 0,25 0,25 TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM - https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam Vậy m  1, m  2 0,25 Ta có: sin x  sin x  cos x  sin x  cos x 1  2sin 3x.cos x  sin x  2cos 2 x  cos x   sin 3x  2cos x 1  cos x  cos x 1   2 cos x 1sin x  cos x   (1,0 điểm)      x    k 2  x    k     cos x            x  x   k    x    k 2 , ( k   )     2   sin 3x  sin  x     3   2   x  3  k 2  x  k 2 3x   10     3 2 Vậy nghiệm phương trình: x    k  , x    k 2, x  k 10 +) Số phần tử tập hợp S là: 9.9 = 81 (số) +) Trong 81 số tập hợp S có số số chọn ra, là: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 (1,0 điểm) Trong 72 số lại tập hợp S, hai số chọn có số có dạng ab có số có dạng ba Suy số cách chọn hai số từ tập S thỏa yêu cầu toán là: 72 :  36 (cách) Vậy xác suất cần tìm là: 36 C81  90 3x  1  ln  x  1    ln  x  1  x Ta có: lim  lim x x0 x 0 tan x tan x x x ln x x.ln  e x.ln   1 e 1 e 1 +) lim  lim  lim  lim  ln   ln  x0 x x 0 x0 x 0  x ln x x    ln x    ln  x  1    (2)   1 +) lim  lim   x0 x  x 2x  ln  x  1     0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x (1,0 điểm) x  ln  x  1   sin x  tan x +) lim  ln   lim    Vậy: xlim 0 x 0 x x 0  x tan x cos x  3a AD  BC  AB   2 Gọi H  AC  BD Ta có:  SAC    ABCD    SBD    ABCD    SH   ABCD  Gọi E trung điểm cạnh AD Khi đó, tứ  SAC    SBD   SH  0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: SABCD  (1,0 điểm) 0,25 giác ABCE hình vuông tam giác ECD tam giác vuông cân E TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM - https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam Suy ra:  ACD   ACE   DCE  900 Hay HC  CD (1) CD  HC  Ta có:  CD  SC (2) CD  SH  Và  SCD    ABCD   CD (3) Từ (1), (2) (3) suy góc  SCD  S E A 0,25 D O SCH  600  ABCD  góc  H B C HC BC 1    HC  HA Mà AC  a HA AD 2 a a a Suy HC  Do SH  HC tan SCH  3 3 1 3a a a3 Vậy VS ABCD  SH dt  ABCD    3 Nhận xét: Tam giác ABC vuông cân đỉnh A nên có tâm đường tròn ngoại tiếp trung điểm cạnh AC Gọi O trung điểm cạnh AC Trục tam giác ABC đường thẳng qua O song song với SH Tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC thuộc mặt phẳng (SAC ) nên mặt phẳng (SAC ) cắt mặt cầu theo thiết diện đường tròn lớn ngoại tiếp tam giác SAC Do bán kính mặt cầu tâm I bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC Vì AD / / BC nên 0,25 0,25  a   2a  14a a 14 Trong  SAH có: SA2  SH  AH    SA              Trong tam giác SAC có R  SA sin 60  a 42 0,25 a 42 Gọi tọa độ tâm mặt cầu I  x; y; z  Theo đề ta có hệ: Bán kính mặt cầu tiếp hình chóp S ABC : R  IA2  IB  x  y  z  7   IA  IC  3 x  y  z  5 OI   x  y  z2     427  x   443 x   754   Giải hệ ta được:  y   y   443  z  480 z   443 (1,0 điểm) 0,25 0,25 Với I 1; 0;  bán kính mặt cầu: R  IA  (1  0)2  (0  2)2  (2  0)2  2 0,25 Phương trình mặt cầu: ( x  1)  y  ( z  2)   427 754 480  7003 Với I   ; ;  bán kính mặt cầu: R  IA  443  443 443 443  2 0,25  427   754   480  7003 Phương trình mặt cầu:  x   y  z   443   443   443  443  TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM - https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam (1,0 điểm) Gọi I giao điểm AC BD Khi tam giác IAB, ICD cân I Gọi H trung điểm CD IH  AB Gọi N điểm đối xứng với M qua IH N thuộc BD MN / / AB Phương trình đường thẳng MN: x  y 11  Tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình A B MN : x  y 11   x    N (5; 6) I   BD : x  y  13   y  N M Gọi J trung điểm MN J J  IH J (4;7) C D H Phương trình đường thẳng IH : x  y    IH : x  y    x  Tọa độ điểm I:     I (2;5)  BD : x  y  13   y   Ta có IM  (1;3) Phương trình đường thẳng AC: 3( x  2)  ( y  5)   x  y 1   AB : x  y    x  Tọa độ điểm A:     A(1; 2)  AC : x  y 1   y     x   2.1  xC  Vì CD  AB nên IC  AI   C Vậy C (4;11)    yC   2.3  yC  11 y    y  4 Điều kiện:   x   x   Với điều kiện (*) ta có: 0,25 0,25 0,25 0,25 (*) 0,25  y  5  4  l  y  x  y    x  y    10 x   y   y  x  x     y  x  x   Với y  x  x vào phương trình (2) ta được: x  x  x  x  30 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: x2  2x   x2  x   (1,0 điểm) x x  2x   2    x  4 x x2 3 x  (3) x2  2x     x  2x  2    x  8.8  8 0,25  x  x     x  x  18 4    ( 4)  (5) Từ (4) (5) suy ra: x2  2x   x2  x   x  x  26   6 Từ (3) (6) suy ra: x  x  x  x  30  x  x  26 4  x  x  5x  4x     x  2 x2 1   x     0,25    x  Với x   y  Thử lại,  thỏa mãn hệ y  Vậy nghiệm hệ: ( x; y)  (2; 0) 0,25 TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM - https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam  a  9b b  9c a  9b  81c  232a  135b  54     6 3.9   Ta có: P  1  a  b  c  232a  135b   a  9b    b  9c    a  9b  81c  1 a  b  c  0,25 243a  243b  243c 1 a  b  c Đặt t  a  b  c  10 (1,0 điểm) Xét f  t   243t 1 t ' ,(t  0) Suy f  t   Vì t  nên t  Bảng biến thiên: t  243  t 1  t  ' f t  ; f  t    t  ' t  1 + 0,25  – 0,25 243 f t Từ bảng biến thiên suy ra: max P  max f  t   243 81 Khi khi: t   a  , b  , c  91 91 91 0,25 Chú ý: Mọi cách giải khác đáp án, cho điểm tối đa - Hết - TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM - https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam