Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 04 TUƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P1 Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Xét hàm số y = f ( x) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị (C) đường thẳng d : y = mx + n Ta có phương trình hoành độ giao điểm : ax + bx + cx + d = mx + n ⇔ Ax3 + Bx + Cx + D = ⇔ h( x) = Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị cho DẠNG BÀI TOÁN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ TH1 : Phương trình hoành độ giao điểm nhẩm nghiệm x = x0 Số giao điểm đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) số nghiệm phương trình h(x) = Thông thường thi Đại học thường nhẩm nghiệm phương trình Các nghiệm thường gặp ±1; ±2; ±3; ±m; ±2m… Kĩ thuật nhẩm nghiệm cô lập tham số m, cho hệ số chứa m Nếu ta nhẩm  x = xo nghiệm x = xo ta có h( x) = ⇔ ( x − xo ) Ax + Bx + C = ⇔   g ( x) = ( ) g ( x) Thí dụ: Với phương trình h( x) = x + ( m − ) x + m − = ⇔ x3 − x − + m ( x + 1) = ( ) Cho x = –1 ta thấy thỏa mãn phương trình, chia theo lược đồ Hoorne ta h( x) = ( x + 1) x − x + m − = Ta xét số trường hợp thường gặp: TH1: (d) cắt (C) điểm phân biệt ⇔ h(x) = có nghiệm phân biệt ∆ g > Phương trình h(x) = có nghiệm phân biệt   g ( xo ) ≠ TH2: (d) cắt (C) điểm phân biệt ⇔ h(x) = có nghiệm phân biệt Phương trình h(x) = có nghiệm phân biệt phương trình g(x) = có nghiệm kép khác xo phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm xo  ∆ g =   g ( xo ) ≠ Ta có điều kiện:   ∆ g >   g ( x ) =  o TH3: (d) cắt (C) điểm phân biệt ⇔ h(x) = có nghiệm phân biệt Phương trình h(x) = có nghiệm phân biệt phương trình g(x) = vô nghiệm có nghiệm kép xo Điều ∆ g <  tương đương với  ∆ g =    − B = xo   A Chú ý: Trong trường hợp mà ta nhẩm nghiệm h(x) = ta phải cô lập tham số để đưa toán biện luận số nghiệm phương trình đồ thị dựa vào bảng biến thiên Để cô lập m hàm số y = h(x) phải hàm bậc m, trường hợp h(x) chứa lũy thừa m bậc cao (ví dụ m2, m3) dùng yCĐ.yCT cực trị  x = −1 h( x ) = x3 + ( m − ) x + m − = ⇔ ( x + 1) x − x + m − = ⇔   g( x ) = x − x + m − = Thí dụ: − x3 − h( x ) = x3 + ( m + ) x + m + = ⇔ m ( x + 1) = − x3 − ⇔ m = = g( x ) 2x + ( ) MOON.VN – Gói Pro – S TOÁN HỌC 2016 – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Trên hai ví dụ cho thể loại nhẩm nghiệm không nhẩm nghiệm phải sử dụng cô lập tham số Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x − x + x − , có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d : y = mx − 2m − cắt (C) điểm phân biệt Hướng dẫn giải: PT hoành độ giao điểm (C) (d): x − x + x − = mx − 2m − ⇔ ( x − 2)( x − x + − m) = x = ⇔  g ( x) = x − x + − m = ∆ > (d) cắt (C) ba điểm phân biệt g(x) = có nghiệm phân biệt khác ⇔  ⇔ m > −3  g ( ) ≠ Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 – (m + 1)x2 + (m – 1)x + 1, (1) CMR m ≠ đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (1) trục Ox x3 – (m +1)x2 + (m – 1)x + = 0, (*) // Giờ thử nhẩm xem (*) có nghiệm Để x = α nghiệm (*) biểu thức có nhân thử chung tham số m phải triệt triêu nhau, ta tách nhân tử có chứa m m(–x2 + x) Cho –x2 + x = ta x = x = Thay vào phương trình có x = nghiệm Vậy (*) có nghiệm x = // x −1 = (*) ⇔ ( x − 1)( x − mx − 1) = ⇔   g ( x) = x − mx − = Do g(x) = x2 – mx – = có ∆ = m2 + > ∀m g(1) = m ≠ (theo giả thiêt), g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 – 3x + 2, có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng qua A(3; 20) có hệ góc k Tìm k để đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt Hướng dẫn giải: d đường thẳng qua A(3 ; 20) có hệ số góc k nên d có phương trình d : y = k(x – 3) + 20 Phương trình hoành độ giao điểm: x3 – 3x + = k(x – 3) + 20 ⇔ x3 – (k + 3)x + 3k – 18 = 0, (*) //Để nhẩm nghiệm (*) ta cho triệt tiêu hệ số chứa k : k(x – 3) = ⇒ x = 3, thay x = vào thấy thỏa mãn (*) Vậy (*) có nghiệm x = // x − = ( *) ⇔ ( x − ) ( x + x − k + ) = ⇔   g ( x) = x − 3x − k + = Để (*) có nghiệm phân biệt phương trình g(x) = phải có nghiệm phân biệt khác 15  ∆ g > 9 − ( − k ) > k > Điều xảy  ⇔ ⇔  g (3) ≠ 6 − k ≠ k ≠ 15  k > Vậy với  đường thẳng d cắt đồ thị cho điểm phân biệt k ≠ Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 1, có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d : y = ( 2m − 1) x − 4m − cắt (C) điểm phân biệt Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị: x – x – (2m – 1) x + 4m + = ⇔ ( x − 2)( x – x – 2m – 1) = x = ⇔  g ( x) = x − x − 2m − = 0, (1) Đề (d) cắt (C) điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm kép khác x = có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x = MOON.VN – Gói Pro – S TOÁN HỌC 2016 – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95  ∆ =  8m + =    b   m = − ≠2  −  ≠ Ta có điều kiện tương ứng   2a ⇔  ⇔ m =  ∆>0  8m + >   g (2) =  −2m + =   { { Vậy m = − ; m = giá trị cần tìm Ví dụ 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + (m − 1) x + 2mx + đường thẳng d : y = x − Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) a) ba điểm phân biệt b) hai điểm phân biệt c) điểm Ví dụ 6: [ĐVH] Cho hàm số y = − x3 + x + x − Gọi d đường thẳng qua A(2 ; 0) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) ba điểm phân biệt TH2: Phương trình hoành độ giao điểm không nhẩm nghiệm Nếu h(x) = không nhẩm nghiệm ta sử dụng phương pháp cô lập tham số, phân tích h(x) = thành dạng h ( x, m ) = ⇔ g ( x ) = k ( m ) , đó g(x) hàm số chứa x, k(m) hàm chứa m (hay gọi hàm với x)  y = g ( x) Khi đó, số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị   y = k (m) // Ox Ta lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x) Khi đó, (1) có nghiệm phân biệt gCT < k(m) < gCĐ Khi đó, (1) có nghiệm k(m) < gCT k(m) > gCĐ Ví dụ 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + m Tìm m để đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt Hướng dẫn giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm đồ thị với trục Ox : x3 – 3x2 – 9x + m = 0, (1) Số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị Để đồ thị cắt Ox điểm phân biệt (1) phải có nghiệm phân biệt (1) ⇔ x3 – 3x2 – 9x = –m, (2)  y = g ( x) = x − x − x Số nghiệm (2) lại số giao điểm hai đồ thị   y = −m  x = −1 Ta có g ′( x) = x − x − = ⇔  x = Bảng biến thiên: x −∞ g’ −1 + − +∞ + +∞ g −∞ −27 Từ bảng biến thiên ta thấy, (2) có nghiệm phân biệt –27 < –m < ⇔ –5 < m < 27 Ví dụ 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 2m, (Cm) Tìm m để đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt Hướng dẫn giải: Để đồ thị cắt trục hoành hai điểm phân biệt (Cm) phải có điểm cực trị ⇒ y′ = có nghiệm phân biệt ⇔ 3x − 3m2 = ⇔ x = m2 ⇒ m ≠ MOON.VN – Gói Pro – S TOÁN HỌC 2016 – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Vậy hàm số có hai điểm cực trị m ≠ Khi y ' = ⇔ x = ± m (Cm) cắt Ox điểm phân biệt ⇔ yCĐ = yCT =  y ( − m ) = ⇔ 2m + 2m = ⇔ m = Ta có   y (m) = ⇔ −2m + 2m = ⇔ m = 0; m = ±1 Đối chiếu với điều kiện ta m = ± giá trị cần tim Ví dụ 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + x − x + 3m − Tìm m để đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − mx + 2m Tìm m để đồ thị cắt trục Ox điểm BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9mx Tìm m để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số cho a) điểm b) điểm phân biệt Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 – 3x + 2, có đồ thị (C) Gọi (d) đường thẳng qua A(3; 20) có hệ góc k Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) điểm phân biệt Bài 3: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 – 3x – 2, có đồ thị (C) Gọi A điểm thuộc đồ thị có hoành độ xA = 0, (d) đường thẳng qua A có hệ số góc k Xác định k để d cắt (C) điểm phân biệt Bài 4: [ĐVH] Cho hàm số y = –x3 + 3x2 + 1, có đồ thị (C) đường thẳng (d): y = m(x – 1) + Tìm m để (C) (d) cắt a) điểm phân biệt b) điểm Bài 5: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + mx2 – x – m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 6: [ĐVH] Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 – 1, có đồ thị (C) Gọi (dk) đường thẳng qua M(0; –1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) a) điểm phân biệt b) điểm phân biệt, hai điểm có hoành độ dương Bài 7: [ĐVH] (Trích đề thi ĐH khối A – 2010) Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m Tìm m để đồ thị cắt trục Ox ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 < Bài 8: [ĐVH] Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox điểm phân biệt? a) y = x3 – 3x2 – m2 + 5m MOON.VN – Gói Pro – S TOÁN HỌC 2016 – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] b) y = Facebook: LyHung95 x −x+m c) y = x3 + 3x2 – 9x + m Bài 9: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 + mx + có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm Đ/s: m > −3 Bài 10: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + 6mx − có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành điểm Đ/s: − < m < + Bài 11: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − 3m x + 2m có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt Đ/s: m = ±1 Bài 12: [ĐVH] Cho hàm số y = x3 − x + Tìm m để đường thẳng (∆): y = (2m − 1) x − 4m − cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt Đ/s: m = ; m = − MOON.VN – Gói Pro – S TOÁN HỌC 2016 – Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!