Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Câu 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm AI, (với I trung điểm BC) Biết thể tích khối chóp S.ABC a3 a) Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) b) Gọi G trọng tâm tam giác SBC Tính cosin góc hai đường thẳng AG SB Lời giải: a) Ta có: S ABC (a ) = a2 = 1 a a3 +) VS ABC = SH S ABC = SH = ⇒ SH = 2a 3 +) Mặt khác: AI = (a ) ⇒ BH = BI + IH = +) Do đó: cos SBH = với cos α = = a a ⇒ HI = 7a a 14 ⇒ BH = BH = SB BH BH + SH 2 = ⇒ góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) α 39 39 78 a 58 b) Dựng GK / / SB ta có: GK = SB = a , AK = IK + AI ⇒ AK = 12 Ta có: cos SIA = HI = SI HI HI + SH Từ đo suy ra: cos KGA = 2 = 107 ⇒ AG = AI + IG − AI IG cos AIG ⇒ AG = a 35 72 KG + GA2 − AK 75 = = cos ( SB; AG ) 2.KG.GA 1391 Câu 2: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy hình vuông Gọi M, N trung điểm SB, AD Biết góc đường thẳng MN đáy ABCD 300, MN = 2a a) Tính thể tích khối chóp MNBCD theo a b) Tính cosin góc hai đường thẳng SB NI, với I thuộc AB cho AI = 2IB Đ/s: VMNBCD = 63a 3 12 Lời giải: Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 a) Gọi K trung điểm AB ta có: MNK = 300 +) NK = MN cos 30 = 3a ⇒ BD = 6a ⇒ AB = 3a MK = MN sin 30 = a ⇒ SA = 2a 1 ND + BC +) Ta có: VM NBCD = MK S NBCD = MK AB 3 3a + 3a 9a 3 = a 3a = 2 b) Dựng BE / / NI ⇒ CE = ED +) SB = SA2 + AB = a 30 +) SE = SA2 + AE = SA2 + AD + DE = a 32 +) BE = BC + CE = a 26 +) Do cos SBE = SB + BE − SE 12 = = cos ( SB; NI ) 2.SB.BE 65 Câu 3: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a Biết SO vuông góc với đáy, SA tạo với mặt phẳng (ABCD), (SBC) góc φ Gọi H hình chiếu vuông góc a A (SBC) HB = Tính thể tích khối chóp S.ABC cosin góc SA (ABCD) Đ/s: V = a3 10 + 3cos φ; cos( SA; ABCD) = 24 Lời giải: +) Trong mp ( SBC ) dựng Bz / / SO Hạ AH ⊥ Bz  AH ⊥ Bz +) Khi  ⇒ AH ⊥ ( SBC )  AH ⊥ BC +) Ta có: SA cos ϕ = OA = +) AH = AB − HB = +) cos ϕ = cos ASH = ⇔ cos φ = a a ⇒ SA = cos ϕ a SH = SA SA2 − AH = − cos ϕ SA 2 10 ⇔ cos φ = cos ( SA; ( ABCD ) ) = 5 1 a2 a3 3 +) VSABC = SO.S ABC = SA sin φ = tan φ = a 3 12 Câu 4: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a; BC = a , SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi M, N hình chiếu vuông góc A lên SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM cosin góc hai đường thẳng MN, AB a3 30 Đ/s: V = ;cos( MN ; AB ) = 20 Lời giải: Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 +) Tính thể tích khối chóp A.BCNM 2a 4a a Ta có: AC = 2a; SB = a 5; AM = ⇒ SM = , MB = ; AN = SN = SC = a 2 5 a 3 VS AMN SM SN 2 VS ABC = SA.S ABC = ; = = → VS AMN = VS ABC 3 VS ABC SB SC 5 a3 Vậy VA.BCNM = VS ABC − VS AMN = VS ABC = 5 +) Tính cosin góc hai đường thẳng MN, AB:  BC ⊥ AB Nhận xét:  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) → BC ⊥ AM  SA ⊥ BC Lại có: AM ⊥ SB ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ MN Suy ra: ⇒ MN = AN − AM = a Từ B kẻ BP //MN ⇒ ( AB; MN ) = ( AB; BP ) Do BP //MN ⇒ Lại có: MN SM SM a 30 = , mà = ⇒ BP = BP SB SB NP MB a a 34 = = ⇒ NP = ⇒ AP = NP + AN = SN SM 4 ⇒ cos ( AB; MN ) = cos ABP = Đáp số: VA.BCNM = AB + BP − AP 30 = AB.BP 20 a3 30 ; cos ( AB; MN ) = 20 Câu 5: [ĐVH] Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = a; cạnh bên SA tạo với (ABC) góc 600 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Gọi M, N trung điểm BC, SM Mặt phẳng (ABN) cắt SC E Tính thể tích khối chóp S.ABE theo a Lời giải: a) Tính thể tích khối chóp S.ABC Gọi H tâm đáy ABC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) Ta có: ( SA; ( ABC ) ) = SAH = 60o ⇒ SH = sin 60.SA = a 3a a 3a ⇒ AM = ⇒ AB = ⇒ VS ABC = SH S ABC = 32 b) Tính thể tích khối chóp S.ABE Kẻ MK song song với BE ⇒ CK = EK , MK = BE  NE / / MK SE Lại có:  ⇒ SK = SE ⇒ = SC  SM = SN Ta có: VS ABE SA SB SE a3 = = ⇒ VS ABE = VS ABC SA SB SC 32 Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95 Câu 6: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a; cạnh bên SA tạo với (ABC) góc 600 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Gọi M, N trung điểm SB, SD Mặt phẳng (AMN) cắt SC E Tính thể tích khối chóp S.AMEN theo a Lời giải: a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Gọi O tâm đáy ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) → ( SA; ( ABC ) ) = SAO = 60o ⇒ SO = AO.tan 60o = a a3 ⇒ VS ABCD = SO.S ABCD = b) Tính thể tích khối chóp S.AMEN SM SN MN Theo ta có: = = = SB SD BD Từ O dựng OI //AE ⇒ EI = EC ( AC = AO )(1) Gọi K = SO ∩ MN , ta có:  KE //OI → ⇒ SE = SI  SO = SK ( 2) Từ (1) & ( ) ⇒ SE = SC Ta có: VS AMEN 2VS AME SA SM SE 1 a3 = = = ⇒ VS AMEN = VS ABCD = VS ABCD 2VS ABC SA SB SC 6 36 Câu 7: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O cạnh a Hình chiếu vuông góc S lên mặt đáy trùng với trọng tâm G tam giác ABC , mặt bên SCD hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc hai đường thẳng SA BG Lời giải: +) Dựng GE / / AD ⇒ CE = ED Khi GE ⊥ CD 2a Mặt khác SG ⊥ CD ⇒ SEG = 600 GE = AD = 3 2a Suy SG = GE tan 60o = =h 1 2a 2a 3 +) VS ABCD = SG.S ABCD = a = 3 +) Trong mf ( SAC ) dựng GK / / SA 4a  a  a 14 +) Ta có SA = SG + GA = +   =   2 ⇒ GK = 2a 14 SA = +) BG =  BO ⊥ AC 2 a2 a a + = Nhận xét  ⇒ BO ⊥OK ⇒ BK = BO + OK  BO ⊥ SG Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] +) SC = SG + GC = Facebook: LyHung95 a 8a 2 a 4a a + = ⇒ CK = SC = , OC = 3 GC 97 89 = ⇒ OK = OC + CK − 2OC.CK cos GCK = a ⇒ BK = a SC 162 81 2 GB + GK − BK = = cos ( SA; BG ) +) Do cos ( KGB ) = 2GBGK 70 +) Mặt khác cos SCG = có đáy ABCD hình thang vuông A D a vuông góc với đáy cạnh SC tạo với đáy có AB = 2a, CD = a Gọi I trung điểm AD, SI = góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD góc đường thẳng AB mặt phẳng ( SIC ) Câu 8: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD Lời giải: +) Do SI ⊥ ( ABC ) ⇒ SCI = 300 ⇒ IC tan 300 = SI a = ID + CD ⇒ ID = 2 AB + CD a +) VS ABCD = SI AD = ( dvtt ) 2 +) Dựng CK / / AD ⇒ CK = AD = a +) Ta có: BC = CK + KB = 3a +) IB = IA2 + AB = a = IC + BC suy tam giác ICB vuông C BC ⊥ IC KB +) cos ( BC ; AB ) = cos CBA = = = sin ( AB; SIC ) BC Suy IC = a +) Vậy góc đường thẳng AB mặt phẳng ( SIC ) α với sin α = Cách 2: Gọi E = BA ∩ CI ⇒ BE = 3a ⇒ cos BEC = CE = BE BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S a2 xuống (ABC) điểm H thuộc AB cho AH = AB Biết diện tích tam giác SAB Tính góc a) (SA; BC) b) (SB; AC) Đ/s: a ) cos ( SA; BC ) = 70 b) cos ( SB; AC ) = 31 Bài 2: [ĐVH] Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh C, CA = CB = a, SA vuông góc với đáy ABC, SA = a ; D trung điểm cạnh AB Tìm góc giữa: a) ( SD; AC ) b) ( SD; BC ) Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Đ/s: a) ( SD; AC ) ≈ 105, 5o Facebook: LyHung95 b) ( SD; BC ) = 74,5o Bài 3: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B Biết AB = BC = a; AD = 2a Hình chiếu S xuống (ABCD) điểm H thuộc AC cho CH = 3AH; SH = a Tính góc a) (SC; AB) b) (SA; BD) Đ/s: a ) cos ( SC ; AB ) = 66 22 b) cos ( SA; BD ) = 10 50 Bài 4: [ĐVH] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a; AD = 2a Hình chiếu vuông góc S xuống mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc AB cho AB = 3AH Biết S SAB = a Tính góc a) (SA; BD) b) (SC; BM), với M trung điểm AD Đ/s: a ) ( SA; BD ) ≈ 860 b) cos ( SC ; BM ) = 38 19 Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN LUYỆN ĐÊ MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015