Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC NHẬP MÔN CASIO Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ 1: Giải phương trình ( x − 1) x − + ( x − ) x − = x − x + Lời giải: Đặt t = x − ( t ≥ ) ta có: ( t + ) − ( t + ) + = ( 2t − 1) t + ( t + 1) 3t + 2 ⇔ 2t + t − = 2t − t + ( t + 1) 3t + ) ( Xét 2t − 4t + t − t − + ( t + 1) 2t − 3t + = ⇔ ( t − ) ( 2t + t + 1) + ( t + 1)  t + 1) ( t + )  (  = ⇔ t = ( t ≥ ) ⇔ ( t − )  2t + t + +   t + t +   Với t = ⇒ x = nghiệm PT cho t2 − 2t + 3t + = Ví dụ 2: Giải phương trình ( x3 + x − 3) x + + x = −3 ( x − x − 1) Lời giải: Ta có : PT ⇔ ( x + x − 3) x + + x ( x + x − 3) = ( 2 ) ⇔ x + x + ( x3 + x − 3) = ⇔ x + x − = x + − x ⇔ x3 + x − + x + − x + = ⇔ ( x − 1)( x + ) + 2x − 2 x + + x2 + =   2 ⇔ ( x − 1) ( x + ) +  = ⇔ x = x + + x2 +   Vậy PT cho có nghiệm là: x = Ví dụ 3: Giải phương trình ( x − 1) − x + = x − x2 Lời giải: ≥ x ≥ Với ĐK ta có : 2 +) Với x = nghiệm PT cho +) Với x > : PT ⇔ x − x − − x − + x − x − − x + x − x + = x2 − x + x − 12 x + ⇔ x − + x + x − 3x + = 2x −1 + 2x −1 − 2x + − 4x ĐK : ( ) ( )  2x −1 4x  ⇔ ( x − x + 1)  + + 1 = (*) MS   MS1  x = ( loai ) 2x −1 4x  Với ĐK ≥ x > ta có: + + > (*) ⇔ x − x + = ⇔  2 MS1 MS x = 1 Vậy PT cho có nghiệm: x = ; x = Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Ví dụ 4: Giải phương trình x − x + − x x − + ( x + 1) x − = ĐK: x ≥ Lời giải (*) Khi (1) ⇔ ( x + 1) ( ) ( ) x − − + x x + − 5x − − ( x − 2) = ( x + 1)( x − − 1) + x ( x + 1) − ( x − 1) − ( x − 2) = x + + 5x −1 x ( x − 3x + ) x − )( x + 1) ( ⇔ − ( x − 2) + =0 + x −1 x + + 5x − ( x − )( x + 1) − x − + x ( x − )( x − 1) = ⇔ ( ) + x −1 x + + 5x −1 x ( x − 1)   x +1 ⇔ ( x − 2)  −1 + (2) =0 x + + 5x −1   + x −1 Với x ≥ ⇒ x − x + = x ( x − 1) + > ⇒ x > x − > ⇒ x > x − ⇔ x −1 + x +1 x +1 >1⇒ −1 > 1+ x −1 1+ x −1 x ( x − 1) x +1 ⇒ −1 + > 0, ∀x ≥ 1 + x −1 x + + 5x −1 Do (2) ⇔ x = 2, thỏa mãn (*) Vậy phương trình có nghiệm x = ⇒ x + > 1+ x −1 > ⇒ Ví dụ 5: Giải phương trình x + + x − x + = ( x + 1) x − + x − x + ĐK: x ≥ Lời giải (*) Khi (1) ⇔ ( x + 1) ( ) x −1 − = x2 − x + − x2 − x + x2 − x + 2) − ( x2 − x + 4) x + 1)( x − − 1) ( ( ⇔ = ⇔ x −1 + ( x − )( x + 1) x2 − x + + x2 − x + 3( x − 2) = + x −1 x2 − x + + x2 − x + x = ⇔  x +1  = 1 + x − x − x + + x2 − x + Với x ≥ ⇒ x − x + = x ( x − 1) + > ⇒ x > x − > ⇒ x > x − ⇒ x + > + x −1 > ⇒ (2) x +1 > ⇒ VT (2) > 1 + x −1 Với x ≥ ⇒ x − x + + x − x + = x ( x − 1) + + ( x − 1) (3) +3 ≥ + >3 < ⇒ VP (2) < x2 − x + + x2 − x + Kết hợp với (3) ⇒ VT (2) > VP (2) ⇒ (2) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = ⇒ Ví dụ 6: Giải phương trình x + x − = x x − + ( x − 1) x − Lời giải ĐK: x ≥ (*) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Khi (1) x + x − − x x − − ( x − 1) x − = ( ) ( ) ⇔ x x + − x − + ( x − 1) x − − x − − ( x − x + ) = ( x + 1) − (8 x − ) + ⇔ x ( x − 1) − ( x − ) − x − x + = ( x − 1) ( ) x + + 8x − x −1 + 4x − 2 x ( x − x + 8) ( x − 1) ( x − x + ) ⇔ + − ( x − x + 8) = x + + 8x − x −1+ 4x − x 2x −1   ⇔ ( x2 − x + 8)  + − 1 =  x + + 8x − x −1 + 4x −  (2) Ta có x − ( x − ) = ( x − ) + > ⇒ x > x − ≥ ⇒ x > x − 2x −1 >1 x −1 + 4x − x 2x −1 ⇒ + − > 0, ∀x ≥ x + + 8x − x − + x − x = Do (2) ⇔ x − x + = ⇔  thỏa mãn (*) x = ( x − 1) x Ví dụ 7: Giải phương trình + =1 33 x − 32 x + 20 x − 12 x + Lời giải: 33 x − 32 x + > 1 Điều kiện:  ⇔ x > x < 2 10 20 x − 12 x + > ( x − 1) x + =1 Phương trình cho tương đương với 2 x + ( x − 1) ( x − 1) + x ( x − 1) ⇒ 2x −1 > x −1 + 4x − > ⇒ Chú ý x + ( x − 1) ≥ x ≥ x ⇒ ( x − 1) ( x − 1) + x ( x − 1) >0⇔ x> x Đặt t = > , ( ∗) ⇔ 2x − ⇔ x x + ( x − 1) 2 ( ∗) < nên suy x 2x −1  x    +8  2x −  + =1⇔ 8x +1 2x − t2 + − t = ⇔ = ⇔ t2 + 2 8t + 8t + t +8 t +8 t +8 +t ( ) t t2 + ( + =1 8t + ) t + + t = 8t + ⇔ t + + t t + = 8t + ⇔ 3t + 24 + 3t t + − 12 8t + = ) ( ( ) ⇔ 4t − 8t + + t t + − t − + 4t + − 8t + = ⇔ ( t − 1) + 8t ( t − 1) t2 + + t + + 64 ( t − 1) 4t + + 8t + =0  8t 64 x 2 ⇔ ( t − 1)  + + = ⇔ x =  = ⇔ t =1⇔ 2x − t + + t + 4t + + 8t +   Vậy phương trình cho có nghiệm x = Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC x + 20 x − 86 + x 31 − x − x = 3x + Lời giải: 7 x + 20 x − 86 ≥ Điều kiện:  31 − x − x ≥ Ví dụ 8: Giải phương trình ) ( Phương trình cho tương đương với:  x + 20 x − 86 − ( − x )  + x 31 − x − x − =   2 2 x (15 − x − x ) ( x + x − 15 ) x ( x + x − 15 ) x + 20 x − 86 − ( − x ) ⇔ + =0⇔ − =0 x + 20 x − 86 + − x 31 − x − x + x + 20 x − 86 + − x 31 − x − x +  x = −2 − 19  x + x − 15 =   ⇔ ⇔ x x = = ( ∗) 2  x + 20 x − 86 + − x  x + 20 x − 86 + − x 31 − x − x + 31 − x − x + Ta có ( ∗) ⇔ 31 − x − x + 24 = x x + 20 x − 86 + x − x mà x + 20 x − 86 = x + − x 31 − x − x Suy ( ) 31 − x − x + 24 = x x + − x 31 − x − x + x − x ⇔ ( x + ) 31 − x − x = x + x − 24 ⇔ ( 31 − x − x ) + ( x + ) 31 − x − x − x − = ⇔ ( )( 31 − x − x − ) 31 − x − x + x + = 7 x + 20 x − 86 ≥ ⇔ 31 − x − x = ⇔  ⇔ x = −2 + 34  x + x − 30 = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = −2 + 34; x = −2 − 19 ( Ví dụ 9: Giải phương trình ( x + 1) = x + x − x + ) Lời giải: Điều kiện: x − x + = ( x − 1) + > 0; ∀x ∈ ℝ Phương trình cho tương đương với 2 ( x + 1) = x + x x − x + + x ( x − x + ) + ( x − x + ) x − x + ⇔ x3 + = x + 3x − x + x + ( x − x + ) x − x + x2 − x + 4 x2 − x + 2 x = ( x − 1) ( x − 1) = ⇔ 2 x2 − x + + x − x +  x − x + = x − x ⇔ x2 − x + = ( x2 − x + 2) x2 − x + ⇔ x2 − x + = ( x − 1) ⇔ x − 2x + − = ⇔ 4x − 2x + 2 x − x + = x − x vào phương trình ban đầu, ta được: x =  x3 = 6  ⇔ ( x + 1) = x ⇔ x − x − = ⇔ x = − x = −   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1; x = − Thế Tham gia khóa học online miễn phí group facebook Đề thi thử moon,hocmai,uschool Link : fb.com/dethithu Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 02 PHÂN TÍCH NHÂN TỬ BẰNG CASIO Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Ví dụ 1: Giải phương trình sau x − x + = ( x + 1) x − PHÂN TÍCH CASIO Thấy vế trái phương trình tam thức bậc hai, vế phải phương trình tích biểu thức bậc với thức nên ta nâng lũy thứa hai vế phương trình biểu thức có bậc cao bậc Với biểu thức bậc ta phân tích thành nhân tử cách tìm nghiệm phương trình sử dùng Viet đảo Bình phương hai vế phương trình ta ( 3x − x + ) = ( x + 1) ( x − ) ⇔ ( x − x + ) − ( x + 1) ( x − ) = 2 2 Ta thấy biểu thức phức tạp, khai triển tay khó khăn dễ nhầm lẫn Ta khai triển biểu thức cách sử dụng máy tính casio sau Thay x = 100 vào biểu thức cách gán 100 vào X , ta có ( X − X + ) − ( X + 1) ( X − ) = 867446118 ≈ 900000000 = X ( X − X + ) − ( X + 1) ( X − ) − X = −32553882 ≈ −33000000 = −33 X ( X − X + ) − ( X + 1) ( X − ) − X + 32 X = 446118 ≈ 450000 = 45 X ( X − X + ) − ( X + 1) ( X − ) − X + 32 X + 55 X = −3882 ≈ −3900 = −39 X ( X − X + ) − ( X + 1) ( X − ) − X + 32 X + 55 X + 38 X = 18 ⇒ ( X − X + ) − ( X + 1) ( X − ) = X − 33 X + 45 X − 39 X + 18 = 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 Sau khai triển biểu thức phương trình trở thành x − 33 x + 45 x − 39 x + 18 = Ta thấy phương trình bậc bốn, ta giải phương trình cách tìm nghiệm phương trình phân tích thành nhân tử Ta sử dụng SHIFT SOLVE để tìm nghiệm phương trình ta tìm nghiệm phương trình x = x = , đó x − 33 x + 45 x − 39 x + 18 = có nhân tử ( x − 1)( x − ) = hay x − 3x + = Ta thấy x − 33 x + 45 x − 39 x + 18 = phương trình bậc bốn nên tích hai biểu thức bậc hai, ta x − 33 x + 45 x − 39 x + 18 = tìm nhân tử lại phương trình cách chia đa thức sau x − 3x + Ta thay x = 100 vào biểu thức cách gán 100 vào X , ta có X − 33 X + 45 X − 39 X + 18 = 89409 ≈ 90000 = X X − 3X + X − 33 X + 45 X − 39 X + 18 − X = −591 ≈ −600 = −6 X X − 3X + X − 33 X + 45 X − 39 X + 18 − 9X + 6X = X − 3X + X − 33 X + 45 X − 39 X + 18 ⇒ = 9X − 6X + X − 3X + ⇒ X − 33 X + 45 X − 39 X + 18 = ( X − X + )( X − X + ) Phương trình cho tương đương LỜI GIẢI Điều kiện: x ≥ ( 3x − x + ) = ( x + 1) ( x − ) ⇔ ( x − x + )( x − x + ) = ⇔ x ∈ {1; 2} 2 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {1; 2} Ví dụ 2: Giải phương trình sau x − x − = ( x + ) x + PHÂN TÍCH CASIO Thấy vế trái phương trình tam thức bậc hai, vế phải phương trình tích biểu thức bậc với thức nên ta nâng lũy thứa hai vế phương trình biểu thức có bậc cao bậc Với biểu thức bậc ta phân tích thành nhân tử cách tìm nghiệm phương trình sử dùng Viet đảo Bình phương hai vế phương trình ta ( 2x − x − 3) = ( x + ) ( x + 3) ⇔ ( x − x − 3) − ( x + ) ( x + 3) = 2 2 Thay x = 100 vào biểu thức cách gán 100 vào X ta có ( X − X − 3) − ( X + ) ( X + 3) = 382738597 ≈ 400000000 = X ( X − X − 3) − ( X + ) ( X + 3) − X = −17261403 ≈ −17000000 = −17 X ( X − X − 3) − ( X + ) ( X + 3) − X + 17 X = −261403 ≈ −260000 = −26 X ( X − X − 3) − ( X + ) ( X + 3) − X + 17 X + 26 X = −1403 ≈ −1400 = −14 X ( X − X − 3) − ( X + ) ( X + 3) − X + 17 X + 26 X + 14 X = −3 ⇒ ( X − X − 3) − ( X + ) ( X + 3) = X − 17 X − 26 X − 14 X − = 2 2 2 2 2 2 2 2 4 Khi phương trình trở thành x − 17 x − 26 x − 14 x − = Ta sử dụng SHIFT SOLVE để tìm nghiệm phương trình ta thấy phương trình có nghiệm vô tỷ, với toán có nghiệm vô tỷ ta tìm nghiệm sử dụng Viet đảo để suy nhân tử Nhập phương trình X − 17 X − 26 X − 14 X − = vào máy Ấn SHIFT SOLVE = ta tìm nghiệm X = 5,541381265 ta gán nghiệm vào A Tiếp tục ấn SHIFT SOLVE -100 = ta tìm nghiệm X = −0, 541381265 ta gán nghiệm vào B Ta có A + B = AB = −3 nên phương trình cho có nhân tử X − X − = Ta thực phép X − 17 X − 26 X − 14 X − chia để tìm nhân tử lại phương trình X − 5X − Ta thay x = 100 vào biểu thức cách gán 100 vào X , ta có X − 17 X − 26 X − 14 X − = 40301 ≈ 40000 = X 2 X − 5X − 4 X − 17 X − 26 X − 14 X − − X = 301 ≈ 300 = X X − 5X − 4 X − 17 X − 26 X − 14 X − − X − 3X = X − 5X − X − 17 X − 26 X − 14 X − ⇒ = X + 3X + X − 5X − ⇒ X − 17 X − 26 X − 14 X − = ( X − X − 3)( X + X + 1) LỜI GIẢI Điều kiện: x ≥ − Phương trình cho tương đương 2 x − x − ≥ + 13 2 x − x − ≥ ⇔ ⇒x=  2 2 ( x − x − 3) = ( x + ) ( x + 3) ( x − x − 3)( x + x + 1) =  + 13  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S =     Ví dụ 3: Giải phương trình sau x + = x + + x + Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC PHÂN TÍCH CASIO Phương trình cho có hai thức, biểu thức biểu thức bậc nhất, vế trái phương trình cho biểu thức bậc Do ta bình phương hai vế phương trình ta thu biểu thức với bậc cao nhât bậc hai Bình phương trinh hai vế phương trình ta ( x + 2) = ( ⇔ x2 − = 2x + + 6x + ) ⇔ x2 + 8x + = x + + x + + ( x + 1)( x + 5) ⇔ x − = ( x + 1)( x + 5) 12 x + 16 x + (*) Sau bình phương hai vế phương trình ta phương trình có thức, biểu thức vế trái biểu thức bậc hai, nên ta giải phương trình cách bình phương hai vế phương trình 2 x − ≥  x − ≥ Phương trình (*) tương đương  ⇔  2  x − x − x − = ( x − 1) = 12 x + 16 x + Ta đưa phương trình ban đầu phương trình bậc bốn, ta giải phương trình cách tìm nghiệm phương trình phân tích thành nhân tử Nhập phương trình x − x − x − = vào máy Ấn SHIFT SOLVE = ta tìm nghiệm X = −0, 414213562 ta gán nghiệm vào A Tiếp tục ấn SHIFT SOLVE 100 = ta tìm nghiệm X =, 414213562 ta gán nghiệm vào B Ta có A + B = AB = −1 nên phương trình cho có nhân tử x − x − = Ta thực phép chia X − 4X − 4X −1 đa thức để tìm nhân tử lại phương trình X − 2X −1 Thay x = 100 vào biểu thức cách gán 100 vào X , ta có X − 4X − 4X −1 = 10201 ≈ 10000 = X 2 X − 2X −1 X − 4X − 4X −1 − X = 201 ≈ 200 = X X − 2X −1 X − 4X − 4X −1 − X − 2X = X − 2X −1 X − 4X − 4X −1 ⇒ = X + X + ⇒ X − X − X − = ( X − X − 1)( X + X + 1) X − 2X −1 LỜI GIẢI Điều kiện: x ≥ − Phương trình cho tương đương 4x2 + 8x + = 2x + + 6x + + ( x + 1)( x + ) ⇔ x − = 12 x + 16 x + 2 x − ≥ 2 x − ≥ ⇔ ⇔ ⇒ x = 1+ 2 2 ( x − 1) = 12 x + 16 x + ( x − x − 1)( x + x + 1) = { Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = + } Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x + 12 y + 11xy − 11x − 19 y + PHÂN TÍCH CASIO Đa thức có chứa hai biến, bậc cao biến bậc hai Ta phân tích đa thức thành nhân tử cách thay y = 100 vào đa thức đa thức trở thành phương trình bậc hai theo biến x Ta phân tích phương trình bậc hai theo biến x thành nhân tử Thay y = 100 vào đa thức, ta có x + 12.1002 + 11x.100 − 11x − 19.100 + = ⇔ x + 1089 x + 118105 = ⇔ ( x + 299 )( x + 395 ) = Ta thay 299 = 300 − = y − , 395 = 400 − = y − ta có ( x + 299 )( x + 395) = ( x + y − 1)( x + y − 5) LỜI GIẢI Ta có x + 12 y + 11xy − 11x − 19 y + = ( x + y − 1)( x + y − ) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x + y − x y − xy + x + y − PHÂN TÍCH CASIO Đa thức có chứa hai biến, bậc cao biến bậc ba Ta phân tích đa thức thành nhân tử cách thay y = 100 vào đa thức đa thức trở thành phương trình bậc hai theo biến x Ta phân tích phương trình bậc hai theo biến x thành nhân tử Thay y = 100 vào đa thức, ta có x + 2.1002 − 100 x − 1002 x + x + 4.100 − = −99 x − 9999 x + 20394 = ⇔ −99 ( x − )( x + 103) Ta thay −99 = − 100 = − y , 103 = 100 + = y + ta có −99 ( x − )( x + 103) = (1 − y )( x − )( x + y + 3) LỜI GIẢI Ta có x + y − x y − xy + x + y − = (1 − y )( x − )( x + y + 3) Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3 y + x3 y + xy − x y + xy − x − y − PHÂN TÍCH CASIO Đa thức có chứa hai biến, bậc cao biến bậc năm Ta phân tích đa thức thành nhân tử cách thay y = 100 vào đa thức đa thức trở thành phương trình bậc hai theo biến x Ta phân tích phương trình bậc hai theo biến x thành nhân tử Thay y = 100 vào đa thức, ta có 100 x3 + 100 x + 1002 x − 100 x + 100 x − x − 100 − = 10100 x3 − 101x + 10100 x − 101 = 101(100 x3 − x + 100 x − 1) = 101( x + 1) (100 x − 1) Ta thay 101 = 100 + = y + , 100 = y ta có 101( x + 1) (100 x − 1) = ( y + 1) ( x + 1) ( xy − 1) LỜI GIẢI Ta có x3 y + x3 y + xy − x y + xy − x − y − = ( y + 1) ( x + 1) ( xy − 1) Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = ( x − y ) + ( x − y )( xy + 1) + x + y + A Phân tích CASIO Cho y = 100 P = ( x − 100 ) + ( x − 100 )( 200 x + 1) + x + 10001 Nhập vào máy tính ( X − 100 ) + ( X − 100 )( 200 X + 1) + X + 10001 = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 99 = y − ⇒ X − y + = ⇒ có nhân tử x − y + Nhập vào máy tính (( X − 100) + ( X − 100)( 200 X + 1) + X ) + 10001 : ( X − 99 ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm B Lời giải Ta có P = x3 − x y + xy − y + x y + x − xy − y + x + y + = x3 − x y + xy − y + x + y + x − y + = x ( x − y + 1) + y ( x − y + 1) + ( x − y + 1) = ( x − y + 1) ( x + y + 1) Đ/s: P = ( x − y + 1) ( x + y + 1) Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x − y + xy ( x + y − x ) A Phân tích CASIO Cho y = 100 P = x − 2.1003 + 100 x ( x + 100 − x ) Nhập vào máy tính X − 2.1003 + 100 X ( X + 100 − X ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 100 = y ⇒ X − y = ⇒ có nhân tử x − y Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ( ) Nhập vào máy tính X − 2.1003 + 100 X ( X + 100 − X ) : ( X − 100 ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = −25,9170414 Con số lẻ, ta thực phân tích B Lời giải Ta có P = x3 ( x − y ) + x y + y ( x − y ) − xy + x y + xy − x3 y = ( x − y ) ( x3 + y ) + xy ( x − y ) = ( x − y ) ( x3 + y + xy ) Đ/s: P = ( x − y ) ( x3 + y + xy ) Ví dụ 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x3 − x − xy + y + xy + x − y A Phân tích CASIO Cho y = 100 P = x3 − x − 100 x + 1002 + 100 x + x − 100 Nhập vào máy tính X − X − 1002 X + 101X − 100 = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = ⇒ có nhân tử x − Nhập vào máy tính ( X − X − 1002 X + 101X − 100 ) : ( X − 1) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = −99 = − y + ⇒ X + y − = ⇒ có nhân tử x + y − Nhập vào máy tính ( X − X − 1002 X + 101X − 100 ) : ( ( X − 1)( X + 99 ) ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 100 = y ⇒ có nhân tử x − y Nhập vào máy tính ( X − X − 1002 X + 101X − 100 ) : ( ( X − 1)( X + 99 )( X − 100 ) ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm Về mặt tư với nhân tử trên, nhân vào ta bậc x (ứng với đề bài), để nhanh ta không nên nhập vào máy tính bước cuối, việc bấm mang tính chất tổng quát Như P = ( x − 1)( x + y − 1)( x − y ) Ba nhân tử x − đơn giản nhất, ta nhóm x − trước B Lời giải Ta có P = x ( x − 1) − x ( x − 1) − y ( x − 1) + y ( x − 1) = ( x − 1) ( x − x − y + y ) = ( x − 1) ( x − y )( x + y ) − ( x − y )  = ( x − 1)( x − y )( x + y − 1) Đ/s: P = ( x − 1)( x − y )( x + y − 1) Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x3 − x y − xy + y + x − xy + x − y A Phân tích CASIO Cho y = 100 P = x3 − 100 x − 2.1002 x + 1003 + x − 300 x + x − 100 = Nhập vào máy tính X − 100 X − 2.100 X + 1003 + X − 300 X + X − 100 = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 49,5 ⇒ X = 99 = y − ⇒ X − y + = ⇒ có nhân tử x − y + Nhập vào máy tính ( X − 100 X − 2.100 X + 1003 + X − 300 X + X − 100 ) : ( X − 49,5 ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 100 = y ⇒ X − y = ⇒ có nhân tử x − y Nhập vào máy ( X − 100 X − 2.100 X + 1003 + X − 300 X + X − 100 ) : ( ( X − 49,5 )( X − 100 ) ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = −101 = − y − ⇒ X + y + = ⇒ có nhân tử x + y + Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Nhập vào máy ( X − 100 X − 2.1002 X + 1003 + X − 300 X + X − 100 ) : ( ( X − 49,5)( X − 100 )( X + 101) ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm Về mặt tư với nhân tử trên, nhân vào ta bậc x (ứng với đề bài), để nhanh ta không nên nhập vào máy tính bước cuối, việc bấm mang tính chất tổng quát Như P = ( x − y + 1)( x − y )( x + y + 1) Ba nhân tử x − y đơn giản nhất, ta nhóm x − y trước B Lời giải Ta có P = x ( x − y ) + xy ( x − y ) − y ( x − y ) + 3x ( x − y ) + x − y = ( x − y ) ( x + xy − y + x + 1) = ( x − y )  x ( x + y + 1) − y ( x + y + 1) + x + y + 1 = ( x − y )( x + y + 1)( x − y + 1) Đ/s: P = ( x − y )( x + y + 1)( x − y + 1) Chia sẻ giảng tài liệu miễn phí có groups facebook Đề thi thử hocmai ,moon,uschool- fb.com/groups/dethithu Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 4x 4x 4x   < =x − > −x   2 x2 + x2 +  (  ( ) ) ⇒ ⇒ 6x + 6x +  6x + 2x +  < − >− 2 3  9 x2 + 9x + 9) x2 + 9x + 9)  (  ( 4x > −1, ∀x ∈ (1; +∞ ) , với x ∈ (1; +∞ ) có Ta chứng minh − x2 + ( ) 4x − > −1 ⇔ x < (6x + 2) ⇔ ( x + 1) > 16 x 2 2 3 (6x + 2) ⇔ ( x ) < ( x2 + 2) ⇔ x − 16 x3 + x + > ⇔ x3 ( x − 1) − x ( x − 1) − x ( x − 1) − ( x − 1) ⇔ ( x − 1) ( x − x − x − 1) ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) 4x Điều với ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇒ − 6x + Ta chứng minh − (9x2 + 9x + 9) 6x + − (6x + 2) > −1 > −1, ∀x ∈ (1; +∞ ) , với x ∈ (1; +∞ ) có > −1 ⇔ x + < (9x + 9x + 9) 2 (9 x + 9x + 9) ⇔ ( x + x + ) > ( x + 3) ⇔ 81( x + x + 1) > 27 ( x + 1) ⇔ ( x + x + x + x + 1) > x + 12 x + x + 2 2 3 2 3 ⇔ 3x − x3 − 3x + > ⇔ 3x ( x − 1) + x ( x − 1) − x ( x − 1) − ( x − 1) > ⇔ ( x − 1) ( 3x + x − x − ) > ⇔ ( x − 1) ( 3x + x + ) > 6x + Điều với ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇒ − (9x + 9x + 9) > −1 Do f ' ( x ) > x − 12 x + − − = ( x − 1) > 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) Kết hợp với f ( x ) liên tục [1; +∞ ) ⇒ f ( x ) đồng biến [1; +∞ ) ⇒ f ( x ) ≥ f (1) = 0, dấu " = " xảy ⇔ x = nên (1) ⇔ x = thỏa mãn (*) Đ/s: x = Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 11 ỨNG DỤNG CASIO TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN ( x + y ) xy + = xy − y + Ví dụ Giải hệ phương trình  ( x + y ) xy + = xy + x − y − ( x ∈ ℝ) xy + , đồng thời lại PHÂN TÍCH CASIO Nhận thấy, hệ phương trình có chứa thức xuất 2xy phương trình Nên để đơn giản ta đặt t = xy + ⇔ xy = t − , hệ phương trình cho trở thành 2 ( x + y ) t = ( t − ) − y + (1)  ( x + y ) t = 2t − y − ⇔ ( ∗)  2 + = + − − x y t t x y 21 ( ) ( ) x + y t = t − + x − y − ( ) ( )   Chú ý nghiệm t nghiệm chung hai phương trình (1) ( ) Do ta xét phương trình: • Phương trình (1) ⇔ 2t − ( x + y ) t − y − = ⇒ ∆ (1) = ( x + y ) + ( y + ) Suy t = • x + y ± ∆(1) x+ y± = ( x + y) + (3 y + 9) 4 Phương trình (1) ⇔ 3t − ( x + y ) t + x − y − 21 = ⇒ ∆ ( 2) = ( x + y ) − 12 ( x − y − 21) Suy t = x + y ± ∆ ( 2) = x + 2y ± ( x + 2y) − 12 ( x − y − 21) 6 Ta chọn nghiệm t chung bất kỳ, ta xét phương trình: x+ y+ ( x + y) + (3 y + 9) Gán y = 100 ta x + 100 + = ( x + 100 ) x + 2y + ( x + 2y) − 12 ( x − y − 21) + 2472 = x + 200 + ( x + 200 ) − 12 ( x − 721) Dùng chức SHIFT SOLVE, máy yêu cầu gán giá trị biến, ta nhập X kết thu nghiệm x = 100 Gán y = 50 ta x + 50 + ( x + 50 ) + 1272 = x + 100 + ( x + 100 ) − 12 ( x − 371) Tương tự ta có x = 53 Từ hai điều trên, ta có nhân tử chung x − y − = ⇔ y = x − Khi ta được: ( x + y ) t = 2t − y − ( x − 3) t = 2t − ( x − ) − 2t − x = xt − 3t ⇔ ⇔ ⇔t=x  2 ( x + y ) t = 3t + x − y − 21 ( x − ) t = 3t + x − ( x − 3) − 21 3t − x = ( x − ) t Còn x = y + vào hệ phương trình ( ∗) ta được: ( x + y ) t = 2t − y − ( y + 3) t = 2t − y − ⇔ ⇔ t = y +3   2 x + y t = t + x − y − 21 y + t = t + y + − y − 21 ( ) ( )   t = x x = t x = t ⇔ Bây quan sát, với kết  ta thấy hệ Hay nói cách khác ( ∗) ⇔  t = y + y = t − y = t − phương trình ( ∗) thực chất hệ phương trình bậc hai ẩn x, y với coi t tham số Do đó, dạng hệ phương trình ta xét đến cách giải định thức học sau: Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC a1 x + b1 y = c1 Bài toán Cho hệ phương trình  , giải biện luận hệ phương trình cho a2 x + b2 y = c2 Lời giải Thiết lập định thức: a b c b a c D = 1 = a1b2 − a2b1 ; Dx = 1 = c1b2 − c2 b1 ; Dy = 1 = a1c2 − a2 c1 a2 b2 c2 b2 a2 c2 Nếu D = a1b2 − a2b1 ≠ hệ phương trình cho có nghiệm là: x = Nếu D = a1b2 − a2b1 = có hai trường hợp xảy là: Dy Dx ; y= D D  Dx ≠ Với  hệ phương trình cho vô nghiệm  Dy ≠ Với Dx = Dy = hệ phương trình cho có vô số nghiệm t.x + ( t + 3) y = 2t − Dựa vào lý thuyết trên, xét hệ phương trình ( ∗) ta có: ( ∗) ⇔  ( t − 1) x + ( 2t + ) y = 3t − 21 t t +3 2t − t + = t + 5t + ≠ = t ( t + 5t + 3) Ta xét định thức: D = Dx = t − 2t + 3t − 21 2t + Dy = t 2t − = ( t − 3) ( t + 5t + 3) nên t − 3t − 21 Dx   x = D = t  x = xy + ⇔ ⇔ ( x; y ) = {( 5; ) , (1; −2 )}   D y y xy + = + y =  =t −3  D Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = {( 5; ) , (1; −2 )} LỜI GIẢI Điều kiện: xy + ≥ Cách Đặt t = xy + ≥ ⇔ xy = t − Khi hệ phương trình cho tương đương với: 2 ( x + y ) t = ( t − ) − y +  ( x + y ) t = 2t − y − t.x + ( t + 3) y = 2t − ⇔ ⇔    2 ( x + y ) t = ( t − ) + x − y − ( x + y ) t = 3t + x − y − 21 ( t − 1) x + ( 2t + ) y = 3t − 21 t t +3 2t − t + Ta xét định thức: D = = t + 5t + ≠ Dx = = t ( t + 5t + 3) t − 2t + 3t − 21 2t + t 2t − = ( t − 3) ( t + 5t + 3) nên Dy = t − 3t − 21 Dx   x = D = t  x = xy + ⇔ ⇔ ( x; y ) = {( 5; ) , (1; −2 )}   y = Dy = t −  y + = xy +  D Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = {( 5; ) , (1; −2 )} Cách Lấy pt (1) − pt ( ) ta được: x − y − = ( xy + ) − x xy + = xy + Lấy pt (1) − pt ( ) ta được: ( x − y) xy + = y − x + 15 ⇔ ( x − y − 3) ( ) ( ( ) xy + − x ) xy + + = x − xy + Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Từ suy ra:  x − xy + = xy + xy + − x xy + + = x − xy + ⇔  3 + xy + xy + + =  Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = {( 5; ) , (1; −2 )} ( )( ) ( ) ( ( ) ( x − y + ) x + y + x = y ( − x )  Ví dụ Giải hệ phương trình   x − + x + y + + x3 + x − = y  ) ( x, y ∈ ℝ ) PHÂN TÍCH CASIO Điều kiện: x ≥ 1; x + y + ≥ Phương trình hệ tương đương với: ( x − y + ) x + y + x − xy + x = y ( − x ) Đặt t = x + y , giả sử tồn số thực α cho α ( x + y ) + ( x − y + ) x + y − (α − 1) x − 2α y + xy + x − y = ⇔ α t + ( x − y + ) t − (α − 1) x − 2α y + xy + x − y = ( ∗) Coi phương trình ( ∗) phương trình bậc hai ẩn t với tham số x, y Ta cần tìm hệ số α cho đenta phương trình ( ∗) số phương, hay nói cách khác biệt thức: ∆ = ( x − y + ) − 4α  − (α − 1) x − 2α y + xy + x − y  Là đẳng thức biểu diễn theo hai biến x, y Để làm điều ta gán giá trị sau: α2 20096  10199  , ∆ =  + 40000 α α − + − α ( )  100 1250 25  100  Đặt x = 100; y = α 20096  10199  ∆=  − α số hữu tỷ dương  + 40000α (α − 1) + 1250 25  100  Và ta sử dụng công cụ TABLE ( Mode ) để tìm α , là: 2 Khi tìm giá trị α cho X2 20096  10199  Xét công cụ Mode cho hàm số F ( X ) =  + 40000 X X − + − X ( )  1250 25  100  Với giá trị START = −9 , END = STEP = F(X ) X Khi ta tìm X F ( X ) nhận giá trị hữu tỷ đồng thời X ≠ 902 −4 Dựa vào bảng bên, ta thấy với X = thì: −3 702 502 −2 F ( X ) = 97.97 = 100 − − = x − 3y − 302 − 100 101.99 Do lựa chọn α = ∆ = x − y − 97.97 Khi phương trình có hai nghiệm là: 297.98  −x + y − + x − 3y − 497.98 = −y −  x2 + y2 + y + = t =  697.98 ⇔  2 − x + y − − x + y +  t = 897.98 = −x + y  x + 2y + x − 2y =  ) ( Từ phương trình thứ hai hệ ta có y = x − 1 + x + x + + x + y + ≥ ⇒ y ≥ Phương trình hệ tương đương với: x + y + ( x − y + ) x + y + xy + x − y − y = Có ∆ = ( x − y + ) − ( xy + x − y − y ) = ( x − y − ) , suy ra: x2 + y 2 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC −x + y − + x − 3y −  2 = −y −  x2 + y + y + =  x + 2y =  ⇔   x2 + y + x − y =  x2 + y = − x + y − − x + y + = − x + y   x + y + y + = vô nghiệm y ≥ TH1 Với 2 y ≥ x 2 y ≥ x x2 + y + x − y = ⇔ x2 + y2 = y − x ⇔  ⇔  2  y = 2x  x + y = y − xy + x Thế y = x xuống phương trình thứ hai hệ ta được: TH2 Với x − + 3x + + x3 + x − = x ⇔ x − + ( x − 1) ⇔ x −1 + 3x + + + ( ) ) ( 3x + − + ( x − 1) ( x − x + ) x3 + x2 − − x + = x − ( x2 − x + )  =0 x3 + x − + x −   x −1 = ⇔ x − 1 + + 3x + +  x3 + x − + x − ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y = x = ⇒ ( x; y ) = (1; ) nghiệm hệ phương trình  x − 2y − y − − x +1 =  y +1 2x + Ví dụ Giải hệ phương trình   3 ( x + )( x − y + ) = ( y + ) − y ( y − x ) − Lời giải Điều kiện: x ≥ −1; y ≠ −1 TƯ DUY CASIO Xét phương trình thứ hai hệ, ta có ( x + )( x − y + ) = • ( y + 2) ( x, y ∈ ℝ ) − 3y (2 y − x) − Với y = ta phương trình: ( x + )( x + 3) = 3 x + 14 , từ dùng máy tính CASIO với chức SHIFT SOLVE ta x = −2 • Với y = 100 ta phương trình: ( x + )( x − 96 ) = 1023 − 300 ( 200 − x ) − , từ dùng máy tính CASIO với chức SHIFT SOLVE ta x = 97 Với hai cặp nghiệm tìm ta có nhân tử y = x + đồng thời xét vế trái phương trình hai hệ có xuất x + nên ta chuyển ( x + ) − y − = nhân tử cần tìm Mặt khác ( y + 2) − 3y (2 y − x) − = y + 3xy + 12 y + = 3 y3 + y ( x + ) + Nên đặt t = x + phương trình hai hệ trở thành: t − ty = Với nhân tử t = y + thay vào y + 3ty + ta có 3 y + 3ty + = ( ∗) y + 3ty + ( y + 1) ⇒ y + 3ty + = y + = t Do lượng liên hợp với bậc ba t Vậy nên ta được: ( ∗) ⇔ ( t ( ) − ty − t ) + t − y + 3ty + = ⇔ t ( t − y − 1) + 3 t − y − 3ty − t + t y + 3ty + + ( y + 3ty + ) =0 Chú ý a + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) = Do t + ( − y ) + ( −1) − 3ty = 3 2 ( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  2 2 ( t − y − 1) ( t + y ) + ( y − 1) + (1 + t )  , hay nói cách khác: Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC ( t − y − 1) ( t + y ) 2 + ( y − 1) + (1 + t )   =0 ( ∗) ⇔ 2t ( t − y − 1) + t + t y + 3ty + + y + 3ty + ( )   2 t + y ) + ( y − 1) + (1 + t )   ( ⇔ ( t − y − 1)  2t + = ⇔ t = y +1 2 3 3 t + t y + 3ty + + y + 3ty +     Với t = y + ⇔ x + = y + ⇔ y = x + vào phương trình hệ, ta có: ) ( x − 2x + x − x + = ⇔ ( 2x + 4) x − x + = ( x + 4) x − x + x+4 2x + ( ) ( ) ⇔ x2 + x − ( x + 4) x + = x2 + x − ( x + 4) x + ⇔ x2 + ( x + 4) x + = ( x + ) x + ≥ ⇒ x ≥ ⇔ x2 + x + + ( x + 4) x + = x + + ( x + 4) x + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) x + + x + = ( x + 1) x + + x + + 3 x + (i ) Xét hàm số f ( t ) = t + t + 3t với t ≥ , có f ' ( t ) = 4t + 3t + > 0; ∀t ≥ Nên suy f ( t ) hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) , thu được: (i ) ⇔ f ( ) x +1 = f (  x = ⇒ y = x ≥ −  2x + ⇔ x + = 2x + ⇔  ⇔ x = 1+ ⇒ y = + ( x + 1)3 = ( x + 1)  2  )   + +   Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y ) = ( 0;3) ,  ;       x − y +1 + x2 + = ( xy − 1) 2x + Ví dụ Giải hệ phương trình  4 y − 10 = ( y + x − ) x − ( y + ) x +  ( x ∈ ℝ) PHÂN TÍCH CASIO Ta thấy phương trình hai hệ phức tạp chưa khai thác nhiều, ta chuyển hướng lên phương trình Cái đích việc giải hệ tìm mối liên hệ x , y sau vào phương trình lại tìm nghiệm Phương trình có chứa thức nên để đơn giản ta đặt x−y +1 , mục đích ta muốn t = k = const để từ biểu diễn x , y Với phép đặt ta 2x + dễ dàng rút y theo x , t sau: t= t= x−y +1 x−y +1 ⇔ t2 = ⇔ y = x + − (2 x + 1)t 2x + 2x + Khi pt (1) ⇔ ( x  x + − (2 x + 1)t  − 1)t + x + = ⇔ xt ( x + 1) − (2 x + x)t − t + x + = (∗) Bây ta đưa phương trình (∗) dạng phương trình bậc hai ẩn x để xét đenta nhóm nhân tử chung, ta có: (∗) ⇔ x2 t + xt − (2 x2 + x)t − t + x2 + = ⇔ x2 (t + − 2t ) + x(t − t ) − t + = ⇔ x (2t − t − 1) + x (t − t) + t − = Và thấy nhân tử t − = 2t − t − = (t − 1)(2t + t + 1) với t − t = (t − 1)(t + t ) , (∗) ⇔ x2 (t − 1)(2t + t + 1) + x(t − 1)(t + t) + t − = ⇔ (t − 1)  x2 (2t + t + 1) + x(t + t) + 1 = Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 −1 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Với x , t ≥ suy x (2t + t + 1) + x (t + t) + > , nên (∗) ⇔ t = Hay nói cách khác x − y + = x + ⇔ x + y = Tuy nhiên, với công cụ máy móc phát triển, ta xử lý phương trình hệ CASIO đơn giản sau: Xét phương trình ( xy − 1) x−y +1 + x2 + = 2x + x − 99 + x2 + = 2x + Dùng SHIFT SOLVE ta nghiệm x = −100 ⇒ x + y = • Gán y = 100 ta (100 x − 1) • x − 499 + x2 + = 2x + Dùng SHIFT SOLVE ta nghiệm x = −500 ⇒ x + y = Gán y = 500 ta (500 x − 1) x−y +1 = nên ta lựa chọn phương pháp liên hợp để tìm nhân tử chung, là: 2x +  x−y +1   x−y +1 x + − (1 − xy) = ⇔ x + xy − (1 − xy) − 1 =  x + 2x +    x ≥   − xy  = ⇔ x + y =  ⇔ ( x + y)  x +  1 − xy ≥ x + x − y + + x +    Với x + y = ⇒ ( ) Với x + y = vào phương trình thứ hai hệ, ta được: x − 10 = ( x + x − 5) x − (4 − x) x + Tiếp tục, phương trình chứa hai thức, có lẽ hướng tối ưu liên hợp, để tìm nhân tử chung ta cần tìm nghiệm toán trước Vẫn máy tính CASIO ( thực chất không dùng tới máy ) ta tìm phương trình có hai nghiệm x = x = Mặt khác, x chứa biểu thức x + x − = ( x − 1)( x + 5) nên ta liên hợp x với , tương tự phải liên hợp x + với , ta được: x − 10 = ( x + x − 5) x − (4 − x) x + ( ⇔ ( x − x + 4) = ( x − 1)( x + 5) ⇔ ( x − x + 4) = (x + 5)( x ) ( x − + ( x − 4) − x + 4) x +2 + x+3−2 ) x − 5x + x+3 +2    x − x + = ⇔ ( x − 1)( x − 4) = ⇔  x =   x = ⇔  2 = x + + (i )  x+2 x+3 +2  Với điều kiện x ≥ ta thấy (i) ( ⇔ x −1 ) x +2 + x+3 +2 = vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm ( x; y) = {(1; −1) ,(4; −4)} Ví dụ Các ví dụ phân tích nhân tử hai ẩn xuất toán HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu Phương trình y x − y = x + Lời giải Dùng chức SHIFT CALC ta sau: Y −2 −1 − 2 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC X −1 Can’t − −1 13 10  0 = − a + b + c a =  2   = − a + b + c ⇔ b = −1 suy nhân tử 3 c =  13 6 = − a − b + c  10 Khi y x − y = x + ⇔ y 2 2 −1 Can’t x − y = ax + by + c = x − y + ) ( x2 − y − x + y − + y ( x − y + 2) = x + ( x − y − x + y − 2) + xy − x − + y − y = ⇔ y ( x − y − x + y − ) + ( x − y − x + y − )( x ⇔ ( x − y − x + y − )( x − y + x + y + ) = x − y = ax + by + c nên ta có hệ phương trình: Do ta dự đoán quan hệ ⇔y − 2 2 Câu Giải phương trình 2 ) − y2 + x + = 8x − y + + x + y − = x + Lời giải Xét phương trình với x = 100 ta 805 − y + y + 99 = 32 , dùng SHIFT CALC ta thu 805 − y + y + 99 − 32 = , tiếp tục với SHIFT CALC với y + 95 nghiệm y = −95 Xét phương trình y = 100 ta nghiệm y = 801  y = −95 = − 100 = − x Vậy phương trình có hai nghiệm   y = 801 = + 800 = + x  x − y + = x Thay y = − x vào phương trình cho, ta thấy  nên ta chọn giải pháp liên hợp  x + y − = sau: 5− x− y x + y −5 8x − y + − x + x + y − − = ⇔ + =0 8x − y + + x x + y −1 + ( ) ( )   1 ⇔ ( x + y − 5)  −  = ⇔ ( x + y − 5) x − y + + x − x + y − − =  x + y −1 + x − y + + x   y = 5− x ⇔ ( ∗)  x − y + + x − x + y − − =  x − y + = Tiếp tục với y = x + , thay vào phương trình ( ∗) ta thấy  , ta tiếp tục liên x = x + y −  hợp biểu thức sau: 8x − y + 8x − y + 8x − y + − + x − x + y − = ⇔ + =0 8x − y + + x + x + y − ( ( ) ( )   1 +  = ⇔ y = x +  8x − y + + x + x + y −  1 + > 8x − y + + x + x + y − ( x − y + 1)  Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 ) Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Câu Giải phương trình ( x + y − 3) x + y = y − x − y − xy Lời giải Nhập phương trình ( x + y − 3) x + y = y − x − y − xy vào máy tính, sau thực thao tác sau: Máy tính tiếp Solve for X ta nhập x = • SHIFT CALC, nhập y = 100 • Màn hình máy tính lên nghiệm x = 0.98 • x + y = 0.98 + 0.012 = 0.99 = − y Ta thấy với x = 0.98; y = 0.01 nên suy x + y + y − Tiếp tục tìm nhân tử lại sau: Do phương trình có nhân tử ( x + y − 3) = x + y − y + x + y + xy • Nhập máy tính phép chia f ( x; y ) • Nhập x = y = ta f (1;1) = + = + x + y = x + y + x + y • Ta ( x + y − 3) x + y − y + x + y + xy x + y + y −1 Khi phương trình cho ⇔ ( x + y2 + y − = x + y2 + x + y )( ) x + y2 + y − x + y2 + x + y =  y x − + x − y = x + y Câu Giải hệ phương trình  tập số thực ( x + y − ) x − y = xy − y Lời giải Điều kiện: x ≥ 1; x ≥ y Phương trình thứ hai hệ ( x + y − ) x − y = xy − y , ta giải theo hai hướng sau: Cách Đặt t = x − y ⇔ x = t + y nên phương trình hai hệ trở thành: (t + y + y − ) t = y ( t + y − 1) ⇔ t − yt + ( y + y − ) t − y + y = • • Máy tính tiếp Solve for X ta nhập t = 100 Màn hình máy tính lên nghiệm t = −1.98 Ta thấy với t = −1.98; y = 0.01 nên suy t − y + = • Thực phép chia • ( ∗) SHIFT CALC, nhập y = t − yt + ( y + y − ) t − y + y t − 2y + Do ( ∗) ⇔ ( t − y + ) ( t − 2t + y + y ) = ⇔ ( = t − 2t + y + y )( ) x − y2 − y + x + y − x − y2 = Cách Ẩn phụ không hoàn toàn Xét phương trình hai hệ, ta có α ( x − y ) − ( x + y − ) x − y + xy − y − α ( x − y ) = Có ∆ x− y 2 = ( x + y − ) − 4α  xy − y − α ( x − y )  Và với mong muốn ∆ x− y số , ta ∆ = 9225.6025 − 4α (1.98 − 99.9999α ) x− y 100 Đặt F ( X ) = 9225.6025 − X (1.98 − 99.9999 X ) khảo sát TABLE với giá trị: phương nên ta gán giá trị x = 100; y = • • • Start = −10 End = Step = 10 Và thấy giá trị X = F ( X ) = 103.97 = x − y + ⇒ ∆ = ( x − y + 4) x− y2 Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC  ( x + y − ) + ∆ x− y x + y − + x − y + x + y  x − y2 = = =  2α Do đó, ta có  ( x + y − ) − ∆ x− y2 x + y − − x + y −  = = 2y −  x− y = 2α   y ≥ TH1 Với x − y = y − ⇔   x − y = ( y − 1) y + x − (1 + x − y ) −1 + Ta có y x − + x − y ≤ + ⇒ 2x + y ≤ 2x − y2 + ⇔ y ≤  2 2 2 x + y + = x + xy + y 2 xy = x + Với xy = x + vào phương trình thứ hai hệ, ta được: ( x + 1) x + + x + ( x + 1) − x = x + + x + ⇔ ( x + 1) x + + x + = x + x + ( ) ( ) ⇔ ( x + 1) x + − x + + x + − x + = ⇔ ( x + 1) ( x − x − 1) + x2 − x − =0 x + + 6x + x + + 8x + −1  x +1   x ≥ ⇔ ( x − x − 1)  + ⇔ x = 2± =0⇔  x + + 8x + x + + x +   x2 − x − =  Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Vậy hệ phương trình cho có nghiệm kể  x − y + + x + x − = y − Ví dụ Giải hệ phương trình   x ( y − 1) + x = ( y + 1) y − A Phân tích CASIO Cho y = 100 (1) thành x − 99 + x + x − = 1002 − Nhập vào máy tính X − 99 + X + X − = 1002 − Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 99 = y − ⇒ x − y + = ⇒ (1) có nhân tử x − y + B Lời giải  x + x ≥ ĐK:   y ≥ (*) Khi (1) ⇔ x − y + + x + x − − y − = ⇒ x − y +1+ x2 + x − − ( y − ) ( x + 1) ⇔ x − y +1+ ⇔ x − y +1+ =0 x2 + 2x −1 + y2 − 2 − y2 x2 + x − + y − ( x + − y )( x + + y ) x2 + x − + y − =0 =0   x + y +1  ⇔ ( x − y + 1) 1 + 2   x + x − + y −   (3) Ta có (2) ⇔ x ( y − 1) + 2 = ( y + 1) y − ≥ ⇒ x ≥   x + y +1 Kết hợp với (*) ⇒ + > nên (3) ⇔ x − y + = ⇔ y = x + x + 2x −1 + y2 − Thế vào (2) ta x ( x + − 1) + x = ( ( x + 1) + 1) ( x + 1) − ⇔ x3 + x = ( x + 3) x + = ( x + 1) x + + 2 x + ⇔ x3 + x = ( ) 2x +1 + 2x +1 ⇔ f ( x) = f Xét hàm số f ( t ) = t + t với t ∈ ℝ có f ' ( t ) = 3t + > ( 2x + ) (4) ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ nên (4) ⇔ x = x + ( x ≥ ⇔ ⇔ x = + ⇒ y = + thỏa mãn (*) x = 2x +1 Đ/s: ( x; y ) = + 2; + ) C Nhận xét Ta biến đổi (1) ⇔ x + + ( x + 1) − = y + y − ⇔ f ( x + 1) = f ( y ) Sau xét hàm số f ( t ) = t + t − với t ∈ ℝ có f ' ( t ) = + (5) t t2 − Phương trình f ' ( t ) = vô nghiệm ⇒ f ( t ) đơn điệu ℝ nên (5) ⇔ x + = y Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Từ vào (2) giải  x − y + + x + x + = Ví dụ Giải hệ phương trình  2 x − y + x − x + = A Phân tích CASIO y2 − y +1 y2 − 3y + Cho y = 100 (1) thành x − 99 + x + x + = 1002 − 99 Nhập vào máy tính X − 99 + X + X + − 1002 − 99 = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 99 = y − ⇒ x − y + = ⇒ (1) có nhân tử x − y + ) ( Nhập vào máy tính X − 99 + X + X + − 1002 − 99 : ( X − 99 ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính thông báo hết nghiệm Dựa phân tích đó, ta có lời giải toán sau: B Lời giải ĐK: x, y ∈ ℝ (*) Quan sát phương (1) ta biến đổi bên có biến x bên có biến y Điều gợi mở cho ta nghĩ đến phương pháp hàm số, xét hàm đặc trưng Từ (1) biết x − y + = hay y = x + Đặt x = u , y = v + ⇒ (1) thành u − ( v + 1) + + u + u + = ( v + 1) − ( v + 1) + ⇔ u + u + u + = v + v2 + v + ⇔ f (u ) = f ( v ) (3) Xét hàm số f ( t ) = t + t + t + với t ∈ ℝ có f '(t ) = + Ta có A = ( t + t + 1) + 2t + = 2t + t2 + t +1 ( 2t + 1) = ( t + t + 1) + 2t + t2 + t +1 ( 2t + 1) + + 2t + > + 2t + ⇒ A > 2t + + 2t + ≥ − ( 2t + 1) + 2t + = ⇒ f ' ( t ) > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ nên (3) ⇔ u = v ⇒ x = y − ⇔ y = x + Thế vào (2) ta x − ( x + 1) + x − x + = ( x + 1) − ( x + 1) + ⇔ x − = x − x + − x − x + Đặt a = x − x + ≥ 0, b = x − x + ≥ ⇒ a − b = x − ⇒ a − b = a − b ⇔ ( a − b )( a + b − 1) = 1  Ta có a =  x −  + > 0, b = 2  ( x − 1) (3) + ≥ ⇒ a + b > ⇒ a + b − > Do (3) ⇔ a = b ⇒ x − x + = x − x + ⇒ x − x + = x − x + ⇔ x = ⇒ y = Thử lại ( x; y ) = (1; ) thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = (1; ) ( x − 1) x − y + + ( x − y ) x = x − y − Ví dụ Giải hệ phương trình   x − x − y − + y x + + xy − x + = Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC A Phân tích CASIO Cho y = 100 (1) thành ( x − 1) x − 99 + ( x − 100 ) x = x − 101 Nhập vào máy tính 101 − X + ( X − 1) X − 99 + ( X − 100 ) X = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 100 = y ⇒ (1) có nhân tử x − y ( ) Nhập vào máy tính 101 − X + ( X − 1) X − 99 + ( X − 100 ) X : ( X − 100 ) = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính Cancel thông báo hết nghiệm Dựa phân tích đó, ta có lời giải toán sau: B Lời giải x ≥  ĐK:  x − y + ≥  xy − x + ≥  Khi (1) ⇔ ( x − 1) • (*) ( ) x − y + − + ( x − 1) + ( x − y ) x + y − x + = ⇔ ( x − 1)( x − y + − 1) + ⇔ ( x − 1)( x − y ) + ⇔ ( x − 1)( x − y ) + ( x − y )( x − 1) = x − y +1 +1 1+ x − y +1 ( x − y)( 1+ x − y +1 x + y−x=0 ) x −1 = x +1  x = 1  ⇔ ( x − 1)( x − y )  + =0⇔     x = y  1+ x − y +1 1+ x  TH1 x = vào (2) ta − − y − 22 + y + y − + = ⇔ y+ y −2 = ⇔ • ( x − y) ( )( y −1 ) y + = ⇔ y = thỏa mãn (*) TH2 x = y vào (2) ta x − x − + x x + + x − x + = ⇔x ) ( x+3 −2 + x ( x + − 4) ) x − x + − + ( x − 1) = x2 − x + −1 + ( x − 1)( x + 1) = x+3+2 x2 − x + +1 x ( x − 1) x ( x − 1) ⇔ + + ( x − 1)( x + 1) = + x + + x2 − x +   x x ⇔ ( x − 1)  + + x + 1 =  + x + 1+ x − x +1  ⇔ x = ( x ≥ ) ⇒ y = thỏa mãn (*) ⇔ Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ( + C Nhận xét Tại bấm máy CASIO ta thu x = y lời giải lại có thêm x = Câu trả lời đơn giản Khi ta gán y = 100 điều kiện x x ≥ 99 mà bấm máy tìm nghiệm không X = Việc tìm nhân tử x − nảy sinh lời giải Trong số toán khác, ta gán y = 100 tìm nhân tử x − a ( a số) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC 2 x + x + y + = ( x + 1) x + y +  Ví dụ Giải hệ phương trình  x + y − x + = x + + 2 y +1  y −1  A Phân tích CASIO Cho y = 100 (1) thành x + x + 201 = ( x + 1) x + 201 Nhập vào máy tính X + X + 201 − ( X + 1) X + 201 = Bấm SHIFT SLOVE = đợi lúc máy tính X = 100 = y  x + y + − ( x + 1)  ⇒ x − y = ⇒ (1) có nhân tử x − y ⇒ ta nhóm  x + y + − ( y + 1)  Nếu nhóm x + y + − ( y + 1) ta làm sau: Phương trình (1) ⇔ ( x + 1) ( ⇒ ( x + 1) ⇒ ⇒ ) x + y + − y − = x + x + y + − ( x + 1)( y + 1) x + y + − ( y + 1) x + y +1 + y +1 ( x + 1) ( x − y ) y + + x2 + y + = x − xy + y − x = 2x ( x − y ) − ( x − y ) ( x + 1)( x − y )( x + y ) = y + + x2 + y +1 ( x − y )( x − 1) x = y  ⇒  ( x + 1)( x + y ) = 2x −1  y + + x2 + y +1  (3) Từ (3) ⇒ ( x + 1)( x + y ) = ( x − 1)( y + 1) + ( x − 1) x + y + ⇒ x + xy + x + y = xy + x − y − + ( x − 1) x + y + ⇒ x − x + y + = ( x − 1) x + y + Phương trình có dạng (1) ta kết hợp với (1) Ta có ( x + x + y + 1) − ( x − x + y + 1) = ( x + 1) − ( x − 1)  x + y + 1 ⇒ x = x2 + y + ⇒ x2 = x2 + y + ⇒ y = − Cách nhóm B x + y + − ( x + 1) thể lời giải sau Lời giải x + ≥  ĐK: 2 y + ≥ 0, y ≠  x + y +1 ≥ Khi (1) ⇔ ( x + 1) (*) ( ) x + y + − x − = x + x + y + − ( x + 1)( x + 1) ⇒ ( x + 1) x + y + − ( x + 1) x2 + y + + x + = y − 2x ⇒ ( x + 1)( y − x ) x2 + y + + x + = y − 2x Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC Tham gia nhóm Đề thi thử Hocmai,Moon,Uschool để nhận giảng miễn phí trao đổi kiến thức Groups : http://facebook.com/groups/dethithu Fanpage : https://www.facebook.com/dethithu20162017/ Website: Tailieubaigiang.com 2 y − x = x = y ⇒ ⇒  x + y + + x + = x +  x + y + = x x = y x = y ⇒ ⇒ y = − x + y + = x   2 x2 + − x + 1  • TH1 y = − vào (2) ta = x + ⇔  x −  + + x + = 2  − −1 Phương trình vô nghiệm 2x2 − x + • TH2 x = y vào (2) ta = x + + 2x +1 x −1 ⇔ x − x + = ( x − 1) x + + ( x − 1) x + ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) x + + ( x + ) + ( x − 1) − ( x − 1) x + + ( x + 1) = ( ⇔ ( x −1 − ) + ( x −1− x + ) = ( x −1 − ⇔ x −1 − x + 2 ) =0 2x +1) = 2x +1 2  x − = x + ( x − 1) = x + ⇔ ⇒ x − = x +  ( x − 1) = x +   x = −1   x − x − =  x = ⇒ ⇒ ⇒ x = ⇒ y =  x − x =  x =  x =  Thử lại x = y = thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = ( 4; ) C Nhận xét Ví dụ này, tác giả bố trí nhân tử y + , việc gán y = 100 tìm Việc tìm nhân tử y + nảy sinh lời giải Tài liệu copy Lễ Tân Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 [...]... toán thường gặp, đó là:  f ( x ) h ( x ) ≥ 0  f ( x ) ≥ 0 o f ( x) = g ( x) ⇔  2 ; f ( x) = h ( x) g ( x) ⇔  2 2  f ( x ) = g ( x )  f ( x ) = h ( x ) g ( x )  f ( x ) ≥ 0   o f ( x ) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥ 0 ;   f ( x ) = g ( x ) f ( x) q ( x) = h ( x)  f ( x ) h ( x ) ≥ 0  g ( x ) ⇔ q ( x ) ≥ 0 ( g ( x ) ≥ 0 )  2 2  f ( x ) q ( x ) = h ( x ) g ( x ) Chú ý: Với tiêu đề NÂNG... cụ đắc lực CASIO để đoán nghiệm vô tỷ cũng như tìm nhân tử chung chứa nghiệm lẻ của bài toán - Các dạng biểu thức liên hợp: f ( x) − g ( x) • f ( x) − g ( x) = f ( x) + g ( x) • f ( x) − g ( x) = • 3 • - f 2 ( x) − g ( x) f ( x) + g ( x) f ( x) ± 3 g ( x) = f ( x) ± 3 g ( x) = f ( x) ± g ( x) ( x) ∓ 3 f ( x) 3 g ( x) + 3 g 2 ( x) f 3 ( x) − g ( x) f 2 ( x) ∓ f ( x) 3 g ( x) + 3 g 2 ( x) 3 f 2 Dựa... + ( 3 x + 6 1) x − 3 − 3 3 x − 1 − ( 3 x + 61 )( x − 3) − 183 = 0 ( ) ( ) ⇔ 6 x 2 − 54 x + 2 x − 6 x + ( 3 x + 6 1) x − 3 − 3 3 x − 1 = 0 ⇔ 6x ( x − 9) + 2 x ⇔ 6x ( x − 9) + ⇔ 6x ( x − 9) + ( ) ( ) x − 3 + ( 3 x + 6 1) x − 3 − 3 3 x − 1 = 0 2 x ( x − 9) x +3 2 x ( x − 9) x +3 + + ( 3x + 6 1)  ( x − 3) ( x − 3) 2 3 − 9 ( x − 1)   + 3 ( x − 3) x − 1 + 9 3 ( 3 x −1 ) =0 2 ( 3x + 6 1) x 2 ( x − 9 ) 2 2 (. .. = 1 như sau: ( x + 5 )( x − 1) = x + 2 x + 3 − 2 x2 + 4 x − 5 = ( x + 2) x + 3 − 2 ⇔ ( ) 2 x +2 x2 + 2  x +3 − 2 = 0 ⇔ x =1 ( x + 5) x + 3 + 2 x + 3 − 2  ⇔ = x + 2 x + 3 − 2 ⇔ ( ) x2 + 2 ( x + 5 ) x + 3 + 2 = ( x 2 + 2 ) ( x + 2 )  ( ( • ) )( ) ( ) ( ) ) ( ) Vấn đề còn lại là giải quyết phương trình ( ) , và dễ thấy ta sẽ biến đổi ( ) về dạng f ( x) = h ( x) g ( x) như sau: ( x + 5 ) x + 3 = x3...  Lời giải B 7 (* ) 4 Khi đó (1 ) ⇔ 2 x 2 − 9 x + 7 − ( x − 3) 4 x − 7 − ( x − 4 ) 3 x − 5 = 0 ĐK: x ≥ ( ) ( ) ⇔ ( x − 3) x − 1 − 4 x − 7 + ( x − 4 ) x − 1 − 3 x − 5 − ( x 2 − 4 x + 3) − ( x 2 − 5 x + 4 ) + 2 x 2 − 9 x + 7 = 0 ⇔ ( x − 3) ( x − 1) − ( 4 x − 7 ) + 2 ( x − 1) − ( 3x − 5) = 0 2 ( x − 4) x −1 + 4x − 7 x − 1 + 3x − 5 2 2 ( x − 3) ( x − 6 x + 8 ) ( x − 4 ) ( x − 5 x + 6 ) ⇔ + =0 x −1 + 4x... 5 3 (* ) Khi đó (1 ) ⇔ 2 x 2 + x − 3 − ( x + 1) 3x − 5 − ( x − 1) 3 10 x 2 + 11x + 2 = 0 ( ) ) ( ⇔ ( x + 1) x − 1 − 3 x − 5 + ( x − 1) x + 2 − 3 10 x 2 + 11x + 2 − ( x 2 − 1) − ( x 2 + x − 2 ) + 2 x 2 + x − 3 = 0 2 5 2 Đặt T = ( x + 2 ) + ( x + 2 ) 3 10 x 2 + 11x + 2 + 3 (1 0 x 2 + 11x + 2 ) > 0, ∀x ≥ 3 3 2 2 ( x − 1) − ( 3 x − 5) + x − 1 ( x + 2 ) − (1 0 x + 11x + 2 ) = 0 Khi đó ta có ( x + 1) ( ) T... (5 ) 1 2 ⇒ x 2 − 2 x + 3 + 5 x − 1 = ( x − 1) + 2 + 5 x − 1 > 0 5 2 x 3 − 2 x 2 − x + 2 ( x − 2 x + 3) − ( 5 x − 1) Do đó (5 ) ⇔ + 2 =0 T x − 2x + 3 + 5x −1 2 (6 ) Ta có ( x 2 − 2 x + 3) − ( 5 x − 1) = x 4 − 4 x3 + 10 x 2 − 17 x + 10 2 = x3 ( x − 1) − 3x 2 ( x − 1) + 7 x ( x − 1) − 10 ( x − 1) = ( x − 1) ( x 3 − 3 x 2 + 7 x − 10 ) = ( x − 1 )( x − 2 ) ( x 2 − x + 5 ) Và x3 − 2 x 2 − x + 2 = ( x − 1) (. .. 2 ) = ( x − 1 )( x − 2 )( x + 1) Do đó (6 ) 2 x − 1 )( x − 2 )( x + 1) ( x − 1 )( x − 2 ) ( x − x + 5) ( ⇔ + =0 x2 − 2 x + 3 + 5x − 1  x +1  x2 − x + 5 ⇔ ( x − 1 )( x − 2 )  + 2 =0 x − 2x + 3 + 5x −1   T T (7 ) 2 1  19  x−  + 2  x +1 x − x+5 x +1 1 2 4  Với x ≥ và T > 0 ⇒ + 2 = + > 0 2 5 T T x − 2x + 3 + 5x −1 ( x − 1) + 2 + 5 x − 1 x =1 Khi đó (7 ) ⇔ ( x − 1 )( x − 2 ) = 0 ⇔  thỏa mãn (* ) x... 10 = 0 )( )( )  ( 2 x − 1) ( x − 6 x + 10 ) = ( 3 x − 14 x − 10 ) x = 4 + 6  (  Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm kể trên Ví dụ 4 Giải phương trình 3x 3 − 6 x 2 + 5 = 6 x ( x − 2 ) x 2 − x − 1 ( x ∈ )  f ( x ) h ( x ) ≥ 0 nên PHÂN TÍCH CASIO Phương trình đã cho có dạng f ( x ) = h ( x ) g ( x ) ⇔  2 2  f ( x ) = h ( x ) g ( x ) ta sẽ chọn giải pháp nâng lũy thừa hai vế và ta được ( 3 x... ≥ 2 3 (* ) Khi đó (1 ) ⇔ x 2 − 2 x + 1 − ( x − 3) 3x − 2 − 3 9 x 2 − 8 x + 7 = 0 ) ) ( ( ⇔ ( x − 3) x − 3 x − 2 + x + 1 − 3 9 x 2 − 8 x + 7 − x ( x − 3) − x − 1 + x 2 − 2 x + 1 = 0 Đặt T = ( x + 1) + ( x + 1) 3 9 x 2 − 8 x + 7 + 3 ( 9 x 2 − 8 x + 7 ) 2 (2 ) 2 x +1  3 2 2  =  3 9 x2 − 8x + 7 +  + ( x + 1) > 0, ∀x ≥ 2  4 3  2 Do đó (2 ) ⇔ ( x − 3) x 2 − ( 3x − 2 ) ( x + 1) 3 − (9 x2 − 8x + 7 ) + =0