Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán BÍ KÍP CHINH PHỤC BPT VÔ TỶ I Phương pháp nâng lũy thừa Nội dung: - Bình phương vế bất phương trình sau thường đưa dạng:  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) - Trước bình phương cần lưu ý sử dụng tập xác định đánh giá vế BPT bình phương vế dương x Bài 1: Giải bất phương trình   2x  x x  x    1  x   2  x   x  Điều kiện      x  2 x    x     2  x  x   Với 2  x  , bpt cho Với x  , bpt cho trở thành x   2( x  2)( x  2)  x x  4( x  2)  2( x  4)  2( x  2) ( x  2)  x  x3  x  x  16  2( x  x  x  8)   2( x3  x  x  8)  2( x  x  x  8)  16   ( 2( x3  x  x  8)  4)   2( x3  x  x  8)  x    x3  x  x    x    x   x  1  Vậy bpt có tập nghiệm S  [  2, 0) 1+ 5 II Phương pháp đặt ẩn phụ Nội dung: Phương pháp đặt ẩn phụ chia thành dạng sau: - Đặt ẩn phụ trực tiếp: t= biểu thức chứa - Đặt ẩn phụ sau chia vế bpt cho biểu thức dương - Đặt ẩn phụ đưa bpt tích ẩn - Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: bpt có ẩn t, ẩn cũ x, coi bpt bậc với t, x tham số, tính  giải Yêu cầu bắt buộc phương pháp  phải bình phương biểu thức Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán Bài 1: Giải bất phương trình x2 2 6( x  x  4)  2( x  2)  Điều kiện : x  2 Ta có 2( x  x  4) 6( x  x  4)  2( x  2)  6( x  x  4)  2( x  2)  0, x  2 Do đó, bất phương trình tương đương với 2( x   2)  6( x  x  4)  2( x  2)  x   x  12( x  2)  x (1) Nhận xét x=-2 không nghiệm bất phương trình Khi x>-2, chia vế bất phương trình (1) cho x   ta  Đặt t  x x  12  6( )2 x2 x2 (2) x bất phương trình (2) trở thành x2 2  2t  t  1  2t  12  6t      t  2 2 4  8t  4t  12  6t 2(t  2)  x  x      x   x2 x  4x   Vậy bpt có nghiệm x   (Chú ý: Bài có nhiều cách giải khác dùng véc tơ, dùng bất đẳng thức, dùng phép biến đổi tương đương…) Bài 2: Giải bất phương trình   tập số thực x2  3x  x2   1 Đặt t  x2  , bpt trở thành Với điều kiện t  , bpt tương đương   t 3 3t  t 1 1 ( t  1)(  )  (1) t 3 3t  Theo BĐT Cô-si ta có: Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán t t t 1 t t 1   (  ) t 1 t  t 1 t  t 3 1 1   (  ) t 3 2 t 3 t 3 t 2t 1 2t   (  ) 3t  2 3t  3t  1 t 1 1 t 1   (  ) t  3t  t  3t  3t   VT   t  Thay ẩn x x2   x  (;  2]  [ 2; ) Bài 3: Giải bất phương trình x2 x3  24 x  x2  24 x  12 (1) Xét phương trình x2 x3  24 x  x2  24 x  12 (2) Điều kiện x3  24 x   x  Thấy x=0 nghiệm (2) Với x>0, ta đặt y  x  12 y>0 x2  12  xy 2x (3) Từ (2) (3) ta có: x2 x.2 xy  xy  24 x  12  y  x y (4) (do x>0, y>0) Từ (3) (4) suy x2  y  xy  x2 y  ( x  y)( x  y  xy)   x  y (do x>0, y>0) Thế x=y vào (3) ta x2  12  x3 x=2, suy y=2 (thỏa mãn x>0, y>0) Thử lại thấy x=2 thỏa mãn phương trình (2) Như (2) có nghiệm x=2 Bây ta xét hàm số liên tục f(x) = x2 x3  24 x  x2  24 x  12 với x [0; ) Nhờ lập luận trên, ta có f(x)=0  x=2 Do đó, đoạn [0,2), (2, ) hàm số không đổi dấu Kiểm tra thấy f(0) = -12 < nên f(x) < với x [0; 2) f(3) = 18 126  93 > nên f(x) > với x  (2, ) Vậy (1)   x  Bài 4: Giải bất phương trình x2  x   x  2(1  x  3) Điều kiện : x  2 Đặt x   u, x   v , bất phương trình cho trở thành u   4v  v  2u  u  v  u  v  3(u  v  1)   (u  v  1)(u  v  3)   ( x   x   1)( x   x   3)  (1) Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán Ta có x2   x    Do đó, (1) tương đương với x2  x  x2   x  1  x2   x     x     x    x      x    x   x  2  x  7,8  x  x   x      2 6 x    x  x 36( x  2)  (8  x  x )   33  2  x   2  x       x  1 ( x  1) ( x  x  8)   Vậy bpt cho có nghiệm x=-1 2  x   Bài Giải bất phương trình (4 x2  x  1) x2  x   (4 x2  3x  5) x    x  1 Điều kiện  x  Đặt u  x2  x  2, v  x  1(u, v  0) ta có x2  x   u  3v2 , x2  3x   3u  v2 Bất pt cho có dạng (u  3v2 )u  (3u  v2 )v   (u  v)3   u  v   u  v  Xét Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán x2  x   x2 1   x  x   x   x    x   x   x    x  2    x      x  2  x    3 x  x     2  4( x  1)  x  x   x  2   22   x  2 x       x      22  x      22  x     Vậy tập nghiệm bpt (; 22 22 ] [ ; ) 3 Bài 6: Giải bất phương trình x2  x   x  2(1  x  3) Điều kiện: x  2 Đặt: x   u, x   v , bất phương trình cho trở thành: u   4v  v  2u  u  v  u  v  3u  v  1    u  v  1 u  v  3   Ta có:   x2   x   x   x  1   x   x    x2  x  x2   x  (1)   x2   x     3  x    x2    x     x    x   x  2  x  7,8  x  x   x    2 6 x    x  x 36  x     x  x Do đó: (1) tương đương với   Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán   33 2  x   2  x     x  12  x  x     x  1  Vậy bất phương trình cho có nghiệm: x  1 2  x   Bài 7: Giải bất phương trình: x2 x  x3x  x2  x  ( x  R) x2  x  x3  x  x2  x 1 (1)  x2  x   Điều kiện:   x [ 1;0]  [1; )  x  x  Với 1  x  0, VT  0, VP  nên 1  x  không nghiệm bpt 1  1 Với x  , (1)  1- +3  x +1 1-  < 2x +1- ( chia vế bpt cho x ) x x  x   t  1 Bất phương trình trở thành x t  x 1 1 t  2x  Đặt t     t  x  1 (loại)   x 1    t  x   Với t  x  1    x  1 x 1  x  x 1   x 1  x  x      Kết hợp điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm 1    S  1;   \       III Phương pháp nhân liên hợp Nội dung: - Sử dụng chức mode máy tính casio để tìm nghiệm phương trình xuất phát từ bpt cho ( xem giảng sử dụng máy tính casio giải hpt thầy trang fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán kênh youtube Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán, http://goo.gl/Z5vTyT, thầy có hướng dẫn giải pt vô tỷ máy tính casio) - Từ nghiệm tìm lựa chọn biểu thức liên hợp Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán Bài 1: Giải bất phương trình x2  x   x2  x3 x 3  tập số thực Điều kiện x > -3, bất pt cho tương đương với x2  x  2   x    x3 x 3  ( x  1)( x  x  6) ( x  3)( x  3) x x2  x3 x 3 x2  x   x3 x   x2 1  x x2  x3 x 3  x2 1        x  x   ( x  1)   1   x2  x  2    ( x  3)( x  3)        x  x       x    1  x  (Với x>-3 biểu thức ngoặc dương) Vậy tập nghiệm bpt S=[-1;1]  8x  x2 Bài 2: Giải bpt (2 x  )(2 x   1)  x 3x  2 x  ĐK: x  Do x  nên bất pt cho tương đương với (2 x  3)(2 x   1) x  4(2 x  1) (2 x  3)(2 x   1)    3x  2 x  x x 3x  2 x   (2 x  3)(2 x   1)  x  x x   2( x   x  1)  ( x  x  1)  2( x   x  1)  0(*) ( x   x  1)    VT(*)  Ta có nhận xét sau ( x  x  1)2   2( x   x  1)  (do x  1) ( x   x  1)   Vậy bpt xảy VT=0  ( x  x  1)   x   2( x   x  1)  Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán x2   x   x  15 Nhận xét x   x  15  x    x  Bài 3: Giải bất phương trình Với điều kiện trên, bất pt tương tương với ( x   2)  3(3x  1)  x  15  x2 1  9x2    3(3x  1)  Kết hợp với điều kiện ta có x  x2 1 x  15  0 nghiệm bpt Bài 4: Giải bất phương trình  x2  20  x  x2  (1) Bất phương trình cho tương đương với x     x  20  x     ( x  2)( 4x   4x  x    x  20 x  16 x2    16  x  x  20  x20  1)  Từ bất pt (1) suy x   x2  20  x2    x  Do 4x  x2    4x  x  20    (4 x  8)  x  20  x  ( x   5)( x  20  6) Vậy nghiệm phương trình x  Bài 5: Giải bất phương trình sau R : x  13  57  10 x  3x  x   x2  2x  x   19  3x 19  3  x  Điều kiện   x  Bất phương trình tương đương 1  Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán ( x   19  x )(2 x   19  x )  x   x2  2x  x   19  x  x   19  x  x  x  x5 13  x    x   )  x2  x    ( 19  x  3   4( x  x  2)  x2  x     x2  x  x5 13  x    9 x     19  x             (*)  ( x  x  2) 1    9( x   x  )  19  x  13  x      3     Vì biểu thức ngoặc lớn với x  [  3; 19 ] \{4} Do (*)  x2  x    2  x  (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm bpt S=[-2;1] Bài 6: Giải bất phương trình ( x2  x  6) x   ( x  2) x   3x2  x  Điều kiện x  Với điều kiện trên, bpt tương đương với ( x  x  6)( x   1)  ( x  2)( x   2)  x  10 x  12 ( x  x  6)( x  2) ( x  2)( x  3)   x  10 x  12 x 1 1 x 1  ( x  x  6)( x  2) x  x     2( x  x  6) x 1 1 x 1   ( x  2)   ( x  x  6)    2  x 1   x 1 1    ( x   1)   ( x  x  6)     x   x      ( x   1)   x  [1; 2]  [3; ) Do   0 x     x 1 1   Bài 7: Giải bất phương trình  x x   x  x  1  x  x  tập số thực Bất phương trình cho tương đương Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán ( x x   x  x  x  x  2)  (1  x  x  1)  ( x  1)(2 x  x  2)  x(1  x) 0 x x2   x2  x  x2  x   x2  x  x2  x  x  ( x  1)(  )0 2 2 x x 1  x  x 1 x  x  1 x  x 1  ( x  1) A  (1) Với A = x2  x    x x x 1  x  x 1 x  x  1 x  x 1 Nếu x  2 2  x  x   x   x  x  x  x    x x    x  x    x  x  x  x  x   x x    A  Nếu x>0, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có  x2  x   x2  x  x  x  x  x    x2  x   2  2  x x2   x  x    x  x  x  x   x x   x  x   A   (vì  x 1 x  x 1 x  x2  x  0 ) Tóm lại, với x số thực, ta có A>0, (1)  x-1 >0  x>1 Vậy nghiệm bpt (1; ) IV Phương pháp hàm đặc trưng Nội dung: Đưa bất phương trình dạng f (u)  f (v)  f (u)  f (v)  xác định D - Nếu f đồng biến D bpt  u  v  u  v  - Nếu f nghịch biến D bpt  u  v  u  v  Bài 1: Giải bất phương trình Điều kiện x  1 x 1  x2  x  2x  tập số thực 2x 1  Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán Khi đó, bpt tương đương với x 1   x2  x  ( x  2)( x   2)   (*) 3 2x 1  2x 1  - Nếu x   >0  x > 13(1) (*)  (2 x  1)  x   ( x  1) x   x  Do hàm f(t)= t  t hàm đồng biến R, mà (*): f ( x  1)  f ( x  1)  x   x   x3  x  x   1     Nếu x   VN    1  x  13 (2) (*)  (2 x  1)  x   ( x  1) x   x  Do hàm f(t)= t  t hàm đồng biến R, mà (*):   1  x    f ( x  1)  f ( x  1)  x   x       x  13     (2 x  1)  ( x  1) Suy ra: x   ; 1   1   ;   Kết hợp với điều kiện => x  [  1;0]  ;13      1   Vậy nghiệm bpt x  [  1;0]  ;13    Suy x  [  1;0]  Bài 2: Giải bất phương trình ( x   1) x   x3  x  3x  2( x  3) x  (1) ( x   3)( x   1) Điều kiện : x  2, x  12 , bpt tương đương với x22 ( x  3)( x  2) 2x   ( x  3)( x   2) 2x   (2) (2)  ( x  3)3  x   ( x  2)3  x  3)   TH1: x>12 Hàm số f (t )  t  t đồng biến R nên: (3)  x   x   (2 x  3)  ( x  2)3  x3  x    vô nghiệm x>12 TH2: 2  x  12 (2)  ( x  3)3  x   ( x  2)3  x   4) Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán Hàm số f (t )  t  t đồng biến R nên: (4)  x   x   (2 x  3)  ( x  2)3  x3  x    ( x  1)( x  x  1)   1    x   ; 1    1   ;       1   ; 1   Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm bpt S      1   ;12     Bài 3: Giải bất phương trình  x x   x  x  1  x  x  tập số thực Đặt u  x  x  =>  u  x2  x , vào bất pt cho ta có u  x  x  x x   u (1  u  1)  u  u  u u   x  x  x x  (1) Xét f (t )  t  t  t t  f '(t )  (t  t  1)2  t  t 1  t nên hàm nghịch biến R Do bpt f (u)  f ( x)  u  x  x  x   x  x  Để nhận tài liệu PDF xem video giảng trực tuyến truy cập: - Fanpage: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán - Kênh Youtube: Thầy Duy Thành-Tiến sĩ Toán [...]... 0 t nên hàm nghịch biến trên R Do đó bpt f (u)  f ( x)  u  x  x 2  x  1  x  x  1 Để nhận tài liệu PDF và xem các video bài giảng trực tuyến hãy truy cập: - Fanpage: Thầy Duy Thành- Tiến sĩ Toán - Kênh Youtube: Thầy Duy Thành- Tiến sĩ Toán ... ;     2   1  5  ; 1  2  Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm của bpt là S      1  5  ;12    2  Bài 3: Giải bất phương trình 1  x x 2  1  x 2  x  1 1  x 2  x  2 trên tập số thực Đặt u  x 2  x  1 => 1  u 2  x2  x , thế vào bất pt đã cho ta có u 2  x 2  x  x x 2  1  u (1  u 2  1)  u 2  u  u u 2  1  x 2  x  x x 2  1 (1) Xét f (t )  t 2  t... Suy ra: x   ; 1  5  1  5  ;   Kết hợp với điều kiện => x  [  1;0]  ;13   2   2  1  5  Vậy nghiệm của bpt là x  [  1;0]  ;13   2  Suy ra x  [  1;0]  Bài 2: Giải bất phương trình ( x  4  1) x  2  x3  4 x 2  3x  2( x  3) 3 2 x  3 (1) ( 3 2 x  3  3)( x  4  1) Điều kiện : x  2, x  12 , bpt tương đương với x22 ( x  3)( x  2) 3 2x  3  3 ( x  3)(... 3)  1  TH1: x>12 Hàm số f (t )  t  t đồng biến trên R nên: 3 (3)  3 2 x  3  x  2  (2 x  3) 2  ( x  2)3  x3  2 x 2  1  0  vô nghiệm vì x>12 TH2: 2  x  12 (2)  ( 3 2 x  3)3  3 2 x  3  ( x  2)3  x  2  4) Fanpage: Thầy Duy Thành- Tiến sĩ Toán Hàm số f (t )  t 3  t đồng biến trên R nên: (4)  3 2 x  3  x  2  (2 x  3) 2  ( x  2)3  x3  2 x 2  1  0 ...Fanpage: Thầy Duy Thành- Tiến sĩ Toán Khi đó, bpt tương đương với x 1  2  x2  x  6 ( x  2)( x  1  2)  1  (*) 3 3 2x 1  3 2x 1  3 - Nếu 3 2 x  1  3 >0  x > 13(1) thì (*)  (2 x  1)  3 2 x  1  (