SỞ GD&ĐT NINH BÌNH Câu HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP THCS Năm học 2012 – 2013 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Đáp án Điểm (2.0 điểm) ∆ = (4m + 1)2 − 8(m − 4) 0.5 = 16m + 8m + − 8m + 32 = 16m + 33 0.5 Vì ∆ = 16m + 33 > ∀m ∈ ¡ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m (2.0 điểm) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt với ∀m nên  x1 + x = −(4m + 1) theo định lý Vi-ét ta có   x1.x = 2(m − 4) 2 Theo ycbt: x1 − x2 = 17 ⇔ ( x1 − x2 ) = 289 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 289 (4.0 điểm) ⇔ (4m + 1) − 8(m − 4) = 289 ⇔ 16m + 33 = 289 ⇔ 16m = 256 ⇔ m = ±4 Vậy m = ±4 giá trị cần tìm (2.0 điểm) x ( x − 1) − P= x + x +1 = (4.0 điểm) 2 x (2 x + 1) 2( x − 1)( x + 1) + x x −1 x ( x − 1)( x + x + 1) − x − + 2( x + 1) x + x +1 = x − x +1 (2.0 điểm) P = ⇔ x − x +1 = ⇔ x − x − = t = −1 ( L) x = t, t ≥ ta pt t − t − = ⇔  t = (TM ) Với t = ta x = ⇔ x = (thỏa mãn ĐK) Đặt (4,0 điểm) Vậy x = P = (2.0 điểm) ( x + 1)3 ( y + 1)3 = 512 ( x + 1)( y + 1) = ⇔ ⇔ 3 3 3 ( x + 1) + ( y + 1) = 72 ( x + 1) + ( y + 1) = 72 ( x + 1) + ( y + 1) = 72 1.0 0.5 0.5 0.75 0.25 0.75 0.75 0.5 0.5 1.0 0.25 0.25  xy + y + x + = HPT ⇔   ab = 512  a + b = 72 Đặt (x+1)3 = a (y +1)3 = b ta có hệ  0.75 0.25 Giải hệ (2) ta : (a;b) = (64;8) (a;b) = (8;64) 0.25 x +1 = x = ( x + 1) = 64 Với (a;b) = (64;8) ⇒  ⇔ ⇔ ( y + 1) =  y +1 = y =1 0.25 x +1 = x = ( x + 1) = Với (a;b) = (8;64) ⇒  ⇔ ⇔ ( y + 1) = 64  y +1 = y = Hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) là: (3;1); (1;3) 0.25 0.25 (2.0 điểm) ĐKXĐ phương trình là: x ≥ - Đặt x + = u ≥ 0, x + = v ≥ ta có: uv = x + x + 10, u − v = Thay vào phương trình ta được: (u − v)(1 + uv ) = u − v u = v ⇒ (u − v)(1 + uv) = (u − v)(u + v ) ⇔ (u − v)(1 − u )(1 − v) = ⇔ u =   v = * Với u = v ta có x + = x + ⇒ PT vô nghiệm * Với u = ta có x + = ⇔ x = −4 (loại) * Với v = ta có x + = ⇔ x = −1 (TM) Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 (5.0 điểm) (2.0 điểm) ·AMB = ·ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ B trực tâm tam giác AEF ⇒ AB ⊥ EF · · ⇒ ·NEF = NAB (cùng phụ với góc NFE ) ⇒ ∆ vuông NEF ∆ vuông NAB (g.g) EF NE · = tg600 = ⇒ = = tg NAE AB NA (2.0 điểm) · · · góc tâm chắn cung MN ⇒ MON MON = 2MAN = 1200 · · EMF = ENF = 900 ⇒ tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường kính EF tâm K · · ⇒ MKN = 2MEN = 2.300 = 600 · · ⇒ MON + MKN = 1800 ⇒ OMKN tứ giác nội tiếp (1.0 điểm) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Gọi I giao điểm AC MD · · · Ta có: MCA = NCM = 600 ⇒ ACD = 600 ⇒ tam giác MCD có CI vừa đường cao vừa phân giác ⇒ ∆MCD cân C 0.25 ⇒ SMCD = 2.SMCI = .MI.CI = MI CI 0 · · = ( MC sin MCI )( MCcos MCI ) = ( MC sin 60 )( MCcos60 ) = MC ⇒ SMCD lớn ⇔ MC lớn ⇔ MC đường kính (O) 0.5 0.25 (1.5 điểm) 3m (1) ⇔ (m + n + p)2 + (m - p )2 + (n - m)2 = 2 ⇔ (m + n + p) = - (m - p)2 - (n - m)2 ≤ ⇒ S ≤ ⇔ − ≤ S ≤ 2 S= ⇔ m=n=p= ;S=- ⇔ m=n=p=3 n2 + np + p2 = - ⇒ maxS = m = n = p = (3.0 điểm) 2 ; minS = − m = n = p = 3 (1.5 điểm) Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có: 2        a b c 2  ( a ) + ( b ) + ( c )       ab + a + ÷ +  bc + b + ÷ +  ca + c + ÷         0.5 0.5 0.25 0.25 0.5   a b c ≥ + +   (ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1)  a.bc b c.b   = + +  ab.bc + abc + bc bc + b + cab + bc + b  b bc   = + + =1  b + + bc bc + b + 1 + bc + b  a b c + + ≥ 2 (ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1) a+b+c Dấu xảy a = b = c = ⇒ 0.5 0.25 0.25 Chú ý: Học sinh làm đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm HS trình bày theo cách khác mà giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm Trong trường hợp mà hướng làm HS kết đến cuối sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải Tổng điểm thi không làm tròn -Hết -