CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIÉT I Lí thuyết Định nghĩa: Phương trình bậc hai phương trình có dạng ax + bx + c = ( a ≠ ) Công thức nghiệm: Ta có ∆ = b − 4ac • Nếu ∆ < phương trình vô nghiệm • Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − b 2a • Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a b c Hệ thức Viét: Nếu phương trình có hai nghiệm x1 , x2 S = x1 + x2 = − ; P = x1 x2 = a a Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) Ta có: • x12 + x22 = ( x12 + x1 x2 + x22 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 • x1 − x2 = • x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2    • • ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 x14 + x24 = ( x12 ) + ( x22 ) = ( x12 + x22 ) − x12 x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x22 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 x12 − x22 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) • 2 3 • x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  • x1 − x2 = ± • x14 − x24 ( = ( x12 + x22 ) ( x12 − x22 ) • x16 + x26 = ( x12 )3 + ( x22 )3 = ( x12 + x22 ) ( x14 − x12 x22 + x24 ) Ứng dụng hệ thức Viét a Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax + bx + c = c • Nếu a + b + c = ⇒ x1 = 1; x2 = a c • Nếu a − b + c = ⇒ x1 = −1; x2 = − a ( a ≠ 0) b Tìm hai số biết tổng tích: Cho hai số x, y biết S = x + y, P = xy x, y hai nghiệm phương trình bậc hai X − SX + P = c Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x2 ax + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x ) d Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ Vô nghiệm ⇔ ∆ < Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) ⇔ ∆ = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > Hai nghiệm dấu ⇔ ∆≥ P > Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > P < ⇔ a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) ⇔ ∆≥ 0; S < P > Hai nghiệm đối ⇔ ∆≥ S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo ⇔ ∆≥ P = 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S > Tìm giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung Tổng quát: Giả sử x0 nghiệm chung hai phương trình Thay x = x0 vào phương trình ta hệ với ẩn tham số Giải hệ tìm tham số m.Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không? II Các dạng tập Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Bài 1: Giải phương trình sau: x − x + 14 = 3 x + x + = x − x + = x − + x + = ( ) ( x + 2 x + = x + 2 x − x + = −30 x + 30 x − 7,5 = x − x − = − x − + x + + = ( ) ) ( ) 10 x + x + = ( x + 1) Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 2: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: 2 x − ( m − 1) x − − m = ax + ( ab + 1) x + b = 2 x − ( 2m − 3) x + m − 3m = x + ( m + ) x − m − 12 = 2 x − ( 2m + 3) x + m + 3m + = x − x − ( m − 1) ( m − 3) = x − mx − m − = ( m + 1) x − ( m − 1) x − + m = Bài 3: a Chứng minh với a, b, c ∈ ¡ phương trình sau có nghiệm: ( x − a) ( x − b) + ( x − b) ( x − c) + ( x − c) ( x − a) = b Chứng minh với a, b, c ba số thực phân biệt phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 1 + + = (ẩn x) x −a x −b x −c 2 2 2 c Chứng minh phương trình: c x + a − b − c x + b = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba ( ) cạnh tam giác d Cho phương trình ax + bx + c = Biết a ≠ 0,5a + b + 6c = Chứng minh phương trình cho có hai nghiệm Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng Bài 4: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x − 3x − = Tính: 1 C= + B = x1 − x2 A = x12 + x22 x1 − x2 − D = x13 + x23 E = x14 + x24 F = ( 3x1 + x2 ) ( 3x2 + x1 ) Bài 5: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình x − 3x − = Tính: x12 + x1 x2 + x22 3 B = A = x1 − x1 x2 + x2 − 3x1 x2 x1 x22 + x2 x12 1 1 x x x x C = + + + − − ÷ x2 x2 + x1 x1 +  x1 x2  Bài 6: Không giải phương trình x + x − = Hãy tính: x x x + x2 + A= + B= + x2 − x1 − x1 x2 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số Bài 7: a Cho phương trình ( m − 1) x + ( m − 1) x − m = Xác định m đê phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b Cho phương trình ( m − 1) x − ( m + ) x + 5m + = Tìm m để phương trình có nghiệm c Cho phương trình ( a − 3) x − ( a − 1) x + a − = Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 8: Cho phương trình x − ( m + 1) x + m = (1) Tìm m để (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Tìm m để (1) có nghiệm Tính nghiệm lại Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu Tìm m để (1) có hai nghiệm dương phân biệt Tìm m để (1) có hai nghiệm âm phân biệt Tìm m để (1) có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 = −2 Tìm m để (1) có hai nghiệm x1 , x2 cho A = x12 + x12 − x1 x2 nhận giá trị nhỏ Bài 9: Định m để phương trình thỏa mãn hệ thức ra: ( x1 + 1) ( x2 + 1) = 18 ( m + 1) x − ( m + 1) x + m − = 0; 2 mx − ( m − ) x + m = 0; ( m − 1) x − mx + m + = 0; ( 4( x ) ) = 5x x12 + x22 = 5x1 x2 + x22 2 x 2 x − ( 2m + 1) x + m + = 0; x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = mx + 2mx + m − = 0; 2 x − ( 3m − 1) x + m − m = 0; x1 + x2 + = x1 = x2 x12 + x2 = x − x + m + 3m = 0; Bài 10: Cho phương trình bậc hai x − mx + m − = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức R = x1 x2 + đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn x1 + x2 + ( + x1 x2 ) 2 Bài 11: Cho phương trình: ax + bx + c = ( a ≠ ) Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm ( k > ) là: kb = ( k + 1) ac Dạng 5: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số 2 Bài 12: Cho phương trình x − ( 2m − 3) x + m − 3m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn < x1 < x2 < Bài 13: Cho phương trình x + ( a + 3) x + ( a + 3) = Với giá trị tham số a, phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép Xác định a để phương trình có nghiệm phân biệt lớn −1 Bài 14: Cho phương trình x + ( m − 1) x − ( m + 1) = Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa x1 < < x2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm nhỏ Bài 15: Tìm m để phương trình x − mx + m = có nghiệm thỏa mãn x1 ≤ −2 ≤ x2 Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số Bài 16: Cho phương trình x − mx + 2m − = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào tham số m 2 Cho phương trình x − ( m − ) x + m ( m − ) = Định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số −1 Bài 17: Cho phương trình x − mx + 2m − = Chứng minh phương trình có hai nghiệm x1 , x2 với m Tìm biểu thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m x1 x2 + =− Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x2 x1 2 Bài 18: Cho phương trình ( m − 1) x − ( m + 1) x + m = Giải biện luận phương trình theo m Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 : a Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m b Tìm m cho x1 − x2 ≥ 2 Bài 19: Cho phương trình ( m − ) x − ( m − ) x + m − = Chứng minh phương trình có hai nghiệm x1 , x2 x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I Lí thuyết Hàm số bậc • Hàm số bậc hàm sô cho công thức y = ax + b ( a ≠ ) • Hàm số bậc xác định với x ∈ ¡ có tính chất đồng biến a > , nghịch biến a < • Đồ thị hàm số bậc đường thẳng Cắt trục tung điểm B ( 0; b ) cắt trục hoành  b  điểm A  − ;0 ÷ (trong a gọi hệ số góc)  a  • Cho hai đường thẳng ( d ) : y = ax + b ( a ≠ ) ( d ′ ) : y = a′x + b′ ( a′ ≠ ) : ( d) cắt ( d ′ ) ⇔ a ≠ a′  a = a′ song song ( d ′ ) ⇔  b ≠ b′ Hàm số y = ax ( d) ( d ) ⊥ ( d′) ⇔ a.a′ = −1 ( d)  a = a′ trùng ( d ′ ) ⇔   b = b′ • Tính chất: Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số nghịch biến x > đồng biến x < • Đồ thị hàm số parabol với đỉnh gốc tọa độ nhận Oy làm trục đối xứng + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành, O điểm thấp đồ thị + Nếu a < đồ thị nằm phía trục hoành, O điểm cao đồ thị Xét parabol ( P ) : y = ax đường thẳng ( d ) : y = mx + n Hoành độ giao điểm ( P ) ( d ) nghiệm phương trình ax − mx − n = ( * ) • • • ( d) ( d) ( d) cắt ( P ) hai điểm phân biệt ⇔ ( * ) có hai nghiệm phân biệt cắt ( P ) ⇔ ( * ) có nhiệm tiếp xúc ( P ) ⇔ ( * ) có nghiệm kép II Các dạng tập Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 20: Vẽ đồ thi hàm số sau: y = x − y = −0,5 x + Bài 21: Vẽ đồ thị hàm số y = ax khi: a = 2 a = −1 Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng Bài 22: Viết phương trình đường thẳng ( d ) biết: ( d ) qua A ( 1;2 ) B ( −2; −5) ( d ) qua M ( 3;2 ) song song với đường thẳng ( ∆ ) : y = x − ( d ) qua N ( 1; −5) vuông góc với đường thẳng ( d ′ ) : y = − x + ( d ) qua D ( 1;3) tạo với chiều dương trục Ox góc 300 ( d ) qua E ( 0;4 ) đồng quy với hai đường thẳng ( ∆ ) : y = x − 3; ( ∆′ ) : y = − x 12 ( d ) qua E ( 0;4 ) cách gốc O khoảng Bài 23: Gọi ( d ) đường thẳng y = ( 2k − 1) x + k − với k tham số Định k để ( d ) qua điểm ( 1;6 ) Định k để ( d ) song song với đường thẳng x + 3y − = Định k để ( d ) vuông góc với đường thẳng x + y =   Chứng minh đường thẳng ( d ) qua điểm A  − ;1÷   Chứng minh k thay đổi, đường thẳng ( d ) qua điểm cố định Dạng 3: Vị trí tương đối đường thẳng parabol Bài 24: Biết đồ thị hàm số y = ax qua điểm ( −2; −1) Hãy tìm a vẽ đồ thị ( P ) Gọi A, B hai điểm ( P ) có hoành độ −4 Tìm tọa độ A, B từ suy phương trình đường thẳng AB Bài 25: Cho hàm số y = − x Khảo sát vẽ đồ thị ( P ) hàm số Lập phương trình đường thẳng ( d ) qua A ( −2; −2 ) tiếp xúc với ( P ) Trên ( P ) lấy hai điểm M N có hoành độ −2;1 Viết phương trình đường thẳng MN Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị ( D ) song song với đường thẳng MN cắt ( P ) điểm Bài 26: Trong hệ trục vuông góc, cho parabol ( P ) : y = − x đường thẳng ( d ) : y = mx − 2m − Vẽ đồ thị ( P ) Tìm m cho ( d ) tiếp xúc với ( P ) Chứng tỏ ( d ) qua điểm cố định A thuộc ( P ) Bài 27: Trong hệ trục vuông góc, cho parabol ( P ) : y = ax ( a ≠ ) đường thẳng ( d ) : y = kx + b Tìm k b, biết ( d ) qua hai điểm A ( 1;0 ) ; B ( 0; −1) Tìm a biết ( P ) tiếp xúc với ( d ) vừa tìm câu Vẽ ( d ) ( P ) vừa tìm 3  Gọi ( d ′ ) đường thẳng qua điểm C  ; −1 ÷ có hệ số góc m Chứng minh qua điểm C 2  có hai đường thẳng ( d ′ ) tiếp xúc với ( P ) câu vuông góc với Bài 28: Cho parabol ( P ) : y = − x điểm I ( 0; −2 ) Gọi ( d ) đường thẳng qua I có hệ số góc m Vẽ ( P ) CMR ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A B Tìm m để AB ngắn CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I Lí thuyết Phương trình chứa ẩn mẫu số • • • • Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Quy đồng mẫu số để đưa phương trình bậc hai Giải phương trình bậc hai So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phương trình chứa thức •  A ≥ ( hay B ≥ ) A= B ⇔  A = B • B ≥ A=B⇔ A = B Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối •  f ( x) = k f ( x) = k( < k ∈¡ ) ⇔   f ( x ) = −k • •  f ( x) = g( x) f ( x) = g( x) ⇔   f ( x ) = −g ( x )  f ( x) ≥  f ( x ) = g ( x ) ⇔  f ( x ) = g ( x )    f ( x ) = −g ( x ) Phương trình trùng phương: ax + bx + c = ( a ≠ ) • • • • Đặt x = t ≥ Biến đổi đưa phương trình bậc hai ẩn t Giải phương trình bậc hai So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phương trình có dạng ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = e với a + d = b + c 2 • Đặt t = x + ( a + d ) x + k = x + ( b + c ) x + k với k = ( ad + bc ) • Biến đổi đưa phương trình bậc hai ẩn t giải Phương trình có dạng ax + bx + cx + bx + a = ( a ≠ ) • Chia hai vế phương trình cho x ≠ • Đặt t = x + với điều kiên t ≥ đưa phương trình bậc hai ẩn t giải x Phương trình có dạng ax − bx + cx − bx + a = ( a ≠ ) • Chia hai vế phương trình cho x ≠ • Đặt t = x − đưa phương trình bậc hai ẩn t giải x e d Phương trình có dạng ax + bx + cx + dx + e = với =  ÷ ; e ≠ a b 2 2 d d  d  d  d   d  ⇒ t2 =  x + ÷ = x2 + +  ÷ ⇒ x2 +  ÷ = t2 − • Đặt t = x + bx bx  b  bx  b   bx  • Đưa phương trình bậc hai ẩn t giải II Các dạng tập Dạng 1: Giải phương trình chứa ẩn mẫu Bài 29: Giải phương trình sau: x x +3 3x − x + + =6 − + =2 x − x −1 x −1 x + x + 2x − x + x −1 x − 3x + + = = x − x − −x + 6x − x −3 x − x −6 2 x + x + x − 30 x − x + 16 + = = ( x − 1) x − x3 − x2 + x + 15 3x − 2 x + 1 2x2 − − − = + = x + 2x − x −1 x +3 x −1 x −1 x + x +1 Dạng 2: Giải phương trình chứa thức Bài 30: Giải phương trình sau: x − x − 11 = x − ( x − 1) ( x − 3) = − x − x − x + = 13 x − x + − x + x + = −2 x + x + x + + x − x + = x + x + x + − x − + x + − x − = x − x − − x − = x + − x − = + x + − x = 10 x + − x − = 12 − x 11 x − − x = x + − 3x + 12 x − + x − + x + + x − = 2x + x+2 14 x + 21x + 16 + x + x + = + = x+2 x + 12 Dạng 3: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài 31: Giải phương trình sau: x + = 2 − x = x − − x + = 13 x − 3x + + x − = − x = ( x − 3) ( x − 1) − x − + = Dạng 4: Giải phương trình bậc cao Bài 32: Giải phương trình sau: x + 3x + x = x − x − x + = x + 3x − x − = x + x + 3x − 10 = x + x + = Bài 33: Giải phương trình sau: x + x − = x − 10 x + 15x + 10 x − 16 = − x + x − = x + x − = 2 x − 3x + x − 3x + = ( x − x ) ( ) + x2 − 2x + = ( x + 1) − ( x + 1) − = ( )( ( )( ) Bài 34: Giải phương trình sau: ( x − 1) ( x − ) ( x − 5) ( x − ) = −31 2 x + x + x + x + 12 = 24 x + x − x ( x + 1) = 56 ( x + ) x − x − x + 3x + = x + x + ( ) ) ( 3x + ) ( x + 1) = =7 x + x +1 [...]... x 2 + 4 = 0 Bài 33: Giải các phương trình sau: 1 4 x 4 + 7 x 2 − 2 = 0 6 x 4 − 10 x 3 + 15x 2 + 10 x − 16 = 0 3 − x 6 + 9 x 3 − 8 = 0 4 x 8 + x 4 − 2 = 0 2 2 6 x − 3x + 4 x − 3x + 2 = 3 ( 5 2 x 2 − 2 x ) 2 ( ) + 3 x2 − 2x + 1 = 0 2 ( 2 x + 1) − 8 ( 2 x + 1) − 9 = 0 4 2 ( )( ( )( ) Bài 34: Giải các phương trình sau: 1 ( x − 1) ( x − 4 ) ( x − 5) ( x − 8 ) = −31 2 2 2 x + 3 x + 2 x + 7 x + 12 = 24 2. .. phương trình sau: 1 ( x − 1) ( x − 4 ) ( x − 5) ( x − 8 ) = −31 2 2 2 x + 3 x + 2 x + 7 x + 12 = 24 2 3 x + x − 1 x ( x + 1) = 56 4 ( 6 x + 7 ) 5 x 4 − 3 x 3 − 6 x 2 + 3x + 1 = 0 6 x 2 + x + ( ) 2 ) ( 3x + 4 ) ( x + 1) = 6 7 =7 x + x +1 2