Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên ngành: Khoa học tự nhiên Toán học Sơ lược: PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương II: Một số phương pháp giải bài toán phương trình đạo hàm riêng biên trị Chương III: Bài tập PHẦN KẾT LUẬN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN TOÁN -oOo - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ Giáo viên hướng dẫn: Dương Thị Xuân An SVTH: Văn Lộc Chơn MSSV: 1060002 Lớp: SP.Toán K32 Cần Thơ, 04/2010 -1- LỜI CẢM ƠN ******** Trước tiên cho gởi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Cần Thơ, Ban Chủ Nhiệm Khoa Sư Phạm tạo điều kiện để làm luận văn tốt nghiệp, quan tâm đôn đốc trình thực luận văn Xin cảm ơn sâu sắc tới thầy cô Tổ Bộ Môn Toán, đặc biệt cô Dương Thị Xuân An tận tình hướng dẫn giúp đỡ thời gian làm luận văn Một lần xin chân thành cảm ơn! -2- MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu 4 Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi Fourier 1.2 Phép biến đổi Fourier 12 1.3 Phép biến đổi Laplace 16 1.4 Bài toán Sturm – Liouville Hàm đặc biệt 18 CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ 30 2.1 Phương pháp tách biến (Phương pháp Fourier) 30 2.2 Phương pháp dùng phép biến đổi Fourier 42 2.3 Phương pháp dùng phép biến đổi Laplace 43 2.4 Phương pháp dùng công thức tích phân Poisson 46 2.5 Phương pháp D’Alembert 52 CHƯƠNG III: BÀI TẬP 57 3.1 Dùng phương pháp tách biến để giải toán 57 3.2 Dùng phương pháp phép biến đổi Fourier để giải toán 74 3.3 Dùng phép biến đổi Laplace để giải toán 80 3.4 Dùng công thức tích phân Poisson để giải toán 86 3.5 Dùng phương pháp D’Alembert để giải toán 91 PHẦN KẾT LUẬN 98 U -3- PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng chuyên ngành quan trọng phát triển toán học Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phát triển nhiều nhà toán học có tên tuổi như: Leonard Euler Joseph-Louis Lagrange, người nghiên cứu phương trình sóng sợi dây; Daniel Bernoulli Euler, người xem xét lý thuyết vị Sau đó, phát triển Adrien-Marie Legendre Pierre-Simon Laplace nhà toán học tiếng Joseph Fourier từ việc khai triển thành chuỗi cho nghiệm phương trình truyền nhiệt Phương trình đạo hàm riêng môn học thú vị Trong trình học, đặc biệt ý tới toán biên trị Nhưng nhìn chung, sách lý thuyết thường đề cập đến phương pháp giải loại toán đề cập khía cạnh Chính thế, chọn đề tài “Một số phương pháp giải toán phương trình đạo hàm riêng biên trị” nhằm tập trung chủ yếu vào số phương pháp giải toán biên giúp người đọc dễ dàng tham khảo Mục đích nghiên cứu Trọng tâm luận văn vào nghiên cứu “Một số phương pháp giải toán phương trình đạo hàm riêng biên trị” Ở đây, tham vọng trình bày đầy đủ tất phương pháp giải, thời gian nghiên cứu hạn chế, mà quan tâm đến số phương pháp thường dùng việc giải toán biên Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương pháp giải toán biên trị đưa đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lý thuyết có liên quan Sắp xếp hệ thống lý thuyết theo trình tự Lựa chọn đưa số ví dụ ứng với phương pháp giải cụ thể -4- Giải tập xếp theo hệ thống Phương pháp nghiên cứu Đọc sách tham khảo tài liệu Phương pháp toán học Phương pháp phân tích Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên Cấu trúc luận văn PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi Fourier 1.2 Phép biến đổi Fourier 1.3 Phép biến đổi Laplace 1.4 Bài toán Sturm-Liouville Hàm đặc biệt CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ 2.1 Phương pháp tách biến 2.2 Phương pháp dùng phép biến đổi Fourier 2.3 Phương pháp dùng phép biến đổi Laplace 2.4 Phương pháp dùng công thức tích phân Poisson 2.5 Phương pháp D’Alembert CHƯƠNG III: BÀI TẬP PHẦN KẾT LUẬN -5- PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi Fourier 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Chuỗi hàm có dạng a0 ∞ + ∑ ( an cos nx + bn sin nx) (−π ≤ x ≤ π ) n =1 (1.1) a0 , an , bn , n = 1, 2, số, gọi chuỗi lượng giác Các hàm số sin nx , cosnx với số hạng tổng quát 2π , n = 1, 2, liên tục n khả vi cấp Nếu chuỗi (1.1) hội tụ tổng hàm tuần hoàn với chu un ( x) = an cos nx + bn sin nx hàm tuần hoàn với chu kỳ kỳ 2π Vấn đề đặt ta khai triển hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2π thành chuỗi lượng giác (1.1) hay không? Và giả sử hàm số f(x), tuần hoàn với chu kỳ 2π , khai triển thành chuỗi lượng giác (1.1) a0 ∞ f ( x) = + ∑ (an cos nx + bn sin nx) (−π ≤ x ≤ π ) n =1 (1.2) hệ số a0 , an , bn , n = 1, 2, xác định nào? Các hệ số có tính theo f(x) hay không? Trước hết, cách tính trực tiếp, thấy π π −π − ∫ sin nxdx = ∫π cosnxdx =0, π ∫π sin mxcosnxdx =0, − ⎧0, m ≠ n π ∫π sin mx sin nxdx = ⎨⎩π , m = n − -6- ⎧0, m ≠ n π ∫π cosmxcosnxdx = ⎨⎩π , m = n − Từ đó, chuỗi lượng giác (1.1) hội tụ đến hàm số f(x) đoạn [ −π , π ] hệ số tính công thức sau a0 = an = bn = π π ∫ π π ∫ f ( x) cos nxdx, n = 1,2,… (1.3) −π π π f ( x)dx, −π ∫ f ( x)sin nxdx −π Thật vậy, từ (1.2), ta tích phân hai vế số hạng từ −π → π π ∫π f ( x)dx = − a0 = Suy π a0 2π π ∫ f ( x)dx −π Để tính an , n = 1, 2, ta nhân cosnx vào hai vế (1.2) lấy tích phân số hạng từ −π → π Khi π ∫ f ( x)cos nxdx = an π −π an = Suy π π ∫ f ( x) cos nxdx −π Tương tự, nhân vào hai vế (1.2) với sinnx lấy tích phân số hạng từ −π → π , ta bn = π π ∫ f ( x)sin nxdx, n = 1, 2, −π Trên đây, ta giả sử hàm f(x) khai triển thành chuỗi Fourier lấy tích phân chuỗi vế phải theo số hạng Tuy vậy, nhận thấy cần f(x) khả tích đoạn [ −π , π ] tính hệ số (1.3) Vì vậy, ta có chuỗi Fourier tương ứng hàm f(x) Định nghĩa 1.2 Cho f(x) hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π Chuỗi lượng giác (1.1) với hệ số a0 , an , bn , n = 1, 2, tính công thức (1.3) gọi -7- chuỗi Fourier tương ứng hàm f(x) đoạn [ −π , π ] Các hệ số a0 , an , bn , n = 1, 2, gọi hệ số Fourier hàm f(x) Như vậy, hàm f(x) khả tích đoạn [ −π , π ] có chuỗi Fourier tương ứng ta kí hiệu f ( x) ∼ a0 ∞ + ∑ (an cos nx + bn sin nx) (−π ≤ x ≤ π ) n =1 1.1.2 Điều kiện đủ để chuỗi Fourier hàm số f(x) hội tụ Như biết, hàm f(x) khả tích đoạn [ −π , π ] có chuỗi Fourier tương ứng Tuy nhiên, chuỗi Fourier thu trường hợp không hội tụ chuỗi hội tụ chưa tổng chuỗi f(x) Ta có kết sau (không chứng minh) : Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Dirichlet) Nếu f(x) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π , đơn điệu khúc bị chặn đoạn [ −π , π ] chuỗi Fourier hội tụ điểm đoạn tổng chuỗi f(x) f(x) liên tục f ( x+ ) + f ( x− ) x ∈ ( −π , π ) , f(x) gián đoạn (loại 1) x ∈ ( −π , π ) f (−π + ) + f (π − ) x = ±π D Ví dụ Cho f(x) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π xác định f(x) = x, (−π ≤ x ≤ π ) chuỗi Fourier tương ứng f(x) ∞ ∑ (−1) n +1 n =1 sin nx (−π ≤ x ≤ π ) n Thật vậy, theo (1.3) hệ số chuỗi x2 π a0 = ∫ xdx = = = π −π π −π π an = π π π ∫π x cos nxdx = − Người đọc tham khảo chứng minh tài liệu tham khảo [1] -8- bn = π π 2π ∫ x sin nxdx = π ∫ x sin nxdx −π π 1π ⎞ 2⎛ x = ⎜ − cos nx + ∫ cos nxdx ⎟ n0 π⎝ n ⎠ π 2 = − cos nπ + sin nx n nπ 2 = − (−1) n = (−1) n +1 n n Bởi hàm số f(x) liên tục đoạn [ −π , π ] nên chuỗi Fourier hội tụ x điểm, tức có ∞ x = ∑ (−1) n +1 sin nx (−π ≤ x ≤ π ) n n =1 1.1.3 Khai triển Fourier đoạn [ 0, π ] Để tìm khai triển Fourier hàm số f(x) đoạn [ 0, π ] , ta thác triển f(x) thành hàm F(x) đoạn [ −π , π ] cho đoạn [ 0, π ] f ( x) ≡ F ( x) Sau đó, ta tìm khai triển Fourier hàm số F(x) đoạn [ −π , π ] Khi đó, khai triển Fourier hàm số f(x) đoạn [ 0, π ] khai triển Fourier hàm F(x) đoạn [ 0, π ] Thông thường, thác triển theo hai cách: (i) Thác triển f(x) thành hàm số chẵn F(x) ⎧⎪ f ( x), x ∈ [ 0, π ] F ( x) = ⎨ ⎪⎩ f (− x), x ∈ [ −π ,0] (ii) Thác triển f(x) thành hàm số lẻ F(x) ⎧⎪ f ( x), x ∈ [ 0, π ] F ( x) = ⎨ ⎪⎩− f (− x), x ∈ [ −π ,0] -9- 1.1.4 Khai triển Fourier hàm có chu kỳ 2l Cho hàm số f(x) có chu kỳ 2l , l > Giả sử cần tìm chuỗi Fourier tương ứng F(x) đoạn [ −l , l ] Ta dùng phép biến đổi t = πx l xét hàm số ⎛ tl ⎞ F (t ) = f ( x) = f ⎜ ⎟ ⎝π ⎠ Ta có ⎛l ⎞ ⎛ lt ⎞ ⎛ lt ⎞ F (t + 2π ) = f ⎜ (t + 2π ) ⎟ = f ⎜ + 2l ⎟ = f ⎜ ⎟ = F (t ) ⎝π ⎠ ⎝π ⎠ ⎝π ⎠ hay F(t) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π Vậy khai triển Fourier hàm F(x) đoạn [ −π , π ] F (t ) ∼ a0 ∞ + ∑ (an cos nt + bn sin nt ) (−π ≤ t ≤ π ) n =1 với hệ số cho a0 = π π ∫ −π F (t )dt = 1l f ( x)dx l −∫l 1l nπ x dx an = ∫ F (t ) cos ntdt = ∫ f ( x)cos π −π l −l l bn = π π π ∫ F (t )sin ntdt = −π (1.4) 1l nπ x dx , n = 1,2,… f ( x)sin ∫ l −l l Từ đó, ta khai triển Fourier hàm số f(x) đoạn [ −l , l ] f ( x) ∼ a0 ∞ ⎛ nπ x nπ x ⎞ + ∑ ⎜ an cos + bn sin ⎟ (−l ≤ x ≤ l ) n =1 ⎝ l l ⎠ với hệ số tính (1.4) 1.1.5 Chuỗi Fourier sin cosin Định nghĩa 1.3 Cho f hàm số liên tục đoạn xác định (0, L) Chuỗi Fourier cosin f (0, L) f ( x) = a0 ∞ ⎛ nπ x ⎞ + ∑ an cos ⎜ ⎟ n =1 ⎝ L ⎠ - 10 - Trở thành a2 ∂ 2U g − = p 2U − pu ( x,0) − ut ( x,0) ∂x p Kết hợp điều kiện ban đầu ta ∂ 2U p g − 2U = 2 ∂x a a p Phép biến đổi điều kiện biên cho U (0, p ) = L ( u (0, t ) ) = Và ∂U ∂u ⎞ ⎛ = L ⎜ lim ⎟ = x→∞ ∂x ⎝ x→∞ ∂x ⎠ lim Kết hợp với phương pháp hệ số bất định ta tìm nghiệm tổng quát phương trình biến đổi U ( x, p ) = C1e − ( x / a ) p + C2 e( x / a ) p − g p3 Điều kiện biên lim x →∞ ∂U = cho C2 = ∂x Và U (0, p ) = cho C1 = g p3 Khi U ( x, p ) = g −( x/a) p g − e p3 p Thực phép biến đổi Laplace ngược ta ⎛ g g ⎞ ⎛ x⎞ u ( x, t ) = L ⎜ e − ( x / a ) p − ⎟ = g ⎜ t − ⎟ u x / a ( t ) − gt 2 p ⎠ ⎝ a⎠ ⎝p Hay x ⎧ − gt , ≤ t < ⎪⎪ a u ( x, t ) = ⎨ ⎪− g ( 2axt − x ) , t ≥ x ⎪⎩ 2a a - 85 - Bài tập đề nghị: Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải toán sau 3.8 ⎧ ∂ 2u ∂ u ⎪ = 2 − k sin π x, < x < 1, t > c ∂t ⎪ ∂x ⎪ ⎨u (0, t ) = 0, u (1, t ) = 0, u ( x,0) = ⎪ ⎪ ∂u =0 ⎪⎩ ∂t t = 3.9 ⎧ ∂φ ∂φ ⎪ x ∂t + ∂x = x, x > 0, t > ⎪ ⎨φ = φ0 ( x) t = ⎪φ = x = ⎪ ⎩ 3.10 ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x = ∂t , < x < 2, t > ⎪ ⎨u (0, t ) = 0, u (2, t ) = 0, u ( x,0) = ⎪ ∂u ⎪ ( x,0) = sin π x ⎩ ∂t 3.11 ⎧ 2 ⎪a ∂ u = ∂ u , x > 0, t > ⎪ ∂x ∂t ⎪ u ( x, t ) = 0, t > ⎨u (0, t ) = f (t ), lim x →∞ ⎪ ∂u ⎪ ⎪u ( x,0) = 0, ∂t t = = 0, x > ⎩ 3.4 Dùng công thức tích phân Poisson để giải toán Bài toán 3.4.1 Tìm nghiệm toán sau ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x + ∂y = 0, − ∞ < x < ∞, y > ⎪ ⎨ ⎪u ( x,0) = ⎧1, < x < ⎨ ⎪⎩ ⎩0, x < 0, x > - 86 - Lời giải: Một nghiệm toán cho tích phân Poisson u ( x, y ) = +∞ π yu (t ,0) dt + y2 ∫ (t − x) −∞ Với ⎧1, < t < u (t ,0) = ⎨ ⎩0, t < 0, t > Ta có: u ( x, y ) = 1 y π ∫ (t − x) = y 1 π ∫ (t − x) = + y2 + y2 dt dt ⎛1− x ⎞ ⎛ − x ⎞⎤ 1⎡ ⎢arctan ⎜ ⎟ − arctan ⎜ ⎟ ⎥ π⎣ ⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠⎦ Bài toán 3.4.2 Giải toán ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x + ∂y = 0, − ∞ < x < ∞, y > ⎪ ⎨ ⎪u ( x,0) = ⎧ x, < x < ⎨ ⎪⎩ ⎩0, x < 0, x > Lời giải: Một nghiệm toán cho tích phân Poisson u ( x, y ) = +∞ π yu (t ,0) dt + y2 ∫ (t − x) −∞ Với ⎧t ,0 < t < u (t ,0) = ⎨ ⎩0, t < 0, t > Ta có: u ( x, y ) = 1 = yt π ∫ (t − x) + y2 dt 1 yt − yx + yx dt π ∫0 (t − x) + y - 87 - y 2(t − x) 11 yx dt = dt + ∫ ∫ 2 π (t − x) + y 2π (t − x) + y − x) + y2 x ⎡ ⎛1− x ⎞ ⎛ − x ⎞⎤ ( y u ( x, y ) = ln + ⎢arctan ⎜ ⎟ − arctan ⎜ ⎟ ⎥ 2 x +y π⎣ 2π ⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠⎦ Bài toán 3.4.3 Giải toán biên ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x + ∂y = 0, − ∞ < x < ∞, y > ⎪ ⎨ ⎪u ( x,0) = ⎧1, − ≤ x ≤ ⎨ ⎪ 0, x > ⎩ ⎩ Lời giải: Áp dụng công thức tích phân Poisson ta u ( x, y ) = 1 yu (t ,0) dt + y2 π ∫ (t − x) −1 ⎧1, − ≤ t ≤ u (t , 0) = ⎨ ⎩0, t > Với Khi u ( x, y ) = y −1 Áp dụng công thức u ( x, y ) = y ∫ (t − x ) π ∫ (t − x) + y2 dt ⎛ y ⎞ dt = arctan ⎜ ⎟ ta +y ⎝t−x⎠ 1⎛ y ⎞ t =1 ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞ = arctan ⎜ ⎜ arctan ⎟ ⎟ − arctan ⎜ ⎟ π⎝ t − x ⎠ t = −1 π ⎝1− x ⎠ π ⎝ −1 − x ⎠ Bài toán 3.4.4 Giải toán ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x + ∂y = 0, − ∞ < x < ∞, y > ⎪ ⎨ ⎪u ( x,0) = ⎧ x, − < x < ⎨ ⎪ ⎩0, x > ⎩ - 88 - Lời giải: Áp dụng công thức tích phân Poisson ta u ( x, y ) = 1 yu (t ,0) dt + y2 π ∫ (t − x) −1 ⎧t , − < t < u (t ,0) = ⎨ ⎩0, t > Với Khi u ( x, y ) = t y1 t−x x y = + dt dt dt ∫ ∫ ∫ 2 2 π −1 (t − x) + y π −1 (t − x) + y π −1 (t − x) + y y Áp dụng công thức ( t−x dt = ln ( t − x ) + y 2 2 +y ∫ (t − x) ) Và ⎛ y ⎞ dt = arctan ⎜ ⎟ ∫ (t − x ) + y2 ⎝t−x⎠ y ta u ( x, y ) = t =1 y ⎡1 x⎛ y ⎞ t =1 2 ⎤ ln t x y arctan − + + ( ) ⎜ ⎟ t − x ⎠ t = −1 π ⎣⎢ ⎦⎥ t = −1 π ⎝ ( ) y ⎡ (1 − x ) + y ⎤ x ⎛ y ⎞ x ⎛ y ⎞ u ( x, y ) = ln ⎢ ⎥ + arctan ⎜ ⎟ − arctan ⎜ ⎟ 2 2π ⎢⎣ (1 + x ) + y ⎥⎦ π ⎝1− x ⎠ π ⎝ −1 − x ⎠ Bài toán 3.4.5 Giải toán sau ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x + ∂y = 0, − ∞ < x < ∞, y > ⎪⎪ ⎧0, x ≤ ⎨ ⎪u ( x,0) = ⎪ x, ≤ x ≤ ⎨ ⎪ ⎪1, x ≥ ⎪⎩ ⎩ Lời giải: Áp dụng công thức tích phân Poisson ta u ( x, y ) = π ∞ yu (t ,0) dt + y2 ∫ (t − x) −∞ - 89 - Với ⎧0, t ≤ ⎪ u (t ,0) = ⎨t , ≤ t ≤ ⎪1, t ≥ ⎩ Khi u ( x, y ) = t y∞ dt dt + ∫ ∫ 2 π (t − x ) + y π (t − x) + y y t−x x1 y y∞ dt + ∫ dt + ∫ dt = ∫ 2 2 π (t − x) + y π (t − x) + y π (t − x) + y y Áp dụng công thức ( t−x ∫ (t − x ) 2 dt = ln ( t − x ) + y 2 +y y ∫ (t − x ) y ⎛ y ⎞ dt = arctan ⎜ ⎟ +y ⎝t−x⎠ π ∫ (t − x ) ) +y dt = ⎛ x −t ⎞ arctan ⎜ ⎟ π ⎝ y ⎠ ta u ( x, y ) = + t =1 x ⎡ y ⎡1 ⎛ y ⎞⎤ t = ⎤ t x y ln − + + arctan + ( ) ⎜ ⎟⎥ ⎥⎦ t = π ⎢ π ⎢⎣ ⎝ t − x ⎠⎦ t = ⎣ ( ) ⎛ x − t ⎞⎤ t = ∞ 1⎡ ⎢arctan ⎜ ⎟⎥ π⎣ ⎝ y ⎠⎦ t = 2 y ⎛ (1 − x ) + y ⎞ x ⎛ y ⎞ x ⎛ −y ⎞ − arctan ⎜ u ( x, y ) = ln ⎜ ⎟ + arctan ⎜ ⎟ ⎟− 2 ⎟ π − π 2π ⎜⎝ x + y x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛ x −1 ⎞ 1 − − arctan ⎜ ⎟ π ⎝ y ⎠ Bài tập đề nghị: Sử dụng công thức tích phân Poisson để giải toán sau 3.12 ⎧ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2u = 0, (r < 1, − π ≤ θ ≤ π ⎪ ⎜r ⎟+ 2 ⎨ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂θ ⎪u (1,θ ) = cos 2θ ⎩ - 90 - 3.13 ⎧ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2u = 0, (r < 1, − π ≤ θ ≤ π ⎪ ⎜r ⎟+ 2 ⎨ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂θ ⎪u (1,θ ) = sin θ ⎩ 3.14 ⎧ ∂ ⎛ ∂u ⎞ ∂ 2u ⎪ r ∂r ⎜ r ∂r ⎟ + r ∂θ = 0, (r < 1, ≤ θ ≤ π ) ⎝ ⎠ ⎪⎪ ⎨u (1,θ ) = f (θ ), (0 ≤ θ ≤ π ) ⎪u (r ,0) = u (r , π ) = 0, (r < 1) ⎪ ⎪⎩ 3.5 Dùng phương pháp D’Alembert để giải toán Bài toán 3.5.1 Tìm nghiệm toán sau ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x = c ∂t , − ∞ < x < ∞, t > ⎪ ⎪ ∂u −x ⎨ ( x,0) = xe ⎪ ∂t ⎪u ( x,0) = ⎪ ⎩ Lời giải: Áp dụng phương pháp D’Alembert để tìm nghiệm u(x,t) Nghiệm D’Alembert 1 x +ct u ( x, t ) = ( ) [ f ( x + ct ) + f ( x − ct )] + g (τ )dτ 2c x −∫ct Ở đây, f ( x) = g ( x) = xe − x Khi nghiệm tổng quát x + ct −τ u ( x, t ) = + τ e dτ = ⎡⎣e − ( x −ct ) − e− ( x +ct ) ⎤⎦ ∫ 2c x −ct 4c - 91 - 2 Bài toán 3.5.2 Giải toán ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x = ∂t , − ∞ < x < ∞, t > ⎪ ⎪ ∂u −x ⎨ ( x,0) = xe , − ∞ < x < ∞ ⎪ ∂t ⎪u ( x,0) = e − x , − ∞ < x < ∞ ⎪ ⎩ 2 Lời giải: Nghiệm D’Alembert 1 x +ct u ( x, t ) = ( ) [ f ( x + ct ) + f ( x − ct )] + g (τ )dτ 2c x −∫ct 2 Ở đây, f ( x) = e − x , g ( x) = xe − x c = 1/2 Khi nghiệm tổng quát x+ t t −( x− ) ⎤ ⎡ −( x+ t ) u ( x, t ) = ⎢e + e ⎥ + ∫ τ e −τ dτ 2⎣ ⎦ x− t 2 2 = t t −( x− ) ⎤ −( x− ) ⎤ ⎡ − ( x + 2t ) ⎡ − ( x + 2t ) 2 + − − e e e e ⎥ 2⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ u ( x, t ) = e 2 t − ( x − )2 Bài toán 3.5.3 Tìm nghiệm toán ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x = ∂t ⎪ ⎪ ∂u ⎨ ( x,0) = cos x, − ∞ < x < ∞ ⎪ ∂t ⎪u ( x,0) = sinx, − ∞ < x < ∞ ⎪ ⎩ Lời giải: Nghiệm D’Alembert 1 x +ct u ( x, t ) = ( ) [ f ( x + ct ) + f ( x − ct )] + g (τ )dτ 2c x −∫ct Ở đây, f ( x) = sin x , g ( x) = cos x c = - 92 - Khi nghiệm tổng quát u ( x, t ) = 1 x +t x + t + x − t + sin( ) sin( ) [ ] ∫ cosτ dτ 2 x −t 1 [sin( x + t ) + sin( x − t )] + [sin( x + t ) − sin( x − t )] 2 = sin( x + t ) = sin x cos t + cos x sin t = u ( x, t ) = sin x cos t + cos x sin t Bài toán 3.5.4 Giải toán ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x − ∂t = 0, − ∞ < x < ∞, t > ⎪⎪ ⎨u ( x,0) = x ⎪ ∂u ⎪ ( x,0) = x ⎪⎩ ∂t Lời giải: Nghiệm D’Alembert 1 x +ct u ( x, t ) = ( ) [ f ( x + ct ) + f ( x − ct )] + g (τ )dτ 2c x −∫ct Ở đây, f ( x) = 3x , g ( x) = x3 c = Khi nghiệm tổng quát u ( x, t ) = = 1 x+t ⎡⎣3( x + t ) + 3( x − t )2 ⎤⎦ + ∫ 2τ 3dτ 2 x −t 1 ⎡⎣3( x + t ) + 3( x − t ) ⎤⎦ + ⎡⎣( x + t ) − ( x − t ) ⎦⎤ ⎡3 ⎤ = ⎡⎣( x + t ) + ( x − t ) ⎤⎦ ⎢ + ⎡⎣( x + t ) − ( x − t ) ⎤⎦ ⎥ ⎣2 ⎦ ⎛3 ⎞ = 2( x + t ) ⎜ + xt ⎟ ⎝2 ⎠ u ( x, t ) = 3x + x3t + 3t + xt - 93 - Bài toán 3.5.5 Giải phương trình sóng nửa miền vô hạn ⎧utt = c 2u xx , ≤ x ≤ ∞, t ≥ ⎪ ⎨u ( x,0) = 0, ut ( x,0) = ⎪ ⎩u (0, t ) = sin(wt ) Lời giải: Nghiệm D’Alembert cho u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct ) Sử dụng điều kiện ban đầu = ut ( x,0) = [ −cf '( x − ct ) + cg '( x + ct ) ]t =0 ⇒ = − f '( x) + g '( x) ⇒ k = g ( x) − f ( x) , k số (3.52) = u ( x,0) = f ( x) + g ( x) (3.53) Mặt khác ta lại có Giải (3.52) (3.53) ta dễ dàng nhận k k f ( x) = − , g ( x) = + với x > 2 Từ ta có k f ( x − ct ) = − , với x − ct > k g ( x + ct ) = + , với x + ct > (luôn đúng) Vậy với x > ct ta có u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct ) = Nhưng phải giải f ( x − ct ) cho trường hợp x < ct Sử dụng điều kiện ban đầu, ta có: u (0, t ) = sin( wt ) Khi sin(wt ) = u (0, t ) = f ( −ct ) + g (ct ) = f ( −ct ) + k k Từ ta f (−ct ) = sin(wt ) − , ta lưu ý −ct < - 94 - Khi đó, ta đặt z = −ct f ( z ) = sin(− w k z) − c Vì trường hợp x < ct ta có nghiệm ⎛ w ⎞ k k u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct ) = sin ⎜ − ( x − ct ) ⎟ − + ⎝ c ⎠ 2 ⎛ x − ct ⎞ = − sin ⎜ w ⎟ c ⎠ ⎝ Do nghiệm tổng quát toán ⎧ ⎛ x − ct ⎞ ⎪− sin ⎜ w ⎟ , x < ct u ( x, t ) = ⎨ c ⎠ ⎝ ⎪0, x > ct ⎩ Bài toán 3.5.6 Giải phương trình sóng nửa miền vô hạn ⎧utt = c 2u xx , ≤ x ≤ ∞, t ≥ ⎪ −x ⎨u ( x,0) = e sinx, ut ( x,0) = ⎪u ( x,0) = cos(wt ) ⎩ x Lời giải: Nghiệm D’Alembert cho u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct ) Sử dụng điều kiện ban đầu = ut ( x,0) = [ −cf '( x − ct ) + cg '( x + ct ) ]t =0 ⇒ = − f '( x) + g '( x) ⇒ k = g ( x) − f ( x) , k số (3.54) u ( x,0) = e − x s inx = f ( x) + g ( x) (3.55) Mặt khác ta lại có Giải (3.54) (3.55) ta dễ dàng nhận f ( x) = e − x sinx k e − x sinx k − , g ( x) = + với x > 2 2 Từ ta có e−( x −ct ) sin ( x − ct ) k f ( x − ct ) = − , với x − ct > 2 - 95 - e −( x + ct ) s in ( x + ct ) k g ( x + ct ) = + , với x + ct > (luôn đúng) 2 Vậy với x > ct ta có u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct ) = e −( x −ct ) sin ( x − ct ) e −( x + ct ) sin ( x + ct ) + 2 Nhưng phải giải f ( x − ct ) cho trường hợp x < ct Sử dụng điều kiện ban đầu, ta có: u x ( x,0) = cos(wt ) Khi cos(wt ) = u x ( x,0) = f '( x) + g '( x) ⇒ x cos(wt ) = f ( x) + g ( x) = f ( x) + e − x sinx k + 2 Từ ta f ( x) = xcos(wt ) − e − x s inx k − 2 Vì trường hợp x < ct ta có nghiệm e − ( x −ct ) sin(x-ct) k − + u ( x, t ) = f ( x − ct ) + g ( x + ct ) = ( x − ct )cos ( wt ) − 2 − ( x − ct ) − ( x + ct ) − ( x + ct ) e sin(x+ct) k e sin(x-ct) e sin(x+ct) + = ( x − ct )cos ( wt ) − + 2 2 Do nghiệm tổng quát toán ⎧ e −( x −ct ) s in ( x − ct ) e −( x + ct ) sin ( x + ct ) , x < ct + ⎪⎪ 2 u ( x, t ) = ⎨ − ( x − ct ) sin(x-ct) e − ( x +ct ) sin(x+ct) ⎪( x − ct )cos wt − e , x > ct + ( ) ⎪⎩ 2 - 96 - Bài tập đề nghị: Sử dụng phương pháp D’Alembert để giải toán sau 3.15 ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x − ∂t = 0, − ∞ < x < ∞, t > ⎪ ⎨u ( x,0) = sinx ⎪ ∂u ⎪ ( x,0) = ⎩ ∂t 3.16 ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x − c ∂t = 0, − ∞ < x < ∞, t > 0, c > ⎪ ⎨u ( x,0) = ⎪ ∂u ⎪ ( x,0) = A sin x ⎩ ∂t A số 3.17 ⎧∂ 2u ∂ 2u ⎪ ∂x − c ∂t = 0, < x < ∞, t > 0, c > ⎪ ⎨u ( x,0) = μ (x), u (0, t ) = ⎪ ∂u ⎪ ( x,0) = ν ( x) ⎩ ∂t Với μ , ν hàm cho tốt - 97 - PHẦN KẾT LUẬN Chương I luận văn trình bày kiến thức bản, từ tiến hành nghiên cứu số phương pháp để giải toán phương trình đạo hàm riêng biên trị chương II Trong chương này, giới thiệu sơ lược cách tìm nghiệm toán biên cách áp dụng hàm Bessel đa thức Legendre Kết thúc chương II, ta trình bày cách hệ thống phương pháp giải gồm: Phương pháp tách biến, phương pháp dùng phép biến đổi Fourier, phương pháp dùng phép biến đổi Laplace, phương pháp dùng công thức tích phân Poisson phương pháp D’Alembert Ở chương III, áp dụng phương pháp để giải số toán, kèm theo tập đề nghị Do đặc trưng tập dài nên giới hạn đề tài, đưa lượng tập nhằm minh họa cho phương pháp giải trình bày chương III Các tập đề nghị đưa vào luận văn nhằm mục đích giúp bạn có quan tâm yêu thích nội dung trình bày luận văn tham khảo thêm để tự luyện tập Trong tương lai, có điều kiện thời gian hội nghiên cứu, tiếp tục tìm hiểu sâu vấn đề Hiện luận văn dừng lại việc sử dụng phương pháp nêu để giải số toán biên Đây loại tập học phần phương trình đạo hàm riêng Hy vọng luận văn phổ biến tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên quan tâm đến đề tài - 98 - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Biến đổi tích phân, NXBGD, 2001 [ 2] Đỗ Quang Huy, Dương Thị Xuân An, Bài giảng phương trình đạo hàm riêng, Đại học Cần Thơ, 2008 [3] Lê Bá Long, Sách hướng dẫn học tập toán chuyên nghành, Học viện công nghệ Bưu viễn thông, 2006 [ 4] Tạ Vu Bích Ngọc, Sử dụng hàm Bessel để giải toán truyền nhiệt, Đại học An Giang, 2008 [ 5] Vũ Văn Thanh, Nguyễn Nhật Khanh, Phương trình đạo hàm riêng vật lý, NXBĐHQGTPHCM, 2000 [ 6] G.Evans, J.Blackledge and P.Yardley, Analytic Methods for Partial Differential Equations, Beijng World Publishing Corporation, 2004 [7] John Douglas Moore, Introduction to Partial Differential Equations, Kendall/Hunt Publishing Company, 2003 [8 ] Stanley J.Farlow, An introduction to differential Equations and their applications, Dover Publications, 2006 - 99 - [...]... II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BIÊN TRỊ Trong luận văn này, những kiến thức cơ bản về các khái niệm của phương trình đạo hàm riêng được xem như đã biết, người đọc có thể tham khảo trong tài liệu tham khảo [1] Sau đây tôi sẽ trình bày về bài toán phương trình đạo hàm riêng biên trị và một số phương pháp giải 2.1 Phương pháp tách biến (Phương pháp Fourier) Phương pháp. .. đặt một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là tích của các hàm theo chỉ một biến độc lập là người ta rút phương trình đạo hàm riêng về một hệ thống các phương trình vi phân thường tương đương Như thế, thay vì phải giải bài toán biên với phương trình đạo hàm riêng, người ta chỉ phải giải một số bài toán biên với phương trình vi phân thường Ví dụ Để giải phương trình dạng az xx + bz xy + cz yy + Az... số còn được gọi là phương pháp Fourier Phương pháp này chỉ áp dụng được cho một lớp các bài toán với các điều kiện biên thích hợp Tuy nhiên, lớp các bài toán này chứa một số khá lớn các bài toán thường dùng trong vật lý Trong phương pháp này, người ta giả sử nghiệm của bài toán là tích của các hàm theo các biến độc lập của phương trình đạo hàm riêng Hệ quả của việc đặt một nghiệm của phương trình đạo. .. Định lý 1.3 Nếu f(t) là một hàm gốc có chỉ số tăng là s0 và F(p) là hàm ảnh của f(t) thì tại mọi điểm liên tục của hàm f(t), ta có 1 a + i∞ F( p)e pt dp ∫ 2π i a −i∞ f (t ) = trong đó, a là một số thực bất kì, a > s0 1.4 Bài toán Sturm – Liouville Hàm đặc biệt 1.4.1 Bài toán Sturm – Liouville Bài toán Sturm – Liouville là bài toán biên tuyến tính cấp hai thuần nhất chứa một tham số dạng ⎧[ p ( x) y ']... hai Giải phương trình này, chúng ta sẽ suy ra nghiệm của phương trình (2.1) Chú ý thêm rằng, số λ nói trên là hằng số tuỳ ý nên theo nguyên lý chồng chất nghiệm, về mặt hình thức, nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là chuỗi hàm lượng giác mà các số hạng chính là nghiệm của phương trình vi phân ở trên 2.1.1 Phương trình sóng Là bài toán biên trị có dạng: ⎧∂ 2u 1 ∂ 2u ⎪ ∂x 2 − c 2 ∂t 2 = 0, c > 0,... 1.4.2.2 Zero của hàm Bessel J m (t ) J m (t ) = Trở lại phép đổi biến t = λ x Nghiệm giải tích tại x = 0 của phương trình ( xu ')'− (m 2 / x)u + λ xu = 0 là J m ( λ x) Dùng điều kiện biên u(1) = 0 - 20 - (1.24) Suy ra Jm ( λ ) = 0 (1.25) Giải phương trình (1.25) ta được các trị riêng của bài toán (1.17), (1.18) Người ta chứng minh được rằng, với m thực thì phương trình J m (t ) = 0 có vô số nghiệm dương... - 34 - (2.23) Các trị riêng của bài toán (2.22) được cho bởi (2.23) là một tập vô hạn các số nguyên âm {−n 2 } , n = 1, 2, Các hàm riêng tương ứng với các trị riêng này là X ( x ) = sin nx, n = 1, 2, Với λ cho bởi (2.23), phương trình thứ hai trong (2.20) bây giờ là T '+ n 2 kT = 0 (2.24) Nghiệm tổng quát của (2.24) là: 2 T = Ce − n kt với C là các hằng số tuỳ ý Nghiệm của phương trình (2.15) thoả... = XY '' Thay vào phương trình (2.1) ta được phương trình aX ''Y + bX 'Y '+ cXY ''+ AX 'Y + BXY '+ CXY = 0 Chia hai vế phương trình cho XY, ta được a X '' X 'Y' Y '' X' Y' +b +c + A + B +C = 0 X X Y Y X Y - 30 - (2.1) Chúng ta thấy rằng hàm X chỉ phụ thuộc vào biến x, hàm Y chỉ phụ thuộc vào biến y nên nếu chọn tham số λ thích hợp, ta sẽ được phương trình vi phân cấp hai Giải phương trình này, chúng... λ X = 0 ⎨ ⎩T '− λ kT = 0 (2.20) Hơn nữa, vì hàm u = XT phải thoả điều kiện (2.16) nên: X(0) = 0, X (π ) = 0 (2.21) ⎧ X ''− λ X = 0,0 < x < π ⎨ ⎩ X (0) = X (π ) = 0 (2.22) Bài toán trị riêng hàm riêng là: Lấy λ < 0 thì nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trong (2.22) là X = A cos −λ x + B sin −λ x với A, B là các hằng số tuỳ ý Điều kiện biên trong bài toán (2.22) buộc rằng X(0) = A = 0 X (π ) =... (1.18) xu ' = 0 khi x → 0 m là hằng số thực, λ là tham số (1.17), (1.18) là bài toán Sturm – Liouville có một điểm kỳ dị tại biên x = 0 Đặt t = x λ thì (1.17) trở thành d ⎛ du ⎞ m 2 u + tu = 0 ⎜t ⎟ − dt ⎝ dt ⎠ t hay d 2u du t +t + (t 2 − m2 )u = 0 (1.19) 2 dt dt Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai gọi là phương trình Bessel bậc 2 m Ta muốn tìm nghiệm riêng giải tích tại t = 0 dưới dạng chuỗi