BO GIO DUC V DO TAO TRlTCẽNG DAI HOC SU* PHAM H NễI BI THI THO PHẫP BIEN DễI FOURIER RễI RAC LUN VAN THAC SI TON HOC H NQI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI _ _ _ BI TH THO PHẫP BIẫN I FOURIER RI RAC Chuyờn ngnh : Toỏn Gii tớch Mó s : 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC Ngũi hng dn khoa hc: TS Nguyn Vn Khi H NI, 2015 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS Nguyn Vn Khi Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc nht ti TS Nguyn Vn Khi, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tỏc gi hon thnh lun ny Tỏc gi xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun tt nghip Tỏc gi xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố, ngi th õn ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tỏc gi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng 12 nm 2015 Tỏc gi Bựi Th Tho LI CAM OAN Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS Nguyn Vn Khi, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch vi ti Phộp bin i Fourier ri rc tụi t lm Cỏc kt qu v ti liu trớch dn c ch rừ ngun gc Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 12 nm 2015 Tỏc gi Bựi Th Tho Mc lc M u K I N T H C C H U N B 1.1 Mt vi khỏi nim gii t c h 1.1.1 Mt s nh l ca l thuyt tớch phõn 1.1.2 Khụng gian L p (1 < p < oo) 1.1.3 Tớch chp 1.1.4 Tớch phõn D i r i c h l e t Chui Fourier v tớch phõn F o u r i e r 10 1.2.1 Chui F o u r i e r l 10 1.2.2 S hi t 10 1.2.3 Tớch phõn F o u r i e r 12 1.2 P H ẫ P B I N D I F O U R IE R 2.1 2.2 Phộp bin i Fourier L (K) 13 13 2.1.1 Phộp bin di F o u r i e r 13 2.1.2 Mt s dng bin i Fourier khỏc 16 2.1.3 Cỏc tớnh cht 18 Phộp bin i Fourier L (Rn) 22 2.2.1 nh n g h a 22 2.2.2 Tớnh cht 23 P H ẫ P B I N F O U R IE R R I R C 26 3.1 Chui Fourier rũi rc 26 3.2 Phộp bin i Fourier rũi rc 27 3.2.1 nh ngha 27 3.2.2 Biu diờn phộp bin i Fourier rũi rc di dng m a trn 3.2.3 3.3 32 Tớnh cht ca phộp bin i Fourier rũi rc Phộp bin i Fourier nhanh 34 41 M T VI N G D N G C A P H ẫ P B N i F O U R IE R R ề R C 46 4.1 46 Phõn tớch ph tớn hiu 4.2 Tớnh tớn hiu h thng ri rc LTI 4.3 B lc hai chiu dựng F F T K t lu n 51 52 54 T i liu t h a m k h o 55 M u Lớ chn ti Lý thuyt chui Fourier úng vai trũ quan trng gii tớch toỏn hc cng nh toỏn hc tớnh toỏn Cú nhiu bi toỏn toỏn hc v thc tin khoa hc k th u t dn ti vic nghiờn cu phộp bin i Fourier Trong toỏn hc, phộp bin i Fourier ri rc, ụi cũn c gi l phộp bin i Fourier hu hn, l mt bin i gii tớch Fourier cho cỏc tớn hiu thi gian ri rc u vo ca bin i ny l mt chui hu hn cỏc s thc hoc s phc, chớnh vỡ vy bin i ny l mt cụng c lý tng x lý thụng tin trờn cỏc mỏy tớnh c bit, bin i ny c s dng rng rói x lý tớn hiu v cỏc ngnh liờn quan ti tớch phõn tn s cha mt tớn hiu, gii phng trỡnh o hm riờng v lm cỏc phộp nh tớch chp Bin i ny cú th c tớnh nhanh bi th u t toỏn bin i Fourier nhanh Nú cũn ỏp dng vo nhiu ng dng nh lc, nộn nh, phúng i nh Vi mong mun tỡm hiu v phộp bin i Fourier ri rc, di s hng dn ca thy giỏo TS Nguyn Vn Khi tụi ó nghiờn cu ti: "Phộp bin i Fourier ri rc" M c ớch nghiờn cu Lun nghiờn cu cỏc phộp bin i Fourier, phộp bin i Fourier ri rc v mt vi ng dng ca nú N h im v nghiờn cu Nghiờn cu v phộp bin i Fourier ri rc, nờu c mt s ng dng ca nú i tng v phm vi nghiờn cu - Chui Fourier, tớch phõn Fourier - Phộp bin i Fourier, phộp bin i Fourier ri rc - n g dng Phng phỏp nghiờn cu Phng phỏp phõn tớch v tng hp ti liu ó cú t ú h thng li cỏc liờn quan ti ti D kin úng gúp H thng li cỏc c bn ca phộp bin i Fourier, phộp bin i Fourier ri rc v nờu mt s ng dng v phộp bin i Fourier ri rc Chng KIN THC CHUN B* 1.1 1.1.1 M t vi khỏi nim gii tớch M t s n h lý c a lý t h u y t t c h p h õ n Mc ny nhc li mt s kt qu v lý thuyt tớch phõn, c trớch dn ch yu t ti liu [1] n h lý 1.1.1 Cho (f n) l dóy tng cỏc hm kh tớch Lesbesgue trờn c ~Rn cho sup f n f n < oo Khi ú, (f n) hi t hu khp ni trờn n v mt hm f kh tớch trờn ri v \\fn /II : = f n \fn (X) / (:r)| d x ằ n > 0 n h lý 1.1.2 (nh lý hi t b chn ca Lesbesgue) Cho ( / n) l mt dy cỏc hm (thc hoc phc) kh tớch trờn Q c tho món: () fn b chn u bi mt hm khụng õm kh tớch trờn 2, l/n (t)\ < { t ) , Vn > 1, Vớ G Ê1 (ii) Dóy {/n} hi t hu khp ni ti f trờn Q Khi ú f kh tớch v IIf n - / I I = lim [ n->00 Jn If n ( t ) - { t ) \ d t = n h lý 1.1.3 (nh lý Fubini) Cho F kh tớch trờn X Khi ú vi h u h t X r i t a cú F (X,.) :i>F (X, y) kh tớch trờn a: / F ( x , y ) dy kh tớch trờn ới J n2 Kt lun tng t i vai trũ X cho y, cho - Hn na ta cú: dx F (x,y )d y = ' * 0.2 J 11 1 dy fỡ2 F (x,y )d x = è1 / F (x,y)d xd y J n 1x i K h ụ n g g i a n L p (1 < p < oo) n h n g h a 1 Cho p Ê R , < p < oo, ta nh ngha: (ớ) = { / : ớl > M (hoc c ) ; f o c v \ f\p kh tớch} , L (ớ) = { / : Q > M (hoc c) ; f o c v C > 0, I/ (a:)| < c h.k.n} v ký hiu: \\f\\p = { / \ { x ) \ p d x } p ll/lloo = i n f { C 1; I / 0*01 ^ c h u k h P n i) N h n x ộ t 1.1.1 Nu f G L (ớ) thỡ I / (x)| < ll/ll^ vi hu ht * Ta kớ hiu q l s liờn hp X G 1 ca p, tc l Pi q > 1v I = p q n h lý 1.1.4 (Bt ng thc Holder) Cho f e L p v g e L vi < p < 00 Khi ú f g G L v: I l/.sl [...]... X + b \ s i n \ x ) d \ q-> J q 12 Chng 2 PHẫP BIN I FOURIER 2.1 P h ộp bin i Fourier trong L 1 (R) 2 1 1 P h ộ p b in i F o u rier n h n g h a 2.1.1 Cho / L 1 (M), hm / xỏc nh bi w = 4y / Zr7 *r' 00 f ^ e~,Ut ớ2'1) c gi l phộp bin i Fourier ca / V ớ d 2.1.1 Cho / (X) = e1^15OI > 0 Tỡm bin i Fourier f ca f (X) Li gii p dng cụng thc bin i Fourier ta cú: f (X) = J e~a^ e ~ iXidt = /*00 _ /... r i e r k h ỏ c n h n g h a 2.1.2 (Bin i Fourier ngc) Nu / L 1 (R) v / Ê L 1 (E) l bin i Fourier ca / thỡ ta cú c gi l bin i Fourier ngc ca / 16 C h ỳ ý 2.1.1 i vi hm ch xỏc nh vi X > 0, ta cú cụng thc bin i Fourier dng sin v dng cosin Chng hn vi hm f (X) xỏc nh vi rng hm X > 0, ta m f cho giỏ tr X < 0 bng nh n g h a f ( x ) / ( X ) v thc hin bin i Fourier cho hm chn ta cú: 1 ~ / ( X) = - ^... bin i fourier ri rc ca x ( n ) nh sau: N -l è 2 n k n / N X (k) x (n) -e _ i n=0 L-l ^ ^ g i 2 n k n / N Qi 2 n k L / N ^ g i 2 i k / N 71=0 s i n { k L / N ) e_i7rfc(i sin(jk/N ) 3.2 P h ộp bin i Fourier ri rc 3 2 1 n h n g h a Phộp bin i Fourier ri rc ca a; l hm X xỏc nh trờn {0,1, ,JV - xỏc nh bi: JV -1 X { k ) = J 2 x (n ) w k n k = 0 , l , N - 1 n=0 27 (3.4) 1> Nh vy phộp bin i Fourier. .. ^ÊZ sm A :c e axcosXxdx - i +a]ix) = 13 7T 2 + a;2 V ớ d 2.1.2 Tỡm bin i Fourier ca hm / x 2e~x = \ /w ,X > 0 ,x< Li gii p dng cụng thc bin i Fourier ta cú: / 00 1 /*c *_ / /f (rA (z) p-*H.r e~iXxdx = ~ ^ = / \Z2 tT J n y/2 -oo y/2r 0 1 / 2 tt in >/2 1 x 2e~xe~iXxdx 2 ar2e - (1+iA)*da: = - a/27 /2 t (1 a + ) Vy phộp bin i Fourier ca hm f ( x ) l : f ( x ) = 3 1 V Z k ( 1 + X ) 3' n h lý 2.1.1... n