BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM H N I NGUYỄN THỊ THU H SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ u0- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Phụ Hy HÀ N I – 2015 LỜI CẢM ƠN ăn ng ĐH T t ơn ôi su T tr ng ĐH H T ộ is h H PGS.TS Nguy h H G T c H n văn G ,T ộ T , , y cô th ct ă Hà Nộ , ăm 2015 T T T H L I CAM ĐOAN ă Tôi xin cam d G T is h ên c H Tôi xin cam oan r n văn n lu n văn g c Hà Nộ , ăm 2015 T T T H MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý ch n ề tài M c ích nghiên c u .2 Nhi m v nghiên c u Đ i t ng ph m vi nghiên c u .2 Ph ơng pháp nghiên c u Những óng góp c a lu n văn Chƣơng : KI N THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach n a s p th t .4 1.1.1 Đ ộ t sơ .4 p th t không gian Banach .7 1.2 1.3 c giữ u0 - o c 11 1.4 .15 15 19 1.5 Không gian Banach n a s p th t Rn , C[a;b] 19 1.5.1 Không gian Rn ,n∈ N* 19 1.5.2 Không gian C[a;b] 29 Chƣơng SỰ TỒN SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ u0- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ 40 2.1 Đ nh ngh a toán t u0 - lõm chí ính ch t sơ c p 40 2.2.Toán t u0 –lõm quy tác d ông gian Banach .43 2.3 S t n t i vectơ án t u0 – lõm quy tác d ng không gian Banach v 46 2.3.1 Đ 2.3.2 u0 – V 47 F .50 54 KẾT LUẬN .59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài ý ể ý ộ ể ý ề ộ ề ộ ề ổ ề ổ : Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec, C :T , , F , ổ B ( 96 ), ộ ong không gian ( 956) GS TS B ề ề ( 959), ơ ( 98 ), (K, u0) - B ỗ ộ ( 98 ) C ,B ữ ộ ă ề B , 987, G T H ( 3) T ề ơ ộ ( , u0) -lõm ể ề B ộ u0 Để , rong công trình tor riêng ể ổ ề h ù V ể â T h ề ề , , H , PGS.TS :“ 0- lõm “ không gian Banach Mục đích nghiên cứu Đề , ộ ộ ề ổ - ề nón Nhiệm vụ nghiên cứu T ể ề T ể ề B u0- lõm quy B T Rn u0ở ộ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đ :C , u0 - lõm quy ề u0- lõm quy tác B :C , u0- B Phƣơng pháp nghiên cứu T ề u0- lõm B Tổ T , phân tích, ý , Những đóng góp luận văn ă ổ Không g B ề Mộ T S ề: u0- lõm u0- lõm quy Rn u0ở ộ ý C ể ă ể ộ ộ Hy CHƢƠNG KI N THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.1.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach ộ E ỗ , ề N1, ộ N2, x∈ K N3, x∈K N4, x∈K E T : E; y∈ , x+y∈K; tx ∈ K ; â , x≠θ -x  K ( θ gian E) Định 1.1 θ∈K ộ ộ T *) ∀ x ∈ K, ∀ t ∈ , *) ∀ x, y ∈ K, ∀ t ∈ [ 0; V tx ∈ K =0 θ = 0.x ∈ K tx ∈ K, (1- t)y ∈ K suy tx + ( – t )y ∈ K Định 1.1.3 G ộ G K 1, ữ ù ý ộ ( ∈ N*, n ≥ ) K2, , Kn E n j1 Kj T *) Do ộ 1, K2, ,Kn , không gian E x, y ∈ Kj, ( j  1,n)  x + y ∈ Kj, (j  1,n)  x + y ∈ K *) ∀ x, y ∈ *) ∀ x ∈ , x ∈ Kj, ( j  1,n) nên tx ∈ Kj, ( j  1,n)  tx ∈ K x ∈ Kj, ( j  1,n) nên - x  Kj, (j  1,n)  - x  K *) ∀ x ∈ K, x ≠ θ V ộ Định 1.1 G F , ộ , ỗ E không gian E ộ F T T Đ ộ , K(F) = { z ∈ E : z = tx, x ∈ F, t ∈ R+ } C F (F) F , , ∅ ∅ V (F) x∈F m x M > : x  M, x  F F m  inf x xF G x n n1  F =0 cho lim x n  hay lim x n  θ n n θ ∈ F, không gian E D F F V >0 x  inf x  m  0, x  F xF +) (F) z n n 1  K(F) =θ θ cho lim z n  z không gian E n  z = 0.x, x ∈ F  z = θ ∈ K(F) ε z  0, n  N* : n  n z n  z  z n -z  V zn ∈ K(F) nên zn = tn.xn zn  z  ε  1 z  z  z n  z , n  n 2 tn ≥ 0, xn ∈ F z 45 V V Đ AK  K x, y ∈ : ≤ xi ≤ ≤ Ax =  zi i 1 , Ay =  vi i 1 n n x i  0 zi    x i  ; x i  xi = yi = i 0 vi    yi  y i  yi  = vi = xi = 0, yi > = < vi  yi  i zi  xi   yi   vi < xi ≤ yi V =1, 2, , n i ≤ y *) (∀x ∈ K\ θ}) (∀ t ∈ (0; 1) ) T 0 =  wi i 1 , wi    tx i  n = tAx = tz =  ci i 1 , n 0 ci   t ( x i  ) V x ∈ K\ θ}  xi ≥ 0, ∃ xi > xi = i ∈ tx i   x i  tx i   x i  x i  x i  , , …, } = wi = ci  t ( xi  1) , wi  txi  xi > wi  ci  txi   (t xi  t )  txi (1  t )  (1  t )  t ∈ (0; 1) V w > tz Atx > tAx *) (∀x ∈ K\ θ} ) (∀ t ∈ (0; 1) ) Ta η= 1        (1   )t  t t t V x ∈ K\ θ}  xi ≥ 0, ∃ xi > T Atx = w =  wi i 1 n ∈ , , …, } wi  txi  xi > 0, wi = xi = 0; 46 ( +η) = t z =  hi i 1 n hi  t ( xi  ) xi > 0, hi = xi = xi = i = wi = xi > wi  hi  txi   t ( xi  1)  tx i (1  t )  (1  t )  t ∈ (0; 1)  hi < wi  t z < w  V > ( +η) u0 - lõm quy 2.3 Sự tồn vectơ riêng toán tử u0 - l m quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị G E  E, B u0 ∈ K\ θ}, : E → E Đ o hà tiệ 0– c n c a to n t Định nghĩa T n Q: E → E , Ax = Qx + W(x) , Định x∈ K; lim xK , x  W (x)  x ≤ x ∈ K C minh (∀ x ∈ K\ θ} ) lim t  Atx-Qtx t x :  lim t  W(tx) tx  > , ∃c1= c1(x,t) > 47 1 1 W(tx) Ax = A( tx)  (1+c1 ) Atx  Atx  [Q(tx)+W(tx)]  Qx + t t t t t  Ax  Qx + C W(tx) ,  t 1 t → +∞, Hể ≤ : , θ=θ≤ θ V ≤ Định x∈ K G ề , : , (∃ v∈ K(u0))(∀x ∈ ) 0– ,Đ ( 0) xQ Q ≤ ; iêng > 0; 3, , ( 0) C *) G ∈ (0; ) x =t 0l-1 Q Ax Q T Ax =A (t 0lQ-1Ax Q )  (1  c1 )t A(lQ-1Ax Q )  (1  c1 )t0 A(lQ-1Qx Q )  (1  c1 )t Ax Q -1  x =t 0lQ Ax Q  lQ1(1+c1)-1Ax Đ A1  lQ1 (1  c1) A  A1 : 0–  (∃x0 ∈ K(u0)) x0 ≤ Q -1 c1 =c1 (lQ Ax Q ,t )  cho , – , 1x0  Q1  lQ1 (1 c1 )1 Q ổ r1 (Q1 )  lQ1 (1  c1 )1 r (Q)  (1  c1 ) 1  ∈ K(u0), 48 *) ể  x0 ≤ n 1x0 = A1xn-1 = x1 ≤ 1x1 ( n = 1, 2, 3, ) = x2 ≤ ≤ 1xn-1 = xn ≤ ≤ , u  lQ1 (1  c1 )1 v  K (u0 )  D  x n n1  K (u0 )  K \ { } , ể  D  x n n1 ể sup  x n B ∈ K(u0) T n1     x n n1 ,  x n k 1 cho  k x n k  k , x n k  x n k -1   nên lim x nk k  C ( k 1, 2, ) lim x nk 1   k  Q1  21(1  r (Q)) C ể A1x n k -1 -Q1.x n k -1 x n k -1  (1  r1 (Q1 )) Suy 1 A1x n k -1  x nk 1 A1x n k -1 -Q1x n k -1 x nk 1  Q1 x nk 1 x nk 1  r1 (Q1 )  r1 (Q1 )  1 , 2  ề ể  x n n 1 T nên  x*  sup  x n n 1  K \ { } *) x0 ≤ n ≤ * ≤ , n ≤ n+1 = A1xn ≤ * 1x ( n = 1, 2, 3, ) , 49 suy x* ≤ A1x* (2.1) , α ≤ * ≤ xn ≤ ≤ ≤ βu0 , x* ∈ K(u0), x n  : α, β (2.2)  * x K   0  = , , → E f(t) = xn - tx* t , E T E f-1(K) tn = sup f-1( ), < αβ-1 ≤ n tn >  xn – tnx* ≤ , (2.2) H ể ,  tn+1 n n ∈ f-1( ) Hơ  xn nx ữ , xn+1 – tnx* n * > x* , - tnx* θ  tn n1 T , lim tn  t  [ 1; 1] n  G < , ∃c = c(x*, t) > cho A1tx* > (1 + c)tA1x* ( + ) *  x n   A12 x n  A12tn x*  A12 (  tn (1  c) A1 tx*  (1  c)tn x* t  tn+2 Đ ( + )n , t2k+1 Suy ra, t2k+1 n ( n 1,2, ) ( n = 1, 2, ) ( + ) 2k-1 ( n = 1, 2, ) ( + )kt1 > ( k = 1, 2, ), ( + ) 2k-1 t  lim tn  lim t2k 1   , *) tn * t tx )  n A1tx* t t k  â ề < = , 50 tnA1x* ≤ C x* ≤ 1tn A1x* ≤ →∞ T ( ) = xn+1 ≤ 1xn * * ( n = 1, 2, ) , (2.3) A1x* = x*  Ax* = lQ(1+c1)x* ( 3) ( 0) 2.3.2 u0 – o hà r ch t c a to n t Định nghĩa :E→E T ( Định θ) F Ax-Aθ-Px , lim xK , x 0 u0  , : x u0 – , u0 – F θ t x ∈ K; ≤ b, ( ∀x, y ∈ : ≤ ) ≤ C x  K \{ } a, G Ptx  Atx lim t 0 u0  lim t 0 t x Ptx  Atx u0 0 u0 0 , tx – F D Ptx  Atx lim t 0 t  lim u0 t 0 Ptx  Atx t , (    0) ( t0 (0;1) ) cho  t ( 0; t0 ] Ptx  Atx t  u0  T  – : : u0 Ptx  Atx   u0 ,  t (0; t0 ] t suy (2.4) 51 Px  Ptx  Atx Atx     u0  Ax,  t (0; t0 ] t t V =θ θ=θ≤ θ=θ V ≤ x ∈ K , ∈ , ≤ ,G Py  Px  ≤ Px, ∀ x  K \{ } ε>0 ù ý > ù ý, Pty  Aty Ptx  Atx Aty  Atx    2 u0 t t t T ù ý , ∀x, y ∈ , ≤ Định ( (2.4)) ε > 0, ≤ G ề , : sau t ∈ K(u0) 0– , θ = θ; 2, u0 – F xp  K(u0) θ p > 3, , ( 0) C *) G , au0 ≤ p ≤ T lim Atx p  Ptx p t 0 u0 t 0 t xp  lim t 0 ,  lim Atx p  Ptx p Atx p  Ptx p t  lim u0 t 0 u0 tx p Atx p  Ptx p t 0 u0  ε = ( p – l )a > 0, ∃t0 ∈ (0; 1), ∀t ∈ (0; t0 ] 52 Atx p  Ptx p      u0  t t u0 At0 x p  Pt0 x p      u0  t0 D Atx p  Ptx p   u0 , At0 x p  Pt0 x p t0 u0   u0 , At0 x p t0 At0 x p  Pt0 x p   Px p    u0  l p x p t0   (l p  l ) au  l p x p Đ = t0xp , A1 = l-1 x0 = t0xp ≤ ể *) x0 ≤   (l p  l ) x p  l p x p  lx p -1 1x1 = x2 ≤ - ≤ n = A1xn-1 ≤  x n n1 ể ≤ -1 ,  K(u0), l-1v ∈ K(u0)  x n n 1 ữ , At0xp = A1x0 x0 ∈ K(u0), u = l-1v ∈ K(u0), Hơ ∈ K(u0), A1 xn = A1xn-1 ( n = 1, 2, 3, ) = x1 ≤ 1x0 (∃N > 0)(∀n∈N*) x n  N l 1v  Nl 1 v  sup  x n n1  x*K \{ } , T 1, x0 ≤ G γ n ≤ * λ, γ ≤ ≤ , xn ≤ ữ ≤ n ≤ n+1 = A1xn ≤ 1x *  x* ≤ 1x * * ≤ ≤λ , (2.6) x* ∈ K(u0)    x n   u  u  x*  xn  x*      *) (2.5) ( n 1,2, ) 53 →E g: g(t) = xn – tx* , t E -1 E, Đ γλ-1 ∈ g-1(K), t ∈ g-1(K)  tn = sup g-1( ), θ  xn xn – tx* * tn ∈ [ γλ-1 ; 1] ( ) > x* , â ≤ , ( 6) D n > ∈ g-1( ) = , ,  tn n1 *) D xn+1 – tnx* D n θ  tn+1 – tnx* n  tn n1 ( n = 1, 2, ) , , i lim t  t (0; 1] n n G , ∃c2 = c2(x*, t) > cho < A1tx* > (1 + c2)tA1x* ( + 2)tx * t t  xn   A12 xn  A12tn x*  A12 ( n tx* )  n A1tx* t t t  n (1  c2 )tx*  (1  c2 )tn x* ( n 1,2, ) t  tn+2 ( + )tn ( n = 1, 2, ) Suy ra, t2k+1 D ( + ( + 2)kt1 > ( k = 1, 2, ) )t2k-1 tn  lim t2 k 1   , mâu thu , t  nlim  k  ề < Nên t = *) tnA1x* ≤ Cho 1tn → +∞ x* ≤ 1xn = xn+1 ≤ A1x* ≤ * * ( n = 1, 2, ) (2.7) 54 T ( 5) A1x* = x*  Ax* = lx* ( 7) ( 0) - Ví dụ T ềt ề vector riêng - quy t t = G u =( 1, x2, , xn) ∈ Rn : xi 0, = 1, 2, , n } = ( u1, u2, ,un) ∈ K\ θ}, ui > 0, ∀ = , , …, T K(u0) = { x = ( x1, x2, , xn) ∈ Rn: xi > } : Rn → T n Ax = z =  zi i 1 n x 0 zi   1 x i  x i > T u0 - lõm quy v =  vi i 1 ∈ K(u0) cho vi = 1, ∀ i = 1, 2, , n n , K zi ≤ vi =1, ∀ i = 1, 2, , n  z ≤ , V ∀x =  x i i1 ∈ K u0 - lõm quy n , ≤ v v∈ K(u0) ≤ x∈  n : n → =θ x T = + ( ) = ∈ K ( ), n 0 W(x) Ax   x x Suy  (zi )2 i 1 x  n x ≤ zi ≤ 1, ∀ i = 1, 2, , n 55 0 lim xK , x  W (x) W (x) n  lim   lim 0 xK , x  x xK , x  x x , ề 33 V vector riêng K(u0)  T ể vector riêng K(u0) T ỗ ỗ x  K(u0) ể λ>0 =λ =  x i i1  K(u0) xi > 0, ∀ i = 1, 2, , n nên Ax = z =  zi i 1 n n G ;  x    x i i 1 n zi = 1, ∀ = , , …, = λ    x i , i  1,2, , n  x i  V D ỗ  K(u0) x =  x i i1 n t = G xi   t v t rr =( 1,  0, i  1,2, , n λ>0   0, i  1,2, , n t không t : v ỗ u t u K(u0) x2, , xn) ∈ Rn : xi 0, = , , , } = ( u1, u2, ,un) ∈ K\ θ}, ui > 0, ∀ = , , …, T K(u0) = { x = ( x1, x2, , xn) ∈ Rn: xi > } t T u0 - lõm quy v u0 - lõm quy A: Rn → x   x i i1 n 0 zi    x i  x i  x i  n Ax = z   zi i 1 n 56  n : n → =θ x T = + ( ) = n 0  (zi )2 W (x) Ax   x x ∈ K ( ), i 1 x n   ( x i  1)2 i 1 x B Theo n n i 1 i 1  x i  2 x i  n  x : n n  n  x  n x   i  xi  n x  i  i 1 i 1  i 1  n n  n  x  n x  n n x   i  xi  n x  i  i 1 i 1  i 1  Suy  W (x)  x 0  n x x lim xK , x  lim xK , x   n2 x x  n x W (x)  lim xK , x  x n  x  n  x n2 x  n2 x n x n  x 0 W (x) 0 x T u0 - lõm quy A v∈ K(u0) T , ∀ = , , , ≤ v, ∀x ∈ K Ax ≤ v, ∀x ∈ K  xi   vi i > v =  vi i 1 ∈ K(u0) n i > 0, 57 =  ui i 1 ∈ K n T = vi2 , ∀ = , , , , i wi  vi2   vi , ∀ = , , , ,ở > , 33 ề =  wi i 1 , n â ề u0 - lõm quy A v∈ K(u0) K(u0) T T ỗ ỗ x  K(u0) ể λ>0 =λ x =  x i i1  K(u0) i V > 0, ∀ i = 1, 2, , n nên Ax = z =  zi i 1 n n G i xi  , ∀ = , , …, n ;  x=  λx i i 1 n = = λ  xi    xi   xi  xi   0, i  1,2, , n  xi    4  2   4   xi   0, i  1,2, , n 2 2 ỗ n  K(u0) , ề x =  x i i1 v∈ K(u0) K(u0) λ>0 xi   2   4 0 2 u0 - lõm quy A ề ể u0 - lõm quy A 58 K T LUẬN ă :“ i vector B không gi ộ ă C – ề ổ ề : T ề , , B , , không gian E u ( 0) Rn, C1[a;b] ề C 0- : 0– B T ề ề , – , ộ Rn u0 – D ă ữ , ý ể T â ă ể , 59 T I LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [ H ( 987), “C p t ọ , [ v tơ r 5( t ọ , [3 ể bất 5( [ t ớp p H ộ ,( uẩ , T t õ qu , trì p tu ế , Thông tin ) , ( 3-30) ýv ĐH [5 H (2006), G ả t [6 H ( 007), Bà tâp G ả t ó tr H , ộ ô ,( B ), ( -8) ỹ , H B ộ ỹ ộ H ( 3), C [7] quy, T [8 H qu , t H ( 99 ), “M t số H õ ), ( 7- 32) H ( 989), “V ĐH t ), ( 7-23) H ( 987), “C p t T v tơ r , ( 003), d ĐH t t H ả t t (K,u0) - lõm ộ , , , Đ ô tu ế t 8-127 H ộ Tài liệu tiếng Nga [9] Bakhtin I.A (1959), V t õ õ p u,D trì ,T 6, [10] Kraxnoxelxki M,A (1962), C t vớ t , trang - 12 d p trì t , Maxkva, Nxb Toán lý [11] Bakhtin I.A (1984), C tu ế t vớ t t d õ , Vôrônegio p trì ô [...]... tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.5 G V E B x y x, y  E, Định , ộ y – x  K, x < y E y – x  K\{ θ} 1.1 “  “ 5 ộ trong không gian E C T : *) ( x E) x  x, vì x – x = θ ∈ K “ “ *) (  x, y, z ∈ E : x ≤ , ≤ )  x – y ∈ K, y – z ∈ K  z – x = (z – y )+( y – x) ∈ K  x ≤ “ “ *) (  x, y ∈ E : ≠ ≤ , ≤ ) = – x ≠ θ, ≤ V “ “ ≤ =  y – x ∈ K x – y  â 8 “ “ V ộ : không gian E theo nón. .. Eu0 D =   ,  n  n0 , ( xn )n 1 B E u0 n 0 - (xn - x ) ∈ E u 0 – ộ trong E u 0 theo u0 – 1.4 ón cực trị Định nghĩa 1 .4 G E K E B , ỗ ( xn ) n 1  K k u ∈ K, ở ỗ ∈ , ( yn )n 1  , ở ă , ề sup (xn )n 1  K , inf ( yn ) n 1  K 1 1.5 Các không gian nửa sắp thứ tự Rn, C[a;b] * 1.5.1 Không gian Rn , n  N a) Không gian Rn = { x = (x1, x2, , xn ) : xi ∈ R, i = 1, 2, , n } ( n ∈ N* ) ù x... inf(t1  t3 ) , xu  y u0  inf t2  inf t4  inf(t 2  t4 ) 0 0 Nên x u  y 0 x y V u0 D u0  max{inf(t1  t3 ),inf(t 2  t4 )  x  y  xu  y 0 u0 u 0 u0 ộ u 0 C : Eu0 0 – 1.4 Nón chuẩn tắc và nón cực trị 1.4.1 Nón chu n tắc và t nh ch t G E  E, B u0 ∈ K\ θ} Định nghĩa 1 .1 , : (  0)(e1, e2  K : e1  e2  1) Định e1  e2   1 .2 C ề , â ơ ơ ; 2, (  M  0)( y  K\ { })(  xE y )...  , lim xi( k )  xi , i  1,2, , n , x  (1.6) ơ x  (k ) ộ → ∞ trong Rn V ộ ộ n Banach K = { x = ( x1, x2, , xn) ∈ Rn : xi e) n ộ T , } ∈ Rn 0, = , , T *) θ  x   K, x (k ) *) G (k ) n ộ ơ ơ k  ộ ộ, ỗ lim xi( k )  xi = , ,…, k  V xi( k )  0, i  1,2, , n, k  N * nên xi 0, = , , V *) V lim x ( k )  x trong không gian  ( x1( k ) , x2( k ) , , xn( k ) ) x = ( x1, x2, , xn) ∈ Rn... +(x-αu 0 )  K Suy ra ∀x ∈ K(u0)  x ∈ θ} V ( 0)  K\ θ} ≠ θ 0 11 1.3 Phần tử u0 - đo đƣợc G E K  E, B u0 ∈ K\ θ} Định nghĩa 1 .1 x E , u0 - â s t1, t2 sao cho  t1u 0  x  t 2u 0  E u0 Định E 0 - 1 V ∈ E u0 t ỗ cho – α 0 â α = α( ), β = β( ) ≤ ≤ β 0 C ∈ E u0 G â  T T β : : ộ ộ B â E, -1 E ( ) ộ V ng trong không gian R inf f-1(K) = - ∞ ∃  t n n1  f 1 (K) sao cho tnu0 – x ∈  lim t n... 2, , n Suy ra  xi( k )  xi n  2   2 n   xi( k )  xi i 1   2 , i  1,2, ,n 2   xi( k )  xi  n i 1 2   , k  k0 hay x( k )  x   , k  k0 D ộ ể x  gian Eukleides Rn (k ) ơ n ộ ộ V , ộ ộ i 22 d) Không gian Rn T B x  (k )  , ơ k 1  Rn n ù ý ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀ , * ( ) x ( k )  ( x1( k ) , x2( k ) , , xn( k ) )  R n ộ , n0, x (k ) x   xi( k )  xi( p)  n  ( p) 2... ’ ( ) 1.2 Quan hệ thông ƣớc giữa các phần tử G E B K  E Định nghĩa 1 .1 G , ơ Định ∈ E x α, β sao cho αy ≤ x ≤ βy 1 .2 ộ C y, n ơ ơ E minh +) ∀ x ∈ E thì x thô > 0 ể 1.x ≤ x ≤ 1.x x, v +) G , ộ E: , ơ 1 1 sao cho αy  x  βy  x  y  x V β α +) G , , ộ E ơ , ay ≤ x ≤ by, cz ≤ y ≤ dz , , ,  (a.c)z ≤ x ≤ (b.d)z V V ộ ơ ơ E α, β 10 G ∈ K\{θ} 0 ( 0) a không gian E u0 Định 1 K(u0) ( 0)  K\ θ} ộ C... , n : K(u0) = { x = ( x1, x2, , xn) ∈ Rn : xi > 0, i = 1, 2, , n } Eu0 = {x = (x1, x2, ., xn) ∈ Rn } = Rn : V = Banach R2 Khi = {x = (x1, x2) ∈ R2: x1 0, 2 0} u0 = (1; 1) ∈ K\ θ} K(u0) = {x = ( x1, x2) ∈ R2 : x1 > 0, x2 > 0 } E u 0 = {x = (x1, x2) ∈ R2} = R2 29 1 1.5.2 Không gian C[a;b] C1[a;b] = { x : [ ; a) T → : [ , } ù ( x+ y)(t) = x(t) + y(t) , t ∈ [a; b] , (α )( ) = α ( ) , ∈ [a; b] =... ui  max  xi   xi 1i  n iI1 Suy ra –tui ≤ i ≤ ∈ E u0 D i ,∀ = , , , > 0 ể –tu0 ≤ ≤ 0 E u 0 = { x = (x1, x2, ., xn) : xi = 0, i ∈ I2} : *) V = x∈ V 0 Banach R1 = = ∈ : 0 } = [ 0; +∞) θ} K(u0) = { x ∈ : > 0 } = ( 0; +∞) E u 0 = {x∈ R} = R *) V Banach R2 = = {x = (x1, x2) ∈ R2: x1 0 = (1; 0) ∈ 0, 2 0} θ} K(u0) = {x = ( x1, x2) ∈ R2 : x1 > 0, x2 = 0} E u 0 = {x = (x1, x2) ∈ R2: x2 = 0}  T T : I2... *) (  x, y ∈ E : ≠ ≤ , ≤ ) = – x ≠ θ, ≤ V “ “ ≤ =  y – x ∈ K x – y  â 8 “ “ V ộ : không gian E theo nón K B E Định nghĩa 1.1 G E ộ Dãy ể x  Dãy ể   Các dãy n  xn ể n 1  n 1 B ∈E , ∈E không ă , ể x1 ≤ , x1 2 ≤ ≤ 2 n ≤ n ă ơ Định nghĩa 1.1.8 G E ộ B ộ , E T ở u  E, T ở  E, ( x  M) x  u (x  M) v  x Định nghĩa 1.1 G E B , E E , = , *) ( x  M) x  z; (uE)(  xM) x  u *)