BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ DUYÊN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH HAI HÀM SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ DUYÊN MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH HAI HÀM SUY RỘNG Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Tạ Ngọc Trí Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình làm luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Hoàng Thị Duyên LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Trong trình nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Hoàng Thị Duyên Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số thuật ngữ khái niệm 1.2 Không gian hàm thử Không gian hàm suy rộng Schwartz 2.1 2.2 Không gian hàm suy rộng D (Ω) 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Đạo hàm suy rộng 11 2.1.3 Sự hội tụ không gian hàm suy rộng D (Ω) Vấn đề tích hai hàm suy rộng Schwartz 14 2.2.1 Tích chập hai hàm suy rộng 14 2.2.2 Tích hàm trơn hàm suy rộng 15 2.2.3 Tích hai hàm suy rộng 2.2.4 Sự không tồn tích hàm suy rộng tổng quát 16 Hàm suy rộng Colombeau 3.1 3.2 13 20 22 Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau 22 3.1.1 Hàm suy rộng Colombeau ( G - suy rộng) Rn 22 3.1.2 Hàm suy rộng Colombeau tập mở Ω ⊂ Rn 25 Các tính chất vi phân đại số G(Rn ) 26 3.3 Số phức suy rộng 31 3.4 Giá trị điểm hàm G - suy rộng 33 3.5 Tích phân hàm G− suy rộng 35 3.6 Khái niệm G(Rn ) 3.7 Hàm G− suy rộng tăng chậm 43 3.8 38 3.7.1 Định nghĩa 43 3.7.2 Tích phân hàm suy rộng tăng chậm 45 3.7.3 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 48 Một số ví dụ cụ thể 48 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Có thể nói lý thuyết hàm suy rộng phát triển L Schwartz mở cửa cho phát triển số lĩnh vực toán học đại, chẳng hạn lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Lý thuyết L.Schwartz làm sáng tỏ vấn đề vật lý mà trước toán học chưa thể lý giải cách hoàn hảo Sau hoàn thành việc xây dựng lý thuyết hàm suy rộng L.Schwartz công bố công trình cho thấy lấy tích số hai hàm suy rộng tùy ý Điều dẫn đến việc tiếp tục nghiên cứu để tìm cách xác định tích hai hàm suy rộng số trường hợp cụ thể mà thực tiễn đặt Nhiều nhà toán học khác tham gia vào trình để giải vấn đề tích hai hàm suy rộng Một số thành công việc xác định tích hai hàm suy rộng số trường hợp, cách Mikusinski hay cách xác định dựa vào biến đổi Fourier Trong trường hợp tổng quát, để định nghĩa cách tổng quát rõ ràng dừng lại lý thuyết hàm suy rộng L.Schwartz, phải có đại số mà hàm suy rộng L.Schwartz tập ( theo nghĩa đó) từ lấy tích cách tùy ý Cuối vào năm 80 kỷ 20, lý thuyết hàm suy rộng nhà toán học người Pháp J F Colombeau giới thiệu Ở hai chuyên khảo liên tiếp [9] [10] ông trình bày cách xây dựng đại số hàm suy rộng mới, hàm suy rộng Colombeau Trong đại số này, mong muốn hàm suy rộng L Schwartz nhúng vào tập con, từ mặt lý thuyết ta xác định tích hai hàm suy rộng Đại số hàm suy rộng J.F.Colombeau sau đời giúp số nhà toán học ứng dụng đưa kết nghiên cứu việc giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Hiện nay, nhóm nghiên cứu (chẳng hạn Đại học Bách khoa Viên- Áo) hoạt động thường xuyên đưa kết Với mục đích tiếp cận hướng nghiên cứu toán học đại, định hướng hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí, lựa chọn đề tài "Một số vấn đề tích hai hàm suy rộng" cho luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sỹ Trong luận văn này, nghiên cứu kết lý thuyết hàm suy rộng L Schwartz kết thể lấy tích hai hàm suy rộng cách tổng quát Tiếp theo tìm hiểu số cách xác định tích hai hàm suy rộng để giải số ví dụ cụ thể tích hai hàm suy rộng Phần cuối luận văn trình bày vấn đề đại số hàm suy rộng J.F.Colombeau tìm hiểu số ví dụ cụ thể tích hai hàm suy rộng Colombeau công bố gần Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu tìm hiểu phát triển toán tích hai hàm suy rộng - Tìm hiểu không gian hàm suy rộng L.Schwartz đại số hàm suy rộng Colombeau 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu , nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Trình bày định nghĩa, ví dụ cụ thể hàm suy rộng - Một số vấn đề thực tiễn dẫn đến việc phải nghiên cứu tích hai hàm suy rộng - Một số giải pháp tìm cách xác định tích hai hàm suy rộng vấn đề liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Hàm suy rộng L Schwartz, số phương pháp tìm cách xác định tích hai hàm suy rộng; đại số hàm suy rộng Colombeau số vấn đề liên quan - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến tích hai hàm suy rộng Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng kiến thức, phương pháp công cụ giải tích hàm để tiếp cận vấn đề - Thu thập nghiên cứu tài liệu liên quan, đặc biệt báo vấn đề tích hai hàm suy rộng Đóng góp -Đây tài liệu giúp cho người quan tâm tìm hiểu vấn đề liên quan đến phát triển toán tích hàm suy rộng Chương Kiến thức chuẩn bị Chương hệ thống lại số thuật ngữ, khái niệm kết không gian để làm sở cho việc tiếp cận kiến thức chương Các kiến thức tham khảo tài liệu [3], [4] [14] 1.1 Một số thuật ngữ khái niệm Ta gọi phần tử α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn n- số (hay đa số) với bậc |α| = α1 + α2 + + αn Với đa số α , toán tử vi phân ký hiệu ∂ α = ∂ α1 ∂ α2 ∂ αn , ∂j = ∂ ∂xj toán tử Dα = D1α1 D2α2 Dnαn , Dj = ∂ i∂xi = −i∂j , j = 1, 2, , n Với α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn , β = (β1 , β2 , , βn ) ∈ Nn β ≤ α nghĩa βj ≤ αj , j = 1, 2, , n Nếu β ≤ α ta viết: Cαβ = Cαβ11 Cαβ22 Cαβnn , Cαβjj = αj ! ; j = 1, 2, , n βj !(αj − βj )! Ta ký hiệu C k (Ω) tập hợp hàm khả vi liên tục đến cấp k Với 41 Chứng minh Thật vậy, giả sử Fj = fj + I ∈ G(Rn ), fj ∈ EM [Rn ], j = 1, Nếu F1 ∼ F2 với ψ ∈ D(R) , ta có Suy g ∈ I0 với g(φ) = Rn Rn [ψ(F1 − F2 ] (x)dx = ∈ C ψ(x) [f1 (φ, x) − f2 (φ, x)]dx Mà ta có ∂ α Fj = ∂ α fj + I, j = 1, nên suy Rn [ψ(∂ α F1 − ∂ α F2 ] (x)dx = h + I0 ∈ C, ψ(x) [∂ α f1 (φ, x) − ∂ α f2 (φ, x)]dx h(φ) = Rn = (−a)|α| ∂ α ψ(x) [f1 (φ, x) − f2 (φ, x)]dx Rn Tuy nhiên ∂ψ ∈ D(Rn ) g(φ) ∈ I0 nên h(φ) ∈ I0 ⇒ ∂ α F1 ∼ ∂ α F2 Nếu F1 ≈ F2 Rn [ψ(F1 − F2 ] (x)dx ⇒ lim g(φε ) = Tương ε→0 tự trên, ∂ α ψ ∈ D(Rn ) lim g(φε ) = nên lim h(φε ) = hay ε→0 ε→0 ∂ α F1 ≈ ∂ α F2 Mệnh đề 3.14 δ không tương hợp với hàm T ∈ D (R) Chứng minh Thật vậy, giả sử ta có hàm T ∈ D (R) cho δ ≈ T Khi ta viết R (ψδ )(x)dx = g + I0 ∈ C, ψ ∈ D(R), R ψ(x)φ (−x)dx, φ ∈ A1 g(φε ) = R ψ(x)φ2ε (−x)dx = g(φ) = ⇒ ε R ψ(−εx)φ (x)dx Vì δ ≈ T ⇒ lim g(φε ) = T, ψ ∈ C, ∀ψ ∈ D(R) Tuy nhiên, với ψ ∈ ε→0 D(R), ψ = lân cận R φ2 (x)dx = ⇒ / R φ (x)dx → ε ε → Từ suy điều phải chứng minh Mệnh đề 3.15 Trong G(R) ta có H m ≈ H, m = 1, 2, với H hàm Heaviside 42 Chứng minh Thật ta có H(x) = ∂x+ , x+ = x ≥ 0 x < nên H ∈ C (R) Vì H = h + I ∈ G(R) với ∞ φ(y)dy, φ ∈ A1 , x ∈ Rn φ(y − x)dx = H(y)φ(y − x)dy = h(φ, x) = ∞ −x R n Vì H m = hm + I ∈ G , với φ ∈ A1 đặt χ(x) = x −∞ φ(y)dy χ ∈ C ∞ (R), χ(−∞) = 0, χ(∞) = 1, χ (x) = φ(x), x ∈ R Hơn ta x , ε > 0, x ∈ R thấy h(φε , x) = − χ − ε Với ϕ ∈ D(R) R [ϕ(H m − H)](x)dx = k + I0 ∈ C k(φε ) = R ϕ(x)ωε (x)dx m với ωε (x) = − χ − xε − − χ − xε Ta có lim ωε (x) = ε→0 x = m − χ − xε − − χ − xε Từ đó, ta đặt M = R |φ(y)| dy x = < ∞ |ωε (x)| ≤ (1 + M )m +(1+M ) ta có lim k(φε ) = suy điều phải chứng minh ε→0 Mệnh đề 3.16 Quan hệ ∼, ≈ không tương hợp với phép nhân G(Rn ) Chứng minh Ta xét F1 = F2 = xδ , ta có F1 ≈ 0, F2 ≈ G(R) Tuy nhiên lại có F1 F2 ∼ Thật vậy, giả sử F1 F2 = f + I , với f (φ, x) = x2 φ2 (−x), φ ∈ A1 , x ∈ R Khi với ϕ ∈ D(R) ta có g(φ) = R (ϕ.F1 F2 )(x)dx ϕ(x)x2 φ2 (−x)dx, φ ∈ A1 ϕ(x)f (φ, x)dx = R = g + I0 ∈ C, R Do ϕ(−εx)x2 φ2 (−x)dx, φ ∈ A1 , ε > 0, g(φε ) = ε R Suy lim g(φε ε ) = ϕ(0) ε→0 2 R x φ (x)dx, ∀ϕ ∈ D(R) g(φε ) ∈ / I0 Vậy F1 F2 ∼ Để chứng minh quan hệ ≈ ta thấy H m+1 ≈ H, m = 0, 1, 2, 43 suy (m + 1)H m δ ≈ δ, m = 1, 2, Đặc biệt ta có H ≈ H H.δ ≈ 21 δ Tuy nhiên ta lại thấy H.Hδ không tương hợp với H 12 δ Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 3.17 Nếu S, T ∈ D (Rm ) tồn S.T D S T ≈ phép nhân G(Rn ) S.T , ký hiệu Chứng minh Ta có S T = P +I với P (φ, x) = S, φ(., −x) T, φ(., −x) , φ ∈ A1 Với ϕ ∈ D(Rm ) (ϕ T )(x)dx = Q + I0 ∈ C, Q(φ) = S R Do Q(φε ) = Q(φε ) = Rn ϕ(x) S, φε (., −x) T, φε (., −x) dx Bây ta đặt − xε ρε dãy δ εn φ ρε (x) = Rn ϕ(x) S, φ(., −x) T, φ(., −x) dx Rn ϕ(x) S, ρε (x − ) T, ρε (x − ) dx = (S ∗ ρε ) (T ∗ ρε ) , ϕ → S.T, ϕ ε → Vậy nên có S 3.7 3.7.1 T ≈ S.T Hàm G− suy rộng tăng chậm Định nghĩa Gọi EM,τ [Rn ] tập hợp phần tử R ∈ E [Rn ] cho với đa số α tồn số nguyên dương N cho, với φ ∈ AN ta có + |x|N −1 (∂ α R) (φε , x) = O ε−N ε → Rn Nghĩa sup + |x|N −1 (∂ α R) (φε , x) ≤ cε−N (3.4) x∈Rn Với c > 0, ε > đủ nhỏ Nhận xét 3.4 Ta biết C ∞ (Rn ) ⊂ EM [Rn ] C ∞ ⊂ EM,τ Bởi lấy f (x) = ex ∈ C ∞ (R) f (x) ∈ / EM,τ [R] Thật f (x) = 44 εN ex N 1+|x| ex ∈ EM,τ [R] ta có ≤ c, ∀x ∈ R, N ∈ N, với ε > đủ nhỏ c > đủ lớn Tuy nhiên chọn x = εN ex + |x|N = εN e1/ε = + |ε|−N ε2N e1/ε + |ε|N ε ε2N 1 ≥ → ∞ ε → + εN (2N + 1)! ε2N +1 Vậy suy mâu thuẫn Tiếp theo ta gọi Iτ tập hợp tất phần tử R ∈ E [Rn ] cho với đa số α có số nguyên dương N β ∈ Γ cho với −1 q ≥ N, φ ∈ Aq ta có + |x|N (∂ α R) (φε , x) = O εβq−N ε → Rn Nghĩa sup + |x|N −1 (∂ α R) (φε , x) ≤ cεβ(q)−N (3.5) x∈Rn với c > ε đủ nhỏ Ta nhận thấy EM,τ [Rn ] ⊂ EM [Rn ] Iτ ⊂ I Ngoài Iτ Ideal EM,τ [Rn ] Hơn ta có Iτ ⊂ I I ⊂ EM,τ [Rn ] Bằng cách tương tự định nghĩa hàm G− suy rộng ta có: Định nghĩa 3.13 Mỗi phần tử thuộc đại số thương EM,τ [Rn ]/Iτ gọi hàm G− suy rộng tăng chậm Tập hợp hàm G− suy rộng tăng chậm ký hiệu Gτ (Rn ) Một hàm G− suy rộng tăng chậm F F = f + Iτ với f ∈ EM,τ [Rn ] từ suy DGτ (Rn ) ⊂ Gτ (Rn ) công thức Leibniz Ví dụ 3.5 Một ví dụ hàm G− suy rộng tăng chậm hàm f ∈ Cτ (Rn ) với Cτ (Rn ) = f ∈ C (Rn ) : ∃c ≥ 0, N ∈ N cho |f (x)| ≤ c + |x|N , Thật vậy, với f ∈ Cτ (Rn ) ta cho tương ứng với R ∈ EM,τ [Rn ] xác định bởi: R(φ, x) = Rn f (x + y)φ(y)dy = Ta có (∂ α R) (φ, x) = (−1)|α| Rn |α| Vậy nên (∂ α R) (φε , x) = (−1) Rn f (y)φ(y − x)dy f (y)(∂ α φ)(y − x)dy Rn f (x + εt)(∂ α φ)(t)dt 45 Từ ta có (1 + |x + εt|)N (∂ α φ)(t)dt (∂ α R) (φε , x) ≤ c1 Rn + |εt|N (∂ α φ)(t)dt ≤ c1 + |x|N Rn ≤ c1 + |x|N , ∀x ∈ Rn , ∀φ ∈ A1 Vậy suy Cτ (Rn ) ⊂ Gτ 3.7.2 Tích phân hàm suy rộng tăng chậm Cho F ∈ Gτ (Rn ), F = R + Iτ với R ∈ EM,τ [Rn ] Khi với ε > đủ nhỏ, N ∈ N, φ ∈ AN R(φε , )φ(.) ∈ S(Rn ) R ∈ EM,τ [Rn ] φ ∈ D(Rn ) Do I(φε ) = Rn R(φε , x)φε (x)dx xác định số phức suy rộng với số tự nhiên N ε > đủ nhỏ Trong định nghĩa số phức suy rộng ta định nghĩa hàm φ ∈ A1 Tuy nhiên ta thấy định nghĩa không thay đổi cho φ ∈ AN với N xét ε không đủ nhỏ Vậy φ ∈ AN ε không đủ nhỏ ta đặt I(φε ) = Ta có Mệnh đề 3.18 Với F = R + Iτ ∈ Gτ (Rn ) ta đặt I(φε ) = R(φε , x)φε (x)dx (3.6) Rn Nếu φ ∈ AN , ε đủ nhỏ I(φε ) = trường hợp ngược lại I ∈ C Chứng minh Ta chứng minh I ∈ EM Do φε (x) = φ(εx) nên I(φε ) = Rn R(φε , x)φ(εx)dx Ta cần chứng minh I ∈ EM trường hợp φ ∈ AN , ε > đủ nhỏ N n Ta có |R(φε , x)| ≤ c 1+|x| εN , ∀x ∈ R Mặt khác, φ ∈ D(Rn ) ⇒ φ ∈ S(Rn ) với p có: φ(y) ≤ cp n p , ∀y ∈ R + |y| 46 Chọn p = N + n + ∀x ∈ Rn ta có + |x|N c |R(φε , x)| φ(εx) ≤ N ε εN +n+1 (1 + |x|N +n+1 ) C ⇒ |I(φε )| ≤ 2N +n+1 hay I ∈ EM ε Ngoài R ∈ Iτ |R(φε | ≤ cR + |x|N εβ(q)−N , ∀x ∈ Rn , β ∈ Γ Tương tự ta có |I(φε | ≤ CR εγ(q)−N , γ(q) = β(q) − N − n − hay I ∈ I0 Vậy I ∈ C không phụ thuộc vào việc chọn phần tử biểu diễn F ∈ Gτ (Rn ) Trên cở sở mệnh đề 3.18 ta có định nghĩa Định nghĩa 3.14 Số phức suy rộng I xác định mệnh đề 3.18 gọi tích phân F Rn Ký hiệu Rn Nếu hàm G− suy rộng có giá compact F (x)dx Rn F (x)dx = suppF F (x)dx Như có định nghĩa tích phân F Rn Tuy nhiên hai tích phân tương đương với Thật vậy, F có giá compact nên ta chọn hàm biểu diễn R ∈ EM [Rn ] cho R(φε , x) = |x| ≥ a, a > suppF ⊂ {x : |x| < a} ε > đủ nhỏ Theo định nghĩa 3.10 ý ?? Rn F (x)dx = Rn R(φ, x)dx = |x|≤a R(φ, x)dx Mặt khác theo định nghĩa 3.14 Bây ta đặt d(φ) = |x|≤a R(φ, x) Rn F (x)dx = |x|≤a R(φ, x)φ(x)dx φ(x) − dx suy R(φε , x) φ(εx) − dx d(φε ) = |x|≤a Với φ ∈ Aq , ta khai triển Taylor φ tới bậc q + ta φ(εx) − ≤ c.εq+1 , ∀x : |x| ≤ a, suy d(φε , x) = O εβ(q)−1 β(q) = q + ∈ Γ hay d ∈ I0 47 Vậy hai định nghĩa tích phân với hàm F giá compact tương đương C Ngoài định nghĩa tích phân hàm G− suy rộng tăng chậm phù hợp với tích phân thông thường hàm f ∈ S Ta có Mệnh đề 3.19 Nếu f ∈ S(Rn ) f coi hàm G− suy rộng tăng chậm tích phân thông thường Rn f (x)dx xem tích phân Gτ (Rn ) Nếu f ∈ C (Rn ) có c > 0, η > : |f (x)| ≤ c n+η 1+|x| , ∀x ∈ Rn f xem hàm G− suy rộng tăng chậm Hơn (G) Rn f (x)dx Rn f (x)dx, tích phân vế trái tích phân thông thường Chứng minh Với f ∈ S(Rn ) ta có biểu diễn f Gτ (Rn ) Rf + Iτ với Rf (φ, x) = f (x), ∀x ∈ Rn Đặt d(φ) = Rn f (x)φ(x)dx − Rn f (x)dx = Rn f (x) φ(x) − dx Thì suy f (x) φ(x) − dx d(φε ) = Rn Do với φ ∈ Aq ta có |d(φε )| ≤ |f (x)| φ(x) − dx Rn cq+n+2 cq εq+1 |x|q+1 dx q+n+2 Rn + |x| cq+n+2 |x|q+1 q+1 q+1 ≤ cε , c= dx < ∞ q+n+2 cq ε Rn + |x| ≤ Suy d ∈ I0 Từ giả thiết suy f ∈ Cτ (Rn ) f ∈ Gτ (Rn ) nên f có biểu diễn Gτ (Rn ) R + Iτ , f (x + y)φ(y)dy ⇒ R(φε , x) = R(φ, x) = Rn f (x + εt)φ(t)dt Rn 48 Do (G) Rn F (x)dxcó biểu diễn C I I(φε ) = f (x + εt)φ(t)dt φ(εx)dx Rn Rn ⇒ lim I(φε ) = ε→0 Vậy suy (G) 3.7.3 Rn f (x)φ(t)dxdt = Rn f (x)dx Rn Rn f (x)dx (3.7) Rn f (x)dx Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm Định nghĩa 3.15 Cho F = R + Iτ ∈ Gτ (Rn ), R ∈ EM,τ [Rn ] Ta đặt e−ixy R(φε )φ(εy)dy, R(φε , x) = (3.8) Rn với N nguyên dương, ε đủ nhỏ, ngược lại R(φε , x) = Biến đổi Fourier hàm G− suy rộng tăng chậm F hàm G− suy rộng tăng chậm, ký hiệu FF F xác định FF = R + Iτ ∈ Gτ (Rn ) Với định nghĩa biến đổi Fourier hàm G− suy rộng ta định nghĩa biến đổi Fourier ngược F −1 F = F −1 R + Iτ ∈ Gτ (Rn ), với (F −1 R)(φε , x) = (2π)−n 3.8 Rn eixy R(φε , y)φ(εy)dy Một số ví dụ cụ thể Trong phần trình bày số ví dụ thể cụ thể tích hai hàm suy rộng số trường hợp Các ví dụ rõ ràng đại diện tích hàm đại số hàm suy rộng Colombeau Các kết tham khảo tài liệu [2], [12] [13] Trong [7] có kết sau đây: x−1 δ(x) = − δ (x) (3.9) 49 Trong [6] ta thấy ∀p ∈ N, tích hàm suy rộng x−p δ (p−1) (x) G(R) xác định x−p δ (p−1) (x) (−1)|p| (p − 1)! (2p−1) δ (x) = 2(2p − 1)! (3.10) Cũng [13], tích hàm suy rộng ln |x| δ (p−1) (x) G(R) xác định ln |x|.δ (p−1) (x) (−1)|p| (p−1) = δ (x) p (3.11) Ở tổng quát hóa công thức (3.10) cho trường hợp chiều Tích số dạng hữu hạn x−k δ (p) hữu ích lý thuyết học lượng tử (p) Định lý 3.5 Tích hàm suy rộng x−k + δ (x) với k = 1, 2, ; p = 0, 1, 2, G(R) (p) x−k + δ (x) (−1)k k.p! (k+p) δ (x) = (p + k + 1)! (3.12) Ở ý ký hiệu, chẳng hạn x−k + lớp tương đương (trong đại số hàm suy rộng Colombeau G(R)) với đại diện hàm x−k + Chứng minh Cho ϕ ∈ A1 (R) ta có suppϕ(x) ⊆ [ − l, l] Theo định nghĩa ta có x−k + = k (−1) dk (k−1)! dxk (ln x) Dùng quy tắc phép nhúng thay t = y−x ε ta có biểu diễn hàm suy rộng x−k + đại số Colombeau: x−k + (ϕε , x) x+d (−1)2k−1 (k) y − x) = ln yϕ dy (k − 1)!εk+1 x ε (−1)2k−1 l = ln(x + εt)ϕ(k) (t)dt k (k − 1)!ε (3.13) Trong D (R), ta có biểu diễn hàm suy rộng δ (p) (x): δ (p) (ϕ x (−1)p (p) ϕ − ε , x) = εp+1 ε (3.14) 50 ∀ψ ∈ D(R) ta có: (p) x−k + (ϕε , x).δ (ϕε , x), ψ(x) ∞ x−k (ϕε , x)δ (p) (ϕε , x)ψ(x)dx = lε l x (−1)2k+p−1 (k) (p) ln(x + εt)ϕ (t)dt ϕ − ψ(x)dx = (k − 1)!εp+k+1 ε l l (−1)p (p) = ϕ (u)ψ(−εu) ln |εt − εu| ϕ(k) (t)dtdu, (3.15) p+k (k − 1)!ε 0 với u = −x ε Theo công thức khai triển Taylor ta có p+k ψ (i) (0) ψ (p+k+1) (ηu) i (−εu) + (−εη)p+k+1 i! (p + k + 1)! ψ(−εu) = i=0 (3.16) Với η ∈ (0, 1) Thay (3.16) vào (3.15) thay đổi thứ tự phép lấy tích phân ta có (p) x−k + (ϕε , x).δ (ϕε , x), ψ(x) p+k (−1)p+i ψ (i) (0) Ji + O(ε) ln ε, i!(k − 1)!εp+k−i = i=0 Ji = l ϕ(k) (t)dt l (3.17) ln |εt − εu| ui ϕ(p) (u)du, i = 0, 1, , p + k Dùng công thức tích phân phần ta có: l l ϕ(k) (t)dt Ji = ln |εt − εu| ui ϕ(p) (u)du l l (k) = ϕ (t)dt ln |εt − εu| ϕ(p) (u)d(ui+1 − ti+1 ) i+1 0 l l (k) =− ϕ (t)dt (ui+1 − ti+1 ) ln |εt − εu| ϕ(p+1) (u)du i+1 0 l l i+1 u − ti+1 (p) (k) + ϕ (u)du ϕ (t)dt (3.18) i+1 u−t 51 Số hạng không ta có: i l l ts ϕ(k) (t)dt (i + 1)Ji = s=0 i = ui−s ϕ(p) (u)du Js,k Ji−s,p , (3.19) s=0 Ja,b = l v a ϕ(b) (v)dv , Ja,b = Với a = b ta có Ja,a = (−1)a a! Do số hạng khác không tổng đạt i = k + p Jk+p = Jk,k Jp,p p+k+1 p!k! = (−1)p+k p+k+1 Khi (p) x−k + (ϕε , x).δ (ϕε , x), ψ(x) (−1)p k.p! (k+p) = ψ (0) + O(ε) (p + k + 1)! (−1)p k.p! = δ (k+p) (x), ψ(x) + O(ε) (p + k + 1)! (3.20) Cho qua giới hạn ε → ta có công thức (3.12) Định lý chứng minh Tiếp theo, để mở rộng G(Rm ), ta cần bổ đề sau( chứng minh [5]) Bổ đề 3.1 Giả sử u, v phân phối D(Rm ) cho u(x) = m m i u (xi ); v(x) = i=1 v i (xi ) , với ui , v i ∈ D(R) giả sử phép nhúng i=1 G(R) thỏa mãn ui v i ≈ ω i , i = 1, 2, Thì u.v ≈ ω , ω(x) = m ω i (xi ) ∈ D(Rm ) i=1 (p) Định lý 3.6 Tích hàm suy rộng x−k + δ (x) với k = 1, 2, , p = 0, 1, 2, G(Rm ) (p) x−k + δ (x) (−1)k k.p! (k+p) = δ (x) (p + k + 1)! (3.21) 52 Chứng minh Trong trường hợp này, cấu trúc tích tenxơ hàm suy rộng xem xét, áp dụng bổ đề ta có: m (p) x−k + δ (x) i (pi ) (x ) x−k i i+ δ = i=1 (−1)pi ki pi ! (ki +pi ) δ (xi ) (pi + ki + 1)! (−1)k k.p! (k+p) = δ (x), (p + k + 1)! Theo định lý ta có điều phải chứng minh (3.22) 53 KẾT LUẬN Luận văn nhằm giúp người đọc hiểu vấn đề sở về: - Hàm suy rộng Schwartz toán xung quanh việc xác định tích hai hàm suy rộng không gian - Các vấn đề đại số hàm suy rộng Colombeau Tập hợp hàm suy rộng Schwartz "nhúng" đại số hàm suy rộng Colombeau Điều có nghĩa hàm suy rộng Schwartz nhân với không gian từ giải vấn đề cần phải nhân hai hàm suy rộng với mà thực tế số toán thực tiễn gặp Ngoài luận văn trình bày số ví dụ cho thấy cụ thể hàm tích hai hàm suy rộng đại số Colombeau Do thời gian trình độ có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 54 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Tôpô đại cương, độ đo tích phân, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Thị Nhị (2015), Cách xác định tích hàm suy rộng Mikusinski, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội [3] Hoàng Đức Trường (2011), Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội [4] Đặng Anh Tuấn (2005), Lý thuyết hàm suy rộng không gian Sobolev, Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [5] B Damyanov (1997), “Results on Colombeau product of distributions”, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, vol 38, no 4, pp 627–634 [6] B P Damyanov (1999), “Multiplication of Schwartz distributions and Colombeau generalized functions”, Journal of Applied Analysis, vol 5, no 2, pp 249–260 [7] C K Li (2007), “Several results on the commutative neutrix product of distributions”, Integral Transforms and Special Functions, vol 18, no 8, pp 559–568 55 [8] F Treves (1967), Topological vector spaces, Distributions and kernels, Academic Press, New York and London [9] J F Colombeau (1984), New Generalized Functions and Multiplications of Distributions, North Holland, Math Studies 84, Amsterdam [10] J F Colombeau (1985), Elementary Introduction to New Generalized Functions, North Holland, Math Studies 113, Amsterdam [11] M Grosser, M Kunzinger, and R Steinbauer (2002), "A Global Theory of Algebras of Generalized Functions", Advances in Mathematics, 166, 50–72, doi:10.1006/aima.2001.2018, Available at http://www.idealibrary.com on [12] Marija Miteva, Biljana Jolevska-Tuneska, and Tatjana AtanasovaPacemska (2014), "On Products of Distributions in Colombeau Algebra", Mathematical Problems in Engineering, Available at http://dx.doi.org/10.1155/2014/910510 [13] M Miteva and B Jolevska-Tuneska (2012), “Some results on Colombeau product of distributions,” Advances in Mathematics, vol 1, no 2, pp 121–126 [14] Tạ Ngọc Trí (2005), The Colombeau theory of generalized functions, Master thesis, KdV Institute, University of Amsterdam, The Netherlands [...]... Nếu hàm suy rộng U có đạo hàm suy rộng ∂U = 0 thì +∞ U, ϕ = U, ψ + ϕ(t)dt U, ρ −∞ +∞ ϕ(t)dt = ∂U, Ψ + U, ρ −∞ +∞ = ϕ(t)dt U, ρ −∞ Do đó nếu hàm suy rộng U có đạo hàm suy rộng ∂U = 0 thì U tương ứng với hàm hằng U ≡ U, ρ trong lớp hàm khả tích địa phương L1loc (R) Khi đó, với mỗi hàm suy rộng u ∈ D (R), luôn có một họ các nguyên hàm suy rộng mà hai nguyên hàm trong họ sai khác nhau một hàm suy rộng. .. 2.2.3 Tích hai hàm suy rộng bất kỳ Ở phần trên, chúng ta đã định nghĩa tích của một hàm trơn f ∈ C ∞ (Ω) và một hàm suy rộng u ∈ D (Ω) Bây giờ chúng ta muốn định nghĩa tích của hai hàm suy rộng tùy ý, nói riêng trên Rm , rõ ràng không thể dùng định nghĩa 2.6 cho 2 hàm suy rộng vì f φ có thể không là hàm thử nếu f ∈ D (Rm ); φ ∈ D(Rm ) Sau đây chúng ta sẽ xét một số cách định nghĩa tích hai hàm suy rộng. .. một hàm suy rộng Ví dụ 2.4 Với mỗi hàm f ∈ L1loc (Ω) và với α ∈ Nn , ánh xạ uf,α : φ → Ω f (x)(∂ α φ)(x)dx là một hàm suy rộng Định lý 2.1 Một phiếm hàm tuyến tính u xác định trên D(Ω) là một hàm suy rộng khi và chỉ khi lim u, φj = 0, j→∞ với mọi dãy {φj } hội tụ tới 0 khi j → ∞ 2.1.2 Đạo hàm suy rộng Trong không gian D (Ω) ta có: Bổ đề 2.1 Cho u ∈ D (Ω) là một hàm suy rộng Khi đó, với mỗi đa chỉ số. .. các tài liệu [4] và [14] 2.1 2.1.1 Không gian hàm suy rộng D (Ω) Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Mỗi phiếm hàm u : D(Ω) → C tuyến tính liên tục với tôpô trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz Không gian các hàm suy rộng trên Ω được kí hiệu D (Ω) Với mỗi hàm suy rộng u ∈ D (Ω) tác động lên mỗi φ ∈ D(Ω) được viết là u, φ Hai hàm suy rộng u, v ∈ D (Ω) được gọi là bằng nhau nếu u,... sup |φ(x)| K Nên lim k→∞ f (x)φ(x)dx K K |f (x)| dx K ρ k1 , φ − φ(0) = 0 hay ta có điều phải chứng minh (2.3) 14 2.2 2.2.1 Vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schwartz Tích chập của hai hàm suy rộng Định nghĩa 2.5 Cho u, v ∈ D (Rn ), tích chập của hai hàm suy rộng u, v là một phiếm hàm tuyến tính, ký hiệu u ∗ v , xác định bởi: u ∗ v, φ = u(y), v(x), φ(x + y) , φ ∈ D(Rn ) Chú ý 2.2.1 (i) u ∗ δ = δ ∗ u =... δ Trong trường hợp Ω = R , với u, U ∈ D (R), ta nói U là nguyên hàm suy rộng của hàm suy rộng u nếu đạo hàm suy rộng của U là u , nghĩa là ∂U = u Mệnh đề 2.1 Mọi hàm suy rộng u ∈ D (R) đều có nguyên hàm suy rộng Chứng minh Với mỗi ϕ ∈ C0∞ (R) đặt +∞ ψ(x) = ϕ(x) − ρ(x) ϕ(t)dt, −∞ x Ψ(x) = ψ(t)dt −∞ Có Ψ(x) ∈ C0∞ (R) nên với mỗi hàm suy rộng u ∈ D (R), ta có thể đặt U, ϕ = u, Ψ Khi đó U ∈ D (R) và x... [Rn ] và ít nhất một trong hai phần tử đó thuộc I thì R1 R2 ∈ I , do đó I là một ideal của EM [Rn ] Trên cơ sở đó, ta có thể xây dựng đại số thương EM [Rn ]/I Định nghĩa 3.3 (Hàm suy rộng Colombeau) Đại số thương EM [Rn ]/I , ký hiệu G(Rn ) (hoặc G) được gọi là đại số các hàm suy rộng Colombeau Mỗi phần tử thuộc G được gọi là một hàm suy rộng Colombeau Để tiện phân biệt với hàm suy rộng thông thường... 1.3 Trong không gian các hàm thử 1 Phép lấy vi phân ∂ α : φ → ∂ α φ là tuyến tính và liên tục trên D(Ω) với mọi đa chỉ số α 2 Với mọi f ∈ C ∞ (Ω) thì ánh xạ Mf : φ → f φ cũng là tuyến tính liên tục trên D(Ω) 9 Chương 2 Không gian hàm suy rộng Schwartz Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết hàm suy rộng Schwartz và vấn đề về tích hai hàm suy rộng Schwartz Các kiến thức... (|x|) = 0 Mặt khác ta đã biết ∂ 2 (|x|) = 2δ nên từ đây suy ra δ = 0 Mâu thuẫn này chứng tỏ không thể xây dựng một đại số chứa D (R) mà trong đó công thức Leibniz được thỏa mãn 22 Chương 3 Hàm suy rộng Colombeau Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong việc xây dựng đại số các hàm suy rộng Colombeau và các ví dụ về tích hai hàm suy rộng Colombeau Các kiến thức này được tham khảo trong... định như sau δ : D(Rn ) → C và δ, φ = φ(0) là một hàm suy rộng Thật vậy, ta có φ ∈ D(Rn ) nên φ là hàm khả vi liên tục mọi cấp và (δ, φ) = |φ(0)| ≤ 1 sup |φ(x)| , ∀φ ∈ D(Rn ) Mà suppφ ⊂ K − compact ⊂ Rn Do đó δ là một hàm suy rộng (gọi là hàm suy rộng Dirac hay hàm Delta Dirac) 11 Ví dụ 2.3 Hàm |x| : D(R) → C φ → |x| , φ = |x| φ(x)dx R là một hàm suy rộng Thật vậy, với suppφ ⊂ K, K là tập compact