Đang tải... (xem toàn văn)
Giờ đây việc giải phương trình vô tỷ sẽ đơn giản hơn rất nhiều khi bạn chỉ cần nhớ công thức, mà không phải mò mẫm, dò tìm như các thủ thuật máy tính casio cũng chính do tác giả của nó sáng tạo ra trước đây nữa.Nếu bạn đã hiểu các thủ thuật casio thì tài liệu này thực sự KHÔNG THỂ BỎ QUA bởi giá trị mà nó mang lại thật sự hữu ích để kiếm được điểm 9 thi đại học và thi học sinh giỏi toán
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG MÁY TÍNH CASIO THỦ THUẬT MỚI TÌM RA CÔNG THỨC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TÌM NHÂN TỬ VÀ CHIA ĐA THỨC TÁC GIẢ: BÙI THẾ VIỆT Giờ việc giải phương trình vô tỷ đơn giản nhiều bạn cần nhớ công thức, mà mò mẫm, dò tìm thủ thuật máy tính casio tác giả sáng tạo trước Nếu bạn hiểu thủ thuật casio tài liệu thực KHÔNG THỂ BỎ QUA giá trị mà mang lại thật hữu ích để kiếm điểm thi đại học thi học sinh giỏi toán PHƯƠNG PHÁP U, V, T, W PHÂN TÍCH NHÂN TỬ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ (Bùi Thế Việt - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO) A Giới thiệu Tôi (Bùi Thế Việt) tham gia diễn đàn từ hồi lớp Khi đó, vô thắc mắc anh chị giải đề thi đại học lại giải toán PTVT, BPT, HPT, cách nhanh gọn đặt ẩn phụ hợp lý, nhóm nhân tử, lấy P T (1) + kP T (2), Từ đó, tự mày mò nghiên cứu có nhiều phương pháp, thủ thuật CASIO hỗ trợ trình giải toán Ví dụ lớp đăng lên diễn đàn thủ thuật giải phương trình bậc 4, rút gọn biểu thức, chia biểu thức, nhanh chóng CASIO; lớp 10 đăng thủ thuật phân tích nhân tử, chia biểu thức chứa căn, S.O.S chứng minh phương trình bậc vô nghiệm, giải BĐT CASIO, Cũng nhờ thời chém mưa chém gió diễn đàn, trưởng thành nhiều, kỳ thi THPT Quốc Gia 2015, trọn vẹn 10 điểm môn toán (82/900.000 người điểm 10) Giờ sinh viên năm nhất, giáo viên trung tâm luyện thi Vted.vn anh Đặng Thành Nam Vậy mà đến tận bây giờ, quay trở lại diễn đàn Muốn làm mơi mới, muốn giới thiệu cho bạn đọc phương pháp U, V, T, W để giải phương trình vô tỷ dạng nhiều thức B Ý tưởng Bạn đọc thắc mắc làm mà phân tích nhân tử thành sau : √ √ √ a)x3 + 3x + − x2 2x2 − x − = x + − 2x2 − x − 2x2 − x − + x2 + x + √ √ √ √ √ √ b) 6x − − (4x − 1) − x − (x + 1) x + = 1−x−2 x+1−1 1−x+ x+1−1 Đối với số người tư tốt, họ hỳ hục ngồi nháp, tách đủ kiểu để có nhân tử chung nhóm nhân liên hợp Tuy nhiên, với người lười tư phần không nhỏ bạn khác, cần công cụ hỗ trợ việc phân tích nhân tử Đó máy tính CASIO VINACAL mà hẳn bạn đọc có Để làm điều trên, chia toán thành giai đoạn : Bước 1: Tìm nhân tử Bước 2: Chia biểu thức Bước 3: Tiếp tục tìm nhân tử (nếu còn) đánh giá vô nghiệm Cụ thể chi tiết phần, trình bày Tuy nhiên U, V, T, W mà ? U, V, T, W không phương pháp, mà công thức để thực bước - chia biểu thức Đây mấu chốt cho việc phân tích thành nhân tử CASIO C Yêu cầu Đối với số bạn đọc chưa biết nhiều CASIO, vui lòng xem qua viết xem video tài liệu PDF chi tiết Cụ thể, thứ cần bao gồm : • Rút gọn biểu thức CASIO • Tìm nghiệm CASIO • Kỹ sử dụng CASIO CALC, STO, ENG, • Làm việc với số phức Mode CMPLX D Thực Chúng ta qua giai đoạn Ý Tưởng : Phần 1: Tìm nhân tử : √ Làm để tìm nhân tử ? Làm để biết x3 + x + − x2 x2 − x − có nhân tử √ x + − x2 − x − ??? Phương pháp tìm nhân tử đơn giản sau : Nếu nhân tử có nghiệm x = x0 phương trình ban đầu có nghiệm x = x0 Vậy biết phương trình ban đầu có nghiệm x = x0 tìm nhân tử chứa √ nghiệm x = x0 √ 17 + Ví dụ: Phương trình x3 + x + = x2 x2 − x − có nghiệm x = √ √ √ √ 21 + 17 + 17 = = x + suy nhân tử Khi x2 − x − = x2 − x − − x − 2 Vấn đề cần giải gồm : √ + 17 • Làm để tìm nghiệm lẻ x = √ √ + 17 21 + 17 = • Làm biến đổi nhanh chóng 2 • Làm để tìm nhân tử biết nghiệm hữu tỷ ? Nhờ trình mày mò, nghiên cứu dựa theo ý tưởng trên, xây dựng thủ thuật tìm nhân tử cho phương trình vô tỷ sau : • Một thức f (x) + g(x) h(x) = • Nhiều thức U p(x) + V q(x) + T p(x)q(x) + W = Bước 1: Viết biểu thức Ấn Shift + SOLVE, tìm nghiệm (nếu có) lưu vào A, B, C, Bước 2: Xét trường hợp nghiệm k + k ∈ Q TH1: Phương trình có nghiệm vô tỷ k1 , k2 cho nghiệm hữu tỷ k1 k2 ∈ Q k1 , k2 ∈ Q Khi nhân tử : a = − h(k1 ) − h(k2 ) k1 − k2 h(x) + ax + b với b = − h(k ) − bk 1 p(x) + a q(x) + b với a = − p(k1 ) − q(k1 ) − p(k2 ) q(k2 ) b = − p(k1 ) − a q(k1 ) TH2: Phương trình có nghiệm vô tỷ k1 có nghiệm hữu tỷ k1 Xét phương trình đổi dấu f (x) − g(x) h(x) = dạng nhiều : • −U • U • −U p(x) + V p(x) − V q(x) − T q(x) − T p(x) − V q(x) + T p(x)q(x) + W = p(x)q(x) + W = p(x)q(x) + W = k + k ∈ Q Nếu phương trình có thêm nghiệm vô tỷ k2 cho nghiệm hữu tỷ k2 ∈ Q k1 k2 ∈ Q Khi nhân tử : a = − h(k1 ) + h(k2 ) k1 − k2 h(x) + ax + b với b = − h(k ) − ak 1 a = − p(k1 ) + m p(k2 ) q(k1 ) + n q(k2 ) p(x) + a q(x) + b với b = − p(k1 ) − a q(k1 ) • Nếu k2 sinh từ phương trình đổi dấu p(x) m = n = −1 • Nếu k2 sinh từ phương trình đổi dấu q(x) m = −1 n = • Nếu k2 sinh từ phương trình đổi dấu p(x)q(x) m = n = TH3: Phương trình đổi dấu không tìm k2 thỏa mãn điều kiện Chúng ta xem xét phần nâng cao Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình: √ x3 − x2 + = x (x − 2) x2 − √ Bước 1: Nhập x3 − x2 + − x (x − 2) x2 − tìm nghiệm, ta nghiệm k1 = k2 = −1 h(k1 ) − h(k2 ) √ = −1 a=− k1 − k2 Bước 2: Nhân tử x − + ax + b với b = − h(k ) − ak = −2 1 √ Kết luận: Nhân tử x2 − − x − Ví dụ 2: Giải phương trình: √ √ √ √ (2 x + 5) x − − (3 x − 5) x + − x + x − + x − 11 = √ √ √ √ Bước 1: Nhập (2 x + 5) x − − (3 x − 5) x + − x + x − + x − 11 tìm nghiệm, ta nghiệm k1 = 12.166563 k2 = 1.433436 a = − p(k1 ) − p(k2 ) q(k1 ) − q(k2 ) Bước 2: Nhân tử b = − p(k1 ) − a q(k1 ) = √ √ Kết luận: Nhân tử x − − x + + √ √ x − + a x + + b với =− Ví dụ 3: Giải phương trình: x3 − x + = x2 + x − Bước 1: Nhập x3 − x + = x2 + x − √ k1 = 3.2247448 k2 = −1.724744 k3 = √ x2 − x2 − tìm nghiệm, ta nghiệm Bước 2: Thành thử thấy k1 + k2 ∈ / Q Tất nghiệm rơi vào TH2 Tìm nghiệm phương trình x3 − x + + x2 + x − √ x2 − = Ta nghiệm là k4 = 0.7247448 k5 = 0.775255 k6 = −1 k + k ∈ Q Thành thử thấy k2 + k4 ∈ Q a = − h(k1 ) + h(k5 ) = −2 √ k1 − k5 x − + ax + b với tương Vậy phương trình có nhân tử b = − h(k ) − ak = 1 tự cho cặp (k2 , k4 ) (k3 , k6) √ √ √ Kết luận: Nhân tử x2 − − 2x + 2 x2 − + 2x − x2 − − x Ví dụ 4: Giải phương trình: √ √ √ √ 11 x − − x + − x − x + + 10 x + √ √ √ √ Bước 1: Nhập 11 x − − x + − x − x + + 10 x + ta nghiệm k1 = k2 = 0.549157 Bước 2: Đổi dấu trước căn: • −11 √ √ √ √ x − − x + + x − x + + 10 x + = có nghiệm k3 = √ √ √ √ • 11 x − + x + + x − x + + 10 x + = vô nghiệm √ √ √ √ • 11 x − + x + + x − x + + 10 x + = có nghiệm k4 = 2.330842 Vậy áp dụng công thức với (k1 , k3 ) (k2 , k4 ) ta nhân tử dạng • a = − p(k1 ) + p(k3 ) q(k1 ) − q(k3 ) a = − p(k2 ) + p(k4 ) b = − p(k1 ) − a = −2 q(k1 ) = q(k2 ) + q(k4 ) • b = − p(k2 ) − a q(k2 ) = =− p(x) + a q(x) + b với Kết luận: Nhân tử √ 2x− 1− √ √ √ x + + 2 x − − x + + Nhận xét: Có lẽ bước tìm nhân tử định tới hướng toán Chúng ta nhờ nhân tử tìm để nhóm hợp lý phương pháp nhân liên hợp đặt ẩn phụ Bạn đọc tự tìm lời giải cho toán nhờ nhân tử tìm Nhiều bạn có suy nghĩ "trẻ trâu", bình phương khử thức nên nghĩ tìm nhân tử vừa khó vừa lâu Lâu hay không độ phức tạp toán chứng minh phần lại vô nghiệm, bình phương khử thức chưa giải toán Bạn đọc xem ví dụ đây: Ví dụ 5: Giải phương trình: x3 − x2 + x − = x2 − x + √ x2 + Cách 1: Bình phương khử thức: Ta có: 2x3 − 4x2 + x − = (x2 − 3x + 1) √ x2 + ⇒ (2x3 − 4x2 + x − 3) = (x2 − 3x + 1) (x2 + 3) ⇔ 3x6 − 10x5 + 6x4 + 4x3 − 9x2 + 12x + = ⇔ (x + 1) (3x2 − 4x − 2) (x3 − 3x2 + 3x − 3) = Tuy nhiên, giải x3 − x2 + x − = ? Bật mí: x3 − x2 + x − = (x − 1)3 − nghiệm không thỏa mãn PTVT Đây để lấy ví dụ Vậy điều xảy cho phương trình sau bình phương có thêm nghiệm cực xấu hệ số cực to ? Phương pháp sau tối ưu hơn: Cách 2: Phân tích nhân tử : Ta có: Và √ x2 + + x2 − x ≥ √ PT ⇔ √ x2 + − x + √ x2 + + x2 − x = + x2 − x > Cách làm ngắn "ảo diệu" Vậy làm tìm nhân tử lại biết vài nhân tử toán ? Tôi giới thiệu cho bạn đọc công thức U, V, T, W để chia biểu thức: Phần 2: Chia biểu thức: Dạng 1: Một thức: Xét phép chia hết sau: f (x) + g(x) h(x) p(x) + q(x) h(x) =U +V h(x) Công thức U, V: f (x) − g(x) h(x) f (x) + g(x) h(x) B = Khi đó: Đặt A = p(x) + q(x) h(x) p(x) + −q(x) h(x) A+B U= A−B V = h(x) Áp dụng: Bước 1: Viết biểu thức, CALC cho X = 1000 Ấn Shift + STO + A (gán vào A) Bước 2: Sửa biểu thức, đổi dấu trước căn, CALC cho X = 1000 Ấn Shift + STO + B (gán vào B) Bước 3: Sử dụng công thức U, V để tìm U V theo x Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: √ x5 − x4 − x2 + x + − (6 x3 − x2 − 1) x3 − √ x3 − + − x Bước 1: CALC cho X = 1000 lưu vào A ta A = 8.9397997 · 1010 10 Bước 2: Đổi dấu, CALC cho X = 1000 lưu vào B ta B = −8.9397995 · 10 A+B U= = 2001 = 2x + Bước 3: Ta có: A−B V = √ = 1999000 = 2x2 − x √ 2x − Đáp số: 2x + x2 − x x3 − Dạng 2: Nhiều thức: Xét phép chia hết sau : A1 p(x) + B1 q(x) + C1 p(x)q(x) + D1 A2 p(x) + B2 q(x) + C2 p(x)q(x) + D2 = 1U p(x) + V q(x) + T Công thức U, V, T, W: Đặt: • A= • B= • C= • D= A1 p(x) + B1 q(x) + C1 p(x)q(x) + D1 A2 p(x) + B2 q(x) + C2 p(x)q(x) + D2 −A1 −A2 p(x) + B1 p(x) + B2 p(x) − B1 A1 A2 p(x) − B2 −A1 −A2 p(x) − B1 p(x) − B2 q(x) − C1 q(x) − C2 q(x) − C1 q(x) − C2 p(x)q(x) + D1 p(x)q(x) + D2 p(x)q(x) + D1 p(x)q(x) + D2 q(x) + C1 p(x)q(x) + D1 q(x) + C2 p(x)q(x) + D2 Khi đó: • U= • V = • T = • W = A−B+C −D p(x) A+B−C −D q(x) A−B−C +D p(x)q(x) A+B+C +D p(x)q(x) + W Ví dụ minh họa: Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức : √ x5 − x4 − x2 + x + − (6 x3 − x2 − 1) x3 − √ x3 − + − x Bài toán không CALC cho X = 1000 không thỏa mãn ĐKXĐ Tuy nhiên, CALC cho X = 0.0001 vào MODE CMPLX (complex) CALC cho X = 1000 Bước 1: Vào MODE CMPLX Bước 2: Nhập biểu thức, CALC cho X = 1000 ta lưu vào A ta A = 31604.945 − 1031.605i √ Bước 3: Sửa biểu thức, đổi dấu x + lưu vào B ta B = −31608.945 + 968.392i √ Bước 4: Sửa biểu thức, đổi dấu − x lưu vào C ta C = 31604.945 + 1031.606i √ √ Bước 5: Sửa biểu thức, đổi dấu x + − x lưu vào D ta D = −31608.945 − 968.392i Bước 6: Sử dụng công thức U, V, T, W : • U= A−B+C −D √ = 999 = x − x+1 • V = A+B−C −D √ = −1 1−x • T = A−B−C +D √ = −1 − x2 A+B+C +D = −2 √ √ √ Đáp số: (x − 1) x + − − x − − x2 − • W = Vậy bây giờ, cho phương trình, bạn đọc phân tích nhân tử ? Ví dụ 3: Giải phương trình: √ √ √ x + 79 − (2x + 47) x − − (x + 19) x + + 31 x2 − = A = 13.16656315 B = 2.4334368 Bước 1: Tìm nghiệm: 17 X= √4 √ Bước 2: Tìm nhân tử x−2+u x+2+v √ √ 78 A − − B−2 A+B = u = −√ √ =− A+2− B+2 801 ⇒ AB = v = −√A − − u√A + = 25 √ √ √ 3√ Vậy nhân tử là: ⇔ x−2−3 x+2+5 x−2− x+2+ 2 Bước 3: Chia biểu thức: √ √ √ √ √ √ x + 79 − (2x + 47) x − − (x + 19) x + + 31 x2 − √ √ = U x − + V x + + T x2 − + W x−2−3 x+2+5 Ta được: • U= A−B+C −D √ = −9 x−2 • V = A+B−C −D √ = −3 x+2 • T = A−B−C +D √ =2 x2 − • W = A+B+C +D = 2x + Vậy: √ √ √ √ √ √ x + 79 − (2x + 47) x − − (x + 19) x + + 31 x2 − √ √ = −9 x − − x + + x2 − + 2x + x−2−3 x+2+5 √ √ √ Bước 4: Tiếp tục tìm nghiệm phương trình −9 x − − x + + x2 − + 2x + = √ √ Bước 5: Tìm nhân tử x−2−4 x+2+7 Bước 6: Chia biểu thức : √ √ √ √ √ x−2−4 x+2+7 −9 x − − x + + x2 − + 2x + = √ √ Kết luận: x − − x + + Ví dụ 4: Giải phương trình: √ √ x−2−4 x+2+7 √ √ − x−2− x+2−1 √ √ − x−2− x+2−1 √ √ x3 − 2x2 + 10x − − (x + 1) x3 − + x2 − 8x + 10 x − = A = − √6 Bước 1: Tìm nghiệm: √ B =4+ √ √ Bước 2: Gọi nhân tử: x2 + x + + u x − + v ta được: √ √ +A+1− A B2 + B + u=− √ √ = −3 A−1− B−1 √ √ v = − A2 + A + − u A − = √ √ Nhân tử là: x2 + x + − x − Bước 3: Chia biểu thức: √ √ √ √ √ x3 − 2x2 + 10x − − (x + 1) x3 − + (x2 − 8x + 10) x − √ = U x2 + x + 1+V x − 1+T x3 − 1+W √ x2 + x + − x − Ta có: A−B+C −D √ =x x2 + x + A+B−C −D √ = x−2 V = x−1 A−B−C +D √ T = =1 x3 − A+B+C +D = 3x − W= U= Kết luận: √ √ x3 − 2x2 + 10x − − (x + 1) x3 − + (x2 − 8x + 10) x − = √ √ √ √ √ ⇔ x2 + x + − x − x x2 + x + + (x − 2) x − + x3 − + 3x − = √ √ √ Tiếp tục, ta thấy: x x2 + x + + (x − 2) x − + x3 − + 3x − > nên vô lý Bài toán giải Ví dụ 5: Giải phương trình: √ √ √ 15x2 + 19x + + (9x + 10) − x − (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 = Hướng dẫn: 24 25 Bước 1: Tìm nghiệm ta nghiệm là: A = −0.90383671 • Đổi dấu trước √ X1 = − x ta được: √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x − (3x + 4) + x + (5x + 14) − x2 = B = 0.663836717 Phương trình có nghiệm là: C = −0.65218961 • Đổi dấu trước √ + x ta được: 15x2 + 19x + + (9x + 10) √ − x + (3x + 4) √ + x + (5x + 14) √ − x2 = Phương trình vô nghiệm • Đổi dấu trước √ − x √ + x ta được: √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 = X2 = Phương trình có nghiệm là: X3 = − 24 25 Thành thử thấy A + B = − ∈ Q √ √ 25 Bước 2: Tìm nhân tử − x + u + x + v chứa nghiệm A cách: √ √ 1−A+ 1−B √ u = −√ =2 1+A− 1+B v = −√1 − A − u√1 + A = −2 √ 1−x+2 1+x−2 √ √ 24 Bước 3: Tìm nhân tử − x + u + x + v chứa nghiệm X1 = cách: 25 24 24 u = −1 √ √ +u 1+ +v =0 1− ⇒ 1−x− 1+x+1 25 25 ⇔ −√1 − − u√1 + + v = v= Vậy nhân tử là: √ Hoặc: Bước 4: 24 24 u = −1 +u 1+ +v =0 √ √ 25 25 ⇔ ⇒ 1−x−5 1+x+6 v= 24 24 −u 1− +v =0 1+ 25 25 1− − Cách 1: Chia biểu thức: √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ 1−x+2 1+x−2 1−x− 1+x+1 √ √ √ = U − x + V + x + T − x2 + W Lần lượt CALC cho X = 0.001 lưu: √ √ √ − x − (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 15x + 19x + + (9x + 10) √ √ √ √ → A = −0.6002499 − x + 1√+ x − 2 − x √ − 1+x+1 √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x − (3x + 4) + x + (5x + 14) − x2 √ √ √ √ → B = −2.0035006 − − x + 1√+ x − −2 − √ x− 1+x+1 √ 15x2 + 19x + + (9x + 10) − x + (3x + 4) + x + (5x + 14) − x2 √ √ √ √ → C = −4.0034996 − x − 1√+ x − 2 − x √ + 1+x+1 √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ → D = −4.003499 − − x − + x − −2 − x + + x + Từ ta được: Vậy: A−B+C −D √ = −1 1−X A+B−C −D √ V = =0 1+X A−B−C +D √ = −1 T = − X2 A+B+C +D = −4.003 = −4 − 3x W= U= √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ 1−x+2 1+x−2 1−x− 1+x+1 √ √ = − − x − − x2 − − 3x Cách 2: Chia biểu thức: √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ 1−x+2 1+x−2 1−x−5 1+x+6 √ √ √ = U − x + V + x + T − x2 + W Lần lượt CALC cho X = 0.001 lưu: 10 √ √ √ 15x2 + 19x + + (9x + 10) − x − (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ → A = −2.000999 − x + + x − − x − + x + √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x − (3x + 4) + x + (5x + 14) − x2 √ √ √ √ → B = −1.001500 − − x + 1√ + x − −5 − x√− + x + √ 15x2 + 19x + + (9x + 10) − x + (3x + 4) + x + (5x + 14) − x2 √ √ √ √ → C = −1.000500 − x − + x − − x + + x + √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ → D = −0.001000 − − x − + x − −5 − x + + x + Từ ta được: Vậy: A−B+C −D √ =− 1−X A+B−C −D √ V = =− 1+X A−B−C +D √ T = =0 − X2 A+B+C +D = −1.001 = −1 − x W= U= √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ − x + + x − −5 − x + + x + 1√ 1√ =− 1−x− 1+x−1−x 2 Kết luận: √ √ √ 15x2 + 19x + − (9x + 10) − x + (3x + 4) + x − (5x + 14) − x2 √ √ √ √ √ √ − x + − x2 + + 3x = − 1−x+2 1+x−2 1−x− 1+x+1 √ √ √ √ √ √ 1−x+2 1+x−2 1−x−5 1+x+6 1−x+ 1+x+1+x =− Nhận xét: Vậy với toán có nghiệm bội ? Tôi có bổ đề ngắn gọn để kiểm tra phương trình có nghiệm bội kép hay bội ba, bội bốn, Bạn đọc quan tâm xem chi tiết phần nâng cao Ví dụ 6: Giải phương trình: √ √ √ √ 7x2 + 22 − x − − x + − 6x x − x + = Hướng dẫn: Bước 1: Tìm nghiệm ta nghiệm là: x = Bước 2: Đổi dấu trước ta được: √ √ √ √ • 7x2 + 22 + x − − x + + 6x x − x + = vô nghiệm √ √ √ √ • 7x2 + 22 − x − + x + + 6x x − x + = vô nghiệm √ √ √ √ • 7x2 + 22 + x − + x + − 6x x − x + = vô nghiệm 11 Bước 3: Xác định nghiệm bội Ta có: √ √ √ √ 7x2 + 22 − x − − x + − 6x x − x + lim =0 x→5 x√ −5 √ √ √ 97 7x2 + 22 − x − − x + − 6x x − x + = lim x→5 96 (x − 5) Vậy toán có nghiệm bội kép x = Bước 4: Tìm nhân tử chứa nghiệm bội kép: Ta có: d √ x−1 dx a=− d √ x+4 dx x=5 √ √ x−1+a x+4+b √ √ =− ⇒b= ⇒ x−1−3 x+4+5 2 x=5 Chia biểu thức: √ √ √ √ √ √ √ √ 7x2 + 22 − x − − x + − 6x x − x + √ √ =U x−1+V x+4+T x−1 x+4+W x−1−3 x+4+5 Ta CALC cho X = 1000 tính: 3984 A−B+C −D 4x − 16 √ = 796.8 = U= = 5 x−1 A = -36910.33046 9009 9x + A+B−C −D B = -84875.59149 √ = −1801.8 = − =− V = 5 x+4 ⇒ A − B − C + D C = 79676.78400 √ = −1.2 = − T = √ x − x + D = 26904.33799 19006 19x + A + B + C + D W= = −3801.2 = − =− 5 Kết luận: √ √ √ √ 7x2 + 22 − x − − x + − 6x x − x + = √ √ √ √ √ √ ⇔ x − − x + + (x − 4) x − − (x + 1) x + − x − x + − 19x − = √ √ Dễ thấy (x − 4) x − − (x + 1) x + < Vậy toán giải Chắc bạn đọc sử dụng công thức U, V, T, W để phân tích nhân tử số toán khó Bạn đọc thực hành toán sau : Ví dụ 7: Giải bất phương trình: Hướng dẫn: BP T ⇔ √ x2 − x − x−1−1 √ √ √ x − + (x − 2) x + ≥ 3x2 − 9x + x+1−2 √ √ √ 2x + + x x + − x − − x2 − ≥ Ví dụ 8: Giải bất phương trình: (Đề thi thử lần – THPT Chuyên ĐH Vinh - 2016) 12 Hướng dẫn: BP T ⇔ √ √ √ x2 + x + ≤ x + + x2 + x+2+ √ Ví dụ 9: Giải phương trình: √ √ x2 + − x+2+ √ x+2− √ x2 + − ≥ − x − x3 − x2 + 4x + = Hướng dẫn: √ PT ⇔ x+2+ √ 3−x−3 √ √ √ √ × (−x2 + 3x + 10) x + + (x2 + 6x + 8) − x + (3x + 6) x + − x + 6x + 14 = Ví dụ 10: Giải phương trình: √ √ 2x3 + 3x2 + = 2x2 x2 + 3x + 3x2 + 1 √ 3x + − Ví dụ 11: Giải phương trình: Hướng dẫn: P T ⇔ √ √ x2 + 3x − 2x − x−2− √ x+1= √ √ x2 + 3x − 3x2 + + 2x = 3x − 13 Hướng dẫn: PT ⇔ ⇔ √ x − − x + = 3x − 13 √ √ √ √ √ √ x − − x + + 13 x − − 22 x + + 16 x − x + − 16x − 19 = √ Ví dụ 12: Giải phương trình: √ Hướng dẫn: √ x2 + 9x − + x 11 − 3x = 2x + √ P T ⇒ x2 + 9x − = x 11 − 3x − 2x − √ √ √ 11 − 3x − 11 − 3x − x2 + + 11 − 3x = ⇔ Ví dụ 13: Giải phương trình: √ √ 7x2 + 20x − 86 + x −x2 − 4x + 31 = 3x + Hướng dẫn: √ P T ⇒ x −x2 − 4x + 31 − 3x − = 7x2 + 20x − 86 √ √ √ −x2 − 4x + 31 − −x2 − 4x + 31 + x2 + = −x2 − 4x + 31 − ⇔ Ví dụ 14: Giải phương trình: √ √ x + x + + − 2x = 11 13 √ √ x + + − 2x − 18 Ví dụ 15: Giải phương trình: Hướng dẫn: P T ⇔ √ √ x + − − 2x + 27 = √ √ √ x + − − x + − x2 + 15x − 34 = Hướng dẫn: P T ⇔ √ √ x+2−4 2−x Ví dụ 16: Giải bất phương trình: √ x2 − x − Hướng dẫn: BP T ⇔ √ x−1−1 √ √ √ x+2−4 2−x−2 =0 √ x − + (x − 2) x + ≤ 3x2 − 9x + x+1−2 √ √ √ √ x − − x x + + x − x + − 2x − ≥ Chúng ta qua gần cuối đoạn đường phân tích nhân tử Tuy nhiên, số thứ cần phải làm rõ: E Nâng Cao Có thể bạn đọc thấy, việc tìm nghiệm giúp tìm nhân tử Các trường hợp có nghiệm vô tỷ, nghiệm vô tỷ, nghiệm hữu tỷ có công thức Vậy trường hợp nghiệm hữu tỷ tính ? Liệu phân tích thành nhân tử ? Tôi tạm chia trường hợp nghiệm hữu tỷ k1 ∈ Q thành trường hợp nhỏ sau: a) Sau đổi dấu, tìm nghiệm hữu tỷ k2 ∈ Q Trường hợp có công thức Bạn đọc xem lại b) Sau đổi dấu, không tìm nghiệm hữu tỷ k2 ∈ Q tìm nghiệm vô tỷ k3 , k4 cho k + k ∈ Q Khi đó, nhân tử toán đổi dấu nhân tử chứa hai nghiệm k3 , k4 k3 k4 ∈ Q √ Ví dụ 1: Giải phương trình x2 − x − − (3 x − 4) x2 − x − = Ta có: √ Phương trình x2 − x − − (3 x − 4) x2 − x − = có nghiệm x = − √ 2 Phương trình x − x − + (3 x − 4) x − x − = có nghiệm k1 = 2.55396793 k2 = −5.22063459 √ Từ ta tìm nhân tử toán x2 − x − − x + √ √ Kết luận: P T ⇔ x2 − x − − x − x2 − x − − x + = c) Phương trình có nghiệm bội x = k1 Để kiểm tra nghiệm bội, dùng bổ đề đây: f (x) Nếu lim = f (x) có nghiệm x = k bội n + (x − k)n √ Ví dụ 2: Giải phương trình x4 + x3 + x2 − x − = x3 + x2 − x2 − Ta có: √ x2 − = có nghiệm x = √ Phương trình x4 + x3 + x2 − x − + x3 + x2 − x2 − = có nghiệm x1 = 0.7178 Phương trình x4 + x3 + x2 − x − − x3 + x2 − x2 = −2.3098 Hai nghiệm có tổng, tích hữu tỷ nên không làm ăn Kiểm tra nghiệm bội : 14 √ x4 + x3 + x2 − x − − (2 x3 + x2 − 1) x2 − Ta có: lim =0 x−1 √ x4 + x3 + x2 − x − − (2 x3 + x2 − 1) x2 − = −5 Ta có: lim (x − 1)2 Kết luận: Phương trình cho có bội kép x = Vậy tìm nhân tử chứa bội kép nào? √ √ Giả sử toán có nhân tử x2 − + ax + b đạo hàm theo x x2 − + ax + b x = phải Tức a = − d √ 2x − dx = −2 Từ ta tìm b = √ x2 − − 2x + Vậy nhân tử toán x=1 Tiếp theo phân tích thành nhân tử nó, ta đáp án sau: √ PT ⇔ x2 − − x + x2 + x + √ x2 − + x2 = Bài toán giải d) Phương trình dạng thức √ ax + b √ ax + b − ak1 + b Điều đặc biệt phương trình dạng có nhân tử √ Ví dụ 3: Giải phương trình x2 + x + − x2 − x + x + = √ Ta có: Phương trình x2 + x + − x2 − x + x + = có nghiệm x = √ Ta có: Phương trình x2 + x + + x2 − x + x + = vô nghiệm Kiểm tra nghiệm bội: Không thỏa mãn √ Tuy nhiên nhờ nghiệm x = nên xác định phương trình có nhân tử 2x + − √ √ Kết luận: P T ⇔ x + − x2 − x + − 2 x + = √ √ e) Phương trình dạng nhiều thức A ax + b + B ax + c + C (ax + b)(ax + c) + D = √ √ √ √ ax + b − ax + c + p ax + b + ax + c + Tương tự trên, phương trình có nhân tử dạng √ √ Ví dụ 4: Giải phương trình x + + x x − − x2 + = √ √ Phương trình có nghiệm x = nên có nhân tử x + − x − − √ √ x+1+ x−2−3 Kết luận: PT ⇔ PT ⇔ − √ √ x+1− x+1+ √ √ √ x−2−1 x−2−3 x + + (x + 3) √ x − + (x + 2) √ √ x + x − + x2 − = √ √ √ √ x + + (x + 1) x − + (x + 2) x + x − − x2 + = √ √ √ √ Ví dụ 5: Giải phương trình 3x x − − (x + 1) x + − x − x + + = Phương trình có nghiệm x = Kết luận: PT ⇔ √ x−1− √ x+2+1 √ √ x x − + (x − 1) x + + 2x = 15 PT ⇔ − √ x+1+ √ √ √ √ √ x + + (x + 1) x − + (x + 2) x + x − − x2 + = x−2−3 √ √ √ √ Ví dụ 6: Giải phương trình x2 − 4x − + 5x x − + x + − (3x − 1) x − x + = Phương trình có nghiệm x = x = 17 16 có nhân tử Kết luận: PT ⇔ PT ⇔ √ x−1− √ √ √ x−1−3 x+2+5 x+2+1 f) Phương trình dạng thức √ √ √ √ 2x x − + x + − (x + 1) x − x + − x2 − = (ax)2 + bx + c (ax)2 + bx + c − ax + p Phương trình có nhân tử dạng g) Phương trình dạng nhiều thức chứa (ax)2 + bx + c Phương trình có nhân tử dạng m m (ax)2 + bx + c + a √ √ x x−1+ x+2 = (ax)2 + bx + c + ax + q (mx)2 + nx + p (ax)2 + bx + c − a (mx)2 + nx + p + u (mx)2 + nx + p + v h) Các dạng lại: Phương trình có bậc lớn bậc hạng tử không chứa Vì bậc bé nên khử thức nhân liên hợp phương pháp ưu tiên Ngoài ra, dùng đạo hàm đánh giá để chứng minh Sau qua trường hợp nghiệm vấn đề đau đầu mà mắc phải chứng minh phần lại (sau phân tích nhân tử) vô nghiệm Bạn đọc tham khảo cách sử dụng S.O.S để giải Ví dụ 1: Giải phương trình − x3 + x3 − 2x − √ − x2 = Lời giải vô ngắn gọn sau: Ta có: PT ⇔ √ − x2 + x − 2 x3 + x2 − x − + (x2 + x − 1) √ − x2 = Ta có: − √ x3 + x2 − x − + (x2 + x − 1) − x2 = √ √ √ x 2 x− 3x + + − x + + 2−x − − x2 − 3 Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Làm để có lời giải ? Ta kiếm cách chứng minh f (x) = x3 + x2 − x − + x2 + x − 16 √ − x2 < + 13 36 Tóm lại ta f (x) − Ví dụ 3: Giải phương trình x4 + x2 + 10x − 19 + x3 − 7x + 13 √ x2 + x − = Ta có: PT ⇔ √ x2 + x − − √ x2 + x − + √ x2 − 2x + + (x − 2) x2 + x − √ Do đó, ta cần chứng minh f (x) = x2 − 2x + + (x − 2) x2 + x − > Ta tìm điểm rơi cách lấy đạo hàm, ta x0 = 1.0845346 √ x2 + x − + x + a để Ta cần lấy: f (x) − Thế điểm rơi vào, ta a ≈ −2.207366 ⇒ a = −2 √ x2 + x − + x − 11 − x Tóm lại ta f (x) − = 2 Tuy nhiên, chưa giải Lấy điểm rơi chặt với a = − ta được: √ √ 35 x2 + x − + >0 f (x) − = x +x−1+x− 2 Ví dụ 4: Giải phương trình x2 − 6x + √ 37 + (x − 4) x + = Ngoài cách làm trên, viết dạng tổng bình phương cách đặt √ t = x + viết phương trình theo t đưa phương trình bậc Cách phân tích phương trình bậc thành tổng bình phương S.O.S giới thiệu qua Kết luận: √ 37 x − 6x + + (x − 4) x + = x+ √ x + 16 − + √ x+1− 20 + 47 >0 75 Vẫn nhiều vấn đề để nói phương pháp Nhưng có lẽ trình bày hết topic Ví dụ : Ví dụ 5: Giải phương trình (x − 1) √ √ x2 − 2x + = x x2 + 3x + + x2 + + Cách 1: 18 ( PT ⇔ √ √ x2 −2x+5−2 x2 +1) 3x−1 √ × 2(x + 1)2 x2 √ √ √ + + (x + 1)2 x2 − 2x + + x2 + x2 − 2x + + 7x2 − 4x + = Cách 2: √ √ x2 − 2x + − x2 + − x − √ √ √ √ × U x2 − 2x + + V x2 + + T x2 + x2 − 2x + + W = P T ⇔ − 41 Với U = x3 − x2 + 2x − V = x3 − 2x2 + 3x − T = −x2 + x − W = −x4 + 2x3 − 5x2 − 2x − Hy vọng post này, bạn đọc sử dụng máy tính bỏ túi để giải toán liên quan đến phân tích thành nhân tử Chuyên đề viết 11 (từ 18h đến 5h) nên không khỏi sai sót Mọi góp ý, thắc mắc vui lòng liên hệ tới SĐT: 096.573.48.93 Facebook: Bùi Thế Việt Dưới số tập tự luyện để bạn đọc tham khảo https://drive.google.com/file/d/0B27JsovgpmpLNXQ2S2E4ai1HNzA/view https://drive.google.com/file/d/0B27JsovgpmpLQVZ4Z3dNbXVHcG8/view Tham khảo, chia sẻ xin ghi rõ nguồn Bùi Thế Việt (nthoangcute) Xin cảm ơn 19 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có THỦ THUẬT CASIO GIẢI PTVT MỘT CĂN THỨC CƠ BẢN Bài Giải phương trình x x Bài Giải phương trình x 13 x 30 x Bài Giải phương trình x 21x 50 Bài Giải phương trình x 2x Bài Giải phương trình x3 x Bài Giải phương trình x x Bài Giải phương trình x 39 x Bài Giải phương trình x3 x2 8x 5x 4x 22 x2 x 10 x 16 24 Bài 12 Giải phương trình x x2 32 x 3x 2 x2 8x 2x 2x x 65 x 69 2 17 x 2 x x 16 5x x x 73 x 11 11 x 67 x 80 Bài 15 Giải phương trình x3 57 x x8 75 x 63 x x 10 21x 8 x Bài 17 Giải phương trình x x x Bài 18 Giải phương trình x3 10 x 15 Bài 19 Giải phương trình 16 x3 x x 3x2 Bài 16 Giải phương trình x 4x Bài 11 Giải phương trình x3 Bài 14 Giải phương trình x 2x 3x 3x2 Bài 10 Giải phương trình x3 11x Bài 13 Giải phương trình x 2x x 55 x 10 x 10 Bài Giải phương trình x x 5x2 20 x Bài 20 Giải phương trình x3 16 x 2 0 5x x2 x x x 27 x 16 3x x 11x BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình x facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có Bài 21 Giải phương trình x3 11x 22 x 19 Bài 22 Giải phương trình x3 13 x 55 x 75 Bài 23 Giải phương trình x3 10 x 100 x Bài 24 Giải phương trình x3 12 x 8x Bài 25 Giải phương trình x3 x2 Bài 26 Giải phương trình x x3 Bài 27 Giải phương trình x x3 3x 5x2 Bài 31 Giải phương trình x 2 Bài 32 Giải phương trình x 61x 12 x Bài 38 Giải phương trình x x Bài 39 Giải phương trình 2 x 70 x 5x2 Bài 41 Giải phương trình x 20 x x3 2x 2x x 2 x x2 x2 x2 21x 15 x2 x2 1 x3 6x x2 x2 x2 x2 x 10 x2 BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình 2x x x x x x2 28 x x x x x 43 x x x x2 x2 6x x x 33 x x2 Bài 40 Giải phương trình x3 2x 1 3x2 x 2x 1 2x 2x x x x 10 Bài 34 Giải phương trình x3 Bài 37 Giải phương trình x 3 x 10 x x x Bài 36 Giải phương trình 54 x3 33 x 15 x2 x 39 x x 2x 2x Bài 33 Giải phương trình x Bài 35 Giải phương trình x3 2 2x 2x x 7x x2 x x x Bài 29 Giải phương trình x x Bài 30 Giải phương trình x 3 x x x 33 Bài 28 Giải phương trình x x x x 27 x 2x x3 x2 12 x 11 x2 x 5x x facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có Bài 42 Giải phương trình x 31 x Bài 43 Giải phương trình x x3 x2 Bài 44 Giải phương trình x 27 x 14 Bài 45 Giải phương trình x x 14 Bài 46 Giải phương trình Bài 47 Giải phương trình x x x2 x 20 x3 x2 Bài 48 Giải phương trình x 2x 1 Bài 49 Giải phương trình x x x Bài 50 Giải phương trình x 10 x x2 8x x 10 x 2 x x x 1 x 2x 2x x x 3 BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình x x 22 x x2 9x 2x x 11 x 2 x 12 11 3x 2x 36 12 x 11 x facebook.com/viet.alexander.7 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video giảng lời giải chi tiết có THỦ THUẬT CASIO GIẢI PTVT NHIỀU CĂN THỨC CƠ BẢN Bài Giải phương trình : x 31 x 25 x x Bài Giải phương trình : x 13 x 10 x Bài Giải phương trình : x 31 x x x 50 Bài Giải phương trình : 6 x 1 x 10 x 50 x x Bài Giải phương trình : x x x 36 x x x 63 Bài Giải phương trình : x x x x x 1 x x Bài Giải phương trình : x 15 x 12 x x Bài Giải phương trình : 15 x 25 x x 3 x x 2 x 11 x Bài Giải phương trình : x3 x x x Bài 10 Giải phương trình : 39 x 21 x3 x 16 x Bài 11 Giải phương trình : x x x x x Bài 12 Giải phương trình : x x2 8x x x 32 x 17 Bài 13 Giải phương trình : x3 x x x Bài 14 Giải phương trình : x x 11 x 1 x x Bài 15 Giải phương trình : x 1 x 20 x x x x 43 Bài 16 Giải phương trình : x3 x 67 x 16 x x 13 x x Bài 17 Giải phương trình : x x x x x x Bài 18 Giải phương trình : Bài 19 Giải phương trình : x2 x 10 x 1 x x 3 x 14 x x x 65 x 110 Bài 20 Giải phương trình : x x 11x x x x x BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình facebook.com/viet.alexander.7 [...]... cuối đoạn đường phân tích nhân tử Tuy nhiên, vẫn còn một số thứ cần phải làm rõ: E Nâng Cao Có thể bạn đọc đã thấy, việc tìm nghiệm giúp chúng ta tìm được nhân tử Các trường hợp có 2 nghiệm vô tỷ, 1 nghiệm vô tỷ, 2 nghiệm hữu tỷ thì đã có công thức Vậy còn trường hợp 1 nghiệm hữu tỷ thì tính sao ? Liệu nó có thể phân tích thành nhân tử được ? Tôi tạm chia trường hợp 1 nghiệm hữu tỷ duy nhất k1 ∈ Q thành... Tham khảo, chia sẻ xin ghi rõ nguồn Bùi Thế Việt (nthoangcute) Xin cảm ơn 19 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại THỦ THUẬT CASIO GIẢI PTVT MỘT CĂN THỨC CƠ BẢN Bài 1 Giải phương trình 2 x 4 x Bài 2 Giải phương trình x 2 13 x 30 2 x 3 Bài 3 Giải phương trình 2 x 2 21x 50 Bài 4 Giải phương trình 4 x 2 2x 3 Bài 5 Giải phương trình x3 x 1 4 Bài 7 Giải phương... học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Bài 21 Giải phương trình 2 x3 11x 2 22 x 19 Bài 22 Giải phương trình x3 13 x 2 55 x 75 Bài 23 Giải phương trình x3 10 x 2 100 x 3 Bài 24 Giải phương trình 8 x3 12 x 2 8x Bài 25 Giải phương trình 4 x3 x2 Bài 26 Giải phương trình x 4 x3 Bài 27 Giải phương trình x 4 9 x3 3x 5x2 Bài 31 Giải phương trình x 2 2 Bài 32 Giải. .. Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Bài 42 Giải phương trình x 5 31 x 1 Bài 43 Giải phương trình x 4 7 x3 9 x2 Bài 44 Giải phương trình 7 x 2 27 x 14 Bài 45 Giải phương trình 5 x 2 8 x 14 Bài 46 Giải phương trình Bài 47 Giải phương trình x 2 x 2 1 x2 x 20 x3 x2 Bài 48 Giải phương trình x 2 2x 1 1 Bài 49 Giải phương trình x 3 x 1 x 3 2 Bài 50 Giải phương... 3 3 BÙI THẾ VIỆT - THPT Chuyên Thái Bình 8 x 4 x 22 5 x 1 x2 0 9x 2x 1 6 x 11 x 2 0 2 0 3 x 12 11 3x 4 2x 1 3 36 7 12 x 2 11 x 2 facebook.com/viet.alexander.7 3 Khoá học: Thủ Thuật CASIO Trong Giải Toán Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại THỦ THUẬT CASIO GIẢI PTVT NHIỀU CĂN THỨC CƠ BẢN Bài 1 Giải phương trình : 2 x 31 2 x 2 1 25 x 1 5 x 1 0 Bài 2 Giải phương trình : x... hợp nhỏ hơn như sau: a) Sau khi đổi dấu, tìm được nghiệm hữu tỷ k2 ∈ Q Trường hợp cơ bản này đã có công thức ở trên rồi Bạn đọc có thể xem lại b) Sau khi đổi dấu, không tìm được nghiệm hữu tỷ k2 ∈ Q nhưng tìm được 2 nghiệm vô tỷ k3 , k4 sao cho k + k ∈ Q 3 4 Khi đó, nhân tử của bài toán sẽ là đổi dấu của nhân tử chứa hai nghiệm k3 , k4 k3 k4 ∈ Q √ Ví dụ 1: Giải phương trình 3 x2 − 7 x − 8 − (3 x... toán có nhân tử 2 x2 − 1 + ax + b thì đạo hàm theo x của 2 x2 − 1 + ax + b tại x = 1 phải bằng 0 Tức a = − d √ 2 2x − 1 dx = −2 Từ đó ta có thể tìm được b = 1 √ 2 x2 − 1 − 2x + 1 Vậy nhân tử của bài toán này là x=1 Tiếp theo là phân tích thành nhân tử nó, ta được đáp án như sau: √ PT ⇔ 2 x2 − 1 − 2 x + 1 x2 + 2 x + 1 √ 2 x2 − 1 + x2 = 0 Bài toán được giải quyết d) Phương trình dạng một căn thức √ ax... bậc hạng tử không chứa căn Vì bậc của nó bé nên khử căn thức hoặc nhân liên hợp là phương pháp được ưu tiên Ngoài ra, chúng ta có thể dùng đạo hàm hoặc đánh giá để chứng minh Sau khi đi qua về các trường hợp nghiệm thì một vấn đề đau đầu nữa mà chúng ta có thể mắc phải đó là chứng minh phần còn lại (sau khi phân tích nhân tử) vô nghiệm Bạn đọc có thể tham khảo cách sử dụng S.O.S của tôi để giải quyết. .. 2 hoặc x = 17 16 nhưng vẫn có nhân tử như trên Kết luận: PT ⇔ PT ⇔ √ x−1− √ √ √ x−1−3 x+2+5 x+2+1 f) Phương trình dạng một căn thức √ √ √ √ 2x x − 1 + 2 x + 2 − (x + 1) x − 1 x + 2 − x2 − 2 = 0 (ax)2 + bx + c (ax)2 + bx + c − ax + p hoặc Phương trình này hầu như có nhân tử dạng g) Phương trình dạng nhiều căn thức chứa (ax)2 + bx + c và Phương trình này hầu như có nhân tử dạng m m (ax)2 + bx + c + a... toán được giải quyết Chắc bạn đọc đã có thể sử dụng công thức U, V, T, W để phân tích nhân tử một số bài toán khó rồi Bạn đọc có thể cùng tôi thực hành những bài toán sau : Ví dụ 7: Giải bất phương trình: Hướng dẫn: BP T ⇔ √ x2 − x − 6 x−1−1 √ √ √ x − 1 + (x − 2) x + 1 ≥ 3x2 − 9x + 2 x+1−2 √ √ √ 2x + 1 + x x + 1 − 3 x − 1 − 2 x2 − 1 ≥ 0 Ví dụ 8: Giải bất phương trình: (Đề thi thử lần 1 – THPT Chuyên