B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI V TH HOI PHNG BI TON CAUCHY-NEUMANN I VI PHNG TRèNH HYPERBOLIC CP HAI TRONG TR YI Y KHễNG TRN Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: GS.TSKH Nguyn H NI, 2015 Lun c hon thnh ti Trng i Hc S Phm H Ni dúi s hng dn ca GS.TSKH Nguyn Mnh Hựng Tỏc gi xin gi li cm on chõn thnh, sõu sc ti GS.TSKH Nguyn Mnh Hựng, ngi ó luụn quan tõm ng viờn v tn tỡnh hng dn tỏc gi quỏ trỡnh thc Lũi cm n hin lun Tỏc gi cng xin c gi li cm n chõn thnh ti Ban Giỏm Hiu Trng i Hc S Phm H Ni 2, Phũng Sau i Hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn Gii Tớch ó to iu kin thun li quỏ trỡnh tỏc gi hc v nghiờn cu Tỏc gi xin by t lũng bit n ti gia ỡnh, ngi thõn ó ng viờn v to mi iu kin tỏc gi hon thnh bn lun ny H Ni, thỏng 12 nm 2015 V Th Hoi Phng Tụi xin cam oan Lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi dui s dn trc tip ca GS.TSKH Nguyn Mnh Hựng Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 12 nm 2015 V Th Hoi Phung Mc lc M õu Lý chn ti Phng trỡnh o hm riờng l mt b phn quan trng ca toỏn hc, nú c nghiờn cu ln u tiờn vo gia th k 18 cỏc cụng trỡnh ca cỏc nh toỏn hc nh Euler, Dalembert, Lagrange v Laplace nh l mt cụng c quan trng mụ t cỏc mụ hỡnh ca vt lý v c hc Cỏc bi toỏn biờn i vi phng trỡnh v h phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh cỏc trn ó c nghiờn cu gn nh hon thin vo gia th k XX Tuy nhiờn cỏc kt qu ny ch dng li l cỏc bi toỏn c xột cỏc vi biờn trn Mt t cn nghiờn cu cỏc bi toỏn cỏc khụng trn, tc l biờn ca cha im kỡ d Cỏc phng phỏp nghiờn cu truyn thng nh phộp bin i Fourier hoc Laplace a bi toỏn khụng dng v bi toỏn dng ch thu c kt qu i vi phng trỡnh v h phng trỡnh cú cỏc h s khụng ph thuc vo bin thi gian Khi ú mt c bn cn gii quyt: nghiờn cu c bi toỏn vi h s ca phng trỡnh ph thuc vo c bin thi gian khụng nhng cho vi bin khụng trn m cho c vúi bin trn Cỏc ny n ang tip tc c nghiờn cu Vi mong mun c hiu sõu hn v cỏc bi toỏn khụng trn, nh s giỳp ca GS.TSKH Nguyn Mnh Hựng tụi chn nghiờn cu ti: BI TON CAUCHY- NEUMANN I VI PHNG TRèNH HYPERBOLIC CP HAI TRONG TR VI Y KHễNG TRN thc hin lun tt nghip ca mỡnh Mc ớch nghiờn cu Mc ớch nghiờn cu ca lun l tỡm hiu v tớnh gii uc ca bi toỏn Cauchy-Neumann i vi phung trỡnh hyperbolic cp hai tr vi ỏy khụng trn, ú l cỏc nh lý tn ti v nht nghim ca bi toỏn trờn tr vi ỏy khụng trn Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu cỏc kin thc c s ca khụng gian hm, khụng gian Sobolev, cỏc bt ng thc c bn, cỏc kin thc liờn quan T ú ỏp dng vo nghiờn cu tớnh gii uc ca bi toỏn i tng v phm vi nghiờn cu i tung nghiờn cu ca lun l nghim suy rng ca bi toỏn CauchyNeumann i vi phung trỡnh hyperbolic cp hai tr vúi ỏy khụng trn Phng phỏp nghiờn cu Phung phỏp uc s dng lun l phung phỏp xp x Galerkin, phung phỏp ỏnh giỏ bt ng thc, phung phỏp khụng gian hm Sobolev úng gúp mi ca ti Cỏc kt qu ca lun gúp phn hon thin lớ thuyt mt cỏch h thng cỏc trung hp c bit ca nhng bi toỏn tng quỏt ó uc gii khụng trn Ni dung Lun bao gm chong: Chng 1: Gii thiu mt s kin thc b tr Chng 2: Trỡnh by cỏch t bi toỏn Cauchy-Neumann i vi phng trỡnh hyperbolic cp hai tr vi ỏy khụng trn, trỡnh by nghim suy rng, s tn ti v nht nghim suy rng ca bi toỏn Chng Kin thc chun bi 1.1 Cỏc kớ hiu IRn l mt khụng gian Euclide n- chiu, x= (jjq ,x , ,x n ) E W Xột il l mt b chn IRn , n > vi s = dớỡ l biờn ca nú v = u ớl Gi s < T < 00 Kớ hiu I T = nX(0,T) = {(X,t)\x en, t G (0,71)} l tr IRn+1 Mt xung quang ca nú l: S T = ớl X (0, T ) = {(x, t)\x G dớỡ, t G (0,71)} Vi u l hm vộc t phc vi cỏc thnh phn u ,u , u n Ta kớ hiu: g\p\ u = (u1#u2, un) v D p = l o hm suy rng cõp p theo bin X = (*! , x n ), u t k = d k udt k l o hm suy rng cp k theo bin t õy p = (p1, ,pn) l kớ hiu a ch s vi Pi l cỏc s nguyờn khụng õm, |p| =Pi + +pn C0 (fl) l khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn vúi giỏ compact fl Giỏ ca mt hm l bao úng ca hp tt c cỏc im m hm ú khỏc khụng v kớ hiu l supp Kớ hiu c k { fl} l hp tt c cỏc hm cú o hm liờn tc n cp k fl, < k < 00, c (1) = c (1) v k (1) = C(1) n c k (1), ú k l hp tt c cỏc hm liờn tc ớl v cú giỏ compact thuc ớl nh ngha khụng gian Lp (ớl): Cho ớl l mt ong khụng gian IRn v cho < p ) o (2.1)(2.3)> (ii) nh sup icho vi\ mi < fi; n = nn ij=1 Gi thit T l s dng , T < T , tớch phõn ng thc thu c theo t t n T ta c : ^ ( a i j u x j > u x i t ) n T + { a u N , u ? ) n T - ô,nr = ' U ? ) n T ij=1 Cng vo ng thc hờn vi liờn hp phc ca nú ta nhn c : -2Re ^ 0,3wÊ(r, t) G c(iè T ) ) cho: \\v(x,t)-we0c,t)\\wi,i(e-YtiớT' < \ Khai hin Fourier hm Wấ (x, t) theo h [ij k (x)}"=1 ta cú: N W E {x, = ^ ck )pk (X) , t G [0, T ] k=1 ú c k (t) = (wÊ,ik)wi(fl).t ẫ [O.T Vi mi t G [0, T ] ta cú: ||wÊ(x, 11^1(72) = ^' I I C k (t) I k=1 v w fN c ( x , t) - ^ Cfc WfcO) w1 -> o, n -> 00 S'nC^ớ) = ^ C k (t)lĂJ k (x) k=l Gn(t) = \\wE(.X>t) - Sn(x>t)Ww\n) => Gn (t) -> o, n -> 00 Ta cú: 5n (x, t) G M*v |Gn(t)|2= ||wÊ0, t) -5nC^,t))H5,i(/1) < 2(||we(z,t)||^i(/1) + ||S(z,t)||^i(/1)) < 4||wÊ0, f)\\ w H n y Vi wÊ (*, t) G c00 (i3r) => Il wÊ (x, t) II l hm bỡnh phng kh tớch trờn [0,T] Do n(t) -> Q k h i n -> 00, |n(t)| < 2||wÊ0, t ) \ \ w H n y ||wÊ(x,ớ) ||W1(/) l hm bỡnh phng kh tớch, nờn theo nh lớ Lebesgue v s hi t b chn: lim [ G n ( t ) d t = [ lim G n ( t ) d t n->ao Jo Jo n->ao Mt khỏc ta cú: dCk(t) _ dwE(x,t) f ^ dt ~ e dt (2.19) dw E (x, t) w1{ n dwE (X, t) 'ST' { dWE 'Vk d d IV ^ n -> 00 f T n f T acn lim I ~^dt= I lim ĂĂdt = n-> J0 t J0 n-ằ00 t T õy v t (2.19) suy ra: ||wÊ0,t) -^(x, t)ILi.i(S-yt 00 Suy tn ti IV ln cho: Ê wÊ0,t) -SnC^OIL1'1^-!*/!,.) N Vy: 17(x,t) - ớnC^OIL^Ce-^/lr) < E ' Vi n ln v S n (x, G M* Tc l M* trự mt khụng gian W11(e_yớ,13T).Tacú ng thc tớch phõn ỳng vi mi hm th thuc trự mt khụng gian W A (e~ y t ,è T ) nờn nú cng ỳng cho mi hm th thuc V/11(e_yớ,13T) Tc l ta s nhn c: n 1>J èT aớjUxxdxdt + I aurdxdt + I u^dxdt = frjdxdt, èT èT èT H - ^ khụng ph thuc vo h, u, f Kt luõn Ni dung chớnh ca lun l trỡnh by v tớnh gii c ca bi toỏn CauchyNeumann i vi phng trỡnh Hyperbolic cp hai tr vi ỏy khụng trn Nhng kt qu chớnh tụi ó trỡnh by õy l : nh ngha nghim suy rng ca bi toỏn Chng minh s tn ti ca nghim suy rng Chng minh v tớnh nht ca nghim suy rng Mt s m cú th phỏt trin tip : Nghiờn cu tớnh trn ca bin thi gian v khụng gian theo nghim suy rng Nghiờn cu v dỏng iu ca nghim suy rng ca bi toỏn c xột lun Do kh nng v thi gian nghiờn cu cú hn nờn lun cú th cha y v khú trỏnh sai sút Tỏc gi rt mong nhn c s úng gúp ca cỏc thy cụ v cỏc bn ng nghip lun c hon thin hn Tỏc gi xin chõn thnh cm n! [...]... = 0,vt G [t0,T) tO Chng 2 Bi toỏn Cauchy - Neumann i vúi phng trỡnh heyperpolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Trong chng ny lun vn trỡnh by v s tn ti v duy nht nghim suy rng ca bi toỏn Cauchy - Neumann i vi phng trỡnh heyperpolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn, ta nhn c kt qu v tớnh gii c ca bi toỏn trong tr vi ỏy khụng trn 2.1 t bi toỏn Gi s n l mt min b chn trong Mn, n > 2, vi biờn n khụng trn... T = 0 (2.3) Bi toỏn trờn c gi l bi toỏn Cauchy Neumann i vi phng trỡnh hyperbolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Bi toỏn ta ang xột l Hypebolic mnh, tc l vi G R n \ {0} v (X, t) G ớloo , tn ti trong Hi= const >0, ta luụn cú ng thc sau : n 7 = 1 ^/ilÊl2 (2.4) nh ngha nghim suy rng : Cho f G L2(ớl) Khi ú hm u(x, t) c gi l nghim suy rng ca bi toỏn (2.1) (2.3) trong khụng gian wu(e-yớ, nT ) nu u(x, ớ)... toỏn Cauchy - Nemann i vi phng trỡnh Hypepolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Tớnh duy nht ca nghim suy rng c khng nh qua hai nh lý sau : nh lý 2.2.2 Gi s rng h s ca toỏn t L(x,t,d) tha món iu kin (2.4) v : sup < ; 1 < i,j < n, li = const > 0 Khi ú bi toỏn (2.1) - (2.3) cú khụng quỏ mt nghim suy rng trong V/11 (e~yt, 1T) vi Y > 0 Chng minh Gi s bi toỏn (2.1) - (2.3) cú hai nghim suy rng I! v u2 trong. .. ca bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh Hyperbolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn S tn ti ca nghim suy rng c khng nh qua nh lý sau : nh lý 2.3.1 Gi s rng co/e L ( 0 , T, L 2 m dO Khi ú tn ti s oc > o (2.1)(2.3)> (ii) nh sup sao icho vi\ mi < fi; 1