ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội- Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN thầy, cô Khoa Toán – Cơ – Tin học quan tâm, giúp đỡ tạọ điều kiện thuận lợi suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu Khoa Tác giả xin cảm ơn nhà khoa học, thầy cô giáo seminar Cơ học vật rắn biến dạng có góp ý quý báu trình tác giả thực luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình nghiên cứu tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè thân thiết tác giả, người bên cạnh động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả Đào Thị Bích Thảo MỤC LỤC TỔNG QUAN Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio Ricci- Curbastro số nhà toán học khác Trong luận văn tenxơ sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ tập véctơ hình học Để giải toán lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị Việc thiết lập phương trình dựa hệ tọa độ cong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì báo hay giáo trình học nói chung thường nêu trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ bước biến đổi để thu kết Luận văn trình bày rõ ràng khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phương trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi, tác giả thu phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị hệ phương trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn bao gồm: - Chương trình bày khái niệm, thành phần vật lý tenxơ, số phép tính tenxơ đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả trình bày cách biến đổi để thu hệ véctơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến phản biến, thành phần kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé hệ tọa độ cong, cụ thể hệ tọa độ trụ cầu, từ giúp ích cho việc xác định phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị chương - Chương vận dụng hệ thức sở phép tính tenxơ để xây dựng phương trình cân bằng- chuyển động xây dựng phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời trình bày ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng, cụ thể áp dụng khai triển cho vỏ trụ vỏ cầu Nội dung luận văn trình bày chi tiết đây: Chương - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trường hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành thay đổi theo quy luật xác định Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trưng hay nhiều số Ví dụ Theo quy ước: số chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3 Ví dụ, kí hiệu nghĩa biểu thị phần tử biểu thị phần tử , , , , Hạng tenxơ Hạng tenxơ xác định số lượng số kí hiệu tenxơ Như phụ thuộc vào số nên hệ thống hạng bao gồm hạng tử phụ thuộc vào số nên hệ thống hạng bao gồm phần tử Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm phần tử Quy ước số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tổng từ đến 3” Chỉ số số câm nên thay chữ khác Ví dụ: Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai Nếu thay đổi chỗ số cho nhau, thành phần hệ thống không thay đổi dấu giá trị hệ thống gọi hệ thống đối xứng Nếu thay đổi vị trí số cho nhau, thành phần hệ thống thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối hệ thống hệ thống phản đối xứng Ví dụ hệ thống Kronecker nếu hệ thống đối xứng Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai số đấy, thành phần không thay đổi đổi chỗ hai số cho Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo số Hệ thống Levi-Civita hệ thống phản đối xứng hạng số hoán vị chẵn số 1, 2, hoán vị lẻ số 1, 2, Cụ thể: , , Cách thành phần lại Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) xác định vị trí số Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hiệp biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ phản biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hỗn hợp hạng hai 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề Xét hệ tọa độ Đềcác vuông góc với véc tơ sở (Hình 1) véctơ bán kính điểm P hệ tọa độ Đềcác O Hình Véc tơ biểu diễn dạng (1.1) Xét điểm Q lân cận điểm P độ dài bình phương vô nhỏ Do hệ tọa độ Đềcác hệ véctơ sở véctơ đơn vị trực giao nên tích vô hướng =0 , nên Suy ra: a Các phép tính tenxơ hạng ( vectơ ) Xét hệ thống có thành phần hệ sở Phép cộng Nhân với số Nhân vô hướng Nhân véctơ Hay viết dạng: Tích hỗn hợp Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ ) b Các phép tính tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai tenxơ hạng cao, phép tính thực tương tự tenxơ hạng Chú ý phép tính cộng, trừ áp dụng với tenxơ hạng loại Phép nhân thực với hai tenxơ có hạng Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : Phép cộng Phép trừ Phép nhân vô hướng Tích tenxơ Phép nhân( tích tenxơ) ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao với ý sau phép cộng nhân tenxơ, số số dưới, số số 1.2.2 Hệ tọa độ cong 10 186 Vậy: 187 188 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai 189 Xét đạo hàm hiệp biến thành phần phản biến tenxơ hạng hai 190 191 Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68) 192 193 số hạng thứ 2: , ta biểu thứ (1.60) thay số hạng thứ trở thành: 194 195 số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) thay số số hạng thứ trở thành: 196 197 Thay số hạng số 2, vừa biểu diễn vào biểu thức (1.69) nhận 198 199 Vậy vi phân tuyệt đối thành phần tenxơ có dạng 200 201 Và đạo hàm hiệp biến 202 203 Chương - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 204 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động 205 Trong phần luận văn sử dụng kết véctơ ứng suất, công thức Ostrogradsky- Gauss, định lý động lượng thành phần vật lý tenxơ 206 Giả sử thời điểm ta xét vật tích giới hạn mặt môi trường liên tục chuyển động 207 Vật chuyển động với vận tốc , chịu tác động lực khối , điểm mặt chịu tác dụng véctơ ứng suất 29 208 S V , O 209 Động lượng tổng cộng môi trường chứa kí hiệu xác định biểu thức 210 211 Theo định lý động lượng: biến thiên động lượng miền môi trường liên tục tổng lực tác dụng lên môi trường 212 213 Áp dụng công thức Ostrogradsky- Gauss, ta đưa biểu thức tích phân mặt (2.1) thành biểu thức tích phân thể tích 214 215 Xét vế trái (2.1), ta sử dụng công thức tính đạo hàm vật chất tích phân khối 216 217 Theo định luật bảo toàn khối lượng : khối lượng phần môi trường vật chất giữ nguyên, không đổi trình chuyển động Do 218 219 Thể tích chọn tùy ý nên 220 221 Từ ta có 222 30 223 Thay (2.2), (2.3) vào (2.1) thu biểu thức 224 225 Do thể tích V tùy ý nên biểu thức (2.4) tương đương 226 227 hay 228 229 Các phương trình (2.5) phương trình chuyển động môi trường liên tục 230 Trong đó, áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai ta biểu diễn 231 232 233 nên (2.5) viết sau 234 235 Viết dạng toàn phần 236 237 Các phương trình (2.6) phương trình chuển động môi trường liên tục chiếu lên trục tọa độ 238 Biểu thức (2.6) biểu diễn chi tiết phương trình 239 240 Nếu vận tốc vật thể không phương trình (2.5) có dạng 241 242 Phương trình (2.7) phương trình cân môi trường liên tục 243 Xác định phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ 244 Trong tọa độ trụ 245 246 247 Áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng hai (1.72) ta có 248 31 249 250 (2.8) 251 Trong hệ tọa độ trụ có thành phần Christoffel ( khác không, lại không 252 Ta sử dụng kết thống kê bảng 1: 253 Từ ta thay i, j=1 vào (2.8) với lưu ý thu đượ c 254 255 Áp dụng thành phần vật lý tenxơ hạng hai: 256 257 nên 258 259 Thay i=2, j=1 vào (2.8) thay thành phần vật lý tenxơ hạng hai ta có 260 Thay i=3, j=1 vào (2.8) thu 261 262 Thay i=1, j=2 vào (2.8) 263 264 Áp dụng tương tự ta tính giá trị lại 265 266 267 268 269 270 Thay giá trị vào phương trình đầu (2.6), thay giá trị vào phương trình thứ giá trị vào phương trình thứ ta kết 271 272 Vậy phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ biểu diễn phương trình 273 274 Với cách làm tương tự ta viết phương trình chuyển động hệ tọa độ cầu 275 32 276 277 Trong hệ tọa độ cầu có 278 Có thành phần ký hiệu Christoffel khác không, lại không 279 281 283 280 282 284 285 Ta áp dụng biểu thức (2.8) tính 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 Ta thay vào phương trình (2.6) sau 296 297 298 299 Vậy ta xác định phương trình chuyển động hệ tọa đồ cầu 300 301 Như qua phép tính toán ta xác định phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ cầu tương ứng với phương trình (2.9) (2.10) 302 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 303 Tenxơ biến dạng nhỏ hệ tọa độ cong cho biểu thức 304 305 Thay biểu thức đạo hàm đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng (1.60) vào (2.11) ta thu 306 33 307 Trong hệ trực giao, áp dụng biểu thức (1.58) chương vào (2.12) để thiết lập thành phần vật lý tenxơ biến dạng 308 Với ta thay vào (2.12) biểu thức trở thành 309 310 312 ( 2.13) 311 Với ta thay vào (2.12) thu 313 314 315 Với ta thay vào (2.12) có biểu thức 316 317 318 Với ta thay (vì hệ trực giao nên ) vào (2.12) nhận 319 320 321 322 Với ta thay vào (1.30), ý hệ trực giao nên làm tương tự ta có 323 (2.1 7) 325 326 (2.1 8) 327 Tổng hợp công thức (2.13)-(2.18) thu thành phần vật lý 324 tenxơ biến dạng 328 329 330 332 334 Xét hệ tọa độ trụ ( 2.19) 331 333 335 338 341 336 339 342 337 340 343 344 Theo bảng chương 1, ta có 345 346 Ta thay giá trị tương ứng vào biểu thức (2.19) 347 348 Các tenxơ tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, ta viết gọn lại sau 34 349 350 Với cách tính hệ tọa trụ, ta hoàn toàn áp dụng hệ tọa độ cầu 351 Xét hệ tọa độ cầu 352 355 358 353 356 359 354 357 360 361 Theo bảng chương 1, ta có 362 363 Ta thay giá trị tương ứng vào biểu thức (2.19) 364 365 Tổng hợp biểu thức ta thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu 366 367 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 368 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 369 Vỏ mỏng vật thể giới hạn hai mặt cong, độ dày vỏ nhỏ so với kích thước khác 370 Mặt chia đôi độ dày vỏ gọi mặt Tùy thuộc vào dạng mặt phân biệt vỏ cầu, vỏ nón,v v… Ở xét vỏ có độ dày không đổi 35 371 372 Vectơ bán kính điểm mặt hàm Trong hai thông số tạo thành hệ tọa độ cong điểm mặt Ta có 373 P O Hình 374 Khi phần tử đường xác định công thức 375 376 Với 377 378 379 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng 380 Vỏ mỏng đàn hồi sử dụng giả thiết 381 Đoạn thẳng vật chất giao với mặt trước biến dạng thẳng trực giao với mặt sau biến dạng ( giả thiết pháp tuyến thẳng Kirchhoff) 382 Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt nhỏ so với thành phần ứng suất khác nên bỏ qua 36 384 383 Chọn hệ trục tọa độ sau trục trực giao với mặt giữa, trục hướng theo đường khúc ( đường có tiếp tuyến điểm trùng với phương chính) mặt giữa( Hình 6) Hình 385 Ta sử dụng công thức (2.19) để xác định thành phần biến dạng vỏ mỏng 386 Vỏ có độ dày nhỏ nên 387 388 Trong chuyển dịch điểm mặt giữa, tức với 389 Theo giả thiết thứ “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt trước biến dạng trực giao với mặt sau biến dạng” dẫn đến biến dạng trượt 390 Thay giá trị công thức (2.34) vào giá trị (2.19 ) ta suy 391 392 (2.3 5) 393 hay 394 395 (2.36) 396 Hệ số nhân biến đổi mặt song song cách mặt khoảng có dạng 397 399 Trong đó: 398 (2.37) hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đường mặt bán kính khúc 400 401 Sử dụng công thức (2.37) thay vào công thức (2.36) cho ta xác định 402 403 37 (2.38) 404 Thay giá trị (2.38) vào (2.34) ta nhận thành phần chuyển dịch theo hướng 405 406 (2.39) 407 Do nên bỏ qua số hạng nhỏ , thay (2.39) (2.37) vào (2.19 ) với ý 408 409 Có thể viết dạng đơn giản 410 411 (2.40) 412 Với 413 414 Trong chuyển dịch mặt giữa, biểu thị biến dạng mặt giữa, biến thiên độ cong mặt giữa, hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đường mặt 415 416 417 giữa, 418 bán kính khúc 419 2.3.3 Phương trình cân 420 Để khảo sát thành phần cân bằng, ta khảo sát thành phần lực tác dụng vào phần tử vỏ lấy trục hướng theo tiếp tuyến với đường cong tọa độ 421 Tổng lực theo trục 422 423 Tổng lực theo trục 424 425 Tổng lực theo trục 426 427 Mômen trục 428 429 Mômen trục 430 431 Momen trục 432 433 38 434 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 435 a Vỏ trụ 436 Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ sau ( Hình 7) 437 Chọn đường tọa độ trùng với đường sinh trụ tròn, đường trùng với đường tròn mặt phẳng thẳng góc với trục Bán kính trụ tròn , phần tử đường có dạng 438 439 Hình a x ds 440 suy 441 442 443 444 (2.4 7) 445 Các thành phần biến dạng vỏ trụ xác định theo công thức (2.40) 446 Thay đại lượng (2.47) vào công thức (2.41) ta thu kết sau 447 39 448 Vậy ta có thành phần biến dạng vỏ trụ 449 450 Phương trình cân vỏ trụ tròn xác định theo công thức (2.42)-(2.46) 451 Thay đại lượng (2.47) vào công thức (2.42)-(2.46) ý 452 453 454 b Vỏ cầu 455 Chọn hệ trục tọa độ sau (Hình 8) 456 Trục tiếp truyến với đường cong tọa độ 457 Trục tiếp tuyến đường cong tọa độ 458 Bán kính vỏ cầu , phần tử đường có dạng 459 40 460 r R Hình ds 41 461 suy 462 463 464 465 (2.51) 466 Các thành phần biến dạng vỏ cầu xác định theo công thức (2.40) Ta thay đại lượng (2.51) vào (2.41) thu 467 468 Vậy thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu 469 470 Các phương trình cân vỏ cầu mỏng xác định theo công thức (2.42)-(2.46) với ý 471 472 Mômen trục đại lượng nhỏ bậc cao nên bỏ qua 473 Kết luận 474 Luận văn trình bày khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phương trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi thu phương trình tính biến dạng – chuyển vị hệ phương trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu 475 Luận văn đạt số kết sau: - Trình bày phép biến đổi để thu Các véctơ sở hiệp biến, phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Các thành phần tenxơ mêtric phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Các hệ số Lamé hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu Dẫn biểu thức liên hệ thành phần Christoffel đạo hàm - véctơ sở Xác định thành phần kí hiệu Christoffel hệ tọa độ trụ hệ tọa - độ cầu Dẫn biểu thức đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng đạo hàm hiệp biến i ii iii iv tenxơ hạng hai Trình bày phương trình chuyển động hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu, Tính thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu Vận dụng phép tính sở tenxơ vào toán vỏ trụ tròn, vỏ cầu i Những hướng nghiên cứu tiếp theo: Giải gần phương pháp số số toán đặt tải đơn giản vỏ trụ, vỏ ii cầu theo phương pháp thiết lập Giải gần phương pháp số số toán đàn hồi cho chữ nhật 476 tròn theo phương trình thiết lập 477 Tài liệu tham khảo [1] Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] A W Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed Wiley [4] D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics: Second Edition, Westview Press [5] Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridgr University Press [6] Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company, New York [7] Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New York [8] I.N Broustein, K.A Semendyayev, G Musiol,H Muehlig (2004), Handbook of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York [9] J.H Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing [10] Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger Dordrecht Heidelberg London New York Ralph Abraham, J E Marsden, T Ratiu (1988), Tensor Analysis, and [11] Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York [12] R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York: Dover [13] R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, New York: Dover [14] Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York [...]... thành phần của tenxơ có dạng 200 201 Và đạo hàm hiệp biến 202 203 Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 204 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động 205 Trong phần này bài luận văn sử dụng kết quả của véctơ ứng suất, công thức Ostrogradsky- Gauss, định lý về động lượng và thành phần vật lý của tenxơ 206 Giả sử tại thời điểm ta xét một vật có thể tích giới hạn bởi mặt... biến của tenxơ hạng hai 190 191 Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68) 192 193 ở số hạng thứ 2: , ta thế ở biểu thứ (1.60) và thay thì số hạng thứ 2 trở thành: 194 195 ở số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) và thay các chỉ số thì số hạng thứ 3 trở thành: 196 197 Thay các số hạng số 2, 3 vừa biểu diễn ở trên vào biểu thức (1.69) nhận được 198 199 Vậy vi phân tuyệt đối của các thành phần của tenxơ có... với Tương tự tính được Thay các vào ( 1.19) suy ra Ngược lại véc tơ có thể biểu diễn qua các cơ sở Ví dụ Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với sẽ được Do nên Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với sẽ có Nhân 2 vế của ( 1.23) với Thay vào ( 1.23) Hay Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau: ( phép nâng chỉ số) ( phép hạ chỉ số) 1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide a Tenxơ mêtric... chiều và khác độ lớn Trong trường hợp này: Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính ta được: Thực hiện tương tự ta cũng nhận được 16 Giống như trên ta có thể suy ra c Ví dụ: Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao Ta đi xác định tenxơ metric trong hai hệ tọa độ này Tọa độ trụ ( Hình 3.) Phép biến đổi tọa độ 17 z Hình 3 P 18 Ta tính được Suy ra từ công thức (1.31) Thay (1.31) vào... 302 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 303 Tenxơ biến dạng nhỏ trong hệ tọa độ cong bất kỳ được cho bởi biểu thức 304 305 Thay biểu thức đạo hàm đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất (1.60) vào (2.11) ta thu được 306 33 307 Trong hệ trực giao, áp dụng biểu thức (1.58) ở chương 1 vào (2.12) để thiết lập các thành phần vật lý của tenxơ biến dạng 308 Với ta thay vào (2.12)... 259 Thay i=2, j=1 vào (2.8) và thay thành phần vật lý của tenxơ hạng hai như trên ta có 260 Thay i=3, j=1 vào (2.8) thu được 261 262 Thay i=1, j=2 vào (2.8) 263 264 Áp dụng tương tự ta tính được các giá trị còn lại 265 266 267 268 269 270 Thay các giá trị của vào phương trình đầu của (2.6), thay các giá trị vào phương trình thứ 2 và các giá trị vào phương trình thứ 3 ta được kết quả 271 272 Vậy phương... phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ Vậy: Suy ra Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu được các thành phần của tenxơ metric phản biến trong hệ tọa độ trụ Suy ra : Vậy: , Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4) Phép biến đổi tọa độ: 19 Hình 4 Ta tính được các đạo hàm riêng 20 Vậy từ (1.3) ta có Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cầu Từ (1.34) ta tính được... (1.42) vào (1.44) 80 81 1.4.2 Kí hiệu Christoffel 82 Kí hiệu Christoffel đã được xuất hiện ở biểu thức (1.39) Và trong mục này sẽ đi vào xác định các thành phần của kí hiệu đó thông qua tenxơ mêtríc và đạo hàm véctơ cơ sở 83 Theo biểu thức (1.39): 84 Ta đồng nhất (1.45) và (1.39) rút ra được: 85 86 87 91 a Xác định biểu thức qua tenxơ mêtríc T a có : Suy ra: 88 89 nê n 90 92 93 Tương tự ta tính được... Ta cũng áp dụng biểu thức (2.8) tính được 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 Ta thay các lần lượt vào các phương trình của (2.6) như sau 296 297 298 299 Vậy ta xác định được các phương trình chuyển động trong hệ tọa đồ cầu 300 301 Như vậy qua các phép tính toán như trên ta đã xác định được các phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ và cầu tương ứng với các phương trình ở (2.9) và (2.10) như... định bằng Trong đó Phép tính đối với vectơ Cho hai véctơ và Phép cộng, trừ Tích vô hướng 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ Bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác biểu diễn dưới dạng: Với các véc tơ cơ sở là không đổi 11 Trong tọa độ cong bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị và Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn