ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM LAN PHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu 5 5 6 6 7 7 8 8 8 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.2 Không gian Holder 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) 1.2.2 Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) 1.3 Các định lý nhúng 1.3.1 Định lý nhúng vào Lp (Ω) 1.3.2 Định lý nhúng không gian W l,p (Ω) 1.4 Một số bất đẳng thức 1.4.1 Bất đẳng thức Young 1.4.2 Bất đẳng thức Holder 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare 1.5 Định lý Fredholm phương trình tuyến tính 1.5.1 Định lý Fredholm không gian Banach 1.5.2 Định lý Fredholm không gian Hilbert Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 2.1 Nghiệm suy rộng toán Dirichlet 2.1.1 Hệ phương trình elliptic toán Dirichlet 2.1.2 Nghiệm suy rộng 2.2 Bất đẳng thức thứ Sự tồn nghiệm suy rộng 2.2.1 Bất đẳng thức thứ 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng 2.3 Các tính chất định tính nghiệm suy rộng 2.3.1 Đánh giá max |u| Ω 2.3.2 10 10 10 11 11 11 14 15 15 Đánh giá |u|α,Ω 17 MỤC LỤC 2.4 2.5 2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω ||u||W 2,2 (Ω) 17 Đánh giá tiên nghiệm không gian Holder C l,α (Ω) 20 Tính giải toán Dirichlet không gian C l,α (Ω) 21 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 MỞ ĐẦU Đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta nghiên cứu tính giải toán Dirichlet Đối với phương trình elliptic dạng bảo toàn, người ta đưa nghiệm suy rộng không gian Sobolev W 1,2 (Ω) chứng minh tồn nghiệm toán Đối với phương trình elliptic dạng không bảo toàn, người ta đưa vào lớp nghiệm cổ điển không gian Holder C 2,β (Ω) chứng minh tồn tính trơn nghiệm Mục tiêu Luận văn trình bày mở rộng kết tính giải toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Dưới hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả hoàn thành luận văn với để tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian Sobolev, Holder, định lý Fredholm tính giải phương trình tuyến tính không gian Banach, Hilbert Chương - nội dung Luận văn, trình bày toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Với hệ phương trình dạng bảo toàn, luận văn trình bày khái niệm lớp nghiệm suy rộng không gian Sobolev W 1,2 (Ω), phát biểu chứng minh tính giải Fredholm toán Dirichlet không gian Đối với lớp hệ phương trình dạng không bảo toàn, Luận văn trình bày chứng minh đánh giá tiên nghiệm nghiệm toán, phát biểu tính giải Fredholm toán Dirichlet không gian Holder C 2,β (Ω) Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận MỞ ĐẦU văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người Thầy truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu toán học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin, thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2015 Tác giả Phạm Lan Phương Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ Định nghĩa 1.1 Lp (Ω) không gian Banach gồm hàm đo u xác định Ω p - khả tích cho |u(x)|p dx < +∞ Ω Chuẩn Lp (Ω) định nghĩa   p1 |u(x)|p dx , ||u||Lp (Ω) =  Ω |u(x)| trị tuyệt đối mô đun u(x) Khi p = +∞, L∞ (Ω) không gian Banach hàm bị chặn Ω với chuẩn ||u||∞ = sup |u(x)| = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hầu khắp nơi Ω} Ω Ω Khi p = 2, L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng (u, v)L2 (Ω) = u(x).v(x)dx, Ω |u(x)|2 dx (u, u) = ||u||2 = Ω 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) Định nghĩa 1.2 Với ∀l ∈ N; ≤ p < +∞, ta có W l,p (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u(x) ∈ Lp (Ω), ∀α : |α| ≤ l}, Chương Một số kiến thức chuẩn bị α = (α1 , α2 , , αn ); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn ; Dα u = D1α1 D2α2 Dnαn ; Dj = Khi đó, chuẩn u(x) ∈ ∂ ∂xj W l,p (Ω) định nghĩa   p1 |Dα u|p dx ||u||W l,p (Ω) =  Ω |α|≤l 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) Định nghĩa 1.3 Không gian W0l,p (Ω) với ≤ p < +∞ bao đóng C0∞ (Ω) chuẩn không gian W l,p (Ω) Kí hiệu W0l,p (Ω) = C0∞ (Ω) Khi đó, W0l,p (Ω) = {u(x); u(x) ∈ W l,p (Ω), Dα u|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1} 1.2 Không gian Holder Cho Ω tập mở Rn Ta định nghĩa số không gian 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) Định nghĩa 1.4 C(Ω) = {u(x); u(x) liên tục Ω}, C l (Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dα u ∈ C(Ω); ∀|α| ≤ l}, với l ∈ N Trong không gian C l (Ω) xác định chuẩn Dα u |u|l,Ω = sup Ω 1.2.2 |α|≤l Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) Định nghĩa 1.5 C 0,α (Ω) không gian Banach hàm u(x) liên tục Ω với |u|(α),Ω xác định C 0,α (Ω) = {u(x) ∈ C (Ω); |u|(α),Ω = sup x,y∈Ω x=y |u(x) − u(y)| < +∞}, |x − y|α Chương Một số kiến thức chuẩn bị với < α ≤ Chuẩn C 0,α (Ω) định nghĩa |u|α,Ω = max |u| + |u|(α),Ω Ω 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) Định nghĩa 1.6 C l,α (Ω) = {u(x) ∈ C l,α (Ω); Dα u ∈ C 0,α ; ∀|α| = l} Chuẩn C l,α (Ω) |D(l) u|(α),Ω |u|l,α,Ω = |u|l,Ω + (l) 1.3 1.3.1 Các định lý nhúng Định lý nhúng vào Lp (Ω) Định lý 1.1 Giả sử Ω miền bị chặn ≤ p < q < +∞ Khi đó, Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω) ánh xạ nhúng j : Lq (Ω) → Lp (Ω) liên tục 1.3.2 Định lý nhúng không gian W l,p (Ω) Định lý 1.2 Cho Ω ⊂ Rn tập bị chặn Khi đó, ta có khẳng định sau Nếu lp < n np , W l,p (Ω) nhúng liên tục vào Lq (Ω), Với q ≤ n−pl np Với q < n−pl , W l,p (Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào Lq (Ω) Nếu lp > n l,p β Với β ≤ pl−n p , W (Ω) nhúng liên tục vào C (Ω), l,p β Với β < pl−n p , W (Ω) nhúng hoàn toàn liên tục vào C (Ω) Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.4 1.4.1 Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức Young Ta có bất đẳng thức Young |ab| ≤ |a|p |b|q + , p q p, q ∈ R; p > 0; q > thỏa mãn 1.4.2 + q = Bất đẳng thức Holder Với u ∈ Lp (Ω); v ∈ Lq (Ω)  p + q = 1, ta có bất đẳng thức Holder  p1  Ω Ω  1q |u|p dx  uvdx ≤  1.4.3 p (1.1) |u|q dx = ||u||p ||u||q Ω Bất đẳng thức Poincare Giả sử Ω miền bị chặn p ≥ Khi đó, tồn số c = c(Ω) > cho n |uxj (x)|2 dx; |u(x)| dx ≤ c Ω Ω j=1 với hàm u(x) ∈ W01,2 (Ω) 1.5 1.5.1 Định lý Fredholm phương trình tuyến tính Định lý Fredholm không gian Banach Định lý 1.3 Cho V không gian tuyến tính định chuẩn T : V → V ánh xạ tuyến tính compact Khi đó, phương trình x − Tx = nghiệm, với y ∈ V , phương trình x − Tx = y có nghiệm toán tử (I − T )−1 toán tử bị chặn Định lý 1.4 Cho V không gian tuyến tính định chuẩn T : V → V ánh xạ tuyến tính compact Khi đó, tập hợp giá trị riêng đếm điểm tụ λ = Mỗi giá trị riêng khác bội hữu hạn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.5.2 Định lý Fredholm không gian Hilbert Định lý 1.5 Cho H không gian Hilbert T : H → H ánh xạ compact Khi đó, tồn tập đếm Λ ⊂ R chứa vô hạn phần tử trừ λ = 0, cho λ = 0, λ ∈ / Λ phương trình λx − T x = y, λx − T ∗ x = y (1.2) có nghiệm xác định x ∈ H với y ∈ H , ánh xạ ngược (λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 bị chặn Nếu λ ∈ Λ, không gian rỗng ánh xạ λI − T, λI − T ∗ có chiều dương xác định phương trình (1.2) giải y trực giao với không gian rỗng λI − T ∗ trường hợp thứ λI − T trường hợp khác Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 2.1 Nghiệm suy rộng toán Dirichlet 2.1.1 Hệ phương trình elliptic toán Dirichlet a) Hệ phương trình elliptic Với x ∈ Ω ⊂ Rn , xét hệ phương trình dạng bảo toàn Lu ≡ ∂fi ∂ [aij (x)uxj + Ai (x)u] + Bi (x)uxi + B(x)u = + f, ∂xi ∂xi (2.1) đây, u, fi f hàm vecto N phần tử aij (x) hàm vô hướng : aij (x).uxj = aij (x).E.uxj ; Ai (x), Bi (x), B(x) ma trận vuông cấp N Giả sử hệ số aij hệ (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức n n ξi2 λ ξi2 ; λ, µ = const > 0, ≤ aij (x)ξi ξj ≤ µ i,j=1 (2.2) i=1 với ∀x ∈ Ω; ∀ξi ∈ Rn Khi hệ (2.1) hệ phương trình elliptic b) Bài toán Dirichlet Bài toán Dirichlet hệ phương trình (2.1) toán tìm hàm vecto u(x) Ω hệ phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện biên u|S = ϕ|S , (2.3) im im ||aim i , bi ||Lq (Ω) , ||b ||L q (Ω) < µ; q > n (2.4) với ϕ(x) ∈ W 1,2 (Ω) Ta giả sử thêm điều kiện 10 Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Với hàm fi (x), f (x) ϕ(x) thỏa mãn ||fi ||L2 (Ω) ||f ||L 2ˆ n (Ω) n ˆ +2 , ||ϕ||W 1,2 (Ω) < ∞, (2.5) n ˆ= n 2+ε với n > 2; với n = 2; ε > Các giả thiết fi , f, ϕ cần thiết tồn nghiệm suy rộng thuộc W 1,2 (Ω) hệ (2.1) 2.1.2 Nghiệm suy rộng Nghiệm suy rộng hệ phương trình elliptic Hàm vecto u(x) ∈ W 1,2 (Ω) gọi nghiệm suy rộng hệ (2.1) với hàm vecto η(x) ∈ W01,2 (Ω), thỏa mãn đẳng thức tích phân (aij uxj + Ai u − fi )ηxi − (Bi uxi + Bu − f )η dx = (2.6) Ω Nghiệm suy rộng toán Dirichlet Hàm u(x) ∈ W 1,2 (Ω) gọi nghiệm suy rộng toán Dirichlet u(x) nghiệm suy rộng hệ phương trình (2.1) u(x) − ϕ(x) ∈ W01,2 (Ω) 2.2 Bất đẳng thức thứ Sự tồn nghiệm suy rộng 2.2.1 Bất đẳng thức thứ Xét toán (2.1), (2.3) thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.4), (2.5) Do hàm vecto u(x) ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm suy rộng hệ (2.1), nên L(u, η) ≡ aij uxj + Ai u ηxi − (Bi uxi + Bu) η dx = Ω (fi ηxi − f η) dx, Ω hay, L(u, η) = (fi , ηxi ) − (f, η), với η(x) ∈ W01,2 (Ω) thỏa mãn u(x) − ϕ(x) ∈ W01,2 (Ω) Đặt v(x) = u(x) − ϕ(x) 11 (2.7) Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Với hàm này, từ đẳng thức (2.7) ta thu L(v, η) = −L(ϕ, η) + (fi , ηxi ) − (f, η), (2.8) v|S = 0, (2.9) từ (2.3) ta có với v ∈ W01,2 (Ω) Đến đây, thay xét hàm u, ta tìm hàm v ∈ W01,2 (Ω) thỏa mãn đẳng thức (2.8) Từ đó, ta suy hàm u = v + ϕ nghiệm suy rộng toán (2.1), (2.3) Xét l(η) = −L(ϕ, η) + (fi , ηxi ) − (f, η) (2.10) phiếm hàm tuyến tính W 1,2 (Ω) Bước Đánh giá |l(η)| Ta có |l(η)| ≤ |L(ϕ, η)| + (fi , ηxi ) + |(f, η)| i Qua trình đánh giá ta |l(η)| ≤ {µ[(1+c(q, Ω))(1+ˆ c(q, Ω))]||ϕ||W 1,2 (Ω) +||f ||L2 (Ω) +ˆ c(ˆ n, Ω)||f ||L 2ˆ n (Ω) n ˆ +2 ≡ c(q, Ω, ϕ, f, f )||∇η||L2 (Ω) }||∇η||L2 (Ω) (2.11) Bước Chứng minh bất đẳng thức thứ với toán tử elliptic Với hàm v(x) ∈ W01,2 (Ω) bất kì, ta có bất đẳng thức ||v||2L 2q q−2 (Ω) n n n ≤ c2 (q) ε ||∇v||2L2 (Ω) + ε− q−n (1 − )||v||2L2 (Ω) , q q ε > Xét hệ số B(x) có dạng B(x) = B + (x) − B − (x), với B + (x) = max{B(x) − B0 ; 0}; B − (x) = −B0 + max{−B(x) + B0 ; 0}; B0 = mes Ω B(x)dx Ω 12 (2.12) Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Ta định nghĩa M = max    n (Bi − Ai )2 ; ||B + ||L q (Ω) i=1 L q (Ω)   (2.13)  Trước hết, ta xét bổ đề sau Bổ đề 2.1 Giả sử điều kiện (2.2), (2.4) thỏa mãn Khi đó, với hàm v ∈ W01,2 (Ω) 4 |∇v|2 + B − v dx ≤ L(v, v) + c1 (q)||v||2L2 (Ω) , λ λ (2.14) Ω c1 (q) = M (2λ+1)n 2c (q) λ2 q q q−n q−n n Ta cần sử dụng bất đẳng thức (2.14) để đánh giá nghiệm suy rộng toán Dirichlet (2.1), (2.3) Từ (2.8), (2.9), (2.10) ta có L(v, v) = L(ϕ, v) + (fi , vxi ) − (f, v) ≡ l(v), với v = u − ϕ Khi đó, (2.14) trở thành |∇v|2 + B − v dx ≤ c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + c1 (q)||v||2L2 (Ω) λ λ (2.15) Ω Nhân hai vế bất đẳng thức (2.15) với 2, ta 16 |∇v|2 + B − v dx ≤ c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + 2c1 (q)||v||2L2 (Ω) λ λ (2.16) Ω Đến đây, ta triệt tiêu phần tử ||v||2L2 (Ω) vế phải bất đẳng thức (2.16) a) Thật vậy, v ∈ W01,2 (Ω) nên ||v||L2 (Ω) ≤ c0 mes n (Ω)||v||2L2 (Ω) (2.17) Suy |∇v|2 dx ≤ 16 c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) (1 − δ)λ2 Ω 13 (2.18) Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic b) Trường hợp ϕ ≡ 0, v ≡ u nghiệm (2.1) 16 |∇v| dx ≤ ||f ||L2 (Ω) + c(n, Ω)||f ||L 2n (Ω) (1 − δ)v n+2 (2.19) Ω c) Trường hợp ϕ = |∇u|2 dx ≤ 32 c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) + (1 − η)λ2 Ω |∇ϕ|2 dx Ω ≡ c2 (q, Ω, ϕ, f, f ) (2.20) d) Tiếp theo ta với n ≥ 3, trường hợp q = n giữ lại số dạng toán Dirichlet Thật vậy, giả sử điều kiện (2.2) thỏa mãn n n a2i , i=1 b2i , a i=1 ≤ µ; n ≥ (2.21) L n (Ω) (1−δ1 ) 2 |∇v| Ta thu bất đẳng thức + λ2 B − v dx ≤ Ω ≤ 2(λ + 1) c (q, Ω, ϕ, f, f ) + Mε ||v||2L2 (Ω) λ2 (1 − δ1 ) λ2 (2.22) Vậy (2.22) bất đẳng thức thứ nghiệm suy rộng hệ phương trình (2.1) W01,2 (Ω) Hệ 2.1 Nếu ϕ ≡ v ≡ u nghiệm phương trình (2.1) Khi Giữ lại số thành phần (2.1) với Ω1 ⊂ Ω, từ (??) ta |∇v|2 dx ≤ ||f ||L2 (Ω) + c(n, Ω)||f ||L 2n (Ω) δ2 λ (1 − δ1 ) n+2 , (2.23) Ω1 với v nghiệm suy rộng (2.1) W01,2 (Ω) 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng Từ bất đẳng thức thứ nghiệm suy rộng hệ (2.1), áp dụng phương pháp phần phương trình, ta có định lý kiểu Fredholm tồn nghiệm suy rộng 14 Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.1 Cho hệ (2.1) thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.4) (2.5) miền Ω bị chặn Khi có hai khả i) Hoặc hệ phương trình (2.1) với f ≡ 0, fi ≡ (i = 1, , n), điều kiện biên ϕ ≡ có nghiệm không tầm thường u = ii) Hoặc hệ phương trình (2.1) với f ≡ 0, fi ≡ (i = 1, , n), điều kiện biên ϕ ≡ có nghiệm tầm thường u ≡ Khi đó, với hàm f, fi , ϕ W 1,2 (Ω), tồn nghiệm u(x) ∈ W 1,2 (Ω) toán (2.1), (2.3) Định lý 2.2 Tồn số đếm giá trị λ = λ1 , , mặt phẳng phức λ cho toán ∂ (aij uxj + Ai u) + Bi uxi + Bu = λu, u|S = 0, ∂xi có nghiệm khác không W 1,2 (Ω) Tập hợp tất giá trị riêng {λk } tạo thành phổ toán (2.1), (2.3) Mỗi giá trị λ có bội hữu hạn |λk | → ∞ k → ∞ 2.3 Các tính chất định tính nghiệm suy rộng 2.3.1 Đánh giá max |u| Ω Trong phần này, ta đánh giá max |u| Muốn thế, giả sử điều kiện Ω (2.2), (2.4) ||fi ||Lq (Ω) , ||f ||L q (Ω) ≤ µ < ∞, q > n, (2.24) thỏa mãn Ngoài ra, ta giả thiết ϕ(x) ≡ 0, (2.25) u|S = Ta cần u(x) ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm suy rộng (2.1) tích phân |u|4 dx, Ω |u|2 |∇u|2 dx, Ω hữu hạn Do đó, |∇u|2 φ(r) + |∇φ(r) |2 + |φ(r) |2   dx ≤ c1  Ω 2 |u|2 dx + Ω 15  n ||fi ||4L i=1 4q (Ω) q+2 + ||f ||4L 4q (Ω) q+6  , Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic với c1 biểu thức phụ thuộc vào r Cho r → ∞, φ(r) = |u|2 , tích phân trở thành  |u|2 |∇u|2 + |∇|u|2 |2 + |u|4 dx ≤ c1  Ω  n ||fi ||4L ||u||4L2 (Ω) dx + i=1 Ω W 1,2 (Ω) Tích phân với nghiệm suy rộng u ∈ hạn Khi đó, ta đánh giá max |u| qua định lý sau 4q (Ω) q+2 + ||f ||4L 4q (Ω) q+6 (2.26) toán Dirichlet hữu Ω Định lý 2.3 Giả sử điều kiện (2.2), (2.4), (2.24) thỏa mãn Giả sử, nghiệm suy rộng u(x) ∈ W 1,2 (Ω) có tích phân |u|4 dx, Ω |u|2 |∇u|2 dx, (2.27) Ω hữu hạn Khi max |u(x)| bị chặn số phụ thuộc vào n, N, q, λ µ Ω (2.2), (2.4), (2.24), phụ thuộc vào ||u||Lq (Ω) khoảng cách từ Ω đến S Mặt khác, u(x) ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm suy rộng toán (2.1), (2.25) max |u(x)| bị chặn số phụ thuộc vào n, N, q, λ, µ (2.2), Ω (2.4), (2.24), ||u||L2 (Ω) Chứng minh Bước Giả sử Ω ⊂⊂ Ω Đánh giá max |u| mà không sử dụng giả thiết u|S = S với tích phân (2.27) Ω hữu hạn Đặt φ(x) = max{2[v(x) − k]ζ (x), 0}, với k ≥ ζ(x) hàm trơn không âm thỏa mãn < ζ(x) < x ∈ Kρ ⊂ Ω x ∈ / Kρ ⊂ Ω Khi đó,   |∇v|2 ζ dx ≤ γ   Ak,ρ (v − k)2 |∇ζ|2 dx + k mes1− q Ak,ρ   (2.28) Ak,ρ Trong bất đẳng thức này, k ≥ 1, số ρ thỏa mãn bất đẳng thức (??), tập Kρ ⊂ Ω γ số xác định n, N, q(q > n), γ, mu (2.2), (2.4) (2.24) với q >n Theo Định lí 5.3, chương 2, [1], từ bất đẳng thức (2.28) ta đánh giá 16  Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic max |u(x)| miền Ω bị chặn số phụ thuộc vào Ω n, N, q, λ µ (2.2), (2.4), (2.24), ||u||L2 (Ω) Bước Đánh giá max |u(x)| với u(x) ∈ W 1,2 (Ω) nghiệm suy rộng toán Dirichlet Ω Đặt φ(x) = max{2[v(x) − k], 0}, v = |u|2 , k > Chứng minh tương tự bước ta thu kết  |∇v|2 dx ≤ γ  Ak  (v − k)2 dx + k mes1− q Ak  , (2.29) Ak với k>1 Ở đây, Ak = {x ∈ Ω; v(x) > k} Theo Định lí 5.1, chương 2, [1], từ (2.29) ta đánh giá max |u(x)| bị chặn Ω số phụ thuộc vào n, N, q, λ µ (2.2), (2.4), (2.24), ||u||L2 (Ω) 2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω Ta có định lý sau Định lý 2.4 Giả sử điều kiện (2.2), (2.4), (2.24) thỏa mãn hệ phương trình (2.1) Khi đó, nghiệm suy rộng u(x) ∈ W 1,2 (Ω) hệ (2.1) đánh giá không gian C 0,α (Ω) với α > Ở đây, |u|α,Ω đánh giá số phụ thuộc vào n, N, q, λ µ (2.2), (2.4), (2.24), M = ess max |u|, khoảng cách từ Ω đến S Ω Chứng minh Muốn đánh giá |u|α,Ω , ta cần nghiệm suy rộng ¯ ) u(x) ∈ W 1,2 (Ω) hệ (2.1) thuộc lớp hàm B(Ω, Khi đó, theo Định lí 8.1, Chương 2, [1], ta đánh giá |u|α,Ω với Ω ⊂ Ω số phụ thuộc vào n, N, q, λ µ (2.2), (2.4), (2.24), phụ thuộc vào M max |u| khoảng cách từ Ω tới S Vậy, định lí chứng minh xong Ω 2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω ||u||W 2,2 (Ω) Để đánh giá |u|1,α,Ω Ω ⊂ Ω bất kỳ, ta giả thiết nghiệm suy rộng u ∈ W 1,2 (Ω) hệ (2.1) có đạo hàm suy rộng cấp hai tích phân n u2xi xj dx |∇u| + (1 + |∇u| ) i,j=1 Ω 17 Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic i hữu hạn Giả sử hệ số aij , ami i , fi hàm khả vi thỏa mãn bất đẳng thức ∂f i ∂aij ∂aim , i , i ∂xk ∂xk ∂xk ≤ µ, q > n (2.30) Lq (Ω) Ta giả sử điều kiện elliptic (2.2) thỏa mãn im i i aim i , bi , fi , f Lq (Ω) ≤ µ, q > n (2.31) Ta xét định lý sau Định lý 2.5 Giả sử điều kiện (2.2), (2.31) (??) thỏa mãn Cho u(x) ∈ W 2,2 (Ω) nghiệm suy rộng hệ (2.1) với tích phân sau n u2xi xj dx, |∇u| + (1 + |∇u| ) i,j=1 Ω hữu hạn Khi đó, |u|l,α,Ω với α > 0, Ω ⊂ Ω bất kì, bị chặn số phụ thuộc vào n, N, M, q, λ, µ (2.2), (2.31) (??), phụ thuộc vào đại lượng |∇u|4 dx, Ω theo khoảng cách từ Ω đến S Chứng minh Ta cần tìm đánh giá ||u||W 2,2 (Ω) ||∇u||L4 (Ω) , giả thiết điều kiện elliptic (2.2)thỏa mãn hệ số hệ (2.1) bị chặn Khi  ∂aij im im   ≤ µ, q > n,  ∂xk ; ; bi  Lq (Ω)  im ∂ai im ≤ µ, bi ; ∂xi L q (Ω) (2.32)    ∂fi ≤ µ, q = max(q, 4).  i ∂xi , f L2 (Ω) Để đơn giản, ta giả thiết điều kiện biên u|S = (2.33) Bước Đánh giá ||u||W 2,2 (Ω) Ta coi hệ (2.1) tập hợp phương trình có dạng ∂ aij (x)ukxj = F l (x), l = 1, , N, ∂xi 18 (2.34) Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic đây, F (x) = − ∂ (Ai u − fi ) − Bi uxi − Bu + f, ∂xi F = (F , , F N ) Theo Bổ đề 8.1 Chương 3, [1], phương trình (2.34), hàm ul , l = 1, , N khả vi liên tục ||ul ||2W 2,2 (Ω) ≤ c ||Lul ||2L2 (Ω) + ||ul ||2L2 (Ω) Lấy tổng tất bất đẳng thức theo l = 1, , N ta có ||u||2W 2,2 (Ω) ≤ c ||u||2L2 (Ω) + ||F ||2L2 (Ω) , (2.35) với c số phụ thuộc vào hàm cong trơn mảnh S, phụ thuộc vào số λ, µ (2.2) đại lượng ∂aij ∂xk q > n Ta có , Lq (Ω)  n ||u||W22 (Ω) ≤ c ||u||L2 (Ω) + i=1  ∂fi ∂xi + ||f ||L2 (Ω)  , (2.36) L2 (Ω) với c số phụ thuộc vào n, N, q, λ, µ (2.2) (2.29) S Bước Đánh giá |∇u|4 dx Ω Theo (2.34) ta có ∂ aij (x)ulxj = F l (x) ∂xi Nhân hai vế phương trình với −ul |∇u|2 ta ∂ aij (x)ulxj ∂xi −ul |∇u|2 = F l (x) −ul |∇u|2 Lấy tổng hai vế với l = 1, , n ta − ∂ aij (x)uxj u|∇u|2 = −F (x)u|∇u|2 ∂xi (2.37) Lấy tích phân hai vế (2.37) Ω ta ∂ aij (x)uxj (u|∇u|2 )dx = − ∂xi − Ω F (x)u|∇u|2 dx Ω 19 (2.38) Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Tích phân phần vế trái đẳng thức (2.38), ta có aij uxj uxi |∇u|2 + 2aij uuxj (uxk uxk xl ) dx = − Ω F (x)u|∇u|2 dx (2.39) Ω Theo điều kiện (2.2), từ (2.39) ta rút  ε|∇u|4 + c |u|2 |∇u|4 dx ≤ λ Ω  ε Ω k,l c u2xk xl + ε|∇u|4 + |u|2 |F |2  dx, ε với ε > Đặt ε = λ4 ,  |∇u|4 dx ≤ cM ||u||2L2 (Ω) + i=1 Ω  n ∂fi ∂xi + ||f ||2L2 (Ω)  , (2.40) L2 (Ω) với c số phụ thuộc vào n, N, λ, µ, q (2.2), (2.32) S 2.4 Đánh giá tiên nghiệm không gian Holder C l,α (Ω) Ta xét hệ phương trình tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn Lu ≡ aij (x)uxi xj + Bj uxj + B(x)u = f (x), (2.41) u, f hàm vecto N phần tử; aij (x) hàm vô hướng aij (x)uxi xj = aij (x).E.uxi xj ; Bj (x), B(x) ma trận vuông cấp N Ta giả thiết hệ số aij (x) hệ (2.41) thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2) n n ε2i λ ≤ aij (x)εi εj ≤ µ i,j=1 ; λ, µ = const > 0, i,j=1 với x ∈ Ω; εi ∈ Rn Đối với hệ (2.41) ta giả thiết thêm điều kiện ∂aij km , aij , bkm i ,b ∂xi ≤ µ (2.42) l−2,β,Ω Tính giải toán Dirichlet không gian Holder C l,α (Ω) với l ≥ hệ (2.41), chứng minh tương tự phần phương trình Ta đưa đánh giá tiên nghiệm cho |u|l,β,Ω hệ (2.41) 20 Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.6 Giả sử hệ (2.41) thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2) Khi đó, với ¯ ≥ ta có đánh giá u ∈ C l,α (Ω), |u|l,β,Ω ≤ c(l) |fi |l−1,β,Ω + |f |l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max |u| , l ≥ 2, Ω (2.43) đó, c(l) xác định l λ (2.2) hệ số hệ (2.41), giá trị µ bất đẳng thức (2.42) xác định biên S không gian C l,β Chứng minh Do điều kiện (2.42), ta viết hệ (2.41) dạng bảo toàn ∂ ∂ (aij ukxj ) = f k − B(x)uk − Bi (x)ukxi + aij (x)uk , ∂xi ∂xi hay ∂ (aij ukxj ) = f˜k , k = 1, , N, ∂xi (2.44) Với uk ∈ C l,α (Ω) phương trình (2.44) ta có |uk |l,β,Ω ≤ c(l) |f˜k |l−2,β,Ω + max |uk | + |uk |l,β,S Ω (2.45) Lấy tổng kết với k = 1, , N chọn ε đủ nhỏ, ta thu |u|l,β,Ω ≤ c (l) |f |l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max |u| Ω 2.5 Tính giải toán Dirichlet không gian C l,α (Ω) Trong phần này, ta giả sử hệ số hệ (2.41) thỏa mãn bất đẳng thức (2.42) Định lý 2.7 Giả sử biên S ∈ C l,β , l ≥ 2, thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.42) Khi ta có hai khả sau i) Hoặc hệ phương trình (2.41) với f ≡ điều kiện biên ϕ ≡ có nghiệm không tầm thường u = ii) Hoặc hệ phương trình (2.41) với f ≡ điều kiện biên ϕ ≡ có nghiệm nghiệm tầm thường u ≡ Khi với f ∈ C l−2,β (Ω), ϕ ∈ C l,β (S), tồn nghiệm u(x) ∈ C l,α (Ω) toán (2.1), (2.3) 21 Chương Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.8 Tồn số đếm giá trị λ = λ1 , λ2 , mặt phẳng phức λ, cho toán aij uxi xj + Bi uxj + Bu = λu, u|S = có nghiệm khác không C l,β (Ω) Tập hợp giá trị {λk } tạo thành phổ toán (2.1), (2.3) Mỗi λk có bội hữu hạn |λk | → ∞ k → ∞ 22 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau - Các không gian Sobolev, Holder, định lý nhúng, định lý Fredholm tính giải phương trình tuyến tính không gian Banach không gian Hilbert - Khái niệm nghiệm suy rộng hệ phương trình elliptic cấp hai dạng bảo toàn, tính giải Fredholm toán Dirichlet tính chất định tính độ trơn - Đối với lớp hệ phương trình không bảo toàn, trình bày lớp nghiệm cổ điển không gian Holder, đánh giá tiên nghiệm, phát biểu chứng minh định lý tính giải Fredholm toán Dirichlet không gian Holder 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] O Ladyzhenskaya, N Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic equations, Univerrsity of Southern California [2] D.Gillarg, N Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer 24 [...]... văn đã trình bày các vấn đề chính sau đây - Các không gian Sobolev, Holder, định lý nhúng, định lý Fredholm về tính giải được của phương trình tuyến tính trong không gian Banach và không gian Hilbert - Khái niệm nghiệm suy rộng đối với hệ phương trình elliptic cấp hai dạng bảo toàn, tính giải được Fredholm của bài toán Dirichlet và các tính chất định tính về độ trơn của nó - Đối với lớp hệ phương trình. ..Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet 2.1.1 Hệ phương trình elliptic và bài toán Dirichlet a) Hệ phương trình elliptic Với x ∈ Ω ⊂ Rn , xét hệ phương trình dạng bảo toàn Lu ≡ ∂fi ∂ [aij (x)uxj + Ai (x)u] + Bi (x)uxi + B(x)u = + f, ∂xi ∂xi (2.1) ở đây, u, fi và... (x), Bi (x), B(x) là các ma trận vuông cấp N Giả sử rằng các hệ số aij của hệ (2.1) thỏa mãn bất đẳng thức n n ξi2 λ ξi2 ; λ, µ = const > 0, ≤ aij (x)ξi ξj ≤ µ i,j=1 (2.2) i=1 với ∀x ∈ Ω; ∀ξi ∈ Rn Khi đó hệ (2.1) là hệ phương trình elliptic b) Bài toán Dirichlet Bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình (2.1) là bài toán tìm hàm vecto u(x) trong Ω của hệ phương trình (2.1) và thỏa mãn điều kiện biên... nhất đối với nghiệm suy rộng của hệ (2.1), áp dụng các phương pháp như của phần một phương trình, ta có các định lý kiểu Fredholm về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng 14 Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.1 Cho hệ (2.1) thỏa mãn các điều kiện (2.2), (2.4) và (2.5) trên miền Ω bị chặn Khi đó có hai khả năng i) Hoặc hệ phương trình (2.1) với f ≡ 0, fi ≡ 0 (i =... Rn Đối với hệ (2.41) ta giả thiết thêm điều kiện ∂aij km , aij , bkm i ,b ∂xi ≤ µ (2.42) l−2,β,Ω Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian Holder C l,α (Ω) với l ≥ 2 của hệ (2.41), được chứng minh tương tự như trong phần một phương trình Ta đưa ra đánh giá tiên nghiệm cho |u|l,β,Ω của hệ (2.41) 20 Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Định lý 2.6 Giả sử hệ (2.41) thỏa... ta có hai khả năng sau i) Hoặc hệ phương trình (2.41) với f ≡ 0 và điều kiện biên ϕ ≡ 0 có nghiệm không tầm thường u = 0 ii) Hoặc hệ phương trình (2.41) với f ≡ 0 và điều kiện biên ϕ ≡ 0 chỉ có nghiệm duy nhất nghiệm tầm thường u ≡ 0 Khi đó với mọi f ∈ C l−2,β (Ω), ϕ ∈ C l,β (S), tồn tại duy nhất nghiệm u(x) ∈ C l,α (Ω) của bài toán (2.1), (2.3) 21 Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic. .. trong không gian Holder C l,α (Ω) Ta xét hệ phương trình tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn Lu ≡ aij (x)uxi xj + Bj uxj + B(x)u = f (x), (2.41) ở đây u, f là các hàm vecto N phần tử; aij (x) là các hàm vô hướng aij (x)uxi xj = aij (x).E.uxi xj ; Bj (x), B(x) là các ma trận vuông cấp N Ta cũng giả thiết rằng các hệ số aij (x) của hệ (2.41) cũng thỏa mãn điều kiện elliptic (2.2) n n ε2i λ ≤ aij (x)εi... nghiệm suy rộng u ∈ W 1,2 (Ω) của hệ (2.1) có đạo hàm suy rộng cấp hai và tích phân n 4 2 u2xi xj dx |∇u| + (1 + |∇u| ) i,j=1 Ω 17 Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic i là hữu hạn Giả sử rằng các hệ số aij , ami i , và fi là các hàm khả vi thỏa mãn bất đẳng thức ∂f i ∂aij ∂aim , i , i ∂xk ∂xk ∂xk ≤ µ, q > n (2.30) Lq (Ω) Ta cũng giả sử điều kiện elliptic (2.2) thỏa mãn và im i i... (x)ulxj = F l (x) ∂xi Nhân hai vế của phương trình trên với −ul |∇u|2 ta được ∂ aij (x)ulxj ∂xi −ul |∇u|2 = F l (x) −ul |∇u|2 Lấy tổng hai vế với l = 1, , n ta được − ∂ aij (x)uxj u|∇u|2 = −F (x)u|∇u|2 ∂xi (2.37) Lấy tích phân hai vế (2.37) trên Ω ta được ∂ aij (x)uxj (u|∇u|2 )dx = − ∂xi − Ω F (x)u|∇u|2 dx Ω 19 (2.38) Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Tích phân từng phần... Chương 2 Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Với mọi hàm fi (x), f (x) và ϕ(x) thỏa mãn ||fi ||L2 (Ω) ||f ||L 2ˆ n (Ω) n ˆ +2 , ||ϕ||W 1,2 (Ω) < ∞, (2.5) ở đây n ˆ= n 2+ε với n > 2; với n = 2; ε > 0 Các giả thiết fi , f, ϕ là cần thiết đối với sự tồn tại của nghiệm suy rộng thuộc W 1,2 (Ω) của hệ (2.1) 2.1.2 Nghiệm suy rộng 1 Nghiệm suy rộng của hệ phương trình elliptic Hàm vecto u(x) ∈ W 1,2