ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - MAI THỊ THU NHÀN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHẠM VĂN QUỐC Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số công thức cần nhớ 1.2 Ví dụ mở đầu 4 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu 2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 2.2 Phương pháp 2: Nhân liên hợp 2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình theo ẩn phụ 2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích, phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba 2.3.3 "Ẩn phụ không hoàn toàn" 2.3.4 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình 2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa 2.4 Phương pháp : Sử dụng tính đơn điệu hàm số 2.5 Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức 2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa 2.5.2 Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc so sánh vế phương trình 7 8 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu 3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương 3.2 Xây dựng từ nghiệm chọn sẵn phương pháp nhân liên hợp 3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai 3.4 Xây dựng từ phương trình tích, đẳng thức 3.4.1 Xây dựng từ phương trình tích 3.4.2 Xây dựng từ đẳng thức 3.5 Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn" 3.6 Xây dựng từ hệ phương trình 3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác phương trình lượng giác 3.8 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu 3.8.1 Dựa theo tính chất hàm đơn điệu 10 11 11 14 15 16 16 16 18 18 19 20 20 20 21 21 22 22 23 23 MỤC LỤC 3.8.2 Dựa vào ước lượng hàm đơn điệu 23 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 Mở đầu Phương trình chứa ẩn dấu lớp toán có vị trí đặc biệt quan trọng chương trình toán học bậc phổ thông Nó xuất nhiều đề thi học sinh giỏi kỳ thi tuyển sinh vào đại học Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập, tác giả chọn đề tài "Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu căn" Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp TS Phạm Văn Quốc.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến người thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Đại học sau Đại học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học, toàn thể học viên khóa 2013-1015 tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Mặc dù cố gắng nhiều nghiêm túc trình nghiên cứu, thời gian trình độ hạn chế nên kết đạt luận văn khiêm tốn không tránh khỏi thiếu xót Vì tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp, bảo quý báu quý thầy cô, bạn học viên để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 08 năm 2015 Học viên thực Mai Thị Thu Nhàn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số công thức cần nhớ √ √ A=B⇔ A= √ √ A= √ B⇔ √ B≥0 A = B2 A≥0 A = B B ⇔ A = B A = B ⇔ A = B3 Phương trình tương đương Hai phương trình (cùng ẩn) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Nếu phương trình f1 (x) = g1 (x) tương đương với phương trình f2 (x) = g2 (x) ta viết f1 (x) = g1 (x) ⇔ f2 (x) = g2 (x) Như vậy, phép biến đổi tương đương biến phương trình thành phương trình tương đương với nó.Chẳng hạn, việc thực phép biến đổi đồng vế phương trình không thay đổi tập xác định phép biến đổi tương đương Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Định lý Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm (a,b) Khi : - Hàm số y = f (x) đồng biến (a,b) ⇔ f , (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) f , (x) = xảy số hữu hãn điểm (a,b) - Hàm số y = f (x) đồng biến (a,b) ⇔ f , (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) f , (x) = xảy số hữu hãn điểm (a,b) - Nếu f , (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) f liên tục [a, b] y = f (x) đồng biến Chương Một số kiến thức chuẩn bị [a, b] - Nếu f , (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) f liên tục [a, b] y = f (x) nghịch biến [a, b] Hệ phương trình đối xứng loại I f (x, y) = (I) với f (x, y) = f (y, x) g(x, y) = g(y, x) g(x, y) = Phương pháp giải S =x+y đưa hệ phương trình với ẩn P = xy Biến đổi tổng, tích đặt S,P Hệ phương trình đối xứng loại II f (x, y) = f (y, x) = (1) (2) Phương pháp giải Trừ (1) (2) vế cho vế ta hệ phương trình f (x, y) − f (y, x) = f (x, y) = (3) (1) Biến đổi (3) phương trình tích (x − y).g(x, y) = ⇔ x=y g(x, y) = Một số công thức lượng giác hay dùng cos 2x = cos2 x − sin2 x = cos2 x − = − sin2 x sin 2x = sin x cos x cos 3x = cos3 x − cos x sin 3x = sin x − sin3 x + cos 2x cos2 x = − cos 2x sin x = 1.2 Ví dụ mở đầu Ví dụ 1.1 Giải phương trình 1+ x − x2 = √ x+ √ − x Chương Một số kiến thức chuẩn bị Nhận xét Trước hết có điều kiện ≤ x ≤ Cách Bình phương hai vế để thu phương trình tương đương sau √ √ 2√ x − x2 = x + − x √ √ 2√ ⇔ 1+ x − x2 = x+ 1−x √ 4√ ⇔1+ x − x2 = + x − x2 x − x2 + √4 ⇔ 27(x − x2 ) − x − x2 = √ √ ⇔ x − x2 27 x − x2 − =  x = (thỏa mãn) √  x = (thỏa mãn) x√− x2 = √ ⇔ ⇔ 27 x − x2 − = 27 ± 473 x= (thỏa mãn) 54 √ 27 ± 473 Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 1, x = 54 √ √ √ y2 − Cách Đặt y = x + − x2 Suy ra, ta tính x − x2 = Phương trình cho trở thành phương trình bậc hai ẩn y 1+ y2 − = y ⇔ y − 3y + = ⇔ √ √ √ x + √1 − x2 = √x − x = √ ⇔ x − x2 − = x + − x2 = 1+ Suy y=1 y = Cách Ta có √ √ 2√ x − x2 = x + − x √ √ √ ⇔ + x − x2 = x + − x √ √ √ ⇔ x 1−x−3 =3 1−x−3 √ √ 1−x−3 ⇔ x= √ 1−x−3 √ √ Mặt khác ta có ( x)2 + − x = √ √ 3y − Đặt y = − x x = Khi 2y − √ √ 2 y=0 − x = ⇔ y(y − 1)(2y − 4y + 3) = ⇔ ( x) + y = 1+ Từ ta tìm nghiệm phương trình cho √ √ Cách Ta đặt y = x, z = − x với y ≥ 0, z ≥ Khi ta có hệ phương trình + yz = y + z y2 + z2 = Đây hệ phương trình đối xứng loại I Ta giải tìm y, z tìm nghiệm x phương trình cho Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu 2.1 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương Nội dung phương pháp lũy thừa hai vế với số mũ phù hợp Một số phép biến đổi tương đương thường gặp  f (x) = g(x) 2n 2n f (x) ≥ f (x) = g(x) ⇔  g(x) ≥ f (x) = g(x) ⇔ 2n 2n+1 f (x) = g 2n (x) g(x) ≥ f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g 2n+1 (x) Ví dụ 2.1 Giải phương trình √ √ √ 3x − − 2x − = 5x + Giải Phương trình cho tương đương 3x − + 2x − + ⇔ 3 √ √ (3x − 1)(2x − 1)( 3x − + 2x − 1) = 5x + (3x − 1)(2x − 1)(5x + 1) = ⇔ (3x − 1)(2x − 1)(5x + 1) = x=0 19 ⇔ 30x3 − 19x2 = ⇔ x= 30 Thay x = vào phương trình cho ⇒ −2 = (vô lý) 19 Thay x = vào phương trình cho thỏa mãn 30 19 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 30 Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu 2.2 Phương pháp 2: Nhân liên hợp an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + + abn−2 + bn−1 ) Nếu x0 nghiệm phương trình f (x) = ta đưa phương trình f (x) = dạng (x − x0 )f1 (x) = việc giải phương trình f (x) = quy giải phương trình f1 (x) = Ví dụ 2.2 (Toán học Tuổi trẻ số 454, tháng năm 2015) Giải phương trình √ 3x + + √ 5x + = 3x2 − x + −1 Ta thấy x = 0, x = la nghiệm phương trình Mà x = 0, x = la nghiệm đa thức x2 − x = −x2 + x = √ Cách Ta cần xác định a, b cho 3x − 1−(ax+b) = có nghiệm x = 0, x = Giải Điều kiện x ≥ Thay x = 0, x = vào ta hệ phương trình 1−b=0 ⇔ − (a + b) = Tương tự, tìm c = 1, d = cho x = 0, x = Nên ta có lời giải sau a=1 b = √ 5x + − (cx + d) = có nghiệm √ √ 3x + + 5x + = 3x2 − x + √ √ 3x + − (x + 1)] + [ 5x + − (x + 2) = 3(x − 1)x ⇔ −x2 + x −x2 + x ⇔√ +√ = 3(x2 − x) 3x + + (x + 1) 5x + + (x + 2) 1x ⇔ (−x2 + x) √ +√ +3 3x + + (x + 1) 5x + + (x + 2) −x2 + x = 1x ⇔ √ +√ +3=0 3x + + (x + 1) 5x + + (x + 2) x = (thỏa mãn) ⇔ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = 2.3 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ Với phương pháp ta tiến hành theo bước sau Bước Chọn ẩn phụ tìm điều kiện xác định ẩn phụ =0 Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu Giải Điều kiện ≤ x ≤ Đặt √ 5−x=a≥0 √ x−1=b≥0 Khi đó, ta có hệ phương trình √ √ a+b= a+b= ⇔ a4 + b4 = (a + b)2 − 2ab − 2a2 b2 = √ √ a+b= a+b= ⇔ ⇔ (2 − 2ab)2 − 2a2 b2 = 2a2 b2 − 8ab = √ a+b= ⇔ 2ab(ab − 4) =  a =√ √  b= √ TH1 a + b = ⇔   2ab = a= b=0  √ 5−x=√ √  x−1= x = (thỏa mãn) √ √ ⇔ Suy   x = (thỏa mãn) 5−x= √ x−1=0 √ √ a√= − b a + b = ⇔ TH2 ab = ( − b)b = (vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = Nhận xét Qua ví dụ nhận thấy rằng, phương trình có dạng α n a − f (x) + β ta đặt u= v= n m m b + f (x) = c a − f (x) b + f (x) Hay nói cách khác gặp toán có số lệch bậc số cao, ta đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình dạng αu + βv = c un + v m = a + b Nhận xét √ √ Nếu phương trình có dạng xn + a = b n bx − a đặt y = n bx − a Khi đó, ta có hệ phương trình đối xứng loại II dạng xn − by + a = y n − bx + a = Ví dụ 2.7 (Đề 73/II2 - Bộ đề thuyển sinh Đại học Cao đẳng) Giải phương trình √ x3 + = 2x − √ Giải Đặt y = 2x − Suy y + = 2x Khi đó, ta có hệ phương trình x3 + = 2y ⇔ y + = 2x x3 + = 2y x3 − y = 2(y − x) 12 Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu x3 + = 2y x3 + = 2y ⇔ x−y =0 (x − y)(x2 + xy + y ) = x = (thỏa √ mãn) x3 − 2x + = ⇔ ⇔ −1 ± x=y x= (thỏa mãn) 2√ −1 ± Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = ⇔ Nhận xét √ √ • Nếu phương trình có dạng x = a + a + x đặt y = a + x √ x = a +√ y Khi đó, ta có hệ phương trình y = a + x • Nếu phương trình có dạng √ ax + b = cx2 + dx + e với a = 0, c = 0, a = c Xét tam thức bậc hai f (x) = cx2 + dx + e ⇒ f , (x) = 2cx + d Giải phương trình f , (x) = ⇔ x = √ −d 2c Từ đặt ax + b = 2cy + d ta thu hệ phương trình đối xứng loại II (trừ số trường hợp đặc biệt) • Nếu phương trình có dạng √ ax + b = x2 + cx + d với a = a a a −ac , Giải phương trình f (x) = ⇔ x = √ ac Từ đặt ax + b = y + ta thu hệ phương trình đối xứng Xét tam thức bậc hai f (x) = x2 + cx + d ⇒ f , (x) = x + c • Nếu phương trình có dạng √ ax + b = cx3 + dx2 + ex + m với a = 0, c = 0, a = c Xét f (x) = cx3 + dx2 + ex + m ⇒ f , (x) = 3cx2 + 2dx + e ⇒ f ,, (x) = 6cx + 2d Giải phương trình f ,, (x) = ⇔ x = Từ đặt −d 3c √ d ax + b = y + ta sữ thu hệ phương trình đối xứng 3c • Nếu phương trình có dạng 13 Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu √ ax + b = cx3 + dx2 + ex + m với a = 0, c = 0, a = c Xét f (x) = cx3 + dx2 + ex + m ⇒ f , (x) = 3cx2 + 2dx + e ⇒ f ,, (x) = 6cx + 2d Giải phương trình f ,, (x) = ⇔ x = Từ đặt −d 3c √ ax + b = 3cy + d ta thu hệ phương trình đối xứng Ví dụ 2.8 (Toán học tuổi trẻ, tháng năm 2001) Giải phương trình √ 81x − = x3 − 2x2 + x − Giải Phương trình cho tương đương √ 27 81x − = (3x − 2)3 − 46 √ 81x − = 3y − Suy (3y − 2)3 = 81x − (3y − 2)3 = 81x − Kết hợp đề ta có hệ phương trình (3x − 2)3 = 81y − Đặt Trừ vế cho vế ta phương trình 81(x − y)[(3y − 2)3 − (3x − 2)3 ] = ⇔ x = y Suy √ 81x − = 3x − ⇔ (3x − 2)3 = 81x − x = (thỏa √ mãn) 3±2 (thỏa mãn) x= √ 3±2 Vậy phương trình có nghiệm x = 0, x = ⇔ 3x3 − 6x2 − 5x = ⇔ 2.3.5 Phương pháp lượng giác hóa Một số phương pháp lượng giác hóa thường gặp • Nếu toán chứa √ a2 − x2 đặt π π x = |a| sin t, − ≤ x ≤ 2 x = |a| cos t, ≤ t ≤ π |a| π π ,− ≤ x ≤ ,t = x= √ sin t 2 • Nếu toán có chứa x2 − a2 đặt  |a| π , ≤ t ≤ π, t = x= cos t π π √ x = |a| tan t, − < x < • Nếu toán có chứa a2 + x2 đặt 2 x = |a| cos t, < t < π  14 Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu   • Nếu toán có chứa   • Nếu toán có chứa 2.4 a+x a−x đặt x = a cos 2t a−x a+x (x − a)(x − b) đặt x = a + (b − a) sin2 t Phương pháp : Sử dụng tính đơn điệu hàm số Tính chất: • Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f (x) = a nhiều nghiệm ∀u, v ∈ D : f (u) = f (v) ⇔ u = v • Nếu hàm số f (x) g(x) đơn điệu ngược chiều liên tục D số nghiệm D phương trình f (x) = g(x) không nhiều • Nếu hàm số f (x) đồng biến (hay nghịch biến ) D f (x) > f (a) ⇔ x > a (hay x < a ),với ∀x, a ∈ D Ví dụ 2.9 (Đề thi Trung học phổ thông Quốc gia năm 2015) Giải phương trình √ x2 + 2x − = (x + 1)( x + − 2) x − 2x + Giải Điều kiện x ≥ −2 Phương trình cho tương đương (x + 4)(x − 2) (x + 1)(x − 2) = √ x − 2x + x+2+2 x = (thỏa mãn) x+4 x+1 ⇔ =√ x − 2x + x+2+2 x+1 x+4 Xét =√ x − 2x x+2+2 √+ ⇔ (x + 4)( x + + 2) = (x + 1)(x2 − 2x + 3) √ ⇔ x + + (x + 2)2 + = [(x − 1) + 2] (x − 1)2 + Xét hàm đặc trưng f (t) = (t + 2)(t2 + 2) Ta có f , (t) = 3t2 + 4t + 2, suy f , (t) > 0, ∀t ∈ R Vậy f (t) đồng biến R √ Do f ( x + 2) = f (x − 1) ⇔ √ x+2=x−1 √ + 13 x≥1 ⇔ ⇔x= (thỏa mãn) x2 − 3x − = √ + 13 Vậy phương trình có nghiệm x = 2, x = 15 Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu 2.5 Phương pháp 5: Sử dụng bất đẳng thức 2.5.1 Sử dụng bất đẳng thức lũy thừa Một số bất đẳng thức lưu ý Với A, B > ta có √ √ n A+ nB ≤ A+B n (2.3) Dấu xảy A = B Với A, B, C > ta có √ √ √ n A+ nB+ nC ≤ n A+B+C (2.4) Dấu xảy A = B = C Ví dụ 2.10 Giải phương trình 4x2 + x − + Giải Điều kiện − 4x2 − x = 4x2 + x − ≥ − 4x2 − x ≥ Áp dụng bất đẳng thức (2.3) ta có 4x2 + x − + = 2 − 4x2 − x ≤ Dấu xảy √ 4x2 + x − = √ − 4x2 − x ⇔ 4x2 + x − = − 4x2 − x ⇔ Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = 2.5.2 −5 x = (thỏa mãn) −5 x= (thỏa mãn) Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc so sánh vế phương trình Bất đẳng thức Cauchy Với số (xi , yi ) ta có bất đẳng thức sau n xi y i n ≤ i=1 i=1 16 n x2i yi2 i=1 Chương Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu Dấu đẳng thức xảy số xi yi tỉ lệ nhau, tức tồn cặp số thực α, β không đồng thời 0, cho αxi + βyi = với i = 1, 2, 3, n Áp dụng cho số a, b, c, d ta có (ac + bd)2 ≤ a2 + b2 Dấu đẳng thức xảy c2 + d a b = c d Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Cho n số dương x1 , x2 , , xn ta có √ x1 + x2 + + xn ≥ n x1 x2 xn n Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn Áp dụng cho hai số dương a, b ta có a+b √ ≥ ab Dấu đẳng thức xảy a = b Ví dụ 2.11 (Đề dự bị Olympic 30/4 Chuyên Hùng Vương ) Giải phương trình 4x = 30 + 30 + 30 + 1√ x + 30 √ 30 + 14 x + 30 = u, u ≥   1√   4x = 30 + 30 + u Ta thu hệ phương trình  1√  4u = 30 + 30 + x 1√ 1√ Giả sử x ≥ u, suy 4u = 30 + 30 + x ≥ 30 + 30 + u = 4x 4 1√ Vậy x = u ta có phương trình 4x = 30 + 30 + x √ 1√ 4x = √ 30 + v Đặt v = 30 + x, ta có hệ phương trình 4v = 30 + x √ √ Giả sử x ≥ v , suy 4v = 30 + x ≥ 30 + v = 4x Giải Điều kiện x > Đặt Vậy x = v ta thu phương trình √ + 1921 x>0 ⇔x= 4x = 30 + x ⇔ (thỏa mãn) 16x2 − x − 30 = 32 √ + 1921 Vậy phương trình có nghiệm x = 32 √ 17 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Con đường sáng tạo phương trình vô tỷ dựa sở phương pháp giải trình bày Ta tìm cách "che đậy" biến đổi chút để dấu chất, cho phương trình thu dễ nhìn mặt hình thức mối quan hệ đối tượng tham gia phương trình khó nhận toán khó Ta tìm hiểu số xây dựng sau 3.1 Xây dựng theo phương pháp biến đổi tương đương Xây dựng phương trình vô tỷ từ phương trình dạng √ √ √ √ A + B = C + D Gán biểu thức chứa x cho A, B, C, D ta thu phương trình vô tỷ giải cách bình phương hai vế Ví dụ 3.1 Gán A = x + 3, B = 3x + 1, C = 4x, D = 2x + ta toán giải phương trình sau √ x+3+ √ √ √ 3x + = x + 2x + Tương tự có dạng sau √ √ Dạng Phương trình A = B √ B≥0 A = B2 A≥0 √ √ √ B ≥ Dạng A + B = C ⇔ √0 A + B + AB = C √ √ √ √ √ √ 3 3 Dạng A + B = C suy A + B + AB( A + B) = C √ √ √ Đối với dạng thường sử dụng phép A + B = C ta phương Dạng Phương trình A=B⇔ 18 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu √ trình A + B + 3 ABC = C Từ dạng toán gán cho A, B, C biểu thức chứa x ta phương trình vô tỷ nhiên mức độ khó hay dễ phụ thuộc vào việc chọn biểu thức cho A, B, C cho sau lũy thừa hai vế lên ta thu phương trình giải 3.2 Xây dựng từ nghiệm chọn sẵn phương pháp nhân liên hợp Phương pháp nhân liên hợp phương pháp thường dùng giải phương trình chứa Việc sáng tác toán dựa phương pháp đơn giản, ta cần chọn sẵn nghiệm xây dựng biểu thức thỏa mãn đẳng thức xảy Ví dụ 3.2 Với x = 2, ta có √ √ √ √ 5x − = 3, x + = 2, 5x − + x + = = − x Khi đó, ta toán sau Bài toán Giải phương trình √ 5x − + √ x + = − x Ví dụ 3.3 Với x = 3, √ √ x − = 1, − x = 1, 2x − = 1, 2x2 − 5x = √ √ √ Vậy x − + − x + 2x − = 2x2 − 5x, ta thu toán sau √ Bài toán Giải phương trình √ x−2+ √ 4−x+ √ 2x − = 2x2 − 5x Ví dụ 3.4 Xét ba hàm f, g, h sau f (x) = x(x + 1)(x − 3) + có f (0) = f (3) = g(x) = √ √ − x, h(x) = + x, có g(0) + h(0) = g(3) + h(3) = Vậy x = 0, x = nghiệm phương trình x(x + 1)(x − 3) + = √ √ − x + + x Ta toán sau Bài toán Giải phương trình x(x + 1)(x − 3) + = 19 √ √ − x + + x Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu 3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai Từ phương trình dạng at2 + bt + c = ta thay t = f (x) ta nhận phương trình vô tỷ đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai dễ giải Ví dụ 3.5 Từ phương trình 2t2 − 7t + = 0, ta chọn t = x2 + x + x−1 ta phương trình vô tỷ sau x2 + x + −7 x−1 x2 + x + + = x−1 biến đổi để toán trở nên khó cách nhân hai vế phương trình với x − ta phương trình sau 3(x − 1) + 2(x2 + x + 1) = x3 − Từ phương trình ta xây dựng lêm toán giải phương trình vô tỷ sau Bài toán (Đề thi đề nghị Olympic 30/4/2007) Giải phương trình 2x2 + 5x − = 3.4 3.4.1 x3 − Xây dựng từ phương trình tích, đẳng thức Xây dựng từ phương trình tích Phương trình dạng au + bv = ab + uv hay (u − b)(v − a) = suy u = b, v = a Chọn u, v biểu thức chứa a, b số thực cho trước ta xây dựng phương trình vô tỷ Ví dụ 3.6 Chọn a = 1, b = 5, u = trình √ x−1+5 √ x − 1, v = √ x2 + Ta thu phương x2 + − x3 − x2 + x − = x2 + − x3 − x2 + x − = Vậy ta có toán sau Bài toán Giải phương trình √ x−1+5 20 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu 3.4.2 Xây dựng từ đẳng thức Xuất phát từ đẳng thức đó, sáng tác lên phương trình chứa ẩn dấu thức Chẳng hạn từ đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) ta có (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = Bằng cách chọn a, b, c cho (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 ta tạo phương trình vô tỷ chứa bậc ba Sau ta xây dựng số phương trình từ đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) a3 + b3 − ab(a + b) = (a + b)(a − b)2 a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a4 + = (a2 − 2a + 2)(a2 + 2a + 2) Ví dụ 3.7 Từ đẳng thức (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) chọn a = √ 1990x + 1999, b = √ √ 25x + 8, c = − x ta có a3 + b3 + c3 = 2014x + 2015 Ta toán sau Bài toán Giải phương trình √ 3.5 1990x + 1999 + √ √ √ 25x + + − x − 2014x + 2015 = Xây dựng từ phép "đặt ẩn phụ không hoàn toàn" Ta xét toán xây dựng phương trình dạng At2 + Bt + C = 0, t biểu thức chứa x, A, B, C biểu thức hữu tỷ chứa x, cho ∆ = B − 4AC luôn biểu thức phương Thường để thuận tiện tính toán ta chọn −B C = f (x)+g(x) = f (x)g(x), A A t = f (x) t = g(x) √ Ví dụ 3.8 Ta chọn t = x2 + 2, f (x) = 3, g(x) = x − Ta có toán giải phương trình vô tỷ sau Bài toán Giải phương trình x2 + − x2 + x = + 21 x2 + Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu 3.6 Xây dựng từ hệ phương trình • Xét hệ phương trình tổng quát dạng bậc hai (αx + β)2 = ay + b (αy + β)2 = ax + b Ta xây dựng lên phương trình √ Từ phương trình thứ hai hệ ta có αy + β = ax + b, thay vào phương trình hệ ta có phương trình (αx + β)2 = βa a√ ax + b + b − α α Vậy để có phương trình vô tỷ cách đưa hệ đối xứng loại II, ta cần chọn α, β, a, b phù hợp với mức độ khó dễ toán • Nếu xét hệ (αx + β)3 = ay + b (αy + β)3 = ax + b Từ phương trình ta √ αy + β = ax + b ⇔ y = √ ax + b β − α α Thay vào phương trình hệ, ta √ a ax + b aβ (αx + β) = − + b α α Ví dụ 3.9 Chọn α = 1, β = 1, a = 3, b = ta √ (x + 1)3 = 3 3x + + Ta có toán sau Bài toán (Đề nghị Olympic 30/04/2009) Giải phương trình √ x3 + 3x2 − 3 3x + = − 3x 3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác phương trình lượng giác Từ phương trình lượng giác đơn giản đó, kết hợp với phép biến đổi lượng giác tạp phương trình chứa ẩn dấu hay Như từ công thức lượng giác cos 3t = sin t, ta tạo ta phương trình 22 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu vô tỷ Từ cos 3t = 4cos3 t − cos t ta có phương trình vô tỷ 4x3 − 3x = − x2 (3.1) x Ta thay x phương trình (3.1) biểu thức ví dụ (x−1), , ta có phương trình khó Tương tự từ công thức sin 3x, sin 4x ta xây dựng phương trình vô tỷ theo kiểu lượng giác 3.8 3.8.1 Xây dựng dựa theo hàm đơn điệu Dựa theo tính chất hàm đơn điệu Dựa vào tính chất "Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f (x) = a không vó nhiều nghiệm ∀u, v ∈ D : f (u) = f (v) ⇔ u = v " Ta xây dựng phương trình chứa ẩn dấu thức Ví dụ 3.10 Xét hàm số f (t) = t3 + 2t đồng biến R Cho f −x3 + 9x2 − 19x + 11 = f (x − 1) Ta √ −x3 + 9x2 − 19x + 11 + −x3 + 9x2 − 19x + 11 = (x − 1)3 + 2(x − 1) Khai triền rút gọn ta toán sau Bài toán (Đề nghị Olympic 30/04/2009) Giải phương trình x3 − 6x2 + 12x − = 3.8.2 −x3 + 9x2 − 19x + 11 Dựa vào ước lượng hàm đơn điệu Để dễ sử dụng kết hợp nhiều ước lượng xây dựng số ước lượng như: √ √ √ √ −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm đơn điệu tăng [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm tăng [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = 23 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu √ √ −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm tăng liên tục [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ x+3 √ ≤ 2+ 1−x √ x+3 √ Hàm số f (x) = hàm tăng [−3; 1] 2+ 1−x Nên ta có = f (−3) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ x + 15 √ ≤ ≤ 2+ 41−x √ x + 15 √ Hàm số f (x) = hàm tăng [−15; 1] 2+ 41−x Nên ta có = f (−15) ≤ f (x) ≤ f (1) = ≤ Ta xây dựng phương trình chứa ẩn dấu sau Cách Cộng hai hay nhiều ước lượng Ví dụ 3.11 Giải phương trình √ √ √ √ √ √ x + x + x = + − x + − x + − x Cách Nhân ước lượng dương ta thu phương trình chứa Ví dụ 3.12 Giải phương trình √ √ √ 2x − 4x − 6x − = x3 24 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu Kết luận Luận văn "Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu căn" giải vấn đề sau : - Hệ thống số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu - Đưa số cách xây dựng, sáng tạo phương trình chứa ẩn dấu Kết luận văn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trường trung học phổ thông giai đoạn 25 Chương Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dấu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tuấn Anh, 2014, Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ,NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Vũ Lương, 2008„ Hệ phương trình phương trình chứa thức, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục [5] Tạp chí toán học tuổi trẻ [6] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình mạng Internet [7] Tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Đại Học Sư Phạm 26 [...]...Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Bước 2 Chuyển phương trình ban đầu về phương trình (hệ phương trình) theo ẩn phụ vừa đặt và giải phương trình (hệ phương trình ) này Bước 3 Giải phương trình (hệ phương trình) với ẩn phụ đã biết để xác định nghiệm của phương trình đã cho 2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn phụ mới Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp... Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Kết luận Luận văn "Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn" đã giải quyết được những vấn đề sau : - Hệ thống được một số phương pháp giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn - Đưa ra được một số cách xây dựng, sáng tạo ra các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn mới Kết quả của luận văn đã đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy... Chương 3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tuấn Anh, 2014, Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ,NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Vũ Lương, 2008„ Hệ phương trình và phương trình chứa căn thức, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số và phân... toán giải phương trình vô tỷ như sau Bài toán Giải phương trình x2 + 3 − x2 + 2 x = 1 + 2 21 x2 + 2 Chương 3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 3.6 Xây dựng từ hệ phương trình • Xét hệ phương trình tổng quát dạng bậc hai (αx + β)2 = ay + b (αy + β)2 = ax + b Ta sẽ xây dựng lên một phương trình √ Từ phương trình thứ hai trong hệ ta có αy + β = ax + b, khi đó thay vào phương trình. .. dựng các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn như sau Cách 1 Cộng hai hay nhiều các ước lượng cơ bản Ví dụ 3.11 Giải phương trình √ √ √ √ √ √ x + 4 x + 6 x = 3 + 1 − x + 4 1 − x + 6 1 − x Cách 2 Nhân các ước lượng cơ bản dương ta thu được các phương trình chứa căn Ví dụ 3.12 Giải phương trình √ √ √ 2x − 1 4 4x − 3 6 6x − 5 = x3 24 Chương 3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Kết luận... 1921 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 32 √ 17 Chương 3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Con đường sáng tạo những phương trình vô tỷ là dựa trên cơ sở các phương pháp giải đã được trình bày Ta tìm cách "che đậy" và biến đổi đi một chút ít để dấu đi bản chất, sao cho phương trình thu được dễ nhìn về mặt hình thức và mối quan hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình. .. 1 − x4 = 4 √ ⇔ 1 − x4 = 1 ⇔ x = 0 (thỏa mãn) √ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 2.3.4 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình Ví dụ 2.6 Giải phương trình √ 4 5−x+ √ 4 x−1= 11 √ 2 b a= 2 a = 2 − b (2.2) Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Giải Điều kiện 1 ≤ x ≤ 5 Đặt √ 4 5−x=a≥0 √ 4 x−1=b≥0 Khi đó, ta có hệ phương trình √ √ a+b= 2 a+b= 2 ⇔ 2 a4 + b4 = 4 (a + b)2 − 2ab... 30/04/2009) Giải phương trình √ x3 + 3x2 − 3 3 3x + 5 = 1 − 3x 3.7 Xây dựng dựa vào hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Từ một phương trình lượng giác đơn giản nào đó, kết hợp với các phép biến đổi lượng giác thì sẽ tạp ra được các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn hay Như từ công thức lượng giác cos 3t = sin t, ta có thể tạo ta được các phương trình 22 Chương 3 Một số cách xây dựng phương trình chứa. .. √ √ 4 − x + 1 + x Chương 3 Một số cách xây dựng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn 3.3 Xây dựng từ phương trình bậc hai Từ phương trình dạng at2 + bt + c = 0 ta thay thế t = f (x) ta sẽ nhận được một phương trình vô tỷ đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai dễ giải Ví dụ 3.5 Từ phương trình 2t2 − 7t + 3 = 0, ta chọn t = x2 + x + 1 x−1 ta được phương trình vô tỷ sau 2 x2 + x + 1 −7 x−1 x2 + x + 1 +... ,, (x) = 6cx + 2d Giải phương trình f ,, (x) = 0 ⇔ x = Từ đó đặt −d 3c √ d 3 ax + b = y + ta sữ thu được hệ phương trình đối xứng 3c • Nếu phương trình có dạng 13 Chương 2 Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn √ 3 1 ax + b = cx3 + dx2 + ex + m với a = 0, c = 0, a = c Xét f (x) = cx3 + dx2 + ex + m ⇒ f , (x) = 3cx2 + 2dx + e ⇒ f ,, (x) = 6cx + 2d Giải phương trình f ,, (x) = 0