VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

17 479 1
VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HOÀNG THỊ MẤN VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ 1.2 Không gian vectơ tôpô 1.3 Không gian mêtric 1.4 Ánh xạ đa trị 1.5 Một số kí hiệu 1.6 Hàm nửa liên tục 5 5 5 cân 7 7 Nguyên lí biến phân Ekeland 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 2.2 Mở rộng 2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho 2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ toán Các dạng tương đương nguyên lí biến phân số nguyên lí biến phân khác 3.1 Dạng hình học nguyên lý biến phân Ekeland 3.1.1 Định lí Bishop-Phelps 3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) 3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) 3.2 Sự tương đương nguyên lí biến phân Ekeland tính đầy đủ không gian mêtric 3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland chứng minh định lí điểm bất động 3.3.1 Định lí điểm bất động Banach 3.3.2 Một kết tinh tế Clarke (Clarke’s Refinement) 9 9 10 10 11 11 11 3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk 3.4 Một số nguyên lí biến phân khác 3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 11 11 11 12 14 15 Mở đầu Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle, viết tắt EVP) coi kết quan trọng giải tích phi tuyến bốn thập kỷ vừa qua Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng, hàm f nửa liên tục tập compact X đạt cực tiểu tập Khi X tập không compact hàm f điểm cực trị Với không gian metric đủ X , hàm f bị chặn dưới, với ε > 0, ta tìm điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức inf f ≤ f (xε ) < inf f + ε X X Vào năm 1974, Ekeland phát biểu nguyên lí nói rằng, với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn không gian metric đủ X với điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, ta tìm điểm xˆ cực tiểu chặt hàm nhiễu hàm ban đầu, đồng thời f (ˆ x) ≤ f (x) Không thế, ta đánh giá khoảng cách x ˆ x Sau đời, nguyên lí biến phân Ekeland trở thành công cụ mạnh giải tích đại Những ứng dụng nguyên lí bao trùm nhiều lĩnh vực: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế, Nguyên lí biến phân Ekeland GS Phạm Hữu Sách [2] sử dụng để nghiên cứu vi phân ánh xạ đa trị điều kiện tối ưu toán qui hoạch có tham gia ánh xạ đa trị Sự tương đương nguyên lí Ekeland với định lí điểm bất động CaristiKirk phát từ lâu Năm 1984 Penot chứng minh nguyên lí tương đương với định lí giọt nước Danes mà sau gọi dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland Trong năm gần đây, nguyên lí mở rộng cho hàm f ánh xạ đơn trị đa trị nhận giá trị không gian vectơ áp dụng toán cân Mục đích luận văn tìm hiểu số kết liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển vectơ) số ứng dụng nguyên lí biến phân Luận văn gồm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kết tôpô giải tích hàm phục vụ cho việc chứng minh định lí Chương Nguyên lí biến phân Ekeland Chương trình bày nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí biến phân Ekeland gồm nguyên lí biến phân Ekeland cho toán cân nguyên lí biến phân Ekeland vectơ Chương Các dạng tương đương nguyên lí biến phân số nguyên lí biến phân khác Chương trình bày dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland gồm định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa định lí giọt nước Ứng dụng định lí điểm bất động gồm định lí điểm bất động Banach, kết tinh tế Clarke, định lí điểm bất động Caristi-Kirk Cuối nguyên lí biến phân Borwein-Preiss nguyên lí DevilleGodefroy-Zizler Luận văn cố gắng trình bày cách có hệ thống (với chứng minh cụ thể chi tiết với chỉnh sửa cần thiết) nguyên lí biến phân Ekeland Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ 1.2 Không gian vectơ tôpô 1.3 Không gian mêtric Nhận xét 1.3.1 Mọi không gian mêtric không gian tôpô với τ họ tất hình cầu mở X với giao hữu hạn hợp vô hạn chúng Định lí 1.3.1 (Nguyên lí Cantor) Không gian mêtric (X, d) không gian đủ dãy hình cầu đóng thắt dần có điểm chung 1.4 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.4.1 Cho X , Y hai tập hợp tập tập Y (được kí hiệu 2Y ) Ta nói F ánh xạ đa trị từ X vào Y với x ∈ X , F (x) tập hợp Y Kí hiệu: F : X ⇒ Y, hay F : X → 2Y 1.5 Một số kí hiệu Ta kí hiệu dom f = {x ∈ X|f (x) < +∞}; La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a} tập mức f ; epi f = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a} tập đồ thị f ; dS (x) = d(S, x) := inf{d(x, y)|y ∈ S}; Br (S) := {x ∈ X|d(S, x) ≤ r; graphF := {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x)} với F : X → 2X 1.6 Hàm nửa liên tục Định nghĩa 1.6.1 Cho X không gian tôpô Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi nửa liên tục x0 lim inf f (x) ≥ f (x0 ) x→x0 Hàm f gọi nửa liên tục X f nửa liên tục điểm X Mệnh đề 1.6.1 Cho X không gian mêtric hàm f : X → R ∪{+∞} Khi khẳng định sau tương đương (i) f hàm nửa liên tục X ; (ii) epif = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a} tập đóng X × R; (iii) La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a} tập đóng X(∀a ∈ R) Định nghĩa 1.6.2 Cho tập S không gian mêtric (X, d) Hàm tập S hàm x ∈ S, lS (x) = +∞ x ∈ / S Mệnh đề 1.6.2 Nếu S tập đóng lS hàm nửa liên tục Định nghĩa 1.6.3 Cho không gian vectơ X Một hàm số f (x) xác định X lấy giá trị số (thực hay phức, tùy theo X không gian thực hay phức) gọi phiếm hàm X Phiếm hàm gọi tuyến tính (i) f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) với x1 , x2 ∈ X; (ii) f (αx) = αf (x) với x ∈ X với số α Chương Nguyên lí biến phân Ekeland 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển Định lí 2.1.1 (Định lí Weierstrass) Cho hàm f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục tập X compact Khi f đạt cực tiểu X Định lí 2.1.2 (Nguyên lí biến phân Ekeland) Cho (X, d) không gian mêtric đủ hàm f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, bị chặn Giả sử ε > x ∈ X thỏa mãn f (x) < inf f + ε X (2.1) Khi đó, với λ > bất kì, tồn x ˆ ∈ X cho (i) f (ˆ x) ≤ f (x); (ii) d(ˆ x, x) ≤ λ; ε ˆ) > f (ˆ x), ∀x ∈ X\{ˆ x} (iii) f (x) + d(x, x λ Các dạng khác nguyên lí biến phân Ekeland 2.2 2.2.1 Mở rộng Nguyên lí biến phân Ekeland cho toán cân Cho D ⊆ X tập đóng, X không gian tuyến tính định chuẩn, f : D × D → R Định lí 2.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) f (x, ) bị chặn nửa liên tục với x ∈ D; (ii) f (t, t) = 0, ∀t ∈ D; (iii) f (z, x) ≤ f (z, y) + f (y, x), ∀x, y, z ∈ D Khi đó, với ε > 0, x0 ∈ D tồn x ˆ ∈ D cho f (x0 , xˆ) + ε||x0 − xˆ|| ≤ f (ˆ x, x) + ε||ˆ x − x|| > 0, 2.2.2 ∀x ∈ D\{ˆ x} Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ Bổ đề 2.2.1 Hàm f tựa nửa liên tục X tập mức đóng, tức với b ∈ Y, L(f, b) = {x ∈ X, f (x) ∈ b − K} đóng Bổ đề 2.2.2 Cho f : X → Y hàm tựa nửa liên tục dưới, g : X → R hàm nửa liên tục dưới, e ∈ K Khi hàm f + ge : X → Y tựa nửa liên tục Định lí 2.2.2 Giả sử (X, d) không gian metric đủ Giả thiết hàm f : X × X → Y thỏa mãn giả thiết sau: (i) f (t, t) = 0Y với t ∈ X ; (ii) y → e∗ (f (x, y)) bị chặn với x ∈ X ; (iii) f (z, y) + f (y, x) ∈ f (z, x) + K với x, y, z ∈ X; (iv) y → f (x, y) tựa nửa liên tục với x ∈ X Khi đó, với ε > với x0 ∈ X , tồn x ˆ ∈ X cho (a) f (x0 , x ˆ) + εd(x0 , xˆ)e ∈ −K; (b) f (ˆ x, x) + εd(ˆ x, x)e ∈ / −K, ∀x ∈ X\{ˆ x} Định lí 2.2.3 Giả sử giả thiết Định lí 2.2.3 thỏa mãn Với ε > λ > cho trước x0 ∈ X cho f (x0 , y) + εe ∈ / −K, Khi đó, tồn x ˆ ∈ X cho (a’) f (ˆ x, x0 ) ∈ K ; (b’) d(ˆ x, x0 ) ≤ λ; ε (c’) f (ˆ x, x) + d(ˆ x, x)e ∈ / −K, λ ∀y ∈ X ∀x ∈ X\{ˆ x} (2.2) Chương Các dạng tương đương nguyên lí biến phân số nguyên lí biến phân khác 3.1 3.1.1 Dạng hình học nguyên lý biến phân Ekeland Định lí Bishop-Phelps Định nghĩa 3.1.1 Cho X không gian Banach Với x∗ ∈ X ∗ \{0} ε > ta gọi K(x∗ , ε) = {x ∈ X|ε||x∗ ||||x|| ≤ x∗ (x)} nón Bishop-Phelps liên kết x∗ ε, với x∗ (x) giá trị x∗ x Định nghĩa 3.1.2 Ta nói tập S có điểm K(x∗ , ε) điểm tựa y (point support y ) {y} = S ∩ [K(x∗ , ε) + y] Định lí 3.1.1 (Định lí Bishop-Phelps) Cho X không gian Banach S tập đóng X Giả sử x∗ ∈ X ∗ bị chặn S Khi với ε > 0, S có K(x∗ , ε) điểm tựa y 3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) Định nghĩa 3.1.3 Cho X không gian Banach a, b ∈ X Ta gọi Pγ (a, b) = {x ∈ X|γ||a − x|| + ||x − b|| ≤ ||b − a||} cánh hoa liên kết với γ ∈ (0, + ∝) a, b ∈ X Định lí 3.1.2 (Định lí cánh hoa) Cho X không gian Banach S tập đóng X Giả sử a ∈ S b ∈ X\S Đặt t = ||b − a|| r ∈ (0, d(S, b)) t−r Khi đó, với γ > 0, tồn y ∈ S ∩Pγ (a, b) thỏa mãn ||y −a|| ≤ γ mà Pγ (y, b) ∩ S = {y} 3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) Định nghĩa 3.1.4 Cho X không gian Banach, tập C tập lồi X a ∈ X Chúng ta gọi [a, C] := conv({a} ∪ C) = {a + t(c − a)|c ∈ C, ≤ t ≤ 1} giọt nước liên kết với a C Bổ đề cung cấp cho mối liên hệ giọt nước cánh hoa Bổ đề 3.1.1 (Giọt nước cánh hoa) Cho X không gian Banach, a, b ∈ X γ ∈ (0, 1) Khi đó, ta có (i) B||a−b||(1−γ)/(1+γ) (b) ⊂ Pγ (a, b); (ii) [a, B||a−b||(1−γ)/(1+γ) (b)] ⊂ Pγ (a, b) Định lí 3.1.3 (Định lí giọt nước) Cho X không gian Banach S tập đóng X Giả sử b ∈ X\S r ∈ (0, d(S; b)) Khi đó, với ε > 0, tồn y ∈ ∂S thỏa mãn ||y − b|| ≤ d(S, b) + ε [y, Br (b)] ∩ S = {y} 3.2 Sự tương đương nguyên lí biến phân Ekeland tính đầy đủ không gian mêtric Định lí 3.2.1 (Nguyên lý biến phân Ekeland tính đầy đủ) Cho (X, d) không gian mêtric Khi X đủ hàm nửa liên 10 tục f : X → R ∪ {+∞} bị chặn ε > tồn điểm y ∈ X thỏa mãn f (y) < inf f + ε X f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), ∀x ∈ X 3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland chứng minh định lí điểm bất động Định nghĩa 3.3.1 Cho tập hợp X ánh xạ f : X → X Ta nói x điểm bất động f f (x) = x 3.3.1 Định lí điểm bất động Banach Định lí 3.3.1 (Định lí điểm bất động Banach) Cho (X, d) không gian mêtric đủ ánh xạ φ : X → X ánh xạ co Khi đó, tồn điểm bất động ánh xạ co φ 3.3.2 Một kết tinh tế Clarke (Clarke’s Refinement) Định lí 3.3.2 Cho (X, d) không gian mêtric đủ ánh xạ φ : X → X ánh xạ co theo hướng Khi φ có điểm bất động 3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk Định lí 3.3.3 Cho (X, d) không gian mêtric đủ hàm f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục dưới, bị chặn Cho ánh xạ đa trị F : X → 2X có đồ thị đóng thỏa mãn f (y) ≤ f (x) − d(x, y), ∀(x, y) ∈ graphF (3.1) Khi F có điểm bất động 3.4 3.4.1 Một số nguyên lí biến phân khác Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss Định lí 3.4.1 (Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss) Cho (X, d) không gian mêtric đủ hàm f : X → R ∪ {+∞} nửa liên tục dưới, bị chặn 11 Giả sử ρ hàm gauge-type (δi )∞ i=0 dãy số dương Giả sử ε > 0, z ∈ X thỏa mãn f (z) ≤ inf f + ε X Khi tồn y dãy {xi } ⊂ X mà ε ε (i) ρ(z, y) ≤ , ρ(xi , y) ≤ i ; δ0 δ0 ∞ ρ(y, xi ) ≤ f (z); (ii) f (y) + i=0 ∞ (iii) f (x) + ∞ δi ρ(y, xi ), ∀x ∈ X\{y} δi ρ(x, xi ) > f (y) + i=0 i=0 Định lí 3.4.2 Cho X không gian Banach với chuẩn ||.|| hàm f : X → R ∪{+∞} hàm nửa liên tục dưới, bị chặn Cho λ > p ≥ Giả sử ε > z ∈ X thỏa mãn f (z) < infX f + ε Khi tồn y dãy (xi ) X mà x1 = z hàm ϕp : X → R xác định ∞ µi ||x − xi ||p ϕp (x) = i=1 ∞ Ở µi > 0, i = 1, 2, µi = mà i=1 (i) ||xi − y|| ≤ λ, n = 1, 2, ; ε (ii) f (y) + p ϕp (y) ≤ f (z); λε ε (iii) f (x) + p ϕp (x) > f (y) + p ϕp (y), ∀x ∈ X\{y} λ λ 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler Định lí 3.4.3 (Định lí phạm trù Barie) Mọi không gian mêtric đủ tập hợp phạm trù thứ hai Định lí 3.4.4 (Nguyên lí biến phân Deville-Godefroy-Zizler) Cho X không gian Banach Y không gian Banach hàm liên tục bị chặn g X thỏa mãn điều kiện sau (i) ||g||∞ ≤ ||g||Y ∀g ∈ Y ; 12 (ii) Mỗi g ∈ Y z ∈ X, hàm x → gz (x) = g(x + z) ∈ Y ||gz ||Y = ||g||Y ; (iii) Mỗi g ∈ Y s ∈ R, hàm x → g(ax) ∈ Y ; (iv) Tồn hàm bump Y Giả sử f : X → R ∪ {+∞} hàm nửa liên tục thường (proper lsc function) bị chặn dưới, tập G tất g ∈ Y mà f + g đạt cực tiểu mạnh X dư (residual) (thực chất tập Gδ trù mật) 13 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí Ekeland cho toán cân nguyên lí biến phân Ekeland vectơ - Trình bày dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland, tương đương với tính đầy đủ không gian mêtric - Ứng dụng định lí điểm bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định lí điểm bất động Caristi-Kirk - Một số nguyên lí biến phân khác 14 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tham khảo [1] Phạm Hữu Sách, Dạng hình học nguyên lí biến phân Ekeland ứng dụng, Hội thảo Giải tích đại ứng dụng, trường hè Huế, Viện Toán học- Trường ĐHSP Huế, 1987 [2] Nguyễn Đông Yên, Giải tích đa trị , Nhà xuất Khoa học Tự nhiên công nghệ, 2007 [3] M Bianchi, G Kassay, R Pini, Existence of equilibria via Ekeland’s principle, J Math Anal Appl 305 (2005) 502-512 [4] M Bianchi, G Kassay, R Pini, Ekeland’s principle for vector equilibrium problems, Nonlinear Analysis 66 (2007) 1454-1464 [5] Jonathan M Borwein, Qiji J Zhu, Techniques of Variational Analysis, Springer, 2004 [B] Tài liệu tham khảo bổ sung [6] Errett Bishop and R R Phelps, A proof that every Banach space is subreflexive, Bull Amer Math Soc., 67:97-98, 1961 [7] Errett Bishop and R R Phelps, The support functionals of a covex set In V L Klee, editor, Proc Sympos Pure Math., Vol VII, page 27-35 Amer Math Soc., Providence, R.I., 1963 [8] Josef Danes, A geometric theorem useful in nonlinear functional analysis, Boll Un Mat Ital (4), 6:369-375, 1972 [9] Ivar Ekeland, Nonconvex minimization problems, Boll Amer Math Soc (N.S.), 1:443-474, 1979 15 [10] C Finet, Variational principles in partially ordered Banach spaces, J Nonlinear Convex Anal, (2001), 167-174 [11] C Finet, L Quarta, C Troestler, Vector- valued variational principles, Nonlinear Anal, 52 (2003), 197-208 [12] A Gopfert, C Tammer, C Zălinescu, On the vectorial Ekeland’s variational principles and minimal points in product spaces, Nonlinear Anal, 39 (2000), 909-922 [13] S Rolewicz, On drop property, Studia Math., 85:27-35, 1986 [14] W Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973 16 [...]... một số vấn đề sau: - Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ - Trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland, sự tương đương với tính đầy đủ của không gian mêtric - Ứng dụng định lí điểm bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định lí điểm bất động Caristi-Kirk - Một số nguyên lí biến phân khác 14 Tài liệu... tương đương giữa nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian mêtric Định lí 3.2.1 (Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ) Cho (X, d) là không gian mêtric Khi đó X là đủ nếu và chỉ nếu mọi hàm nửa liên 10 tục dưới f : X → R ∪ {+∞} bị chặn dưới và mọi ε > 0 tồn tại một điểm y ∈ X thỏa mãn f (y) < inf f + ε X và f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), ∀x ∈ X 3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong... chặn dưới Cho ánh xạ đa trị F : X → 2X có đồ thị đóng thỏa mãn f (y) ≤ f (x) − d(x, y), ∀(x, y) ∈ graphF (3.1) Khi đó F có một điểm bất động 3.4 3.4.1 Một số nguyên lí biến phân khác Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss Định lí 3.4.1 (Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss) Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là nửa liên tục dưới, bị chặn 11 dưới Giả sử ρ là hàm gauge-type và (δi )∞ i=0... (x) + p ϕp (x) > f (y) + p ϕp (y), ∀x ∈ X\{y} λ λ 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler Định lí 3.4.3 (Định lí phạm trù Barie) Mọi không gian mêtric đủ là tập hợp phạm trù thứ hai Định lí 3.4.4 (Nguyên lí biến phân Deville-Godefroy-Zizler) Cho X là một không gian Banach và Y là một không gian Banach của các hàm liên tục bị chặn g trên X thỏa mãn các điều kiện sau (i) ||g||∞ ≤ ||g||Y ∀g ∈ Y ; 12 (ii)... bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định lí điểm bất động Caristi-Kirk - Một số nguyên lí biến phân khác 14 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tham khảo chính [1] Phạm Hữu Sách, Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland và ứng dụng, Hội thảo Giải tích hiện đại và ứng dụng, trường hè Huế, Viện Toán học- Trường ĐHSP Huế, 1987 [2] Nguyễn Đông Yên, Giải tích đa trị , Nhà xuất bản Khoa học Tự nhiên và

Ngày đăng: 18/06/2016, 09:20

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • M u

  • Kin thc chun bi

    • Không gian vect

    • Không gian vect tôpô

    • Không gian mêtric

    • Ánh xa a tri

    • Mt s kí hiu

    • Hàm na liên tuc di

  • Nguyên lí bin phân Ekeland

    • Nguyên lí bin phân Ekeland c in

    • M rng

      • Nguyên lí bin phân Ekeland cho bài toán cân bng

      • Nguyên lí bin phân Ekeland vect

  • Các dang tng ng cua nguyên lí bin phân và mt s nguyên lí bin phân khác

    • Dang hình hoc cua nguyên lý bin phân Ekeland

      • Ðinh lí Bishop-Phelps

      • Ðinh lí cánh hoa (the flower- pental theorem)

      • Ðinh lí giot nc (the drop theorem)

    • S tng ng gia nguyên lí bin phân Ekeland và tính y u cua không gian mêtric

    • ng dung nguyên lí bin phân Ekeland trong chng minh inh lí im bt ng

      • Ðinh lí im bt ng Banach

      • Mt kt qua tinh t hn cua Clarke (Clarke's Refinement)

      • Ðinh lí im bt ng Caristi-Kirk

    • Mt s nguyên lí bin phân khác

      • Nguyên lí bin phân Borwein-Preiss

      • Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler

    • KT LUN

    • Tài liu tham khao

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan