SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨUTÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

34 234 0
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨUTÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - HÀ THỊ LY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BỊ NHIỄU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - 2015 Mục lục Mở đầu Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1 Khái niệm tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ rút gọn 1.1.2 Các khái niệm ổn định 1.2 Định nghĩa tính chất số mũ đặc trưng Lyapunov 1.3 Số mũ đặc trưng hàm ma trận 1.4 Phổ Lyapunov phép biến đổi Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.4.1 Phổ hệ tuyến tính 1.4.2 Phép biến đổi Lyapunov 1.4.3 Một số ví dụ phương pháp số mũ 1.5 Phương pháp hàm Lyapunov Rn 1.5.1 Các hàm xác định dấu 1.5.2 Định lý thứ Lyapunov ổn định 1.5.3 Định lý thứ hai Lyapunov ổn định tiệm cận 1.5.4 Định lý thứ ba Lyapunov không ổn định 1.6 Các ví dụ phương pháp hàm Lyapunov Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định hệ động lực 2.1 Định nghĩa hệ động lực thang thời gian vài khái niệm mở đầu 2.1.1 Định nghĩa hệ động lực thang thời gian 2.1.2 Định nghĩa tập bất biến 2.1.3 Tập ω− giới hạn hệ động lực 2.1.4 Chuyển động ổn định theo Lagrange 2.1.5 Điểm đứng yên 2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov 2.2.1 Một số khái niệm 2.2.2 Tính ổn định tập V hệ động lực f (p, t) 6 9 10 11 15 15 16 17 17 17 20 21 21 21 21 22 22 22 23 24 2.2.3 Các ví dụ minh họa 26 Kết luận 30 Mở đầu Trong mô hình ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân, thường gặp toán liên quan đến hệ phương trình vi phân phi tuyến tập nghiệm phương trình vi phân Trong trường hợp sử dụng phương pháp thông thường để nghiên cứu hệ động lực tuyến tính hệ phương trình vi phân tuyến tính gặp nhiều khó khăn, phức tạp Từ lâu, người ta xây dựng nhiều phương pháp khác để vượt qua khó khăn (xem [4], [8], [1] ) Mục đích luận văn trình bày lại số kết liên quan tới việc phát triển cải tiến phương pháp quen thuộc biết lý thuyết định tính phương trình vi phân (chẳng hạn phương pháp số mũ Lyapunov hay phương pháp tập bất biến hệ động lực ) sử dụng chúng cho việc nghiên cứu tính ổn định chuyển động theo Lyapunov theo Lagrange Nội dung luận văn chia làm hai phần - Phần thứ trình bày lại kết phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov - Phần thứ hai luận văn dành cho việc trình bày lý thuyết số mũ đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov tính ổn định hệ động lực tổng quát không gian mêtric Bố cục luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Chương 2: Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov - Badanov để nghiên cứu tính ổn định hệ động lực Bản luận văn thực hướng dẫn tận tình PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy người dành nhiều thời gian công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa vững cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 10 năm 2015 Hà Thị Ly Chương Sử dụng phương pháp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Bài toán nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân toán lý thuyết định tính phương trình vi phân Để xác lập điều kiện đủ cho tính ổn định nghiệm tập nghiệm hệ phương trình vi phân ta sử dụng phương pháp nhà toán học Nga A.M Lyapunov Phương pháp Lyapunov xây dựng từ năm 1918 (xem [2] ) ngày phát triển thành lý thuyết hoàn thiện có khả áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác khoa học tự nhiên Trong chương luận văn này, dành cho việc trình bày lại số kết phương pháp nghiên cứu tính ổn định chuyển động Lyapunov Đó phương pháp số mũ Lyapunov (xem [4] ) phương pháp hàm Lyapunov (xem [4], [8] ) Dựa vào phương pháp người ta mở rộng phát triển thành phương pháp để áp dụng cho số dạng hệ động lực quen thuộc (xem [10] ) Một mở rộng thú vị phương pháp Lyapunov mà đề cập tới luận văn phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov- Badanov (xem [6], [11] ) Phương pháp giới thiệu chương Một vấn đề thường thảo luận sâu sắc công trình nghiên cứu gần "bình luận " tính ưu việt hạn chế để lại phương pháp nghiên cứu tính ổn định Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ xin phép không trình bày cách chi tiết vấn đề Chúng dành quan tâm nhiều cho việc xây dựng ví dụ với mục tiêu ứng dụng phương pháp trình bày chương cho toán nhiễu Trước vào phương pháp, đưa số khái niệm tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1 Khái niệm tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân 1.1.1 Hệ rút gọn Trong không gian Banach B xét hệ phương trình vi phân dy = Y (t, y) , dt (1.1) (0,1) (Ω) Ω = {(t, y) |a < t < ∞, y ∈ B} với Y ∈ Cty Trong đó, điểm (t0 , y0 ) hệ (1.1) với điều kiện ban đầu y (t, t0 , y0 ) = y0 Trong chương ta giới hạn xét nghiệm thực Giả sử η = η (t) (a < t0 < ∞) nghiệm hệ (1.1) ta cần nghiên cứu tính ổn định Gọi UH(η(t)) lân cận nghiệm cho UH(η(t)) ⊂ B với t ∈ [0, +∞), UH(η(t)) = {t0 ≤ t < +∞ : y − η (t) < H < ∞} Ta đặt x = y − η (t) , tức x nghiệm lệch nghiệm y nghiệm η Vì η˙ ≡ Y (t, η (t)) , nên ta nhận phương trình vi phân x dx = G (t, x) , dt (1.2) đó, (0,1) G (t, x) = [Y (t, x + η (t)) − Y (t, η (t))] ∈ Ctx (H0 ) , H0 = {a < t < ∞, x < H1 < +∞} Hơn nữa, rõ ràng G (t, 0) = Do đó, hệ (1.2) có nghiệm tầm thường x = tương ứng với nghiệm cho η = η (t) Hệ (1.2) gọi hệ rút gọn (hoặc hệ phương trình chuyển động bị nhiễu) Như vậy, nghiên cứu tính ổn định nghiệm η = η (t) đưa nghiên cứu tính ổn định nghiệm tầm thường x ≡ 1.1.2 Các khái niệm ổn định Để nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân thường áp dụng phương pháp Lyapunov Đó phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov Trước hết nhắc lại khái niệm ổn định nghiệm tầm thường hệ (1.2) định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Nghiệm tầm thường x ≡ phương trình vi phân (1.2) gọi ổn định theo Lyapunov t → +∞ ∀ε > 0, t0 ∈ R+ ; ∃δ = δ (t0 , δ) > 0: ∀x0 ∈ H0 ; x0 < δ ⇒ x (t, t0 , x0 ) < ε; ∀t ≥ t0 Định nghĩa 1.2 Nghiệm tầm thường x ≡ phương trình vi phân (1.2) gọi ổn định theo Lyapunov số δ định nghĩa (1.2) chọn không phụ thuộc vào t0 Định nghĩa 1.3 Nghiệm tầm thường x ≡ phương trình vi phân (1.2) gọi ổn định tiệm cận t → ∞ (i) Nghiệm tầm thường x ≡ ổn định (ii) Tồn ∆ > cho với x0 ∈ H0 x0 < ∆ lim t→+∞ x (t, t0 , x0 (t)) = Định nghĩa 1.4 Nghiệm tầm thường x ≡ phương trình vi phân (1.2) gọi ổn định tiệm cận t → +∞ (i) Nghiệm tầm thường x ≡ ổn định (ii) Tồn ∆ = ∆ (t0 ) > (không phụ thuộc vào t0 ) cho với x0 ∈ H0 x0 < ∆ lim x (t, t0 , x0 (t)) = t→∞ Định nghĩa 1.5 Nghiệm tầm thường x ≡ phương trình vi phân (1.2) gọi ổn định mũ t → ∞ nghiệm x (t) = x (t, t0 , x0 ) phương trình (1.2) thỏa mãn bất đẳng thức x (t) ≤ M.e−λ(t−t0 ) x0 ; ∀t ≥ t0 , M ,λ số dương không phụ thuộc vào cách chọn x0 Định nghĩa 1.6 Nghiệm tầm thường x ≡ phương trình vi phân (1.2) gọi ổn định mũ t → ∞ số M không phụ thuộc vào t0 Nhận xét: Nghiệm ổn định suy ổn định theo Lyapunov Nghiệm ổn định tiệm cận suy ổn định Nghiệm ổn định mũ suy ổn định tiệm cận nghiệm ổn định tiệm cận suy ổn định theo nghĩa Lyapunov Trên số khái niệm tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân Mục trình bày phương pháp để xét tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Trước tiên phương pháp số mũ Lyapunov A Phương pháp số mũ Lyapunov 1.2 Định nghĩa tính chất số mũ đặc trưng Lyapunov Cho hàm giá trị phức f (t) xác định khoảng [t0 , +∞) Định nghĩa 1.7 Định nghĩa số mũ đặc trưng Lyapunov Số ( ký hiệu ±∞ ) xác định công thức ln |f (t)| , t→∞ t χ [f ] = lim (1.3) gọi số mũ đặc trưng Lyapunov hàm f (t) (hay số mũ đặc trưng) Quy ước: χ [0] = −∞ Lưu ý số tính chất: χ [f ] = χ [|f |] χ [cf ] = χ [f ] ; |c| = Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| với t ≥ a χ [f ] ≤ χ [F ] Định lý 1.1 Số mũ đặc trưng tổng hữu hạn hàm fk (t), k = 1, 2, , n không vượt số lớn số số mũ đặc trưng hàm trùng với số có hàm số có số mũ đặc trưng với số lớn Định lý 1.2 Số mũ đặc trưng tích số hữu hạn hàm fk (t), k = 1, 2, , n không vượt tổng số mũ đặc trưng hàm đó, tức n n fk (t) ≤ χ k=1 χ [fk (t)] (1.4) k=1 Định nghĩa 1.8 Số mũ đặc trưng f (t) gọi chặt tồn giới hạn hữu hạn lim ln |f (t)| = α (1.5) t→∞ t Định lý 1.3 Hàm f (t) có số mũ đặc trưng chặt = f χ [f ] + χ (1.6) Hệ có nghiệm tầm thường (0, 0), nên (0, 0) điểm cân hệ Ta chọn hàm Lyapunov V (x, y) = x2 + y , V (x, y) hàm xác định dương Ta có V˙ (x, y) = 2xx˙ + 2y y˙ = 2x(−x + y − y ) + 2y(x − 2y + xy ) = −2x2 + 2xy − 2yx3 + 2xy − 4y + 2xy = −2x2 + 4xy − 4y = −2(x − y)2 − 2y Khi V˙ (x, y) < 0, với (x, y) ∈ R2 \(0, 0) Nên hệ cho ổn định tiệm cận theo Lyapunov (theo định lý thứ hai Lyapunov ổn định tiệm cận ) Ví dụ 1.4 Xét tính ổn định nghiệm tầm thường hệ: x˙ = y + x3 , y˙ = −x + y (1.23) Hệ có nghiệm tầm thường (0, 0), nên (0, 0) điểm cân hệ Ta chọn hàm Lyapunov V (x, y) = x2 + y , V (x, y) hàm xác định dương Ta có V˙ (x, y) = 2xx˙ + 2y y˙ = 2x(y + x3 ) + 2y(−x + y ) = 2x4 + 2y Khi V˙ (x, y) > 0, với (x, y) ∈ R2 \(0, 0) Vậy hệ cho không ổn định theo Lyapunov (theo định lý thứ ba Lyapunov không ổn định ) Ví dụ 1.5 Xét tính ổn định hệ: x˙ = x(1 − y), y˙ = y(x − 1) 18 (1.24) Đây hệ phương trình thú mồi dạng Lotka- Voltrera đơn giản Hệ có điểm cân (0, 0) (1, 1) Sau ta nghiên cứu tính ổn định hệ điểm cân (1, 1) Đặt u = x − 1, v = y − Khi hệ có dạng u˙ = −uv − v, v˙ = uv + v Ta xét tính ổn định điểm cân (0, 0) hệ Chọn hàm V (u, v) = u + v − ln(1 + u) − ln(1 + v) + α Chứng minh V (u, v) hàm xác định dương M0 (0, 0) điểm cực tiểu V (M0 ) = α > 0, ∀α ∈ R+ Ta có u ∂V v ∂V = ; = ; ∂u u + ∂v v+1 ∂V −1 ∂V ∂V −1 ∂V = ; = 0; = ; = 0; 2 ∂u (u + 1) ∂u∂v ∂v (v + 1) ∂v∂u Xét   ∂V = 0, ∂u  ∂V = ∂v Khi ta có (0, 0) nghiệm Chứng minh V˙ (u, v) ≤ 1 u˙ − v˙ 1+u 1+v u v = u˙ + v˙ u+1 v+1 u v = (−uv − v) + (uv + u) u+1 v+1 V˙ = u˙ + v˙ − = −uv + vu = Vậy hệ ổn định (1, 1) (theo định lý thứ Lyapunov ổn định ) 19 Chương Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định hệ động lực Trong chương trình bày số khái niệm tính chất hệ động lực tổng quát không gian mêtric Để thuận tiện cho việc trình bày sử dụng ký hiệu sau đây: - Không gian mêtric M tập tùy ý M = ∅ đựợc trang bị mêtric ρ ( mêtric ρ mêtric thỏa mãn tính chất (xem [6], [7] ) ) - Thang thời gian G xác định nhóm R G = {g|g = nτ, τ > 0, n ∈ Z} - Nửa nhóm G+ nửa nhóm xác định G+ = {g|g = nτ, τ > 0, n ∈ N} - Hình cầu mở S(q, δ) xác định S(q, δ) = {p|p ∈ M, q − p < δ} Nội dung chương gồm hai phần: * Phần trình bày định nghĩa hệ động lực thang thời gian đều, tập bất biến, tập ω− giới hạn hệ động lực, chuyển động ổn định theo Lagrange, điểm đứng yên số tính chất liên quan * Phần thứ hai trình bày khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov Badanov, tính ổn định tập V hệ động lực f (p, t) số ví dụ để làm sáng tỏ ứng dụng số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov dùng để nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu Để thuận tiện cho việc trình bày phần thứ hai xét hệ động lực thang thời gian R ( t ∈ R ) 20 2.1 Định nghĩa hệ động lực thang thời gian vài khái niệm mở đầu 2.1.1 Định nghĩa hệ động lực thang thời gian Ta gọi [M, G, f ] hệ động lực thang thời gian đó: M không gian mêtric G thang thời gian f hàm ánh xạ từ không gian tích M × G vào M , có tính chất (I) f (p, e) = p, với e phần tử đơn vị G, p phần tử M (II) f (f (p, g1 ), g2 ) = f (p, g1 g2 ), với g1 , g2 ∈ G p ∈ M (III) Với ε > , cho p ∈ M , g ∈ G tồn số δ > cho với q ∈ S(p, δ) thực bất đẳng thức ρ(f (p, g), f (q, g)) < ε Giả sử A ⊆ M, K ⊆ G Ta ký hiệu f (A, K) = {f (p, g) : p ∈ A, g ∈ K} , + A = f (A, G), A = f (A, G+ ) Hàm f (p, g) với điểm p cố định gọi chuyển động Tập f (p, G) gọi quỹ đạo chuyển động điểm p 2.1.2 Định nghĩa tập bất biến Tập A ⊆ M gọi tập bất biến f (A, g) = A, với phần tử g ∈ G Định lý 2.1 Tập bất biến tập tạo nên gồm từ hợp số quỹ đạo hoàn toàn ngược lại, tập hợp quỹ đạo hoàn toàn lập nên tập bất biến Định lý 2.2 Hợp tập bất biến tập bất biến Giao tập bất biến tập bất biến Phần bù tập bất biến tập bất biến Định lý 2.3 Bao đóng tập bất biến tập bất biến 2.1.3 Tập ω− giới hạn hệ động lực Định nghĩa 2.1 Điểm q ∈ M gọi ω− giới hạn chuyển động f (p, g) với lân cận Uq , với p ∈ G , tồn phần tử g ∗ ∈ G cho g ∗ > g f (p, g ∗ ) ∈ Uq Tập hợp tất điểm ω− giới hạn chuyển động f (p, g), ta ký hiệu Ωp Tương tự ta có định nghĩa điểm α− giới hạn chuyển động, f (p, g), q ∈ M gọi α− giới hạn chuyển động f (p, g), với lân cận Uq , với g ∈ G, tồn phần tử g ∗ ∈ G cho g ∗ < g f (p, g ∗ ) ∈ Uq Tập hợp tất điểm α− giới hạn chuyển động f (p, g), ta ký hiệu Ap 21 Định lý 2.4 Tập Ωp tập đóng bất biến Định lý 2.5 Nếu q ∈ f (p, G) Ωp = Ωq + p Định lý 2.6 Nếu q ∈ 2.1.4 Ωq ⊆ Ωp Chuyển động ổn định theo Lagrange Ta biết ký hiệu p = f (p, G), + p = f (p, G+ ) Định nghĩa 2.2 Chuyển động f (p, g) ổn định dương ( ổn định ) theo nghĩa Lagrange + p( p ) tập compact Định lý 2.7 Nếu G nhóm có hướng chuyển động f (p, g) ổn định theo Lagrange theo hướng dương Ω = ∅ Định lý 2.8 Nếu G nhóm có hướng chuyển động f (p, g) ổn định theo Lagrange theo hướng dương với ε > với g ∈ G luôn tồn g ∗ > g cho ρ(f (p, g ∗ ), Ωp ) < ε 2.1.5 Điểm đứng yên Định nghĩa 2.3 Điểm p hay quỹ đạo f (p, g) gọi điểm đứng yên với g ∈ G ta có f (p, g) = p Định lý 2.9 Tập hợp tất điểm đứng yên tập đóng Định lý 2.10 Không quỹ đạo khác điểm đứng yên lại rơi vào điểm đứng yên phần tử g ∈ G Định lý 2.11 Nếu số δ > nhỏ tùy ý, tồn q ∈ S(p, δ) cho f (q, g) ⊆ S(p, δ) p điểm đứng yên Trên vài khái niệm mở đầu cần dùng cho sau số kết ban đầu 2.2 Khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov Trong công trình nghiên cứu (xem [11] ) nhà toán học Nga IU.C.Badanov, phương pháp số đặc trưng tổng quát nghiên cứu cách có hệ thống kết nhận áp dụng cho việc nghiên cứu tính ổn định điểm cân phương trình vi phân Trong phần luận văn trình bày lại số kết biết tiếp tục phát triển phương pháp số đăc trưng Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định tập bất biến hệ động lực tổng quát không gian mêtric 22 2.2.1 Một số khái niệm Định nghĩa 2.4 Hệ động lực ánh xạ thuộc lớp C Φ : R × V → V, V tập mở M Ta thường ký hiệu Φ (t, x) = Φt x, Φt nhóm biến đổi tham số, tức là: a.Φ|t=0 : V → V ánh xạ đồng b Φt Φs = Φt+s , ∀t, s ∈ R Ví dụ 2.1 Giả sử B không gian Banach, R+ tập số thực dương ánh xạ φ : R+ × B → B xác định φt x = φ(t, x) = T (t)x, ∀x ∈ B, t ∈ R+ (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh Khi (B, R+ , φ) hệ động lực Thật vậy, ta có φ0 x = φ(0, x) = T (0)x = x, ∀x ∈ B, t ∈ R+ =⇒ φ0 x ánh xạ đồng ∀t, s ∈ R+ , x ∈ B ta có φt φs x = φt (φs x) = φ(T (s)x) = T (t)T (s)x = T (t + s)x = φt+s x Định nghĩa 2.5 Giả sử x0 ∈ V điểm cố định cho trước.Ta xét ánh xạ φ : M → V xác định biểu thức φ (t) = φt x0 , t ∈ M Khi ánh xạ φ gọi chuyển động (của x0 ) Định nghĩa 2.6 Ảnh ánh xạ φ : M → V V gọi đường cong pha Bản thân V gọi không gian pha mở rộng Giả sử M không gian mêtric với khoảng cách ρ, f (p, t) hệ động lực xác định M Giả sử V ⊂ M tập Ta ký hiệu: S (V, ε) = {p ∈ M : ρ (p, V ) < ε} S [V, ε] = {p ∈ M : ρ (p, V ) ≤ ε} S0 [V, ε] = {p ∈ M : ρ (p, V ) = ε} Định nghĩa 2.7 Giả sử V ⊂ M , hàm số v xác định, liên tục lân cận S(V, ε) gọi v -hàm Lyapunov tập V , thỏa mãn điều kiện sau: a.v (p) = ⇔ p ∈ V b.v (p) → +∞ ρ (V, p) → ε c.v (p) > với p ∈ S (V, ε) \V 23 Chúng ta xét hàm d xác định J + × J + nhận tất giá trị thực, tức d : J + × J + → J (J trục thực ) đồng thời với tất giá trị γ, γ1 , γ2 , γ3 (0 < γ1 < γ2 < γ3 ) γ > 1.d (γ, γ) = 2.0 < d (γ1 , γ2 ) = −d (γ2 , γ1 ) 3.d (γ2 , γ) > d (γ1 , γ) 4.d (γ1 , γ2 ) + d (γ2 , γ3 ) ≥ d (γ1 , γ3 ) Từ 2) 4) ta suy rằng: |d (γ2 , γ) − d (γ1 , γ)| ≤ |d (γ2 , γ1 )| Đồng thời nhận thấy {γn } dãy số dương thỏa mãn lim d (γn , γ) = −∞ {γn } → lim d (γn , γ) = +∞ {γn } → +∞ n→∞ n→∞ Sau với hàm d có tính chất 1)-4) gọi d-hàm Giả sử V tập bất biến M , v v -hàm của tập V d d - hàm Đối với điểm p ∈ S (V, ε) \V , mà nửa quỹ đạo chuyển động f (p, t) chứa miền giá trị v - hàm, J ⊂ M , xác định số đặc trưng vd sau:   lim 1t d [v (f (p, t)) , v(p)] f p, J + ⊂ S (V, ε) f p, J − ⊂ S (V, ε) ,   t→+∞      lim 1t d [v (f (p, t)) , v(p)] f p, J − ⊂ S (V, ε) f p, J + ⊂ S (V, ε) , vdp = t→+∞   max lim 1t d [v (f (p, t)) , v(p)] , lim 1t d [v (f (p, t)) , v(p)]   t→+∞  t→+∞    f (p, J) ⊂ S (V, ε) đây, S(V, ε) miền xác định hàm v Sử dụng định nghĩa số đặc trưng tổng quát bất đẳng thức (4) phần d - hàm chứng minh rằng: * Nếu f p, J + ⊂ S (V, ε) , f p, J − ⊂ S (V, ε) ∀q ∈ f p, J + ta có vdp = vdq * Nếu f p, J − ⊂ S (V, ε) , f p, J + ⊂ S (V, ε) ∀q ∈ f p, J − ta có vdp = vdq * Nếu f (p, J) ⊂ S (V, ε) ∀q ∈ f (p, J) ta có vdp = vdq Việc chứng minh tính chất tiến hành hoàn toàn tương tự công trình [12] Nhận xét 2.1 Số đặc trưng tổng quát số hữu hạn số −∞ hay +∞ Nhờ số đặc trưng tổng quát chứng minh số dấu hiệu tính ổn định tập V hệ động lực f (p, t) 2.2.2 Tính ổn định tập V hệ động lực f (p, t) Định nghĩa 2.8 24 * Tập V ⊂ M gọi ổn định theo Lyapunov với ε > tìm số δ > cho f S (V, δ) , J + ⊂ S (V, ε) * Tập V ⊂ M gọi miền hút, tồn số δ > cho ρ(f (p, t), V ) dần đến t → +∞ p ∈ S(V, δ) * Tập V ⊂ M gọi có tính hút đều, tồn số δ > cho ρ(f (p, t), G) dần đến t → +∞, tức ∀η > tồn T = T (η) > cho f (S (V, δ)) ⊂ S (V, η) , ∀t > T * Tập V ⊂ M gọi ổn định tiệm cận, ổn định tập hút (miền hút ) * Tập V ⊂ M gọi ổn định tiệm cận ổn định miền hút * Tập V ⊂ M gọi không ổn định tồn số ε0 > cho δ > tìm điểm p ∈ S(V, δ) t > cho f (p, t) ∈ S0 [V, ε0 ] Từ sau giả thiết tập V tập bất biến, đóng tồn p > cho S[V, p] tập compact M Chúng ta thấy số r > luôn tìm M tồn tập mở U chứa V cho [U ] compact Từ tồn lân cận compact tập V ta suy tập V ổn định tiệm cận ổn định tiệm cận Từ sau luôn giả thiết V ổn định tiệm cận V ổn định tiệm cận Chúng ta chứng minh số tính chất bổ trợ sau đây: Bổ đề 2.1 Nếu tập V không ổn định, tồn số ε0 > 0, cho ε ∈ [0, ε0 ] luôn tìm điểm q ∈ S0 [V, ε] mà ta có f (p, J − ) ⊂ S [V, ε0 ] Hệ 2.1 Nếu tập V không ổn định tồn số ε0 > cho số ε ∈ (0, ε0 ] ta tìm điểm q ∈ S0 [V, ε] mà tập Aq = V Aq ⊂ S[V, ε] Định lý 2.12 Nếu tập V không ổn định ε > bất kỳ, ta tìm điểm q ∈ S (V, ε) \V , cho vdq ≥ v - hàm xác định tập hợp S(V, ε) d - hàm Định lý 2.13 Nếu số ε > ta tìm điểm q ∈ S (V, ε) \V cho vdq > v− hàm xác định tập S(V, ε) v− hàm tập V không ổn định 25 Từ định lý 2.12 2.13 ta suy với ε > ta tìm điểm q ∈ S (V, ε) \V mà vdq > với v− hàm xác định S(V, ε) d− hàm vdq ≥ v− hàm bất kỳ, xác định S(V, ε) d− hàm Định lý 2.14 Nếu tồn v− hàm, xác định S(V, ε) hàm d− cho vdp < tất điểm p ∈ S (V, η) \V tập hợp V ổn định tiệm cận Định lý 2.15 (xem [6] ) Nếu tập V ổn định tiệm cận, tồn tai v− hàm xác định tập S(V, ε), tồn hàm d thỏa mãn điều kiện 1), 2), 3), 4) tồn số δ > cho vdp < −1, tất p ∈ W \V , W = f S (V, δ) , J + ⊂ S (V, ε) Định lý 2.16 (xem [6] ) Nếu tập V ổn định tiệm cận tồn ε > cho vdp ≤ p ∈ W \V , W = f S (V, δ) , J + ⊂ S (V, ε) δ số dương đó, v v− hàm xác định tập S(V, ε) d d− hàm Chúng ta nhận thấy hai định lý cuối, tập V ổn định tiệm cận ta khẳng định vdp ≤ tập W \V , W = S(V, ε) S(V, ε) miền xác định hàm v Một vấn đề đặt cách tự nhiên trường hợp khẳng định vdp ≤ toàn W \V ? Giả sử tập V miền hút tồn ε > cho f (p, J + ) ⊂ S (V, ε) p ∈ S(V, ε) < ε < ε0 Khi tập V ổn định tiệm cận tồn < η ≤ ε0 cho vdp ≤ p ∈ S(V, η)\V v hàm xác định S(V, η) d− hàm Thật vậy, từ tính ổn định tập V với ε1 > lân cận S(V, ε1 )\V không chứa quỹ đạo hệ động lực f (p, t) Giả sử η = min(ε1 , ε0 ) Khi f (p, J + ) ⊂ S (V, ε) p ∈ S(V, η) bất kỳ, f p, J − ⊂ S (V, ε) Do vdp = lim d (v (f (p, t)) , v (p)) ≤ t→∞ t 2.2.3 Các ví dụ minh họa Ví dụ 2.2 Xét phương trình tích phân t x(τ )(1 − x(τ ))dτ (*) , x ∈ R, t ∈ (0, +∞) x(t) = x + Thử lại cách trực tiếp ta thấy phương trình (*) có nghiệm x(t) = et x , t ∈ R+ , x ∈ R (et − 1)x + 26 Xét ánh xạ φ : R+ × R → R xác định (t, x) → φt x = x(t) = et x (et − 1)x + Khi (R, R+ , φ) hệ động lực Thật vậy: e0 x = x nên φ0 x ánh xạ đồng (e0 − 1)x + Ta cần chứng minh φt φs x = φt+s x, ∀t, s ∈ R+ , x ∈ R es x Vì φs x = s nên (e − 1)x + Ta có, φ0 x = φt φs x = φt (φs x) = et+s x et φs x = = φt+s x (et − 1)φs x + (et+s − 1)x + Ta nhận thấy hệ (*) có hai điểm cân x(t) ≡ x(t) ≡ Xét tập A = {(p, t)|φ(p, t) ≡ 1, ∀p ∈ B, t ∈ R+ }, dễ dàng thấy A tập bất biến, φt p = 1, ∀p ∈ A Hơn et x = t→∞ (et − 1)x + lim φt (x) = lim t→∞ Nên hệ (*) ổn định theo định lý 2.11 Ví dụ 2.3 Giả sử (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh không gian Banach B Xét f : R+ × B → B ánh xạ liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện f (t, x) − f (t, y) ≤ α(t) x − y , với t ∈ R+ , x, y ∈ B Ở α : R+ → R liên tục, bị chặn thỏa mãn điều kiện +∞ α(t)dt < +∞ Xét phương trình tiến hóa t T (t − τ )f (τ, u(τ ))dτ, u(t) = T (t)x + (2.1) với x ∈ B, t ≥ Bằng phương pháp ánh xạ co ta phương trình (2.1) có nghiệm u = u(t) Bây ta ký hiệu M = B, G = R+ φ : R+ × B → B xác định φt : x → u(t) Khi ta có hệ động lực (M, G, φ) có tính chất (T (t))t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh, ổn định mũ vị trí cân x = hệ động lực ổn định tiệm cận 27 Thật vậy, trước hết ta chứng minh φ = φt x hệ động lực Tức là: φ0 x = x, φt+s x = φt φs x, ∀x ∈ B, t, s ∈ R+ Ta có: φ0 x = u(0) = T (0)x = x nên φ = φ0 x ánh xạ đồng nhất, với x ∈ B, với t, s ∈ R + +, x ∈ B ta có: t+s T (t + s − τ )f (τ, u(τ ))dτ [φt+s ] x = T (t + s)x + s t+s T (s − τ )f (τ, u(τ ))dτ + = T (t) T (s)x + T (s − τ )f (τ, u(τ ))dτ s s t+s T (s − τ )f (τ, u(τ ))dτ + = T (t) T (s)x + t+s T (t + s − τ )f (τ, u(τ ))dτ s T (t + s − τ )f (τ, u(τ ))dτ = φt (φs x) = [φt φs ] x = T (t)φs x + s Tiếp theo ta nghiên cứu tính ổn định điểm cân x = Ta xét tập bất biến V = {0} không gian Banach B, chọn hàm v(p) = p Khi đó, hiển nhiên v(p) v− hàm Lyapunov Chọn hàm d = lnλ1 − lnλ2 với λ1 > λ2 > Khi d d− hàm Thật i d(λ, λ) = lnλ − lnλ = ii d(λ1 , λ2 ) = lnλ1 − lnλ2 = −(lnλ2 − lnλ1 ) = −d(λ2 , λ1 ) iii ∀λ1 > λ2 , ta có lnλ> lnλ2 hay d(λ1 , λ) > d(λ2 , λ) iv d(λ1 , λ2 ) + d(λ2 , λ3 ) = lnλ1 − lnλ2 + lnλ2 − lnλ3 ≥ lnλ1 − lnλ3 = d(λ1 , λ3 ) Do (T (t))t≥0 ổn định mũ, tức tồn M0 ≥ 1; λ > cho T (t) ≤ M0 e−λt với t ≥ nên ta có: t u(t) ≤ T (t) x + T (t − τ )f (τ, u(τ )) dτ t ≤ M0 e−λt x + M0 e−λ(t−τ ) α(τ ) u(τ ) dτ Từ ta suy rằng: t λt u(t) e M0 eλτ ) α(τ ) u(τ ) dτ ≤ M0 x + Theo bổ đề Gronwall-Bellman (xem [4], [8] ), ta có |u(t) ≤ M0 x eM0 28 t α(τ )d(τ ) ≤ M2 Do đó, u(t) ≤ M2 e−λt Hay ln|u(t) ≤ ln(M2 e−λt ) = −λt, nên lim t→∞ −λt ln|u(t) ≤ lim = −λ < 0, ∀λ > t→∞ t t Vậy hệ cho ổn định tiệm cận Nhận xét 2.2 Trong trường hợp tổng quát nghiên cứu hệ động lực φt : S[V, ε] → B xác định sau φt : x → u(t), với t ∈ R+ x ∈ S[V, ε] = {x| x ≤ ε} Khi ta xác định hàm v : S(V, ε) → B sau: v( x ) = x ε− x 29 Kết luận Bản luận văn trình bày lại cách hệ thống nội dung sau : Phương pháp số mũ Lyapunov phương pháp hàm Lyapunov Sau trình bày cách phát triển phương pháp thành phương pháp số đặc trưng tổng quát Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định tập bất biến cho hệ động lực tổng quát Đóng góp nhỏ luận văn xây dựng ví dụ minh họa cho khả ứng dụng phương pháp cho hệ động lực bị nhiễu 30 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2000) [2] A.M Lyapunov, Bài toán tổng quát ổn định chuyển động Tuyển tập công trình V.6.T.2, (1956) (Bằng tiếng Nga) [3] A Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Diffirential Equations,Springer-Verlag, Beclin-NewYork (1983) [4] B.P.Demidovic, Lectures on the mathematical theory of stability, "Nauka" Moscow (Russian ) (1967) [5] C.Chicone - Y.Latushkin, Evolution Semigroup in dynamical systems differential equations, Amer Math.Soc (1999) [6] L.A Chelusheva, Về lý thuyết số đặc trưng tổng quát phương trình vi phân T.4 N9 trang 1610- 1627 (Bằng tiếng Nga ) [7] J.D.Murray, Mathematical Biology Spatial Modeds and Biomedical Applications, Third Edition, Springer (2001) [8] Ju L.Daleckii and M.G.Krein, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island, (1974) [9] Klaus-Jochen Engel Rainer Nagel, One-Parameter Semigroups for linear evolution Equations, Springer Verlog NewYork(2000) Tài liệu tham khảo 32 [10] N.Rush.P.Abets - M.Lalya, Phương pháp trực tiếp Lyapunov lý thuyết ổn định, Mosscow (1988) (Bằng tiếng Nga ) [11] U.X Bagdanov, Phương pháp định tính lý thuyết dao động Tuyển tập công trình Kiev , (1970) ( Bằng tiếng Nga ) [12] U.X Bagdanov, Về dấu hiệu biểu thị tính ổn định tiệm cận nhờ số vd− bé, Tạp chí phương trình vi phân (Differential Equations ), 1966, TII, N3 (Bằng tiếng Nga ) [...]... quá trình tính toán sẽ trở nên phức tạp hơn Để khắc phục được điều này chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp hàm Lyapunov Nhận xét 1.3 Để sử dụng phương pháp số mũ đặc trưng cho các hệ phương trình phi phân tuyến tính có nhiễu chúng ta có thể sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov Sau đây chúng tôi xin nhắc lại kết quả đó của Lyapunov Cùng với hệ (1.8) ta xét phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu. .. đặc trưng χ[x(t)] của hệ tuyến tính (1.8) đều âm thì nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính bị nhiễu đang xét là ổn định tiệm cận b Nếu A ∈ Mn (R), (A(t) ≡ A) và Reλj < 0 với mọi j = 1, 2, , n thì nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính bị nhiễu đang xét là ổn định tiệm cận 14 B Phương pháp hàm Lyapunov 1.5 Phương pháp hàm Lyapunov trong Rn Trong thực tế, vi c sử dụng phương pháp số mũ Lyapunov có thể gặp... giới hạn của hệ động lực, chuyển động ổn định theo Lagrange, điểm đứng yên và một số tính chất liên quan * Phần thứ hai trình bày khái niệm số đặc trưng tổng quát Lyapunov Badanov, tính ổn định của tập V của hệ động lực f (p, t) và một số ví dụ để làm sáng tỏ hơn ứng dụng của số đặc trưng tổng quát Lyapunov - Badanov dùng để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu Để thuận... nhất của Lyapunov về sự ổn định ) 19 Chương 2 Sử dụng phương pháp số đặc trưng Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định của các hệ động lực Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất của hệ động lực tổng quát trong không gian mêtric Để thuận tiện cho vi c trình bày chúng tôi sẽ sử dụng các ký hiệu sau đây: - Không gian mêtric M là một tập tùy ý M = ∅ trên đó đựợc trang bị. .. quát Lyapunov - Badanov Trong các công trình nghiên cứu (xem [11] ) của nhà toán học Nga IU.C.Badanov, phương pháp số đặc trưng tổng quát đã được nghiên cứu một cách có hệ thống và các kết quả nhận được đã áp dụng cho vi c nghiên cứu tính ổn định của điểm cân bằng của các phương trình vi phân Trong phần tiếp theo của luận văn chúng tôi sẽ trình bày lại một số kết quả đã biết và tiếp tục phát triển phương. .. Nên nghiệm tầm thường (0, 0) của hệ (1.20) ổn định tiệm cận Do vậy (1.18) cũng ổn định tiệm cận tại nghiệm tầm thường (0, 0) Nhận xét 1.2 Trong trường hợp tổng quát các kỹ thuật được nêu ở trên khi sử dụng trong một số ví dụ có thể không áp dụng được Chẳng hạn, ta xét tính ổn định tại nghiệm (1, 1) của hệ: x˙ = x(1 − y), y˙ = y(x − 1) Vi c sử dụng phương pháp số mũ Lyapunov để xét tính ổn định của. .. trưng tổng quát Lyapunov- Badanov để nghiên cứu tính ổn định của tập bất biến cho hệ động lực tổng quát Đóng góp nhỏ của luận văn này là xây dựng được các ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các phương pháp trên cho hệ động lực bị nhiễu 30 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2000) [2] A.M Lyapunov, Bài toán... thể ứng dụng tính chất này để nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tầm thường của hệ (1.14) trong trường hợp sau đây Giả sử nhờ phép biến đổi Lyapunov hệ (1.14) có thể đưa được về hệ y˙ = By, trong đó B = (bij )m×n là ma trận hằng (1.15) Như chúng ta đã biết nếu tất cả các nghiệm đặc trưng λj (B) của hệ (1.15) đều có phần thực âm, tức là Reλj (B) < 0, j = 1, 2, , n, khi đó nghiệm tầm thường của (1.15)... Lyapunov đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.4.1 Phổ của hệ tuyến tính Đầu tiên ta chứng minh một định lý có tính tổng quát Định lý 1.7 Nghiệm không tầm thường của hệ chuẩn tắc x˙ = f (t, x) , x ∈ Rn , f (t, x) ≤ L x , có số mũ đặc trưng hữu hạn Chú ý 1.2 Với điều kiện bắt buộc đối với vế phải của hệ, nghiệm của hệ xác định với mọi t ∈ R 9 Bây giờ ta xét hệ tuyến tính x˙ = A (t) x, x ∈ Rn , A... không đổi âm thì nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0,(a < t < ∞) của hệ đã cho ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ 16 Hệ quả 1.3 Nếu đối với hệ vi phân tuyến tính thuần nhất dx = A(t)x, (A(t) ∈ C [t0 , ∞)), dt tồn tại hàm xác định dương V (t, x) có đạo hàm dọc theo nghiệm của hệ V˙ (t, x) ≤ 0 thì tất cả các nghiệm x(t) của hệ đó xác định và bị chặn trên nửa trục t ∈ [t0 , ∞) 1.5.3 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự

Ngày đăng: 18/06/2016, 09:18

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan