ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– TRẦN THỊ THỦY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 0106 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS.ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2015 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài: Từ cuối kỉ 17, Newton Leibniz xây dựng phép tính vi phân tích phân cổ điển Tới nửa đầu kỉ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu xây dựng Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên phép tính tích phân ngẫu nhiên trở thành công cụ quan trọng ứng dụng nhiều toán học, vật lý, sinh học kinh tế Trong phương trình toán tử tuyến tính, phương trình tích phân ngẫu nhiên giúp cho việc nghiên cứu toán học đại mang lại nhiều kết Trong luận văn "Phương trình tích phân ngẫu nhiên" này, xét hai loại phương trình tích phân ngẫu nhiên Fredholm Volterra Ngoài ra, xét số phương trình tích phân ngẫu nhiên phi tuyến Chúng quan tâm lớn có tầm quan trọng nhiều nhánh khoa học, kinh tế công nghệ Đặc biệt, phương trình tích phân phi tuyến xuất tượng vật lý cụ thể việc xây dựng phương trình tích phân phương trình vi phân phi tuyến Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần sau Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phương trình tích phân ngẫu nhiên Fredholm Volterra : Chương 3: Một số phương trình tích phân phi tuyến Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình tích phân tất định: 1.1.1 Giới thiệu: 1.1.2 Phương trình Fredholm loại với hạch suy biến: 1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến: 1.2 Phép tính vi tích phân cho hàm ngẫu nhiên 10 1.3 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 11 1.3.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục 11 1.3.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: 12 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FREDHOLM VÀ VOLTERRA 14 2.1 Phương trình Fredholm Volterra với hàm vế phải ngẫu nhiên 14 2.1.1 Giới thiệu: 14 2.1.2 Nghiệm phương trình tích phân: 14 2.1.3 Nghiệm hàm hiệp phương sai: 15 2.1.4 Sự liên tục bình phương trung bình nghiệm: 16 2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: 17 2.2 Hạch K(x, y, ω) ngẫu nhiên suy biến 17 2.3 Hạch K(x, y, ω) biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian hàm gián đoạn vừa phải 18 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 19 3.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên 19 3.1.1 Thiết lập phương trình tích phân số phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên 19 3.1.2 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên không gian hàm liên tục: 21 3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên 22 3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên vế phải ngẫu nhiên 22 Tài liệu tham khảo 24 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Phương trình tích phân tất định: Giới thiệu: Xét phương trình tích phân: b K(x, y)f (y)dy = g(x) (1.1) K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) (1.2) a b a phương trình Fredholm không loại thứ thứ hai tương ứng phương trình tích phân tuyến tính: x K(x, y)f (y)dy = g(x) (1.3) K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) (1.4) a x a phương trình Volterra không loại thứ thứ hai tương ứng Từ phân loại phương trình tuyến tính trên, ta thấy phương trình Volterra trường hợp đặc biệt phương trình Fredholm với hạch: K(x, y) = K(x, y) x > y x < y (1.5) Bài toán giá trị ban đầu: Xét phương trình vi phân cấp 2: d2 x dx + a + bx = f (t) dt dt (1.6) với điều kiện ban đầu x′(0) = v0 x(0) = x0, (1.7) Trong (1.6) a b hàm t Nếu viết lại phương trình (1.6) là: dx d2 x = −a − bx + f (t) dt2 dt tích phân khoảng (0, t) có được, sử dụng (1.7) dx =− dt t dx a dr − dt t = −ax − t t f dr bxdr + 0 t ′ (b − a )xdr + f dr + a(0)x0 + v0 Tích phân có được: t t x(t) = x0 − a(r)x(r)dr − 0 t [b(r) − a(r)]x(r)drdr t t f (r)drdr + [a(0)x0 + v0 ]t + 0 mà viết với hình thức là: t x(t) = − a(r) + (t − r)[b(r) − a′ (r)]x(r)dr t + (t − r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0 Có thể viết lại là: t x(t) − K(t, r)x(r)dr = g(t) (1.8) Trong đó: K(t, r) = (r − t)[b(r) − a′ (r)] − a(r) t g(t) = (t − r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0 Do phương trình (1.6) (1.7) phương trình tích phân (1.8) phương trình Volterra loại thứ hai Bài toán biên: Xét phương trình vi phân sau: d2 x + λx = 0, dt2 x(0) = 0, (1.9) x(a) = Tiến hành ví dụ đầu tiên, tích phân khoảng (0, t) : dx = −λ dt t x(r)dr + x′ (0) Ở x′(0) chưa biết Tích phân lặp lại khoảng (0, t) sử dụng điều kiện x(0) = 0, có được: t x(t) = −λ (t − r)x(r)dr + x′ (0)t (1.10) Thay điều kiện thứ hai x(a) = có: a ′ x (0) = (λ/a) (a − r)x(r)dr Do đó, (1.10) viết lại : a t x(t) = −λ (t − r)x(r)dr + t(λ/a) (a − r)x(r)dr a t = (λ/a) r(a − t)x(r)dr + (λ/a) t t(a − r)x(r)dr Nếu đặt : K(t, r) = (r/a)(a − t) với r < t (t/a)(a − r) với r > t (1.11) Phương trình (1.11) viết lại là: a K(t, r)x(r)dr x(t) = λ (1.12) Do đó, phương trình (1.9) dẫn đến phương trình Fredholm loại thứ hai Xét toán tử vi phân tuyến tính cấp sau: L[x] = Ở đó, p(t) dx d p(t) + q(t)x dt dt (1.13) Chúng ta xét hàm x(t) hai đầu khoảng cho (a, b) thỏa mãn điều kiện biên nhất: αx(a) + βx′(a) = 0, 1.1.2 γx(b) + δx′ (b) = (1.14) Phương trình Fredholm loại với hạch suy biến: Trong phần này, xét phương trình tích phân Fredholm loại hai: K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) (1.15) trường hợp hạch K(x, y) hạch suy biến Một hạch Fredholm K(x, y) gọi suy biến có dạng: n K(x, y) = αi (x)βi(y) (1.16) i=1 với αi (x)ni=1 βi (y)ni=1 hai độc lập hàm L2 (0, 1) độc lập tuyến tính Trong trường hợp này, phương trình tích phân Fredholm (1.15) tương đương hệ n phương trình đại số tuyến tính với n chưa biết eqref6’ 1.1.3 Phương trình tích phân phi tuyến: t (1.17) f (r, x(r))dr x(t) = x(a) + a toán giá trị biên dẫn đến phương trình tích phân Hammerstein có dạng: K (1.18) (t, r)f (r, x(r))dr = x(t) + a Định lý 1.1 Hàm ngẫu nhiên X = X(t), t ∈ T = [a, b] L2 khả tích hàm trung bình m(t) khả tích T hàm tự tương quan K(s, t) khả tích T × T Trong trường hợp ta có: b b b K(s, t)dsdt X(t)dt] = d b d b a a a K(s, t)dsdt X(t)dt] = X(t)dt, cov[ a a a V ar[ c a c a m(t)dt EX(t)dt = X(t)dt] = E[ b b b Nếu X = X(t), t ∈ T = [a, b], Y = Y (t), t ∈ T = [c, d] L2 khả tích thì: E[X(t)Y (s)]dsdt a c a d Y (t)dt] = X(t)dt][ E[ b d b (1.19) c Từ suy b cov[X(t)Y (s)]dsdt X(t)dt] = X(t)dt, a b d b cov[ a c Ví dụ 1.1 Giả sử W = (W (t), t hàm ngẫu nhiên X = (X(t), t a 0) hàm ngẫu nhiên Wiener Xét 0) xác định bởi: t W (s)ds X(t) = Tìm hàm trung bình hàm tự tương quan X Ví dụ 1.2 Ta tìm khai triển Karunen-Loeve hàm ngẫu nhiên Wiener [0;1] Ta có m(t) = 0, K(s, t) = min(s, t) Xét phương trình: min(s, t)φn(s)ds = λn φn (t) t → φn (s)ds = λn φn (t) sφn (s)ds + t t → λn φ′n (t) t =− φn (s)ds → λn φ′′n (t) = −φn (t) Từ hệ phương trình vi phân với điều kiện ban đầu φn (0) = 0, φ′n (1) = điều kiện chuẩn hóa φn (t)dt = ta tìm được: √ φn (t) = 2sin(n + )πt n = 1, 2, λn = (n + 21 )2π Cho nên: W (t) = √ ∞ ξn sin(n + )πt n=1 dãy (ξn), n = 1, 2, dãy biến Gauss độc lập N (0, λn) Một khai triển Karunen-Loeve khác hàm ngẫu nhiên Wiener [0;1] thiết lập sau: Đặt X(t) = W (t) − tW (1) Dễ thấy X(t) hàm ngẫu nhiên Gauss với hàm trung bình m(t)=0 hàm tự tương quan K(s, t) = min(s − t) − ts Tương tự ta tìm hàm riêng giá trị riêng là: φn (t) = √ 2sin(nπt) λn = 2 n = 1, 2, nπ Lp Giới hạn kí hiệu Lp − X ′ (s) X = X(t), t ∈ T gọi Lp khả vi Lp điểm s ∈ T 1.3 1.3.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục Định nghĩa 1.2 Cho E không gian metric khả ly Y không gian Banach khả ly Một ánh xạ Φ : Ω × E → Y gọi toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y với x ∈ E, Φ(ω, x) biến ngẫu nhiên Y giá trị Định nghĩa 1.3 Cho Φ toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y Φ gọi liên tục x0 ∈ E với ω ∈ Ω ánh xạ x → Φ(ω, x) liên tục x0 Φ gọi liên tục E liên tục điểm x0 ∈ E Φ gọi liên tục ngẫu nhiên điểm x0 ∈ E với dãy (xn) ⊂ E cho lim xn = x0 ∈ E với ε > ta có: lim P (ω : ||Φ(ω, xn) − Φ(ω, x0)|| > ε) = n→∞ Φ gọi liên tục ngẫu nhiên E liên tục điểm x0 ∈ E Định lý 1.2 Một toán tử ngẫu nhiên tuyến tính A từ E vào Y liên tục ngẫu nhiên nếu: lim sup P (||Ax|| > t) = t→∞ ||x|| 11 (1.20) 1.3.2 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính bị chặn: Định lý 1.3 Toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên A từ E vào Y bị chặn có tồn ánh xạ T : Ω → L(X, Y ) cho: Ax(ω) = T (ω)x (1.21) hầu chắn Định lý 1.4 Giả sử E không gian Banach có sở Shauder (en ) (e∗n ) sở liên hợp E Cho A toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên từ E vào Y Khi A bị chặn tồn tập D có xác suất cho với ω ∈ D với x ∈ X chuỗi: ∞ (x, e∗k )Aek (ω) k=1 hội tụ Y Định lý 1.5 Giả sử E = lp(1 p < ∞) A toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên từ E vào Y Điều kiện cần để A bị chặn là: sup ||Aen || < ∞ (1.22) n hầu chắn Trường hợp p>1: Điều kiện đủ để A bị chặn là: ∞ n=1 ||Aen ||q < ∞ (1.23) hầu chắn Ở (en ) sở tự nhiên lp q số liên hợp với p Nếu Y không gian hữu hạn chiều (1.23) điều kiện cần để 12 A bị chặn Trường hợp p=1 (1.22) điều kiện đủ để A bị chặn Chú ý: Điều kiện (1.23) không điều kiện cần Xét ví dụ sau: Giả sử (rn) dãy biến ngẫu nhiên Rademakher Xác định toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên A từ lp vào lp bởi: Ax(ω) = ∞ rn(ω)(x, en)en n=1 Vì ||rn (ω)(x, en)en ||p = ||x||p < ∞ nên chuỗi hội tụ với ω ∈ Ω Theo định lý (1.23) ta có A bị chặn Tuy nhiên: ∞ n=1 q ||Aen (ω)|| = ∞ n=1 13 ||rn (ω)en ||q = ∞ Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FREDHOLM VÀ VOLTERRA 2.1 Phương trình Fredholm Volterra với hàm vế phải ngẫu nhiên 2.1.1 Giới thiệu: Xét phương trình tích phân tuyến tính ngẫu nhiên: f (x, w) − Lf (y, w) = g(x, w) (2.1) Ở L toán tử Fredholm (hoặc Volterra) [a,b] (a,b hữu hạn) g(x, w) với x ∈ [a, b] hàm ngẫu nhiên bậc hai mà thỏa mãn điều kiện liên tục bình phương: E{|g(x, w)|2} ⋖ ∞ ∀x ∈ [a, b] lim E{|g(x + h, w) − g(x, w)|2} = h→∞ 2.1.2 ∀x ∈ [a, b] Nghiệm phương trình tích phân: Bây phát biểu chứng minh định lý sau: 14 Định lý 2.1 Nếu (i) K(x, y), x, y ∈ [a, b] hạt nhân Fredholm mà |b − a| max |K(x, y)| < (ii) g(x, y) với x ∈ [a, b], ω ∈ Ω hàm ngẫu nhiên bậc hai thỏa mãn điều kiện nêu Khi đó, hàm ngẫu nhiên f (x, w) định nghĩa bởi: b Γ(x, y)g(y, w)dy f (x, w) = g(x, w) − (2.2) a x ∈ [a, b] ω ∈ Ω nghiệm phương trình Fredholm (2.1) [a, b]×Ω 2.1.3 Nghiệm hàm hiệp phương sai: Để Rf (x1, x2) = E{f (x1, w)f (x2, w)} x1, x2 ∈ [a, b] (2.3) hàm hiệp phương sai nghiệm f (x, w) phương trình tích phân ngẫu nhiên (2.2) Thiết lập tồn Rf (x1, x2 ), biểu diễn E{|f (x, w)|2} ∞, ∀x ∈ [a, b] nghĩa f (x, w) hàm ngẫu nhiên bậc hai Dưới từ bất đẳng thức Holder: b | a b Γ(x, y)g(y, w)dy| ≤ a b |Γ(x, y)| dy a |g(y, w)|2dy Và: b E{| a b Γ(x, y)g(y, w)dy| } ≤ a b |Γ(x, y)| dy E{ a |g(y, w)|2dy} < ∞ ∀x ∈ [a, b], từ g(x, w) liên tục hình vuông Như vậy, theo sau từ (2.2) E{|f (x, w)|2} < ∞, ∀x ∈ [a, b], thiết lập tồn hàm hiệp phương sai Rf (x1 , x2 ) Phép tính Rf (x1 , x2 ) trực tiếp Từ (2.3) 15 (2.2) có: Rf (x1, x2) = b b = E{(g(x1, w)− a Γ(x1, y)g(y, w)dy)(g(x2, w) − Γ(x2, y)g(y, w)dy)} a b = E{g(x1, w)g(x2, w)} − E{g(x1, w) Γ(x2, y)g(y, w)dy} a b − E{g(x2, w) Γ(x1, y), g(y, w)dy} a b b + E{ Γ(x2, y)g(y, w)dy} Γ(x1, y)g(y, w)dy a a b Rf (x1, x2) = Rg (x1, x2) − a (Γ(x2, y)E{g(x1, w)g(y, w)dy}) b − a (Γ(x1, y)E{g(y, w)g(x2, w)})dy b b − a a (Γ(x1, y1)Γ(x2, y2)E{g(x1, w)g(x2, w)})dy1dy2 b b = Rg (x1, x2) a Γ(x2, y)Rg (x1, y)dy − b − Γ(x1, y)Rg (y, x2)dy a b Γ(x1, y1)Γ(x2, y2)Rg (y1, y2 )dy1 dy2 a a Đặt: b H(x1, x2) = Rg (x1, x2) − Γ(x2, y)Rg (x1, y)dy (2.4) a Phép tính đơn giản biểu diễn cho Rf (x1 , x2 ) hàm hiệp phương sai Rg (x1 , x2) đặt hàm ngẫu nhiên g(x, w): b Rf (x1, x2) = H(x1, x2) − 2.1.4 Γ(x2, y)Rg (x1, y)dy (2.5) a Sự liên tục bình phương trung bình nghiệm: Chúng ta biểu diễn hàm ngẫu nhiên f (x, w) liên tục bình phương trung bình hạch K(x, y) toán tử tích phân liên tục 16 Định lý 2.2 Cho K(x, y) hạch Fredholm [a, b] × [a, b] Γ(x, y) biểu thị cho liên kết giải thức, K(x, y) liên tục [a, b] × [a, b], nghiệm f (x, w) phương trình tích phân (2.1) liên tục bình phương trung bình [a, b] 2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: Trong chủ đề này, xét ví dụ cụ thể loại phương trình tích phân nghiên cứu phần này, phương trình tích phân Volterra đặt vào trình Wiener Xét phương trình tích phân (2.1) [0, 1] với hạch: −1 với x K(x, y) = y với x < y (2.6) Trong trường hợp này, phương trình (2.1) có dạng: x f (y, w)dy = g(x, w) f (x, w) + (2.7) Giải thức Γ(x, y) phép tính đơn giản cho chuỗi Neumann: − 2.2 ∞ K (n) (x, y) = Γ(x, y) = n=1 e− (x − y) với x y với x < y Hạch K(x, y, ω) ngẫu nhiên suy biến Xét phương trình K(x, y, ω)f (y)dy − λf (x) = g(x) (2.8) Với hạch suy biến ngẫu nhiên: n K(x, y, z) = αi (x, w)βi(y) i=1 17 (2.9) Định lý 2.3 : Cho λ khác số thực µ(Ω(λ)) = µω[ i,j=1 na2ij (ω)] < |λ| = Khi ma trận ngẫu nhiên A(w) − λI đảo ngược nghiệm: ξ(ω) = (A(ω) − λI)−1b 2.3 Hạch K(x, y, ω) biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian hàm gián đoạn vừa phải Định lý 2.4 Cho K ánh xạ Ω vào R cho biến đổi L(w) Ω × C vào C định nghĩa ∀w ∈ Ω ∀f ∈ C (??) Khi đó, L(w) toán tử tuyến tính liên tục hoàn toàn C, ∀w ∈ Ω Ngoài ra, nhận định sau tương đương: (i) L(w) toán tử ngẫu nhiên C (ii) ω : K(x, yω) < ξ ∈ U ∀x, y ∈ [a, b], ∀ξ ∈ R (iii)K(x, yω) hạch ngẫu nhiên (iv)L(ω) biến ngẫu nhiên với giá trị toán tử 18 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 3.1 3.1.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên Thiết lập phương trình tích phân số phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân: dx(t, ω)/dt = f (t, x(t, ω), ω) x(t0, ω) = x0(ω) (3.1) Trước hết xét ba toán phương trình có dạng (3.1) T định nghĩa khoảng đóng [a,b] khoảng mở [a, ∞) Bài toán 1: Hàm mẫu (SF) Giả sử hàm f : T × Rn × Ω → Rn có tính chất nếu: x : T → Rn liên tục tuyệt đối hầu hết với ω ∈ Ω, f (t, x(t, ω), ω) tích phân T Hàm x : T × Ω → Rn gọi giải toán SF x′(t, ω) = f (t, x(t, ω), ω) x(a, ω) = x0(ω) Nếu hầu hết với ω ∈ Ω điều kiện sau thỏa mãn: 19 (1.1) x(t, ω) liên tục tuyệt đối T (1.2) x(a, ω) = x0 (ω) (1.3) x′(t, ω) = f (t, x(t, ω), ω ∀t ∈ T Để trình bày hai toán sau xét hai không gian Banach hàm Ω khái niệm vi phân hàm với giá trị không gian Đặt Lp (Ω) = Lp (Ω, U, µ) đặt Lnp (Ω) định nghĩa tích trực tiếp Lp (Ω) với n lần Chuẩn phần tử Lnp(Ω) ||x|| = max(||x1||, ||x2 ||, , ||xn|| Đạo hàm Lp ánh xạ x : R → Lnp (Ω) t phần tử x′ ∈ Lnp(Ω) cho: x(t + h) − x(t) = x′ h→0 h lim chuẩn topo Lnp (Ω) Nếu giới hạn tồn topo yếu Lnp(Ω), x’ gọi Wp đạo hàm x t Ánh xạ x gọi Wp giả vi phân với hàm tuyến tính liên tục x∗ : Lnp (Ω) → R, x∗(x(t)) vi phân hầu khắp nơi Chúng ta cần dựa vào ánh xạ: g : T × Lnp(Ω) → Lnp (Ω) cho miền g(t, x) phép biến đổi với t viết g : T ×Dpn (t) → Lnp(Ω) nghĩa miền g (t, x) : t ∈ T, x ∈ D( n p t) D( n p t) ánh xạ T vào tập Lnp (Ω) Bài toán 2: Bài toán Lp Đặt g : T × Dpn (t) → Lnp (Ω) x0 ∈ Dpn (t) Hàm x : T → Lnp (Ω) gọi nghiệm toán Lp thỏa mãn điều kiện đây: (2.1) x(t) ∈ Dpn (t), ∀t ∈ T (2.2) x(t) hàm liên tục tuyệt đối mạnh (2.3) x(a) = x0 20 (2.4) g(t, x(t)) khả tích Bochner T (2.5) Đạo hàm Lp x tồn ∀t ∈ T thỏa mãn x′ (t) = g(t, x(t)) Bài toán3: Bài toán Wp Đặt g : T × Dpn (t) → Lnp (Ω) x0 ∈ Dpn (t) Hàm x : T → Lnp (Ω) gọi giải toán Wp thỏa mãn điều kiện đây: (3.1) x(t) ∈ Dpn (t), ∀t ∈ T (3.2) x(t) hàm liên tục tuyệt đối mạnh (3.3) x(a) = x0 (3.4) g(t, x(t)) tích phân Bochner T (3.5) Giả đạo hàm Wp x tồn ∀t ∈ T thỏa mãn x′(t) = g(t, x(t)) 3.1.2 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên không gian hàm liên tục: Đặt C0 [0, 1] định nghĩa không gian hàm liên tục khoảng T = [0, 1] triệt tiêu Xét không gian độ đo (C0, B, w), B σ -đại số tập Borel C0[0, 1] w độ đo Wiener Xét phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên: dy(t, ω)/dt = f (t, y(t, ω) + w(t, ω)) y(0, ω) = (3.2) w(t, ω) Winer y(t, ω) với ω ∈ Ω cố định, phần tử C0[0, 1] Hàm f (t, u) : T × R → R hàm liên tục giá trị thực t Đặt x(t, ω) = y(t, ω) + w(t, ω) phương trình (3.2) tương đương với phương trình Volterra ngẫu nhiên phi tuyến t x(t, ω) − f (r, x(r, ω), ω)dr = w(t, ω) 21 (3.3) 3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên Định lý 3.1 Giả sử (i) ψ(x, t) thỏa mãn (3.28) x1 (t, ω) ∈ M2 , x2 (t, ω) ∈ M2 x1 (t, ω) x2(t, ω) (ii) K(t) hàm Lp thỏa mãn (3.29) (3.30) Để Y (t, ω) hàm ngẫu nhiên có độ đo tùy ý M2 Khi có tồn nghiệm ngẫu nhiên x(t, ω) ∈ M2 phương trình (??) nghiệm M2 /M0 3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên vế phải ngẫu nhiên Định lý 3.2 Giả sử rằng: (i) X, Y không gian Banach từ R+ → L2 (Ω) với tô pô mạnh tô pô Cc (R+ , (L2(Ω)) cặp (X, Y) thừa nhận với lưu ý đến toán tử tích phân ngẫu nhiên: t (3.4) K(t, r, ω)x(r, ω)dr L(ω)x(t, ω) = hạch ngẫu nhiên K(t, τ, ω) liên tục phương sớm (ii) Ánh xạ: x(t, ω) → f (t, (x(t, ω)) toán tử tập hợp: S = {x(t, ω) : x(t, ω) ∈ Y, cho p ||x(t, ω)||{Y} p} với giá trị X thỏa mãn điều kiện: ||f (t, x1(t, ω)) − f (t, x2(t, ω))||{X} 22 k||x1 (t, ω) − x2(t, ω)||{Y} (3.5) với x1 , x2 ∈ S k số dương (iii) y(t, ω) ∈ Y Khi tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình (??) (a) k < N −1 (b) ||y(t, ω)||Y +N ||f ((t, 0)||X p(1 − kN ) N chuẩn L(ω) 23 KẾT LUẬN Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề liên quan đến phương trình tích phân ngẫu nhiên Fredholm Volterra Trước hết ta tìm hiểu phương trình Fredholm Volterra với hàm vế phải ngẫu nhiên, tính chất nghiệm phương trình tích phân loại nghiệm hàm hiệp phương sai, liên tục bình phương trung bình nghiệm Đặc biệt, đưa ví dụ cụ thể loại tích phân phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener Tiếp theo, xét tồn tại, tính nhất, tính đo nghiệm phương trình Fredholm hạch K(x,y,w) biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian hàm gián đoạn vừa phải Ngoài ra, luận văn đưa số phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên trường hợp loại Volterra với hạch ngẫu nhiên Kết tồn tính nghiệm phương trình loại 24 Tài liệu tham khảo [1] Bharucha-Reid A.T,1972, Random Integral Equations, Academic Press NewYork [2] Đặng Hùng Thắng,2013, Xác suất nâng cao, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] P.A Cojuhari, 2013, Random Integral Equations On Time Scales, AGH University of Science and Technology Press 25 [...]... L(w) là toán tử ngẫu nhiên trên C (ii) ω : K(x, yω) < ξ ∈ U ∀x, y ∈ [a, b], ∀ξ ∈ R (iii)K(x, yω) là hạch ngẫu nhiên (iv)L(ω) là biến ngẫu nhiên với giá trị toán tử 18 Chương 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 3.1 3.1.1 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên Thiết lập phương trình tích phân của một số các phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân: dx(t, ω)/dt... [a, b] × [a, b], nghiệm f (x, w) của phương trình tích phân (2.1) là liên tục trong bình phương trung bình trên [a, b] 2.1.5 Phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener: Trong chủ đề này, chúng ta xét một ví dụ cụ thể của loại phương trình tích phân nghiên cứu trong phần này, phương trình tích phân Volterra đặt vào quá trình Wiener Xét phương trình tích phân (2.1) trên [0, 1] với hạch: −1 với... có sự tồn tại nghiệm ngẫu nhiên x(t, ω) ∈ M2 của phương trình (??) và nghiệm là duy nhất trong M2 /M0 3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên và vế phải ngẫu nhiên Định lý 3.2 Giả sử rằng: (i) X, Y là không gian Banach từ R+ → L2 (Ω) với tô pô mạnh hơn tô pô của Cc (R+ , (L2(Ω)) và cặp (X, Y) được thừa nhận với sự lưu ý đến toán tử tích phân ngẫu nhiên: t (3.4) K(t, r,... của phương trình (??) mỗi khi (a) k < N −1 và (b) ||y(t, ω)||Y +N ||f ((t, 0)||X p(1 − kN ) trong đó N là chuẩn của L(ω) 23 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng ta nghiên cứu được các vấn đề liên quan đến phương trình tích phân ngẫu nhiên Fredholm và Volterra Trước hết ta tìm hiểu được thế nào là phương trình Fredholm và Volterra với hàm vế phải ngẫu nhiên, tính chất của nghiệm phương trình tích phân. .. ngẫu nhiên 2.1.1 Giới thiệu: Xét phương trình tích phân tuyến tính ngẫu nhiên: f (x, w) − Lf (y, w) = g(x, w) (2.1) Ở đó L là một toán tử Fredholm (hoặc Volterra) trên [a,b] (a,b hữu hạn) và g(x, w) với x ∈ [a, b] là hàm ngẫu nhiên bậc hai mà thỏa mãn điều kiện liên tục bình phương: 1 E{|g(x, w)|2} ⋖ ∞ ∀x ∈ [a, b] 2 lim E{|g(x + h, w) − g(x, w)|2} = 0 h→∞ 2.1.2 ∀x ∈ [a, b] Nghiệm của phương trình tích. .. + w(t, ω) khi đó phương trình (3.2) tương đương với phương trình Volterra ngẫu nhiên phi tuyến t x(t, ω) − f (r, x(r, ω), ω)dr = w(t, ω) 0 21 (3.3) 3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên Định lý 3.1 Giả sử (i) ψ(x, t) thỏa mãn (3.28) x1 (t, ω) ∈ M2 , x2 (t, ω) ∈ M2 trong đó x1 (t, ω) x2(t, ω) (ii) K(t) là hàm Lp thỏa mãn (3.29) và (3.30) Để Y (t, ω) là hàm ngẫu nhiên có độ đo tùy... sử (rn) là dãy biến ngẫu nhiên Rademakher Xác định toán tử tuyến tính liên tục ngẫu nhiên A từ lp vào lp bởi: Ax(ω) = ∞ rn(ω)(x, en)en n=1 Vì ||rn (ω)(x, en)en ||p = ||x||p < ∞ nên chuỗi này hội tụ với mọi ω ∈ Ω Theo định lý (1.23) ta có A bị chặn Tuy nhiên: ∞ n=1 q ||Aen (ω)|| = ∞ n=1 13 ||rn (ω)en ||q = ∞ Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FREDHOLM VÀ VOLTERRA 2.1 Phương trình Fredholm và Volterra... phân loại trên như nghiệm của hàm hiệp phương sai, sự liên tục bình phương trung bình của nghiệm Đặc biệt, chúng ta đã đưa ra được ví dụ cụ thể của loại tích phân này là phương trình tích phân Volterra với đầu vào Wiener Tiếp theo, chúng ta đã xét được sự tồn tại, tính duy nhất, tính đo được của nghiệm phương trình Fredholm khi hạch K(x,y,w) là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian các hàm... trình Fredholm (2.1) trên [a, b]×Ω 2.1.3 Nghiệm của hàm hiệp phương sai: Để Rf (x1, x2) = E{f (x1, w)f (x2, w)} x1, x2 ∈ [a, b] (2.3) là hàm hiệp phương sai của nghiệm f (x, w) của phương trình tích phân ngẫu nhiên (2.2) Thiết lập sự tồn tại của Rf (x1, x2 ), chúng ta biểu diễn E{|f (x, w)|2} ∞, ∀x ∈ [a, b] nghĩa là f (x, w) là hàm ngẫu nhiên bậc hai Dưới đây từ bất đẳng thức Holder: b | a b 2 Γ(x,... nếu nó Lp tại mọi điểm s ∈ T 1.3 1.3.1 Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính Toán tử ngẫu nhiên tuyến tính liên tục Định nghĩa 1.2 Cho E là không gian metric khả ly và Y là không gian Banach khả ly Một ánh xạ Φ : Ω × E → Y được gọi là một toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y nếu với mỗi x ∈ E, Φ(ω, x) là một biến ngẫu nhiên Y giá trị Định nghĩa 1.3 Cho Φ là toán tử ngẫu nhiên từ E vào Y 1 Φ được gọi là liên tục tại