Ví dụ (Đề thi Đại học khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Giải Phân tích: Do B1C // (A1BD) nên nên thay việc tính d ( B1 , ( A1BD ) ) ta tính d ( C , ( A1 BD ) ) * Gọi O giao điểm AC B1 C1 ⊥ ( ABCD ) BD ⇒ AO Gọi E trung điểm AD A1 D1 ⇒ OE ⊥ AD & A1 E ⊥ AD ⇒ ·A1 EO = 600 a AO = OE.tan ·A1EO = B S ABCD = a Vlt = AO S ABCD = C K O 3a H A D E * Tính d ( B1 ; ( A1 BD ) ) : Cách 1: Do B1C // (A1BD) ⇒ d ( B1 ; ( A1BD ) ) = d ( C ; ( A1BD ) ) Hạ CH ⊥ BD ⇒ CH ⊥ ( A1BD ) ⇒ d ( C ; ( A1 BD ) ) = CH = Cách 2: d ( B1 ; ( A1BD ) ) = d ( C ; ( A1BD ) ) = d ( A; ( A1BD ) ) = 3VA ABD S A BD Trong đó: VA ABD 1 a3 = Vlt = CB.CD CB + CD 2 = a S ∆A BD 1 a a2 = AO BD = × ×2a = 2 2 a3 3× a ⇒ d ( B1 ; ( A1BD ) ) = = a Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a Tính khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) Giải Cách 1: Vì (AB’D’)//(C’BD) nên d ( ( AB ' D '),(C ' BD) ) = d ( A,( AB ' D ') ) Gọi O giao điểm AC BD Trong mặt phẳng (ACC’A’), kẻ AH ⊥ C’O  (C ' BD) ⊥ ( ACC ' A ')  Ta có:  (C ' BD) ∩ ( ACC ' A ') = C ' O ⇒ AH ⊥ (C ' BD ) ⇒ d ( A,(C ' BD)) = AH  AH ⊂ ( ACC ' A '), AH ⊥ C ' O  + Tính AH:  a2   SVAOC ' = a =  ⇒ AH = OC ' a 3 a 2 a 3 OC ' = OC + CC '2 =  ÷ +a = 2    SVAOC ' = 1 a2 S ACC ' A ' = a.a = 4 Vậy d ( ( AB ' D '),(C ' BD) ) = a Cách 2: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O ≡ A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) B(a;0;0) ; B ' (a;0; a ) ; C (a; a;0) ; C ' (a; a; a) ; D(0; a;0) ; D' (0; a; a ) Tính d ( ( AB' D' ), (C ' BD) ) Ta có : ( AB' D' ) : x + y − z = (C ' BD) : x + y − z − a = ⇒ d ( ( AB ' D '),(C ' BD ) ) = d ( A,(C ' BD ) ) = ⇒ ( AB' D' ) // (C ' BD) a Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Giải Cách 1: Vì AC = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm nên tam giác ABC vuông A Do tứ diện ABCD vuông A Vậy gọi H hình chiếu vuông góc A mp(BCD) d ( A,( BCD ) ) = AH AH = AB + AC Vậy d ( A,( BCD ) ) = + AD = + + = 17 34 ⇒ AH = 72 17 34 17 Cách 2: ∆ABC có : AB + AC = BC = 25 nên vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O ≡ A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) x y z Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD): + + = ⇔ x + y + z − 12 = Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng d ( A, ( BCD) ) = − 12 16 + + = 12 34 = 17 34 Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Giải Cách 1:  MP / / AD  Ta có:  ;  MP = AD  NC / / AD    NC = AD nên tứ giác MNCP hình bình hành ⇒ MN / / ( SAC ) Do hình chóp S.ABCD  BO ⊥ SO ⇒ ⇒ BO ⊥ ( SAC )  BO ⊥ AC 1 a ⇒ d ( MN ; AC ) = d ( N ; ( SAC ) ) = d ( B; ( SAC ) ) = BO = BD = 2 4 Cách 2: Gọi O tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: O(0;0;0) ; S ( 0;0; h ) ;  a  a  ;0;0 ÷ ;0;0 ; C  ÷ ÷  ÷D     A  −  a   a   0;  ; B  0;− ; ;0     2     Toạ độ trung điểm P SA P  a  a a  h ; 0; ÷ ;− ;h÷ ; E  −  − ÷ ÷ 2      a a h a a  ;− ; ÷ ;− ;0 ÷ N  ÷ ÷ 2    M  − uuuur uuur  ah  uuuur  a h ;0 ÷ ; ÷ Ta có  MN , AC  =  0; − , AM =  0; − ÷ 2÷     uuuur uuur uuuur a h ≠ nên MN AC chéo Vì  MN , AC  AM = uuuur uuur uuuur [ MN , AC ] AM d ( MN , AC ) = = uuuur uuur [ MN , AC ] a2h a = 2 a h Cách 3:  → →  → →  → Đặt : OA = a, OB = b, OS = c → → → → S E → → → Ta có : a c = 0, b c = 0, a b = M uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur MN = MA + AC + CN = SD + AC + CB 2 P c A D a = uuur uuur uuur uuur uuur SO + OD + AC + CO + OB 2 ( ) ( ) B b O N C 3r 1r =− a− c 2  → → AC = −2 a Gọi PQ đoạn vuông góc chung MN AC , ta có: uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur PQ = PM + MA + AQ = xMN + SD + y AO r 1r r r   r r r r = x  − a − c ÷+ −c − b − ya = −  y + x ÷a − ( x + 1) c − b  2  2   ( ) r2  r2 3  uuur uuuur y + x a + x + a =  x = −1 ( ) ÷  PQ ×MN =     ⇒ ⇒  uuur uuur r 2  y + x  a =  y =  PQ ×AC = ÷    uuur 1r a2 a 2 ⇒ PQ = − b ⇒ PQ = OB = ⇔ PQ = Ví dụ ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 ) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C Giải Cách 1: Gọi E trung điểm BB’ Khi (AME)//B’C nên d ( AM , B ' C ) = d ( B ' C ,( AME )) = d (C ,( AME )) = d ( B,( AME )) Gọi h khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi vuông góc nên: h = BA Do h = + BM + BE = a + a + a = a2 a a Vậy d ( AM , B ' C ) = 7 Cách 2: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau: B (0;0;0) ; A ( 0; a;0 ) ; C ( a;0;0 ) ; B’ ( 0;0; a ) ; M  a2 ;0;0 ÷ uuuur  a  uuuur AM =  ; − a;0 ÷ ; B ' C = a;0; −a ; 2  ( ) uuuur uuuur uuuur  a2  AB ' = 0; − a; a ,  AM , B ' C  =  a 2; ;a ÷   ( ) uuuur uuuur uuuur a Vì  AM , B ' C  AB ' = nên AM B’C chéo a3 uuuur uuuur uuuur  AM , B ' C  AB ' a   d ( AM , B ' C ) = = = uuuur uuuur  AM , B ' C  2a + a + a   Ví dụ (Đề thi đại học khối D năm 2007) · Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang ·ABC = BAD = 900 , BA = BC = a , AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD) Giải uuur r uuur r uuur r Cách 1: Đặt AB = a; AD = b; AS = c r r r r r r Ta có: a ×c = 0; b ×c = 0; a ×b = uur r r uuur r r r uuur r r SB = a − c; SC = a + b − c; SD = b − c Gọi N chân đường vuông góc hạ từ H lên mặt phẳng (SCD) S N E H K A Q D P B C ⇒ d ( H ;( SCD)) = HN M SH = SB uuur uuur uuur uur uuur uuur HN = HS + SN = − SB + xSC + ySD Khi : Dễ dàng tính 2r  x  =  x − ÷a +  + 3  2 r  r y ÷b +  − x − y ÷c  3   r2  x   r2   r2 uuur uuur x − ÷a +  + y ÷b −  − x − y ÷c =  x =    HN ×SC =  3 2  3   ⇒ ⇒ Ta có:  uuur uuur  HN ×SD =  x + y  br2 −  − x − y  cr2 = y = −1 ÷  ÷    3  uuur r r r  r r r a ⇒ HN = a + b + c ⇒ HN = a + b + c÷ = 12 6   Cách 2: Gọi d1 , d khoảng cách từ điểm H B đến mp(SCD), ta có: d1 SH 2 3V 2V = = ⇔ d1 = d = × BSCD = BSCD d SB 3 S∆SCD S ∆SCD Trong VBSCD 1 1 a3 = SA ×S∆BCD = SA ×S ∆BID = SA × AB ×ID = 3 3 CD ⊥ AC ⇒ CD ⊥ SC CD ⊥ SA Ta có:  1 a ⇒ S ∆SCD = SC ×CD = SA2 + AB + BC × CE + ED = a 2 ⇒ d1 = 2 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh bằng Gọi M là trung điểm của BC, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A′MD ) Giải Cách 1: Gọi K là hình chiếu của A MD ⇒ AK ⊥ MD (1) Gọi H là hình chiếu của A A′K ⇒ AH ⊥ A′K (2) Có AA′ ⊥ ( ABCD ) ⇒ AA′ ⊥ MD (3) Từ (1) và (3) ⇒ MD ⊥ ( AA′K ) ⇒ MD ⊥ AH (4) Từ (2) và (4) ⇒ AH ⊥ ( A′MD ) ⇒ d ( A, ( A′MD ) ) = AH Xét ∆AMB vuông tại B ⇒ AM = AB + BM = + = Xét ∆CMD vuông tại C ⇒ DM = + = +1 Chu vi tam giác AMD là p = + ⇒ p = Áp dụng S∆AMD = công thức Hê-rông p ( p − AM ) ( p − MD ) ( p − AD ) = ta có diện tích tam giác 1 2S = AK MD ⇒ AK = ∆AMD = = MD 5 Xét tam giác vuông A′AK có 1 = + = + = ⇒ AH = = 2 AH AA′ AK 4 Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A′MD ) là d ( A, ( A′MD ) ) = AH = Cách 2: Chọn hệ tọa độ hình vẽ, có A ( 0; 0; ) , B ( 1; 0; ) , D ( 0; 1; ) , A′ ( 0; 0; 1) , M ( 1; 1; ) là +1  +1  +1   +1  − − − 1÷  ÷ ÷ ÷=  2 ÷ ÷   2 Mặt khác ta có: S ∆AMD AMD Kéo dài DM cắt AB tại E , MB // AD và MB = MC ⇒ BA = BE ⇒ E ( 2;0;0 ) Phương trình mặt phẳng ( A′DE ) theo đoạn chắn là: x y z + + = ⇔ x + y + 2z − = 1 Ta có: M ∈ ED ⇒ M ∈ ( A′ED ) ⇒ ( A′MD ) ≡ ( A′ED ) ⇒ d ( A, ( A′MD ) ) = d ( A, ( A′ED ) ) = −2 1+ + = Vậy khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( A′MD ) bằng BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng · (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, góc BAD = 600 Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng SB AD Bài Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc OA = OB = OC = Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN Bài (Đề thi Đại học khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’,I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC) Bài (Đề thi Đại học khối A năm 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác · vuông A, ABC = 300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Bài (Đề thi Đại học khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tính khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) V= a3 d(A, SCD)= a Bài (Đề thi Đại học khối D năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với · · đáy, BAD = 1200 , M trung điểm cạnh BC SMA = 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) V= = a3 d(D, (SBC))= d(A, (SBC))= 1a a SM = 2= 2 Bài 10 (Đề thi Đại học khối D năm 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, ∆ A’AC vuông cân, A’C = a Tính  a3  V a) ABB ' C '  = ÷ 48    a 6 ÷   b) d ( A,( BCD '))  = Bài 11 (Đề thi Đại học khối A năm 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, h.c.v.g S lên (ABC) điểm H thuộc AB cho HA = 2HB, góc SC (ABC) 600 Tính a) VS ABC  a3  = ÷ 12   a 42 b) d ( SA, BC ) ( = )