GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS MT S NGUYấN TC C BN KHI GII BAI TON TRấN MY TNH BT Nu trờn thi khụng cú chỳ thớch gỡ thờm , kt qu bi toỏn phi ghi y tt c cỏc ch s cú trờn mn hỡnh MTBT Tuyt i khụng ghi kt qu trung gian giy nhỏp v sau ú ghi li kt qu y vo mỏy quỏ trỡnh tớnh toỏn , iu y lm kt qu cui cựng b sai lch Gii quyt iu ny bng cỏch lu kt qu trung gian b nh ca mỏy , v tớnh liờn tc cho n kt qu cui cựng Nu thi ch yờu cu ghi kt qu bi toỏn , quỏ trỡnh gii HS cú th dng tt c cỏc kin thc m giỏo viờn trang b , tt nhiờn ú cú c cỏc kin thc thuc chng trỡnh THPT Nu thi yờu cu trỡnh by li gii , phn trỡnh by ch cn tt , ngn gn nhng quan trng l : phi dựng kin thc bc THCS gii quyt bi toỏn Khi yờu cu trỡnh by qui trỡnh bm phớm , HS s dng mỏy tớnh loi no (CASIO FX 500 MS- CASIO FX 570 MS CASIO FX 570 ES CASIO FX 500 VN PLUS ) phi ghi rừ qui trỡnh ny ỏp dng cho dũng mỏy tớnh no Kt qu bi toỏn khụng c ghi di dng a 10 n (kt qu l mt s cú nhiu hn 12 ch s )m phi ghi chớnh xỏc s ch s ca kt qu GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS PHN I : NHNG BI TP RẩN LUYN K NNG TNH TON Bi (19862 1992).(19862 + 3972 3).1987 1983.1985.1988.1989 (34, 06 33,81).4 : (0,2 0,1) + B= 26 : + : 2,5.(0,8 + 1,2) 6,84 : (28, 57 25,15) 21 A= 1 + + 3+ 4+ 4+ 5+ D= 7+ + 5+ 7+ 3+ 5+ 21 8+ ; + 7+ E= 6+ 2+ 5+ 4+ 3+ 4+ 3+ 5+ 6+ 7+ 3 + 21 ữ : ữ + ữ 11 F= 8 11 12 + ữ + ữ: ữ 13 12 15 Bi Tớnh M= 7x y 6x3 y + 5x y 4xy 9x y 7x3 y3 + 5x y cho x = 1,432 v y = 0,321 2,3x y3 z 3,2x3 y3 z3 + 5x y z N= cho x = 2, 123 , y = v z = 3,7x3 y + 7,3y z2 10x z 12 P(x, y) = 3x y3 - 4x y + 3x y - 7x x y3 + x y + x y + vi x = 1,23456 ; y = 3,121235 Bi 3: Tớnh A = Tớnh B = Tớnh C = 25(10 x)2 + 42(9 x)2 + 14(8 x)2 + 15(7 x)2 + 4(6 x)2 cho x = 8,69 100 17(3 x)3 + 18(4 x)3 + 19(5 x)3 9x3 + 5x 7x + 9+ 8+ 7+ 6+ 5+ 4+ cho x = 1,987 8x + 5x + 2x + x 19 + 17 + 15 + 13 11 + 12 + 13 + 14 ,D= 1+ + + + + + Tớnh E = cho x = 55,555 16x + 13x + 10x + x GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS Tớnh F = 291945 + 831910 + 2631931 + 322010 + 1981945 Bi a) Bit sin = 0,3456 ,tớnh A = cos3 (1 + sin ) + tg (cos3 + sin ).cot g b) Cho sin3x = 0,978 (x l gúc nhn) Tớnh B = cos2 x 7sin x + 5tg x cot g5 x + cos3 3x sin 2x c) Cho tang x = 2,74 5sin x + cos2 x Tớnh C = tg x + 2(cos2 x + sin x) d) Cho cos x =0,569 Tớnh D = sin x cos3 x tg3 x : ữ ữ 2 sin x + cos x cos x + sin x e) Tớnh E vi = 25 30 ' , = 57 30 ' E = [(1 + tg )(1 + cot g 2) + (1 sin )(1 cos )] (1 sin )(1 cos ) f) Cho bit cotang3x = 0,1234 Tớnh giỏ tr biu thc sau : F = g) Bit cos = 0,5678 Tớnh H = sin (1 + cos3 ) + cos (1 + sin ) (1 + tg 3)(1 + cot g 3) + cos h) bit tg =tg350.tg360tg370 tg520.tg530 , tớnh I = i) M = a) tg 2(1 + cos ) + cot g (1 + sin ) (sin + cos3 )(1 + sin + cos ) ' sin 33o12' + sin 56o 48.sin 33o12' - sin 56o 48' 2sin 33o12' + sin 56o 48' +1 Bi : Gii cỏc phng trỡnh sau 5+ sin3 x + cos4 x - - sin x tg2 2x + cot g3 2x 3+ 2x 4+ = 5+ 6+ 7x 4+ 2+ b) 1+ 2x 2+ 3+ 5x 4+ =1 5+ 6+ 1 1 10 (24 15 ) (3 1,75) 14 (49 : x 14 : ).7 45 11 11 3 = = 45 c) d) 271 17 59 37 19 154 49 (x ).4 + 13547 : (1 + +2 ) 282 11 18 70 42 30 x + =0 2+ 2+ 1 2005 + 6+ 2006 + 3+ e) 2007 + 1+ 2008 + 9+ 2009 + 3+ 1+ GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS Bi 6: Tớnh kt qu ỳng ca cỏc tớch sau : a) M = 2222255555 ì 2222266666 b) N = 20032003 ì 20042004 c) P = 13032006 ì 13032007 d) Q = 3333355555 ì 3333377777 e) R= 3333344444 ì 3333366666 f) I = 26031931ì26032010 g) J= 2632655555 ì 2632699999 h) 13579873 i) 123456782 Bi : Tớnh 20 99x + + + a) A = vi x = 15; y = ữ: 5x 5 + 5x x x y xy 2 2 x x y y x+y b) B = Khi x = v y = 2,25 ữ x x + xy xy xy + y x + xy + y a a 4(a + 2) a + + + c) C = ữ: ữ (a 0,a 16) a = 2007 + 2008 + 2009 a 16 a ữ a +4 ữ a +4 x +x x +2 : d) D = ữ ữ ữ x = 2009 + 2010 + 2011 x ữ x x x + x +1 e) E= 1 1+ - xữ x 1 1 1+ xữ xữ x x Vi x = 1,15795836 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS PHN II : TNG SAI PHN HU HN Nguyờn tc chung gii bi toỏn tng sai phõn hu hn : nờn xột s hng tng quỏt v tỡm cỏch phõn tớch chỳng cho hp lý trit tiờu hoc n gin Trong mt s trng hp , ta cú th dựng chc nng tớnh tng ca dũng mỏy CASIO fx 570 ES , nhiờn thi gian x lý ca mỏy khỏ lõu Dng : Cỏc s hng ca tng cú dng phõn s , ú mu l cỏc tớch cú qui lut v t l hng s Cỏch gii chung : Xột s hng tng quỏt v tỡm cỏch phõn tớch chỳng hp lý trit tiờu Tớnh cỏc tng sau 1 1 + + + + + a) 1.2 2.3 3.4 998.999 999.1000 1 1 + + + + + b) 2.4 4.6 6.8 996.998 998.1000 1 1 + + + + + c) 3.5 5.7 7.9 997.999 999.1001 1 1 + + + + + d) 3.5.7 5.7.9 7.9.11 993.995.997 995.997.999 1 1 + + + + e) 1.2.3.4.5 2.3.4.5.6 3.4.5.6.7 996.997.998.999.1000 Dng 2: Tng ca cỏc tớch cú qui lut Tớnh cỏc tng sau : a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 ++999.1000 b) 1.3 + 3.5 + 5.7 + 7.9 +.+ 99.101 c) 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 997.998.999 d) 2.4.6 + 4.6.8 + 6.8.10 + + 96.98.100 e) 1.4 + 4.7 + 7.10 + + 301 304 f) 2.4.6.8 + 4.6.8.10 + 6.8.10.12 +.+ 100 102 104 106 Phng phỏp: Bin i s hng tng quỏt uk v dng uk = ak ak-1 Vớ d : Tớnh tng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n+1)(n+2) Uk = k(k +1)(k+2) cũn ak = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) S = u1 + u2 + + un = (a1 a0) + (a2 a1) + +(an- an-1) = an a0 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Dng 3: Tng bỡnh phng , lp phng cỏc s t nhiờn liờn tip : Tớnh cỏc tng sau a) A = 12 + 22 + 32 ++ n2 n(n + 1)(2n + 1) Cụng thc : A = b) B = 13 + 23 + 33 + +n3 n(n + 1) Cụng thc : B = ữ Trờn õy l cỏc dng bi kinh in v tng sai phõn hu hn thng gp Thc t i thi cú rt nhiu bi rt khú ũi hi phi t cú chiu sõu v nhy bộn thụng qua quỏ trỡnh rốn luyn v tip thu cỏc kin thc c bn v tng hu hn GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS Bi 1: Tớnh cỏc tng sau : (bi luyn thi vũng quc gia nm 2010) A = + 12 + 36 + 80 + 150 + + 1343100 B = + + 25 + + 4004001 C = + 27 + 125 + + 1030301 D = 12 + 42 + 72 + + 87025 E = 22 + 52 + 82 + + 355216 Hng dn A : Tng ca bớnh phng v lp phng cỏc s t nhiờn liờn tip 4n n B : Tng bỡnh phng ca cỏc s t nhiờn l liờn tip tớnh bi cụng thc C : Tng lp phng ca cỏc s t nhiờn l liờn tip tớnh bi cụng thc n2(2n2 1) n(6n 3n 1) D : S hng tng quỏt dng un = (3 n- 2)2 , dựng cụng thc D = 2 n(6n + 3n 1) E : S hng tng quỏt dng un = (3 n- 1)2 , dựng cụng thc E = Bi : Tớnh tng 1 1 1 B= + + + + + + + + + 2 2009 20102 õy l bi thng xuyờn c rốn luyn cỏc nm va qua thng s cui cựng cho n nm hin ti , mt iu may mn l k thi QG ngy 19/3/2010 ca em Nguyn Mnh Cm , bi ny c cho li v ỳng ti s 1 Hng dn : Tớnh + ữ k k Bi 3: Tớnh tng ( thi QG ln 10 ) 1 1 A= + + + + 1+ 3+ 5+ 2009 + 2011 Bi 4: thi Casio Tnh Lõm ng nm 2009 Tớnh tng (biu din di dng phõn s) 3 + + + + + + ( 12 + 1) ( 12 + 1) ( 22 + ) ( 22 + ) ( 2009 + 2009 ) ( 20092 + 2009 ) Bi 5:Tớnh tng ( thi casio Huyn n dng nm hc 2008-2009) 1 + + + K= +1 + 2009 2008 + 2008 2009 Bi 6: Tớnh tng 1 1 1 + + + + + + S= vi n = n + n + 3n + n + 5n + n + 7n + 12 n + 9n + 20 n + 19n + 90 Bi 7: Ký hiu a n = n l s t nhiờn gn nht ca n Tớnh tng A= + + + + 2010 Bi 8: : Ký hiu [ x ] l phn nguyờn ca x (s nguyờn ln nht khụng vt quỏ x) Tớnh tng B = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + + 2007.2008.2009.2010 Bi 9: : Cho tng Cn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ++ n( n+ 1)(n + 2) a) Tớnh C2010 b) Chng minh rng 4Cn + l mt s chớnh phng GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS 2010 Tớnh S = f(1) + f(2) + .+ f(2010) x2 + x a1 = 19,157 Bi 11 : Cho dóy s a k = a k + 0, 25 (2 k 1000) 1 + + + Tớnh tng S = ( thi ca Thanh húa) a1 + a a + a3 a 999 + a1000 Bi 13 : Tớnh tng S = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + .+ 9998.10000 + Sn Bi 14: Cho Sn = vi n N, n 3.Sn Tớnh tng S = S1 + S2 + S3 + + S2010 + S2011 Bi 15: Cho Sn = -2 +3 + + .+ (1)n.n Tớnh tng S = S2007 + S2008 + S2009 + S2010 Bi 16 : Cho hỡnh vuụng th nht cnh a , ni trung im cỏc cnh hỡnh vuụng th nht ta c hỡnh vuụng h hai , ni trung im hỡnh vuụng th hai ta c hỡnh vuụng th .tip tc nh th cho n hỡnh vuụng th n a) Lp cụng thc tớnh tng Tn = S1 + S2 + S3 + .+Sn vi Sn l din tớch hỡnh vuụng th n b) Tớnh tng S ca 50 hỡnh vuụng u tiờn vi a = 18 2010 1442443 Bi 17 : Cho S = +11 +111 + 1111 +.+ 1111111111 Bi 10 : Cho hm s f(x) = n cs a) Tớnh tng S theo n b) Tớnh S n = , n = , n = 12 Bi 18: Cho f(x) = Tớnh S = f(1) + f(2) + .+f(2010) x + 3x + Bi 19 : Tớnh tng + + + 27 + .+ 14348907 Kin thc b sung cho bi 17 v 18 v 19 Hng ng thc an bn = (a b)(an-1+ an-2b + an-3 b2 + + a2bn -3 + abn-2 + bn -1 ) 201 + + + + Bi 20: Tớnh tng M = 1.4 4.9 9.16 10000.10201 2 2k + (k + 1) k = HD : 2 k (k + 1) k (k + 1) 9801 + + + + Bi 21: Tớnh tng 1.3 3.5 5.7 197.199 Bi 22 : Tỡm s t nhiờn n bit : 1 1 2999 + + + + = a) 1.2 2.3 3.4 n(n +1) 3000 1 1 502 + + + + b) = 2.4 4.6 6.8 2n(2n + 2) 2009 c) + 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + = 38, 475 2 3 4 (n - 1) n ỡù U + U5 = 29 Bi 23: Cho Un+1 = Un + d (nN*) tha : ùớ Tớnh tng S = U1 +U2 +U3 + + U100 ùùợ U - U = Bi 24: Cho f(1) = , f(m + n) = f(m) + f(n) +mn (m,n nguyờn dng) Tớnh f(10) ; f(2010) HD : f(n) = f(n +1) = f(n -1) + f(1) + n -1 = f(n 1) + n GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS PHN III : a thc v cỏc bi toỏn v a thc I KIN THC CN VN DNG TRONG CC BI TON A THC : nh lý Bezout : D phộp chia a thc f(x) cho nh thc x a l f(a) H qu : Nu f(a) = , a thc f(x) chia ht cho nh thc x a ổ - bử ữ ữ D phộp chia a thc f(x) cho (ax + b) l f ỗ ỗ ữ ỗ ốa ứ Nu a thc P(x) = anxn + an-1xn-1 +.+a1x + a0 ( n N) cú n nghim x1 , x2 xn thỡ a thc P(x) phõn tớch c thnh nhõn t : P(x) = a(x x1)(x x2) .(x xn-1)(x xn) II CC DNG TON V A THC : Bi : Tỡm m a thc f(x) = 4x4 5x3 + m2 x2 mx 80 chia ht cho x Gii : t g(x) = 4x4 5x3 80 ta cú f(x) = g(x) +mx2 mx f(x) (x ) f(2) = hay g(2) +4m2 x = Ta cú g(2) = 56 f(2) = 4m2 2m = 56 4m2 2x 56 = Gii phng trỡnh n m , ta c m1 = v m2 = 3,5 Ngha l hai a thc f1(x) = 4x4 5x3 + 16 x2 8x 80 v f2(x) = 4x4 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x 80 u chia ht cho x Bi tng t : Cho a thc f(x) = x5 3x4 +5 x3 m2x2 + mx + 861 Tỡm m f(x) (x + 3) KQ : m1 = ; m =- Bi 2: Tỡm a v b cho hai a thc f(x) = 4x3 3x2 + 2x + 2a + 3b v g(x) = 5x 4x + 3x 2x 3a + 2b Gii: cựng chia ht cho (x 3) f(x) , v g(x) cựng chia ht cho (x 3) v ch f(3) = g(3) = t A(x) = 4x3 3x2 + 2x v B(x) = 5x4 4x3 + 3x2 2x Ta cú f(x) = A(x) + 2a + 3b g(x)=B(x) 3a +2b f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b f(3) = 2a + 3b = 87 g(3) = B(3) 3a + 2b = 3183a +2b g(3) = 3a +2b = 318 ùỡ 2a + 3b =- 87 Ta cú h phng trỡnh : ùớù ùợ - 3a + 2b =- 318 Vo MODE EQN gi chng trỡnh gii h phng trỡnh bc nht hai n ta c nghim ( x = 60 ; y = 69) hay a = 60 , b = 69 Bi tng t : Tỡm m v n hai a thc P(x) v Q (x) cựng chia ht cho (x +4 ) P(x) = 4x4 3x3 + 2x2 x +2m 3n Q(x) = 5x5 7x4 + 9x3 11x2 + 13x 3m + 2n (m = 4128,8 ; n = 2335,2) Bi : Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t : 105x2 + 514x 304 Nu khụng cú s h tr ca MTBT thỡ vic phõn tớch a thc trờn thnh nhõn t l bi toỏn khú Gii: n MODE MODE U Nhp a = 105 , b = 514 , c = 304 Tỡm c nghim ca a thc trờn : x1 = 8 38 , x =15 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS Vy a thc 105x2 + 514x 304 c phõn tớch thnh ổ 8ử ổ 38 ổ 8ử ổ 38 ữ ữ ỗ ỗ 105 ỗ xx+ ữ = 15.7 ỗ xx+ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ= (15x - 8)(7x + 38) ỗ 15 ứỗ ỗ 15 ứố ỗ ố ố ố 7ứ 7ứ Bi tng t : Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t a) 65x2 + 4122x +61093 b) 299 x2 2004x + 3337 c) 156x3 413 x2 504 x+ 1265 Bi : Cho a thc x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Bit f(0) = , f(1) = , f(2) = , f(3) = ; f(4) = Tớnh f(100) Gii : Rừ rng nu ta th 0,1,2,3,4, ch xỏc nh h s t , vic cũn li l gii h phng trỡnh bc nht n m mỏy CASIO khụng th gii quyt c Gii bng tay thỡ rt vt v Bi toỏn ny cú th gii quyt nh sau : Xột a thc ph k(x) = x2 4x + Ta cú : k(0) = ; k(1) = ; k(2) = ; k(3) = ; k(4) = t g(x) = f(x) k(x) Ta cú : g(0) = f(0) k(0) = g(1) = f(1) k(1) = g(2) = f(2) k(2) = g(3) = f(3) k(3) = g(4) = f(4) k(4) = T ú suy 0,1,2,3,4 l nghim ca g(x) Mt khỏc g(x) l a thc bc (Cựng bc vi f(x) vỡ k(x) l bc m g(x) = f(x) k(x) ) v cú h s cao nht l l T ú suy g(x) phõn tớch c thnh nhõn t : g(x) = (x 0)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) m g(x) = f(x) k(x) f(x) = g(x) + k(x) Vy f(x) = x (x 1)(x 2)(x 3)(x 4) +x2 4x + f(100) = 9034512001 Vn õy l lm tỡm c a thc ph k(x) ? Ta gi s k(x) = ax2 + bx + c v cho gỏn cho k(x) nhn cỏc giỏ tr k(1) = k(2) = , k(3) = (nhn giỏ tr ca f(x) ó cho) ỡù a + b + c =- ùù ta cú h phng trỡnh : ùớù 4a + 2b + c =- ùù 9a + 3b + c =- ùợ nhp cỏc h s vo mỏy tỡm c nghim a = , b = , c = k(x) = x2 4x + Th tip thy k(0) = v k(4) = Vy k(x) = x2 4x + l a thc ph cn tỡm Tt nhin th k(0) hoc k(4) thỡ buc phi tỡm cỏch gii khỏc Bi tng t : a) Cho a thc P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e Bit P(1) = ; P(2) = ; P(3) = ; P(4) = 16 ; P(5) = 25 Tớnh cỏc giỏ tr ca P(6) ; P(7) , P(8) , P(9) b) Cho a thc Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q v bit Q(1) = , Q(2) = , Q(3) = Q(4) =11 Tớnh cỏc giỏ tr Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13) c) Cho a thc f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Bit f(1) = ; f(2) = ; f(3) = ; f(4) = ; f(5) = 11 Hóy tớnh f(15) f(16) f(18,25) d) Cho a thc f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e Bit f(1) = f(2) = f(3) = f(4) 13 f(5) = 21 Tớnh f(34,567) Bi 5: GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Bit P(1) = , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tớnh P(15) Gii : Xột a thc ph Q(x) = 3x + Ta cú Q(1) = ; Q(2) = 11 ; Q(3) = 14 ; Q(4) = 17 t k(x) = P(x) Q(x) Ta cú k(1) = k(2) = k(3) = k(4) = hay k(x) cú nghim l , , , Li bỡnh : Ti õy , lm nh bi thỡ trt lt bi vỡ k(x) phi l a thc bc m ta mi ch tỡm c cú nghim !! Bi toỏn ny quỏ hay ! a thc k(x) phi cú h s cao nht l h s cao nht ca f(x) nờn k(x) c phõn tớch thnh nhõn t nh sau k(x) = (x + J) (x 1)(x 2) (x 3) (x 4) Vn cũn li l tỡm s J nh th no ? Tip tc : Vỡ k(x) = P(x) Q(x) P(x) = k(x) + Q(x) Hay P(x) = (x + J) (x 1)(x 2) (x 3) (x 4) + 3x + H s t ca P(x) l J.(1)(2).(3).(4) + = 132005 hay 24J = 132000 J = 132000:24 = 5500 Vy P(x) = (x + 5500)(x 1) (x 2) (x 3) (x 4) + 3x + P(15) = 132492410 Bi tng t : Cho a thc f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 115197 Bit f(1) = , f(2) = 1, f(3) = , f(4) = Tớnh f(12) (KQ : 38206101) Bi 6: Cho f(2x 3) = x3 + 3x2 4x + a) Xỏc nh f(x) b) Tớnh f(2,33) Gii: t +3 ổt + ổt + ổt + ữ ữ ữ ỗ f(t) = ỗ + - 4ỗ +5 ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ứ ố ứ ố ứ ố a) t t = 2x x = ổx + ử3 ổx + ổx + ữ ữ - 4ỗ +5 ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ứ ứ ố ữ f(x) = ỗ + 3ỗ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ố ứ ố b)f(2,33) Qui trỡnh n phớm : ( 2.33 + 3) shift STO A alpha A x + alpha A x - alpha A + = KQ : 34,57410463 Bi Cho a thc P(x) = 13 82 32 x x + x x + x 630 21 30 63 35 a) Tớnh f(4) , f(3) , f(2) , f(1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4) b) Chng minh rng vi mi x Z thỡ P(x) nhn giỏ tr nguyờn Gii : a) Cõu a tht l gi ý gii cõu b D dng tớnh c f(4) = f(3) = f(2) = f(1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = b) Suy ,3 , ,1 , , , 2, , l nghim ca ca P(x) P(x) c phõn tớch thnh nhõn t nh sau : P(x) = (x 4)(x 3) (x (x 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + ) 630 Vi x Z thỡ (x 4)(x 3) (x (x 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + ) l s nguyờn liờn tip 10 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS Un+1 = (5+ 7)an (5 7)bn ( U n +2 = + ) ( an ) bn = (32 + 10 7)an (50 10 7)b n = (50 + 10 7)an (50 10 7)b n 18(a n b n ) = 10(5 + 7)an 10(5 7)b n 18(a n b n ) = 10 (5 + 7)an (5 7)b n 18(a n b n ) = 10U n +1 18U n (Phn ny cú nhiu cỏch chng minh khỏc nhau) c ) Vit qui trỡnh n phớm : Cú nhiu cỏch vit qui trỡnh n phớm cho nờn nờn tựy theo hc sinh s dng dũng mỏy no , giỏo viờn hng dn hc sinh cỏch n phớm theo dũng mỏy ú Tuy nhiờn cỏch bm phớm liờn tc trờn mỏy CASIO fx 570 MS (nu ES thỡ nh phớm Calc) kt hp vi b m l ngn gn v hiờn i nht Bi 2: n n 3+ + vi n = ,1 ,2 ,3 Cho dóy s U n = ữ ữ ữ ữ a) Tớnh s hng u U0 ,U1 , U2 , U , U4 b) Lp cụng thc truy hi tớnh Un+1 theo Un v Un1 c) Lp qui trỡnh n phớm liờn tc tớnh Un+1 trờn mỏy tớnh CASIO Bi : 2n 2n ổ + 1ử ổ - 1ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ +ỗ Cho dóy s Un = ỗ Vi n = 1,2,3 ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ ỗ ỗ ứ ố ứ a) Tớnh U1 , U2 U5 b) Thit lp cụng thc truy hi tớnh Un +2 theo Un+1 v Un c) Vit qui trỡnh n phớm liờn tc trờn mỏy tớnh CASIO FX 500MS tớnh Un+2 theo Un v Un Bi 4: Cho U1 = ; U2 = ; Un+1 = 4Un + Un1 Tớnh U10 Bi 5: Cho dóy s xỏc nh bi cụng thc x n +1 = 4x 2n + x 2n + nN , n a) Bit x1 = 0,25 Vit qui trỡnh n phớm liờn tc tớnh c cỏc giỏ tr ca xn b) Tớnh x100 Gii : a) Ta cú : x n +1 = 4x 2n + x +1 n = 4x 2n + x +1 n + 1 =4+ x +1 xn + n Khai bỏo x1 = 0, 25 (t ng gỏn vo vo ụ nh Ans ) n tip + ( ữ ( Ans x2 + ) = v bm = liờn tc b) Sau ln bm phớm = c kt qu x7 = x8 = x9 = 4,057269071 (dóy dng ) Kt lun x100 = 4,057269071 Bi 6: Cho dóy s xn+1 = 34n + 10 x 4n + Tớnh x ; x100 bit x1 = 1,25 Bi 7: a) Cho dóy s sau : x1 = ; x = + ; x3 = + + x n = + + Tớnh x50 44 4 43 n lan b) Cho dóy s : x1 = ; x = + ; x = + + x n = + + Tớnh x100 44 4 43 n lan 24 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS c) Cho dóy s x1 = ; x2 = + ; x = + + Vit cụng thc tng quỏt tớnh xn+1 Tớnh x10 ; x50 2005 (n ẻ N*) Tỡm s hng nh nht ca dóy n2 n n 2005 n n 2005 2005 Gii : U n = + + 3 = 3 ( Bt ng thc Cauchy cho s khụng õm) 2 2 n n n n 2005 2005 Un 3 Du = xy = = hay n3 = 2005.2 n = 4010 ; 15,887 2 n Bi 8: Cho dóy s U n = n + Vy n cú th bng 15 hoc 16 Kim tra vi n = 14 , n = 15 , n = 16 , n =17 (Vỡ cú kh nng dóy ang gim ri li tnglờn ) Vi n = 14 Un 24,22959184 Vi n = 15 Un 23,91111111 Vi n = 16 , Un 23,83203125 Vi n = 17 , Un 23, 93771626 Vy U16 l s hng nh nht cn tỡm n ổ ổ - 15 ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ Bi 9: Cho dóy s Un c xỏc nh bi cụng thc {Un} = ỗ ữ ữỗ ỗ ữỗ ữ ỗ ố - 2ứ ố 10 ứ n ổ ổ- + 15 ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ + 2ứ ữố ữ ỗ 10 ố ứ Hóy thit lp cụng thc truy hi Tớnh Un+2 theo Un+1 v Un Vit qui trỡnh n phớm liờn tc tớnh U15 Bi 10: Cho phng trỡnh bc hai x2 6x + = Gi x1 x2 l hai nghim ca phng trỡnh n n t Un = x1 + x Hóy thit lp cụng thc truy hi tớnh Un+2 theo Un+1 v Un ỡù U1 = 0, 20092010 ùù U n- Bi 11: Cho dóy s Un xỏc nh bi cụng thc : ùù U n = 1- U n- ùùợ Tớnh U2010 chớnh xỏc vi 13 ch s thp phõn 11 Bi 12: Cho dóy s Un xỏc nh bi cụng thc Un = 2n - 2n - Xỏc lp cụng thc truy hi tớnh Un+2 theo Un+1 v Un Bi 13: Cho dóy s sp th t U1 ; U2 ; U3 Un-1 ; Un ; Un+1 Bit U5 = 588 , U6 = 1084 v cụng thc truy hi Un+1 = 3Un 2Un-1 Tớnh U1 ; U2 : U3 ; U4 v U20 Bi 14: Cho dóy s Un xỏc nh bi cụng thc truy hi Un+1 = 5Un Un-1 Bit U5 = 407 ; U6 = 1857 Tớnh U1 ; U2 ;U15 ; U16 Bi 15: Cho dóy s : U = n ( ) ( n 9- 11 - 9+ 11 ) n vi n = 0; 1; 2; 3; 11 a Tớnh s hng U0; U1; U2; U3 ; U4 b Trỡnh by cỏch tỡm cụng thc truy hi Un+2 theo Un+1 v Un c Vit quy trỡnh n phớm liờn tc tớnh Un+2 theo Un+1 v Un T ú tớnh U5 v U10 ( thi gii Toỏn trờn mỏy tớnh cm tay cp Quc gia ln th 10 nm 2010- cp THCS) Bi 16: Cho dóy s Un , bit U1 = , U2 = v cụng thc truy hi Un+2 = 6Un+1 7Un Xỏc nh cụng thc tng quỏt ca s hng th n Bi 17: Cho dóy s Un c xỏc nh bi cụng thc truy hi : Un+1 = 7Un-1 6Un - (n 3, n N ) 25 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS Bit U1 = , U2 = 14 , U3 = 18 a Lp qui trỡnh bm phớm tớnh Un b, Tỡm cụng thc tng quỏt ca dóy s Un c Chng minh rng vi mi s nguyờn t p thỡ Up chia ht cho p Kin thc b sung : nh lý nh Fermat Nu p l mt s nguyờn t, thỡ vi s nguyờn a bt k , ap a s chia ht cho p Ngha l : ap a (mod p) 26 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS PHN VII : TON KINH T Vi khỏi nim : Khi ta cú tin khụng s dng n , ta cú th gi ngõn hng sinh lói Cú hai cỏch tớnh lói : Lói n : Lói c tớnh theo t l phn trm mt khong thi gian c nh trc Lói kộp: Sau mt n v thi gian (thỏng , nm) lói c gp vo v tớnh lói Bi toỏn 1: Mt ngi gi vo ngõn hng a ng sau n thỏng vi lói sut hng thỏng l r Ngi y rỳt ly ton b s tin c gc ln lói Gi T l s tin lónh , tớnh T theo a,r,n (bit rng mi thỏng khụng ly lói ra) Lý lun i n cụng thc : + S tin ngi y sau thỏng l a + a.r = a( 1+ r) + S tin ngi y sau thỏng l a( + r) + [a ( + r)].r = a (1 + r) ( + r) = a (1 + r)2 + S tin ngi y sau thỏng l a (1 + r)2 + [a (1 + r)2] r = a(1 + r)2 (1 + r) = a(1 + r)3 Sau qui np khụng hon ton ta cú cụng thc T = a(1 + r) n Bi toỏn 2: Mt ngi hng thỏng gi tit kim vo ngõn hng a ng vi lói sut l r mt thỏng Bit rng ngi ú khụng rỳt lói Lp cụng thc tớnh s tin T ca ngi ú nhn c cui thỏng th n Lý lun i n cụng thc + Cui thỏng th nht , s tin ti khon ca ngi ú l a + ar = a(1 +r) + Hng thng gi a ng nờn u thỏng th hai , s tin ti khon l a a [(1 + r) - 1] = [(1 + r) - 1] a(1 +r) + a = a [(1 + r) +1 ] = 1+ r - r + S tin cui thỏng th hai l : ổ a a [(1 + r) - 1] +ỗ [(1 + r) - 1]ữ ữ ỗ ữr ỗ ốr ứ r a a = [(1 + r) - 1](1 + r) = [(1 + r)3 - (1 + r)] r r + S tin u thỏng th ca ngi ú l a a a [(1 + r)3 - (1 + r)] + a = [(1 + r)3 - (1 + r) + r] = [(1 + r)3 - 1] r r r + S tin cui thỏng th ca ngi ú l a a [(1 + r)3 - 1] + [(1 + r)3 - 1].r r r a a [(1 + r)3 - 1](1 + r) = [(1 + r) - (1 + r) = r r + Tng t , s tin ca ngi ú u thỏng th n l a [(1 + r) n - 1] r v s tin cui thỏng th n ca ngi ú rỳt l a n T = [(1 + r) - 1] (1+ r) r a Hay T = [(1 + r)n +1 - (1 + r) r 27 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS A CC BI TP V TON KINH T Bi : Anh Lnh H Xung trỳng s c c 250 000 000 ng , sau khi trớch 20% s tin chiờu ói bn bố v lm vic thin , anh gi s tin cũn li vo ngõn hng vi lói sut 0,2 % / thỏng D kin 10 nm sau anh rỳt c ln lói cho gỏi anh vo i hc Hi lỳc ny anh Xung rỳt c bao nhiờu tin ? Bi : Bn gi 1000 USD vi lói sut n c nh theo nm Sau nm , s tin l 1330 USD Hi lói sut tit kim l bao nhiờu ? Bi : Gi s ngõn hng tớnh lói kộp Hóy tớnh lói sut tit kim nu sau nm bn nhn c s tin l 1330 USD ( vi vụn ban u l 1000 USD) Bi : Bn gi ngõn hng 10 triu ng ( VN) vi lói sut hng thỏng l 0,8% , sau 12 thỏng bn lónh ton b s tin c gc ln lói v em i thnh USD du lch nc ngoi Hi tỳi bn cú c bao nhiờu USD (bit USD = 18 495 VN) Bi 5: Mt ngi hng thỏng gi vo ngõn hng mt s tin l 1000 000 ng vi lói suỏt 0,8% / thỏng Bit rng ngi ú khụng rỳt tin lói Sau 12 thỏng ngi y rỳt c ln lói v i mua vng Hi ngi y mua c bao nhiờu ch vng bit giỏ vng l 2134 000 / ch Bi 6: a Mt ngi gi tit kim 250.000.000 (ng) loi k hn thỏng vo ngõn hng vi lói sut 10,45% mt nm Hi sau 10 nm thỏng , ngi ú nhn c bao nhiờu tin c ln lói Bit rng ngi ú khụng rỳt lói tt c cỏc nh k trc ú b Nu vi s tin cõu a, ngi ú gi tit kim theo loi k hn thỏng vi lói sut 10,5% mt nm thỡ sau 10 nm thỏng s nhn c bao nhiờu tin c ln lói Bit rng ngi ú khụng rỳt lói tt c cỏc nh k trc v nu rỳt tin trc thi hn thỡ ngõn hng tr lói sut theo loi khụng k hn l 0,015% mt ngy ( thỏng tớnh bng 30 ngy ) c Mt ngi hng thỏng gi tit kim 10.000.000 (ng) vo ngõn hng vi lói sut 0,84% mt thỏng Hi sau nm , ngi ú nhn c bao nhiờu tin c ln lói Bit rng ngi ú khụng rỳt lói ( thi gii Toỏn trờn mỏy tớnh cm tay cp Quc gia ln th 10 nm 2010- cp THCS) Bi : Bn vay 5000 USD t ngõn hng mua xe, lói sut l 1.2% / thỏng Nu mi thỏng bn phi mt s tin bng thỡ mi thỏng phi tr bao nhiờu tin nu bn mun tr vũng nm ? B TON V TNG TRNG DN S Bi : Dõn s xó Hu Lc hin l 10000 ngi Ngi ta d oỏn sau nm na dõn s xó Hu Lc l 10404 ngi a) Hi trung bỡnh mi nm dõn s xó Hu Lc tng bao nhiờu phn trm ? b) Vi t l tng dõn s hng nm nh vy , hi sau 10 nm dõn s xó Hu Lc l bao nhiờu ngi ? Bi 2: Dõn s nc l 65 triu , mc tng dõn s l 1,2 % mi nm Tớnh s dõn nc y sau 15 nm Bi : Dõn s mt nc n vo nm 1986 l 55 triu ngi , mc tng dõn s l 2,2 % mi nm Tớnh dõn s nc y vo nm 1996 28 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS PHN VIII : NHNG BI TON LIấN QUAN N HM S V TH Bi 1: Trờn mt phng ta Oxy cho im A(2 ; 2) , B(3 ; ) , C(4 ; 3) a) Tớnh chu vi , din tớch tam giỏc ABC B; C b) S o cỏc gúc A; c) Tỡm ta trng tõm ca tam giỏc ABC Bi : Cho ng thng : (d1) : y = 2x ; (d2) : y = 3x +2 ; (d3) : y = x + ụi mt ct ti im A, B,C Gi G l trng tõm ca tam giỏc ABC Tớnh din tớch tam giỏc GBC f( x) = 2x-3 h( x) = -3x+2 B q ( x) = -x+6 d2 d1 d3 C -5 10 A -2 Bi : Cho hai ng thng (d1) y = -2,45x + 5,5 v (d2): y = 3,75x + 5,5 tớnh gúc nhn to bi hai ng thng trờn Bi 4: f( x) = 1.2x+3.4 g ( x) = 0.43x+5.24 -10 -5 -2 Cho hai ng thng y = 1,2x + 3,4 v y = 0,43x + 5,24 a) Tớnh gúc nhn to bi hai ng thng trờn b) Gi l gc to bi ng thng d2 v trc Ox Tớnh giỏ tr biu thc sau :A = 29 cos3 a + 3sin b tg5a - + cot g b GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS Bi 5: ( thi gii toỏn trờn MTBT Quc gia nm 2007) Cho hai hm s y = x + (1) v y = x + (2) 5 a) V th ca hai hm s trờn mt phng ta Oxy b) Tỡm ta ca giao im A( x A , y A ) ca hai th ( kt qu di dng phõn s hoc hn s ) c) Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC , ú B , C th t l giao im ca th hm s (1) v th hm s hai vi trc honh ( ly nguyờn kt qu trờn mỏy ) d) Vit phng trỡnh ng thng l phõn giỏc ca gúc BAC ( H s gúc ly kt qu vi hai ch s phn thp phõn ) Bi 6: Cho Parabol (P) : y = ax2 bx +c Xỏc nh a,,b,c Parabol (P) i qua cỏc im 13 2551 199 A 2; ữ, B ; ữ, C ; ữ 48 15 Bi 7: Cho ng thng (d1) : 3x + 2y = 14 , (d2):x + y = v (d3) : x 6y = 18 ụi mt ct Cho Gi A l giao im ca d1 v d2 , B l giao d2 v d3 v C l giao im d3v d1 K trung tuyờn AM v phõn giỏc AD ca tam giỏc ABC Tớnh din tớch tam giỏc ADM Bi 8: Cho ng thng (d) : -6x + 8y =2 (d) : 7x 3y = 23 v (d) : -x 5y = 13 ụi mt ct ti im Tỡm ta trc tõm ca tam giỏc to bi im trờn (chớnh xỏc vi ch s thp phõn) Bi : Cho ng thng 3x 5y = 14 ; 4x+9y = v 7x 4y = 30 ụi mt ct ti im H ,I , V Trong ú im H nm gúc phn t th II , I nm gúc phn t th nht v V nm gúc phn th th IV Tỡm ta trng tõm ca tam giỏc HIV Bi 10: Cho ng thng (d) : y = 4x ct trc Ox v Oy ln lt ti A v B a) Gi a l gúc to bi ng thng vi trc Ox , tớnh s o ca a b) Phõn giỏc gúc AOB ct AB ti I Tớnh IA , IB +1 5 Bi 11 Cho hai ng thng: ( d1 ) y = x+ (d ) : y = x 2 2 1) Tớnh gúc to bi cỏc ng thng trờn vi trc ox (chớnh xỏc n giõy) 2) Tỡm giao im ca hai ng thng trờn (tớnh ta giao im chớnh xỏc n ch s sau du phy) Tớnh gúc nhn to bi hai ng thng trờn (chớnh xỏc n giõy) ( QG nm 2008) 18 Bi 12 : Cho ba hm s y = x - (1) , y = x (2) v y = x + (3) 29 a) V th ca ba hm s trờn mt phng ta ca Oxy b) Tỡm ta giao im A(xA, yA) ca hai th hm s (1) v (2); giao im B(x B, yB) ca hai th hm s (2) v (3); giao im C(xC, yC) ca hai th hm s (1) v (3) (kt qu di dng phõn s hoc hn s) c) Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC (ly nguyờn kt qu trờn mỏy) d) Vit phng trỡnh ng thng l phõn giỏc ca gúc BAC (h s gúc ly kt qu vi hai ch s phn thp phõn) ( thi tnh TT-Hu 2008) 30 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS PHN Ix : HèNH HC PHNG V lý thuyt , ngoi cỏc cụng thc c bn ca cp THCS t sỏch giỏo khoa , gii quyt tt cỏc toỏn Hỡnh hc gii trờn mỏy tớnh CASIO , giỏo viờn trang b thờm mt s cụng thc thuc cp THCS I MT S CễNG THC TNH DIN TCH TAM GIC Ngoi cụng thc S = ah a Ta cũn cú cỏc cụng thc sau : S = p(p a)(p b)(p b) (p l na chu vi ca tam giỏc-cụng thc Heron) A c B b a 1 absin C = acsin B = bcsin A 2 abc S= (R l bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc) 4R S= C S = pr (r l bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc) II NH Lí SIN V COSIN TRONG TAM GIC a b c = = = 2R (nh lý sin) sin A sibB sin C a2 = b2 + c2 2bc.cosA (nh lý cos) b2 = a2 + c2 2ac cosB c2 = b2 + a2 ba cosC (Hc sinh suy cỏc h qu t nh lý trờn quỏ trỡnh dng vo gii bi tp) III CễNG THC TNH DI NG PHN GIC TRONG TAM GIC AD = bcp(p a) b+c Tuy nhiờn , ng phõn giỏc ca tam giỏc cng cú phng phỏp dựgn kin thc cp THCS chng minh vi mt ng hng khỏc : AD = AB.AC - DB.DC Chng minh : ã ã Trờn tia AD ly im E cho AEC = ABC Ta cú DA.DE = DB.DC DA.AE = AB.AC DA.AE DA.DE = AB.AC DB.DC AD (AE DE ) = AB.AC DB DC AD2 = AB.AC DB DC 31 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS IV : CễNG THC TNH DI NG TRUNG TUYN TRONG TAM GIC Ký hiu ma , mb , mc ln lt l di cỏc trung tuyn ng vi cnh BC , CA , AB ca tam giỏc ABC Ta cú cỏc cụng thc sau b2 + c2 a 2 a + c2 b2 a + b c2 m a2 = ; mb = ; mc = 4 chng mỡnh cỏc cụng thc trờn , dựng kin thc lp 10 chng minh rt on gin Tựy nhiờn nu dựng kin thc cp THCS chng minh tng i khú Cỏch 1: (Gii s tam giỏc ABC nhn v AB < AC) AB2 + AC2 BC 2 Cn chng minh : AM = Ta cú AB2 +AC2 = AH2 +BH2 +AH2 +HC2 = 2AH2 + (BM HM)2 + (CM +HM)2 = 2AH2 + BM2 2BM.HM + HM2 + MC2 + 2MC.HM + HM2 BC Do MB = MC = BC BC Nờn AB2 +AC2 = 2AH2 +2 HM2 + 2MB2 = 2( AH2 + HM2 ) + = AM2 + 2 2 AB + AC BC AM = Cỏch : AB2 + AC2 BC2 Chng minh AM = + AM2 = AH2 + HM2 = AH2 + BM2 BH2 = (AH+BH) (AH BH) + BM2 = AB.(AH BH ) +BM2 BC = AB( AB BH BH ) +BM2 = AB(AB 2BH) + BM2 = AB2 + 2AB.BH (1) + Tng t BC AM2 = AC2 + - 2AC CK (2) + Cng (1) v (2) BC2 2AM2 = AB2 + AC2 + 2( AB BH + AC.CK) AB2 + AC2 BC2 AM2 = + (AB.BH + AC.CK) BC (cn chng minh AB.BH+ AC.CK = ) 2 32 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS + K AL BC Ta cú : BL + LC = BC BL BL = ABcosB AB LC LC = AC.cosC Tam giỏc ACL vuụng nờn cosC = AC BH CK BC BC = ABcosB + ACcosC = AB + AC m BM = MC = BM MC AB.BH+AC.CK BC = BC BC BC AB.BH+AC.CK = BC = 2 Tam giỏc ABL vuụng nờn cosB = BI TP: (Tng hp khụng phõn loi ) Bi 1: Cho ABC ABC theo t s 1,3 Bit ABC cú din tớch l 112 m2 Tớnh din tớch ABC Bi 2: Tam giỏc ABC cú din tớch S= 27,3529 m2 ng dng vi tam giỏc ABC cú din tớch AH v ghi di dng phõn s ti gin A'H' ã ã Bi 3: Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) Bit DAC , AB = 4,93cm DC = 7,89 cm = ABC S= 15,38600625 m2 Tớnh t s hai ng cao Tớnh di ng chộo AC Bi 4: Cho hỡnh thang cõn cú ng chộo vuụng gúc vi ỏy nh di 13,724 cm , cnh bờn di 21,867 Tớnh din tớch S ca hỡnh thang ó cho Gii A B AB2 = IA + IB2 2 AB + CD = 2AD CD2 = ID2 + IC2 CD = I 2AD AB 2 2 AB + CD AB + CD AB + 2AD AB S= ìh= = ữ 2 ữ ữ D C Vi AB = 13,724 ; AD = 21,867 Bi 5: Cho ABC vuụng ti A Bit AC = 12,5543 cm v trung tuyn AI = 9,7786 cm Dng ng cao AH Gi M , N ln lt l trung im ca AH , BH Gi K l giao im ca NM v AC Tớnh cỏc ã ã ã gúc : ABC (bng n v o ) v on thng AK (bng cm) ; ACB ; NAK Cho ABC vuụng gúc A , Tớnh cỏc gúc B , C v ng cao AH Bit AB = 4,0312 cm , BC = 8,0151 cm = 590 48'16.53 C = 30 011' 43.47 , AH = 3,48422708cm) (B = 1200 AB = 6,25cm , Bc = 12,5cm ng phõn giỏc ca gúc B ct AC ti D Bi 6: Tam giỏc ABC cú B a) Tớnh di on thng BD b) Tớnh t s din tớch ca cỏc tam giỏc ABD v ABC c) Tớnh din tớch tam giỏc ABD [S : a) BD 4,166666667 ; b) 1/3 ; c) SABD= 11,27637245 ] Bi 7: Cho hỡnh ch nht ABCD , qua nh B v ng vuụng gúc vi ng chộo AC Gi E , F, G th t t l trung im ca cỏc on thng AH , BH , CD a) Chng minh EFCG l hỡnh bỡnh hnh b) Gúc BEG l gúc nhn , gúc vuụng hay gúc tự ? ã c) Cho bit BH = 17,25 cm BAC = 38040 Tớnh din tớch hỡnh ch nht ABCD d) Tớnh di ng chộo AC ? Bi : Cho ABC vuụng gúc A , Tớnh cỏc gúc B , C v ng cao AH Bit AB = 4,0312 cm , 33 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS BC = 8,0151 cm =C = 1v) cú AB = 12,35 cm , BC = 10,55cm , ADC ã Bi : Cho hỡnh thang vuụng ABCD (B = 570 a) Tớnh chu vi hinh thang ABCD b) Tớnh din tớch hỡnh thang ABCD c) Tớnh cỏc gúc cũn li ca ADC Bi 10: Mt hỡnh thang cõn ABCD cú hai ng chộo vuụng gúc vi Cho bit ỏy nh AB = 13,72 cm , cnh bờn AD = 21,87 dm Hóy tớnh DC , AC , gúc DBC v din tớch hỡnh thang Bi 11 :Cho tam giỏc u ABC cú cnh l a M l mt im nm tam giỏc Gi MH1 , MH2 , MH3 l khong cỏch t im M n cỏc cnh ca tam giỏc a) Chng minh tng cỏc khong cỏch t M n cnh l mt hng s b) Cho a = 4,358 cm Tớnh MH1 + MH2 + MH3 Bi 12: Cho ABC , t im D thuc cnh BC k cỏc ng thng song song vi cỏc cnh ca tam giac tao thnh hai tam giỏc nh cú din tớch 6,25 cm2 v 12,4609 cm2 Tớnh din tớch ABC Bi 13 : Cho hỡnh vuụng ABCD v mt im M nm trờn cnh BC Gi N l giao im ca hai ng thng AM v DC Cho bit AM = 3,14 cm AN = 7,12 cm Tớnh din tớch hỡnh vuụng Bi 14 Cho t giỏc ABCD cú hai ng chộo vuụng gúc vi Bit AB = 8, 33 cm , BC = 7, 49 cm , DA = 4, 55 cm Tớnh di on thng CD Bi 15 Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) cú ng chộo BD hp vi tia BC mt gúc bng gúc DAB Bit rng AB = a = 12,5 cm DC = b = 28,5cm a) Tớnh di x ca ng chộo BD (chớnh xỏc n 0,01 ) b) Tớnh t s phn trm gia din tớch ca tam giỏc ABD (SABD) v din tớch tam giỏc BCD (SBCD) (chớnh xỏc n 0,01) Bi 16 : Cho tam giỏc ABC vuụng A , vi AB = a = 14,25 cm , AC = b = 23,5 cm AM , AD theo th t l cỏc ng trung tuyn v phõn giỏc ca tam giỏc ABC a) Tớnh di cỏc on thng BD v CD b) Tớnh din tớch tam giỏc ADM ã Bi 17:Cho tam giỏc ABC cú AB = 7,3456 cm , BC = 9,4753 cm v ABC = 380 37'36" Gi G l trng tõm ca tam giỏc Tớnh din tớch tam giỏc GBC Bi 18: Cho tam giỏc ABC , Gi G l giao im trung tuyn AD v CE Bit rng AD = 5,8518 cm ã ã ACE = 450 53' ; DAC = 22 33' Tớnh din tớch tam giỏc ABC Bi 19 : Cho tam giỏc ABC cú AB = 8,93 AC = 9,57 BC = 13 , 456 Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ? = 240 39' C = 430 42' Tớnh din tớch v chu vi ca tam giỏc Bi 20: Cho tam giỏc ABC cú BC = 17,89 B Bi 21: Cho ABC cú AB = 15,72 AC = 21,81cm BC = 25, 63cm Trung tuyn AD v phõn giỏc AE a) Tớnh SABC v s o cỏc gúc A,B,C b) Tớnh SADE c) Tớnh di ng phõn giỏc AE Bi 22: Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB=20,345 cm v AD=15,567 cm Gi O l giao im hai ng chộo ca hỡnh ch nht K AH vuụng gúc vi DB; kộo di AH ct CD E a Tớnh OH v AE b Tớnh din tớch t giỏc OHEC Bi 23 : Cho tam giỏc ABC cú AB = 10 , AC = 12 , SABC = 30 (vdt) Phõn giỏc ca ABC v phõn giỏc ca ã gúc ACB ct ti I Tớnh BIC ã Bi 24: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú hai ng chộo AC v BD ct ti O v DOA = 1500 Bit AC = 5,23 cm BD = 6,39 cm Tớnh din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD Bi 25: Cho tam giỏc ABC cú AB = 4,53; AC = 7,48, gúc A = 73o a) Tớnh cỏc chiu cao BB v CC gn ỳng vi ch s thp phõn b)Tớnh din tớch ca tam giỏc ABC gn ỳng vi ch s thp phõn c) S o gúc B (, phỳt,giõy) ca tam giỏc ABC d) Tớnh chiu cao AA gn ỳng vi ch s thp phõn Bi 26: Mt hỡnh thoi cú din tớch l 24 cm2 , hiu di hai ng chộo l cm Tớnh ln ca cỏc gúc 34 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS hỡnh thoi Bi 27: Cho hỡnh ch nht ABCD im M nm hỡnh ch nht cú MA =1930,MB=1945,MC=2009 Tớnh MD? Bi 28 :Cho ng giỏc u ABCDE cú di cnh bng 1, gi I l giao im ca ng chộo AD v BE ( ly chớnh xỏc n ch s thp phõn) a) Tớnh AD b) Tớnh din tớch ABCDE c) Tớnh IB, IC Bi 29: Tam giỏc ABC vuụng A cú AB = c = 23,82001 cm; AC = b = 29,1945 cm Gi G l trng tõm tam giỏc ABC, A`, B`, C` l hỡnh chiu ca G xung cỏc cnh BC, AC, AB Gi S v S` l din tớch tam giỏc ABC v A`B`C` S' Tớnh t s v tớnh S` S Bi 30: Cho lc giỏc u ABCDEF Bit di BE = 3,12345 cm Tớnh din tớch a giỏc BCDEF Bi 31: Cho hai ng trũn (O; R) v (O; R) ct ti A v B Tớnh din tớch phn chung ca hai hỡnh trũn bit R = 1996 , R = 2010 v d = OO = 70 Bi 32:Vit cụng thc tớnh din tớch S ca hỡnh thang bit dai ng chộo l1 v l2 v on thng d ni trung im hai cnh ỏy (cho phộp dung cụng thc Heron tớnh din tớch tam giỏc) p dng bng s : l1 = 302,1930 m , l2 = 503 , 2005 m , d = 304,1975 m ( d b Gii toỏn trờn mỏy tinh cm tay cp Quc gia nm 2005) Bi 33: Cho hỡnh vuụng ABCD, ly cỏc im M,N,P,Q cho cỏc tam giỏc ABM , BCN,CDP, PAQ l cỏc tam giỏc u Bit hỡnh vuụng ABCD din tớch + cm2, tớnh din tớch a giỏc KLMN Bi 34: Cho tamgiỏc ABC cú di cỏc cnh AB = 13,25 AC = 17,875 v BC = 24,375 I l mt im bt k nm tam giỏc Gi M,N,P theo th t l trung im ca IA,IB,IC Tớnh chu vi v din tớch tam giỏc MNP Bi 35: Cho ng trũn (O ; 3,6) v (O ; 2,8) ct ti A v B , bit OO = 5,22 a) Tớnh di dõy chung AB ã ã ã b) Tớnh cỏc gúc AOB, BO'A,OAO' Bi 36: Cho hai ng trũn (O,R ) v (Or) tip xỳc ngoi ti A BC l tip tuyn chung ngoi ca hai ng trũn trờn ,(B(O) v C(O) Gi O l ng trũn tip xỳc ngoi vi ng trũn (O) v (O) ng thi tip xỳc vi vi ng thng BC ti K a- Tớnh BC theo R v r b- Cho R= , r = , tớnh r Bi 37: Cho hai ng trũn (O ; 3,82) v (O ; 2,68 ) ct ti A v B (O,O nm trỏi phớa vi dõy chungAB) bit di dõy chung AB = 4,588 K ng kớnh AOC v AOD ca hai ng trũn a) Chng minh im C,B,D thng hng v tớnh di on CD b) Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ACD Bi 38: Cho ng trũn (O,R) v dõy AB ca ng trũn ng kớnh CD (D nm trờn cung nh AB) i qua trung im I ca AB Bit R = 4,52 , AB = 6,7574 a)Tớnh IC , ID chớnh xỏc n 0,00001 tg + cos ã b)Cho ACD Tớnh giỏ tr biu thc M = = (cot g12 ).(tg10 ) Bi 39: Cho ng trũn tõm (O,4 ) A l im nm trờn ng trũn v AA l mt dõy vuụng gúc vi ã ng kớnh BC Cho BCA = 31036' , tớnh di dõy AA Bi 40: Tam giỏc ABC cú cnh AC = b = 3,85 cm ; AB = c = 3,25cm v ng cao AH = h = 2,75 cm a) Tớnh cỏc gúc A , B ,C v cnh BC ca tam giỏc b) Tớnh di ca trung tuyn AM ( M thuc BC) c) Tớnh din tớch tam giỏc AHM 35 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS Bi 41: Cho ng trũn ng kớnh AB = 2R, M v N l hai im nm trờn ng trũn cho: ằ Gi H l hỡnh chiu ca N trờn AB v P l giao im ca AM vi HN Cho R = 6,25 cm ẳ = MN ẳ = NB AM ã a) Tớnh: MBP b) Cho hỡnh v quay mt vũng xung quanh trc BM Tớnh din tớch xung quanh v th tớch hỡnh tam giỏc MBP to thnh (chớnh xỏc n ch s sau du phy) ( QG 2008) AE = Bi 42: Cho tam giỏc u ABC ni tip ng trũn (O ; 2010cm) trờn AC ly im E cho EC Tia BE ct ng trũn ti D Gi F l giao im ca hai ng thng AD v BC Tớnh di BF (Bi ny liờn quan n chng Gúc vi ng trũn ch luyn thi thi vũng QG) Bi 43: Cho ng trũn (O ; R) Mt hỡnh vuụng v mt tam giỏc u ni tip ng trũn cho mt cnh ca hỡnh vuụng song song vi mt cnh ca tam giỏc Tớnh din tớch phn chung ca hỡnh vuụng v tam giỏc ( tớnh theo R sau ú cho R nhn giỏ tr tựy ý v dựng mỏy bm ly kt qu ) Bi 44: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AB = m , BC = 2AB Bờn ngoi tam giỏc dng cỏc hỡnh vuụng CDEB , tam giỏc u ABF v tam giỏc u ACG Tớnh din tớch t giỏc GDEF theo m Bi 45: Cho tam giỏc nhon ABC cú AB =c v AC = b Cỏc ng cao BD v CE ct ti H a) Chng minh BH.BD +CH.CE = BC2 = 600 Tớnh BH.BD +CH.CE b) Cho b = 6,60668 v c = 8,60616 A (Bi ny liờn quan n chng Gúc vi ng trũn ch luyn thi thi vũng QG) Bi 46: Cho ng trũn tõm (O ,R) -hai bỏn kớnh OA , OB vuụng gúc vi ã Trờn cung AB ly im A cho AOA ' = 300 K bỏn kớnh OB vuụng gúc vi OA Lp cụng thc tớnh din tớch phn chung ca hai tam giỏc AOB v AOB p dng bng s : Cho R = 2011 (Bi ny li t bi s d b nm 2005 thi Casio cp QG) Bi 47: Hỡnh trng khuyt Hypocrat Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = c v AC = b V ng trũn ng kinh BC (ABC ni tip ng trũn ng kớnh BC ) , ngoi tam giỏc v hai na ng trũn ng kớnh AB v AC Tớnh din tớch hai hỡnh li lim Bi 48: Cho tam giỏc ABC cõn ti A , I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc Bit IA = m = 3,7159 v IB = n = 2,6593 Tớnh chớnh xỏc vi ch s thp phõn : a) di cnh AB b) Din tớch tam giỏc ABC Bi 49: Cho a giỏc u 12 cnh A1A2A12 ni tip ng trũn (O,R) M l im nm trờn ng trũn Tớnh tng S = MA12 + MA22 + + MA122 p dng bng s : Cho R = 19,96 (Bi 47-48-49 li t quyn Mt s phỏt trin Hỡnh hc ca tỏc gi V Hu Bỡnh) =C = 1v ) cú hai ng chộo vuụng gúc vi Bi 50: Cho hỡnh thang vuụng ABCD ( B Bit AD = a = 9,5895 , BC = b = 6,9194 Tớnh di AB v din tớch hỡnh thang ABCD (Bi ny ng sỏng tỏc vo 18h ngy 7/3/2010 lỳc vc vc phn mm Cabri ) Bi 51: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú hai trung tuyn BD v AE vuụgn gúcvi Bit AB = 2010 Tớnh BC ( thi Casio Huyn D nm 2008) Bi 52:Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD) v AC BD Bit BD = 36,27 cm v ng cao hỡnh thang bng 27,36 cm Tớnh din tớch hỡnh thang( thi Casio Huyn D nm 2009) Bi 53 Tỡm t giỏc cú din tớch ln nht ni tip ng trũn ( O , R) c nh ( trỡnh by c cỏch gii) Tớnh chu vi v din tớch t giỏc ú bit R = 5, 2358( m) ( thi QG -2010) 36 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS PHN x: HèNH HC khụng gian S Bi Cho Hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD ã Bit ASC = 840 42 ' , AC = 12, 546 cm Tớnh Sxq , Stp , V ca hỡnh chúp D A Bi : Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD Bit ng cao SO = 6,786 cm , Gúc gia cnh bờn SA v ng chộo AC l 42018 Tớnh Th tớch v din tớch xung quanh H S O C B C B H O A D Bi : Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC bit SA = SB = SC = 7,689 cm Gúc to bi cnh bờn SA v trung tuyn AF bng 53024 Tớnh din tớch xung quanh v th tớch hỡnh chúp S B G A O F H Bi 4: Cho t din S.ABC cú cỏc mt l cỏc tam giỏc u cnh a Tớnh th tớch t din theo a Cho a = 14 + Bi 5: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cỏc cnh bờn v cnh ỏy bng v bng a Tớnh th tớch hỡnh chúp theo a p dng : cho a = 18,5792 Bi 6: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cỏc cnh bờn v cnh ỏy bng Bit trung on l d , tớnh th tớch hỡnh chúp theo d p dng : d = 18 Bi 7: Khi sn xut v lon sa hỡnh tr , cỏc nh sn xut thit k luụn t mc tiờu cho chi phớ nguyờn liu lm v lon ớt nht (Stp nh nht) Tớnh gn ỳng din tớch ton phn ca lon mun cú th tớch lon l dm3 Khi ú bỏn kớnh ỏy bng bao nhiờu Bi 8: Cho hỡnh ch nht ABCD cha va khớt ng trũn nú ( hỡnh v) , bit bỏn kớnh ng ca ng trũn bng 20 cm a Tớnh din tớch phn hỡnh phng nm ngoi cỏc hỡnh trũn hỡnh v b Cho hỡnh ch nht ABCD quay mt vũng xung quanh trc l ng thng i qua tõm ca cỏc ng trũn Tớnh th tớch vt th c to nờn bi phn hỡnh tỡm c cõu a ( thi QG -2010) Bi : Cho tam giỏc ABC vuụng tai A ng cao AH Bit AB = 30 cm HC = 32 cm Quay tam giỏc vũng quanh BC , tớnh th tớch hỡnh to thnh C 37 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP GII TON TRấN MY TNH BT- CP THCS LI KT Tp ti liu ny ban u d kin lờn n 100 trang A4 Nhng gi chút cú nhiu vic riờng t nờn khỳc sau son tho rt s si , ch yu l tng hp cỏc bi ging dy bi dng cỏc nm va qua Trong ti liu cú s dng nhiu ngun khỏc : - Cỏc thi cỏc cp cỏc nm hc trc - Trang web http://casiovn.com - Cỏc sỏch ca cỏc tỏc gi T Duy Phng V Hu Bỡnh - Ti liu tham kho ca mt s ng nghip ly t th vin thi (Violet) Trong qua trỡnh son tho cũn sút rt nhiu li chớnh t , ti liu s c chnh sa b sung thi gian ti Rt mong c s gúp ý ca quớ v ng nghip sau ny chnh sa li ti liu hon chnh hn Thc hin : LM NGUYấN THAO Trng THPT Lc Nghip on Dng Lõm ng Tel : 0982849402 Email : lamnguyenthao@gmail.com 38 GV : LM NGUYấN THAO TRNG THPT LC NGHIP [...]... THCS PHẦN V : PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH – bất phương trình – Máy tính Casio fx 500 MS 570 MS 500ES 570 EScó chức năng giải phương trình bậc hai , bậc ba , hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn – Máy tính VinaCal 570 MS còn có chức năng giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn 4 phương trình – Máy Casio 500 VN PLUS còn có chức năng giải bất phương trình bậc 2 – bậc 3 - Các... giải nó cần tới chức năng giải bất phương trình bậc 2 của máy tính Casio 500VN Plus nên được đưa vào phần Phương trinh – Bất phương trình 17 GV : LÂM NGUN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS PHẦN V : SỐ HỌC I PHÉP CHIA HẾT – PHÉP CHIA CĨ DƯ Kỹ thuật tìm số dư trong phép chia hai số tự nhiên bằng máy tính CASIO fx 500MS a) Trương hợp số chia có từ 10 chữ số trở lại Ngun... 2009.2010.2011.2012 cho 2012.2013 Bài 7: Cho A = 21 + 22 + 23 + ….+ 22010 Tìm số dư khi chia A cho 2011 Định lý Fermat : Nếu p là một số ngun tố thì ta có : ap ≡ a (mod p) Đặc biệt nếu (a , p) = 1 thì ap – 1 ≡ 1 (mod p) Bài 8: Tìm chữ số thập phân thứ 2009 sau dấu phẩy của phép chia 1 cho 23 Giải bằng máy tính Casio fx-500MS Tính bằng máy 1÷23=0.04347826 Ghi lại 1÷23=0.0434782 Tính 1×10^7-23×434782=14 Tính 14÷23=0.608695652... cần tìm là 2 20 GV : LÂM NGUN THAO – TRƯỜNG THPT LẠC NGHIỆP GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH BT- CẤP THCS Lời bình: Bài tốn này trước kia dùng máy tính Casio FX 500- 570 MS , ES , việc tìm ra chu kỳ số thập phân vơ hạn tuần hồn tốn nhiều thời gian , từ khi có máy tính Casio 500 Vn Plus , việc giải bài tốn này hết sức đơn giản vì dòng máy này cho ra chu kỳ của số thập phân vơ hạn tuần hồn V MỘT DẠNG TỐN KHÁC... cách bấm phím liên tục trên máy CASIO fx 570 MS (nếu ES thì nhớ phím Calc) kết hợp với bộ đếm là ngắn gọn và hiên đại nhất Bài 2: n n 3+ 5  3− 5  + − 2 với n = 0 ,1 ,2 ,3 … Cho dãy số U n =  ÷ ÷ ÷  ÷  2   2  a) Tính 5 số hạng đầu U0 ,U1 , U2 , U 3 , U4 b) Lập cơng thức truy hồi tính Un+1 theo Un và Un–1 c) Lập qui trình ấn phím liên tục tính Un+1 trên máy tính CASIO Bài 3 : 2n 2n ỉ 5 + 1ư... Cabri ) Bài 51: Cho tam giác ABC vng tại A có hai trung tuyến BD và AE vgn gócvới nhau Biết AB = 2010 Tính BC ( đề thi Casio Huyện ĐD năm 2008) Bài 52:Cho hình thang ABCD (AB//CD) và AC BD Biết BD = 36,27 cm và đường cao hình thang bằng 27,36 cm Tính diện tích hình thang( đề thi Casio Huyện ĐD năm 2009) Bài 53 Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn ( O , R) cố định ( trình bày... : Giải hệ pt í ïï 34 15 - 3 - 2 = ïï 2 ïỵ x + 2y x - 2y 10 ìï (x + x 2 +1)(y + y 2 +1) = 1 ïï Bài 12 : Giải hệ pt ïí ïï y + y + 35 = 0 ïïỵ x 2 - 1 12 Giải các phương trình phần ngun (Cần dùng tới máy Casio 500 VN Plus để giải quyết các bất phương trình ) Khái niệm : Ký hiệu [ x ] được gọi là phần ngun của x [ x ] £ x