ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL LUẬN VĂN THẠC SĨ HÀ NỘI- 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC NGUYỄN THỊ QUỲNH VỀ PHỨC KOSZUL LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Phụ Hoàng Lân HÀ NỘI- 2015 LỜI CẢM ƠN Nhân dịp này, muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Nguyễn Phụ Hoàng Lân, thầy trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo tạo điều kiện nhiều mặt để hoàn thành luận văn Đồng thời, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy giáo, cô giáo khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội, người dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy, cô Hội đồng bảo vệ luận văn Các thầy, cô đọc, góp ý, giúp đỡ để chỉnh sửa luận văn tốt Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện động viên cổ vũ để hoàn thiện nhiệm vụ Xin chúc người sức khỏe, đạt nhiều thành tích cao công tác, học tập nghiên khoa học Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Quỳnh Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU LỜI MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Các phức đồng điều phức 1.1.1 Các phức 1.1.2 Đồng điều phức 1.1.3 Các cách xây dựng phức khác từ phức cho 13 Các dãy giải môđun mở rộng 15 1.2.1 Các dãy giải 15 1.2.2 Các môđun mở rộng 16 Đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số 17 1.3.1 Đại số tenxơ 17 1.3.2 Đại số đối xứng 21 1.3.3 Đại số 25 Độ sâu 28 Phức Koszul 35 3.1 Cách xây dựng Phức Koszul theo tích 35 3.2 Cách xây dựng Phức Koszul cách lấy tenxơ phức 37 3.3 Một số tính chất phức Koszul 39 Ứng dụng phức Koszul 41 4.1 Phức Koszul dãy quy 41 4.2 Phức Koszul độ sâu 43 4.3 Phức Koszul dãy giải tự đại số đối xứng 44 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Sau ký hiệu dùng luận văn k R M I M ⊗R N T (M ) S(M ) ∧(M ) HomR (M, N ) C• ⊗ K• ExtnR (M, N ) R[x1 , , xn ] (x1 , x2 , , xn ) (R, m) depth(I, M ) K• (x) K• (x; M ) Ann(M ) trường vành giao hoán có đơn vị R-môđun R-iđêan tích tenxơ M N với hệ số R R-đại số tenxơ môđun M R-đại số đối xứng môđun M R-đại số môđun M tập R-đồng cấu môđun từ M vào N tích tenxơ hai phức C• K• môđun mở rộng thứ n M N vành đa thức n biến với hệ số R R-iđêan sinh phần tử x1 , x2 , , xn vành địa phương R với iđêan cực đại m Độ sâu iđêan I môđun M phức Koszul dãy x phức Koszul dãy x với hệ số M linh tử M MỞ ĐẦU Phức Koszul đối tượng quan trọng đại số đồng điều Phức đặt theo tên nhà toán học người Pháp Jean-Louis Koszul, có mối liên hệ mật thiết với dãy quy độ sâu iđêan Nội dung luận văn trình bày lại số kiến thức dãy quy, độ sâu, phức Koszul nêu vài ứng dụng phức Koszul Bố cục luận văn trình bày sau Chương 1: Trình bày lại số kiến thức đại số đại cương đại số đồng điều như: phức, đồng điều phức, tích tenxơ hai phức, đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, dãy giải môđun mở rộng Chương 2: Trình bày lại số kiến thức dãy quy, dãy quy cực đại, từ đến khái niệm độ sâu iđêan Chương 3: Trình bày cách xây dựng phức Koszul số tính chất Chương 4: Nêu vài ứng dụng phức Koszul như: phức Koszul dãy quy cho ta dãy giải tự iđêan sinh dãy đó, kiểm tra dãy phần tử iđêan cực đại vành địa phương dãy quy, tính độ sâu iđêan, xây dựng phức với đồng điều vị trí đại số đối xứng iđêan Chương Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương trình bày lại số kiến thức đại số đại cương đại số đồng điều: phức, đồng điều phức, tích tenxơ phức, đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, dãy giải môđun mở rộng Nội dung chương dựa tài liệu [2], [7], [6], [8], [10], [11], [12], [14], [15] Trong suốt luận văn, giả sử R vành giao hoán có đơn vị Các môđun đồng cấu hiểu R-môđun đồng cấu R-môđun 1.1 1.1.1 Các phức đồng điều phức Các phức Các nghiên cứu môđun đồng cấu chúng diễn tả thông qua phức Định nghĩa 1.1 Một dãy môđun đồng cấu ∂n+1 ∂ n M• : · · · → Mn+1 −−→ Mn −→ Mn−1 → (1.1) gọi phức ∂n ∂n+1 = 0, ∀n ∈ Z Tương tự, dãy môđun đồng cấu ∂ n−1 ∂n M • = · · · → M n−1 −−→ M n −→ M n+1 → , (1.2) gọi đối phức ∂ n ∂ n−1 = 0, ∀n ∈ Z Một phức gọi khớp vị trí thứ n Ker ∂n = Im ∂n+1 Một phức gọi khớp khớp vị trí Lưu ý rằng, phức (khớp) hữu hạn, dãy (1.1) hữu hạn Ví dụ 1.2 Cho hai phần tử x, y ∈ R Khi dãy sau phức (−y (x y) x ) → R −−→ R2 −−→ R → Hơn nữa, x không ước không R y không ước không R/(x) phức khớp Nhận xét 1.3 Theo định nghĩa, ta có (i) M môđun tự ∃n ∈ N∗ : Rn → M → dãy khớp, f (ii) f : A → B đơn ánh → A → − B dãy khớp, g (iii) g : B → C toàn ánh B → − C → dãy khớp Việc kết hợp dãy khớp tạo nên loại dãy khớp quan trọng, gọi dãy khớp ngắn Định nghĩa 1.4 Một dãy khớp với môđun có dạng 0→M →M →M →0 gọi dãy khớp ngắn ∂n+1 ∂ n → Mn−1 → Nhận xét 1.5 Mọi dãy khớp dài · · · → Mn+1 −−→ Mn − phân tích thành dãy khớp ngắn −−→ ker ∂n −−→ Mn −−→ im ∂n −−→ 0 −−→ ker ∂n+1 −−→ Mn+1 −−→ im ∂n+1 −−→ Để liên kết phức, ta sử dụng khái niệm đồng cấu phức Định nghĩa 1.6 Một đồng cấu hai phức M• M• họ đồng cấu f• := {fn : Mn → Mn }n∈Z cho biểu đồ sau giao hoán ∂n+2 ∂n+1 ∂n−1 ∂ −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→    f f f n+1 ∂n+2 n−1 n ∂n+1 ∂ ∂n−1 −−→ Mn+1 −−→ Mn −−n→ Mn−1 −−→ tức fn−1 ◦ ∂n = ∂n ◦ fn , ∀n Ta kí hiệu f• : M• → M• Kết nói lên mối liên hệ đồng cấu thành phần đồng cấu hai dãy khớp ngắn Bổ đề 1.7 (Bổ đề đẳng cấu) Cho biểu đồ giao hoán hai dãy khớp ngắn f g f g −−→ A −−→ B −−→ C −−→    ϕ ψ ρ −−→ A −−→ B −−→ C −−→ Nếu ϕ ρ đẳng cấu ψ đẳng cấu Chứng minh Giả sử u ∈ ker ψ , sử dụng tính giao hoán biểu đồ ta ρ(g(u)) = g (ψ(u)) = g (0) = Vì ρ đơn cấu nên g(u) = 0, u ∈ ker g Tính khớp B u ∈ ker g ⇒ u ∈ im f , ∃a ∈ A : f (a) = u Sử dụng lần tính giao hoán biểu đồ, ta f (ϕ(a)) = ψ(f (a)) = 0, f đơn cấu nên ϕ(a) = 0, lại ϕ đơn cấu nên a = Do đó, u = f (0) = Vậy ψ đơn cấu Xét b ∈ B Khi g (b ) ∈ C Do ρ toàn cấu nên ∃c ∈ C : ρ(c) = g (b ), g toàn cấu nên ∃b ∈ B : g(b) = c Sử dụng tính giao hoán biểu đồ ta g (ψ(b)) = g (b ), g (ψ(b) − b ) = 0, hay ψ(b) − b ∈ ker g Tính khớp B ψ(b) − b ∈ im f , tức ∃a ∈ A : f (a ) = ψ(b) − b , ϕ toàn cấu nên ∃α ∈ A : ϕ(α) = a , sử dụng tính giao hoán biểu đồ ta ψ(b) − b = f (a ) = f (ϕ(α)) = ψ(f (α)) Do vậy, b = ψ(b) − ψ(f (α)) = ψ(b − f (α)), hay ψ toàn cấu 1.1.2 Đồng điều phức Việc nghiên cứu tính khớp phức quy việc nghiên cứu đồng điều chúng ∂1 (e1 ) = x, ∂1 (e2 ) = y Do (−y (x y) x ) K• (x, y) : → R −−→ R2 −−→ R → Vì vậy, phức Koszul x, y với hệ số M (−y (x y) x ) K• (x, y; M ) : → M −−→ M −−→ M → Ví dụ 3.3 Đặc biệt hơn, y = −x, phức Koszul dãy x, −x (xx) (x −x) K• (x, −x) : → R −−→ R −−−→ R → Phức Koszul K• (x) có dạng x K• (x) : → R → − R → Về mặt iđêan (x) = (x, −x), nhiên, phức Koszul hai dãy phần tử sinh lại khác Đặc biệt hơn, x không ước không R môđun đồng điều bậc hai phức khác Ngoài ra, ta có phương pháp khác để xây dựng phức Koszul dãy phần tử, cách tenxơ phức Koszul phần tử Phương pháp thường sử dụng nhiều chứng minh 3.2 Cách xây dựng Phức Koszul cách lấy tenxơ phức Ta xây dựng phức Koszul theo quy nạp sau (1) Cho M môđun x phần tử R Phức Koszul x với hệ số M định nghĩa x G• (x; M ) : → M → − M →0 Khi M = R, phức G• (x; R) kí hiệu G• (x) (2) Nếu x1 , , xn dãy phần tử thuộc R, phức Koszul x1 , , xn với hệ số M , kí hiệu G• (x1 , , xn ; M ), định nghĩa theo quy nạp G• (x1 , , xn−1 ; M ) ⊗ G• (xn ; R) 37 Ví dụ 3.4 Trong Ví dụ 1.13, cách xây dựng G• (x, y; M ) cách xây dựng phức Koszul hai phần tử x, y với hệ số M theo phương pháp lấy tenxơ phức Mệnh đề 3.5 K• (x1 , , xn ) ∼ = G• (x1 , , xn ), ∀x := x1 , , xn ∈ R Chứng minh Với n = 1, theo định nghĩa ta có K• (x1 ) ∼ = G• (x1 ) Giả sử kết luận với n − Đặt x’ := x1 , , xn−1 Khi K• (x’) ∼ = G• (x’) Ta có K• (x’) ⊗ K• (xn ) ∼ = K• (x) Thật vậy, theo định nghĩa tích tenxơ hai phức ta có n−1 i (K• (x’) ⊗ K• (xn ))i = R( n ) ⊕ R(n−1 i−1 ) ∼ = R( i ) , n−1 i n ) ⊕ R(n−1 i−1 ) → R( i ) , đẳng cấu fi : R( xj1 ji ej1 ∧· · ·∧eji + yh1 hi−1 eh1 ∧· · ·∧ehi−1 → + xj1 ji ej1 ∧· · ·∧eji yh1 hi−1 eh1 ∧ · · · ∧ ehi−1 ∧ en Khi ta có biểu đồ giao hoán sau với hàng phức K• (x’) ⊗ K• (xn ), hàng phức K• (x)  n−1   n−1  R( i ) R( i−1 ) gi −−→  ⊕  −−→  ⊕  −−→ n−1 n−1 R( i−1 ) R( i−2 )     f f i−1 i −−→ n R( i ) ∂x −−i→ n R(i−1) Do K• (x) ∼ = K• (x’) ⊗ K• (xn ) ∼ = G• (x’) ⊗ G• (xn ) ∼ = G• (x) 38 −−→ Nhận xét 3.6 Do tích tenxơ hai phức thỏa mãn C• ⊗ K• ∼ = K• ⊗ C• , nên phức Koszul bất biến (sai khác đẳng cấu) với hoán vị x1 , x2 , , xn Do đó, theo Mệnh đề 1.9, đồng điều phức Koszul bất biến với hoán vị x1 , x2 , , xn 3.3 Một số tính chất phức Koszul Tiếp theo, nêu số kết quan trọng liên quan đến phức Koszul mà cần dùng phần sau Mệnh đề 3.7 Cho (C• , ∂• ) phức R K• = K• (x) phức Koszul x ∈ R Khi ta có dãy khớp ngắn phức sau → C• → (C• ⊗ K• ) → C• [−1] → 0, (3.3) Cn [−1] = Cn−1 , đồng cấu cấp thứ n định nghĩa sau δn : Cn → (Cn ⊗ R) ⊕ (Cn−1 ⊗ R) ∼ = Cn ⊕ Cn−1 , a → (a, 0), γn : Cn ⊕ Cn−1 → Cn [−1], (a, b) → b Chứng minh Với đồng cấu định nghĩa hàng ngang → C• → (C• ⊗ K• ) → C• [−1] → dãy khớp ngắn Ta cần kiểm tra tính giao hoán biểu đồ Theo cách xây dựng C• ⊗ K• , với n ta có gn : Cn ⊕ Cn−1 →Cn−1 ⊕ Cn−2 (a, b) →(∂n (a) + (−1)n−1 bx, ∂n−1 (b)) Với n ∀a ∈ Cn , ta có (gn ◦ δn )(a) = gn (a, 0) = (∂n (a), 0), (δn ◦ ∂n )(a) = δn (∂n (a)) = (∂n (a), 0) Suy ra, gn ◦ δn = δn ◦ ∂n Mặt khác, ∀(a, b) ∈ Cn ⊕ Cn−1 , ta có (∂n−1 ◦ γn )(a, b) = ∂n−1 (b), (γn−1 ◦ gn )(a, b) = γn−1 (∂n (a) + (−1)n−1 bx, ∂n−1 (b)) = ∂n−1 (b) Suy ra, ∂n−1 ◦ γn = γn−1 ◦ gn Do đó, dãy (3.3) dãy khớp ngắn phức 39 Hệ 3.8 Với giả thiết trên, ta có dãy khớp dài x x → − Hn (C• ) → Hn (C• ⊗ K• ) → Hn−1 (C• ) → − Hn−1 (C• ) → (3.4) Chứng minh Chú ý rằng, với n, ta có Hn−1 (C• ) = Hn (C• [−1]) Áp dụng Định lý 1.11 cho dãy khớp ngắn (3.3), ta dãy (3.4) Hơn nữa, không khó để kiểm tra đồng cấu nối thực chất phép nhân x Do đó, ta có điều phải chứng minh Nhận xét 3.9 Dãy khớp dài hệ phân tích thành dãy khớp ngắn Hn (C• ) → Hn (C• ⊗ K• ) → AnnHn−1 (C• ) (x) → 0, xHn (C• ) với n, AnnM (N ) = {m ∈ M | mn = 0, ∀n ∈ N } 0→ 40 Chương Ứng dụng phức Koszul Phức Koszul có mối liên hệ mật thiết với dãy quy, ta sử dụng phức Koszul để kiểm tra dãy phần tử cho trước dãy quy Trong thực tế, phức Koszul dùng để tính độ sâu iđêan Ngoài ra, phức Koszul có ứng dụng việc tạo dãy phức mà đồng điều vị trí đẳng cấu với đại số đối xứng iđêan Nội dung chương dựa tài liệu [3], [6], [5]c, [13], [9] 4.1 Phức Koszul dãy quy Phức Koszul dãy quy cho ta dãy giải tự iđêan sinh dãy Định lý 4.1 Nếu x1 , , xn R-dãy phức Koszul K• (x1 , , xn ) cho ta dãy giải tự R/(x1 , , xn ) Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n Lưu ý tất môđun phức Koszul tự hữu hạn sinh, ta cần chứng minh Hi (x1 , , xn ) = 0, ∀i ≥ (ta biết H0 (x1 , , xn ) = R/(x1 , , xn )) x Với n = 1, K• (x) = → R → − R → giải tự R/(x) x không ước không R/(x), kết luận với n = Giả sử kết luận với n = k , tức C• := K• (x1 , , xk ) dãy giải tự R-dãy x1 , , xk , hay Hi (C• ) = 0, ∀i ≥ H0 (C• ) = R/(x1 , , xk ) Với n = k + 1, ta biết K• (x1 , , xk , xk+1 ) ∼ = C• ⊗ K• (xk+1 ) Áp 41 dụng Hệ 3.8, ta có dãy khớp dài x → − Hi (C• ) → Hi (C• ⊗ K• (xk+1 )) → Hi−1 (C• ) → Theo giả thiết quy nạp, ta có Hi (C• ) = 0, ∀i ≥ Do ∀i > 1, dãy khớp trở thành · · · → → Hi (C• ⊗ K• (xk+1 )) → → , Hi (x1 , , xk , xk+1 ) = Hi (C• ⊗ K• (xk+1 )) = Với i = 1, sử dụng Nhận xét 3.9, ta có dãy khớp ngắn H1 (C• ) 0→ = → H1 (C• ⊗ K• (xk+1 )) → AnnR/(x1 , ,xk ) (xk+1 ) → xk+1 H1 (C• ) Hơn nữa, xk+1 không ước không R/(x1 , , xk ) (theo định nghĩa R-dãy), nên AnnR/(x1 , ,xk ) (xk+1 ) = Do H1 (x1 , , xk , xk+1 ) = H1 (C• ⊗ K• (xk+1 )) = Trong vành địa phương, ta có kết mạnh Định lý 4.2 Một dãy phần tử x1 , , xn iđêan cực đại m vành địa phương (R, m) R-dãy H1 (x1 , , xn ) = Chứng minh ⇒) Điều kiện cần hệ trực tiếp Định lý 4.1 ⇐) Giả sử H1 (x1 , , xn ) = 0, ta cần chứng minh x1 , , xn Rdãy Do x1 , , xn ∈ m, nên (x1 , , xn ) ⊆ m R, (x1 , , xn ) = R, tức dãy x1 , , xn thỏa mãn điều kiện (i) Định nghĩa 2.1 Do ta cần chứng minh dãy thỏa mãn điều kiện (ii) Định nghĩa 2.1 Ta chứng minh điều quy nạp Với n = 1, ta có = H1 (x) = (0 :R x), x không ước không R Giả sử kết luận với n = k , tức dãy x1 , , xk ∈ m cho H1 (x1 , , xk ) = thỏa mãn điều kiện (ii) Định nghĩa 2.1 Với n = k + 1, xét dãy phần tử x1 , , xk , xk+1 ∈ m với H1 (x1 , , xk+1 ) = Theo Hệ 3.8, ta có dãy khớp dài đồng điều sau xk+1 → Hi (x1 , , xk ) −−→ Hi (x1 , , xk ) → Hi (x1 , , xk+1 ) → xk+1 Do H1 (x1 , , xk+1 ) = 0, nên H1 (x1 , , xk ) −−→ H1 (x1 , , xk ) toàn 42 cấu, H1 (x1 , , xk ) = xk+1 H1 (x1 , , xk ) ⊆ (xk+1 )H1 (x1 , , xk ) Do H1 (x1 , , xk ) R-môđun, nên H1 (x1 , , xk ) = (xk+1 )H1 (x1 , , xk ) Sử dụng bổ đề Nakayama, ta H1 (x1 , , xk ) = Áp dụng giả thiết quy nạp, ta có dãy x1 , , xk thỏa mãn điều kiện (ii) Định nghĩa 2.1 Hơn nữa, theo Nhận xét 3.9, ta có dãy khớp ngắn sau H1 (x1 , , xk+1 ) → AnnH0 (x1 , ,xk ) (xk+1 ) → Do H1 (x1 , , xk+1 ) = 0, nên AnnH0 (x1 , ,xk ) (xk+1 ) = AnnR/(x1 , ,xk ) (xk+1 ) = 0, hay xk+1 không ước không R/(x1 , , xk ) Do dãy x1 , , xk , xk+1 thỏa mãn điều kiện (ii) Định nghĩa 2.1 Một hệ rút từ chứng minh định lý Hệ 4.3 Cho M môđun vành địa phương (R, m) dãy phần tử x1 , , xn iđêan cực đại m Nếu Hi (x1 , , xn ; M ) = Hi (x1 , , xn−1 ; M ) = 0, với i ≥ 4.2 Phức Koszul độ sâu Ta xác định độ dài chung M -dãy cực đại chứa iđêan vành Noether địa phương Bổ đề 4.4 Cho M môđun, x = x1 , , xn dãy phần tử R Giả sử I = (x1 , , xn ) chứa M -dãy y = y1 , , ym Khi Hn+1−i (x; M ) = với i = 1, 2, , m, Hn−m (x; M ) ∼ = HomR (R/I, M/yM ) ∼ = Extm R (R/I, M ) Chứng minh Người đọc xem [3, tr 50] 43 Định lý 4.5 Cho R vành Noether địa phương, M môđun hữu hạn sinh, I = (x1 , , xn ) ⊂ R cho IM = M , M -dãy cực đại chứa I có độ dài inf {k | Hn−k (x1 , , xn ; M ) = 0} Chứng minh Theo Định lý 2.10, M -dãy cực đại chứa iđêan I = (x1 , , xn ) ⊂ R có độ dài Ta giả sử y = y1 , , ym M -dãy cực đại chứa iđêan I = (x1 , , xn ) Ta cần m = inf {k | Hn−k (x1 , , xn ; M ) = 0} Áp dụng Bổ đề 4.4, ta Hn−k (x1 , , xn ; M ) = 0, ∀ ≤ k ≤ m− Hơn nữa, Hn−m (x1 , , xn ; M ) ∼ = Extm R (R/I, M ) = Thật vậy, giả sử ngược lại, tức Hn−l (K• (x1 , , xn ; M )) = 0, theo Nhận xét 4.3, ta có Hn−l (K• (x1 , , xl ; M )) = Điều không l = n Như vậy, l = inf {k | Hn−k (K• (x1 , , xn ; M )) = 0} Định lý cho ta cách xác định depth(I, M ) chiều dài M -dãy cực đại iđêan I cho IM = M Nếu IM = M , ta qui ước depth(I, M ) = ∞ Định lý 4.5 rằng, với iđêan thực I ⊂ R sinh n phần tử depth(I, R) ≤ n, đồng điều thứ phức Koszul không tầm thường I = R 4.3 Phức Koszul dãy giải tự đại số đối xứng Cho I iđêan vành R Ta thu số thông tin I thông qua việc nghiên cứu đại số đối xứng S(I) Khi đại số đối xứng S(I) có dãy giải tự nhiều thông tin S(I) I thu thông qua dãy giải Trong phần xin giới thiệu thêm ứng dụng khác phức Koszul việc xây dựng loại phức mà số trường hợp chúng dãy giải tự S(I) Giả sử x = (x1 , , xn ) tập sinh iđêan I vành R Từ hai 44 đồng cấu (x1 , ,xn ) u :R[T1 , , Tn ]n −−−−−→R[T1 , , Tn ] n −→ (a1 , , an ) xi , i=1 (T1 , ,Tn ) v :R[T1 , , Tn ]n −−−−−→R[T1 , , Tn ] n −→ (a1 , , an ) Ti , i=1 ta xây dựng hai phức Koszul K• (x; R[T]), K• (T; R[T]) với đồng cấu tương ứng dx , dT Ta kiểm tra đồng cấu thỏa mãn dx ◦ dT + dT ◦ dx = Từ tính chất này, ta xây dựng phức mới, gọi phức xấp xỉ, với môđun ker dx , đồng cấu dT , kí hiệu Z• Z• = (kerdx ; dT ) v Phức có phần cuối ker u → − R[T1 , , Tn ] → Do H0 (Z• ) = R[T1 , , Tn ] , v(ker(u)) n n fi Ti f1 , , fn ∈ R[T1 , , Tn ] v(ker(u)) = i=1 fi x i = i=1 Hơn nữa, theo Hệ 1.36, ta có H0 (Z• ) = R[T1 , , Tn ] ∼ = S(I) v(ker(u)) Ví dụ 4.6 Cho R := k[s, t] vành đa thức với phân bậc chuẩn, deg(s) = deg(t) = Giả sử f1 , f2 , f3 đa thức bậc d R Ta xây dựng phức Koszul phân bậc f1 , f2 , f3 d d d → R[−3d] − → R[−2d]3 − → R[−1d]3 − → R → 0, (4.1) R[−i] vành phân bậc với (R[−i])k = Rk−i Ta cần thực dịch chuyển bậc để đồng cấu đồng cấu phân bậc 45 Các vi phân d3 , d2 , d1 xác định sau d3 (e1 ∧ e2 ∧ e3 ) = f1 e2 ∧ e3 − f2 e1 ∧ e3 + f3 e1 ∧ e2 , d2 (e1 ∧e2 ) = f1 e2 −f2 e1 ; d2 (e1 ∧e3 ) = f1 e3 −f3 e1 ; d2 (e2 ∧e3 ) = f2 e3 −f3 e2 , d1 (e1 ) = f1 ; d1 (e2 ) = f2 ; d1 (e3 ) = f3 Do đó, vi phân d3 , d2 , d1 có ma trận d3 = −f2 −f3 f1 −f3 , d1 = (f1 f2 f3 ) f1 f2 f3 −f2 , d2 = f1 Ta lấy tenxơ phức (4.1) với R[T1 , T2 , T3 ] R ta thu phức, kí hiệu (K• (f1 , f2 , f3 ), u• ), có dạng u u → R[T1 , T2 , T3 ][−3d] − → R[T1 , T2 , T3 ][−2d]3 − → u u − → R[T1 , T2 , T3 ][−1d]3 − → R[T1 , T2 , T3 ] → 0, ma trận vi phân ui giống với ma trận di với i Lưu ý rằng, vành R[T1 , T2 , T3 ] vành phân bậc kép, có phân bậc từ R = k[s, t] phân bậc khác từ k[T1 , T2 , T3 ] với deg(T1 ) = deg(T2 ) = deg(T3 ) = Ta sử dụng kí hiệu (-) cho thay đổi bậc k[T1 , T2 , T3 ] Ta có phức Koszul phân bậc khác R[T1 , T2 , T3 ] liên kết với dãy T1 , T2 , T3 , kí hiệu (K• (T1 , T2 , T3 ), v• ), có dạng v v v v → R[T1 , T2 , T3 ](−3) − → R[T1 , T2 , T3 ](−2)3 − → − → R[T1 , T2 , T3 ](−1)3 − → R[T1 , T2 , T3 ] → 0, (4.2) vi phân vi cho v3 = T3 −T2 , v2 = T1 −T2 −T3 T1 −T3 , v1 = (T1 T2 T3 ) T1 T2 Hơn nữa, theo Định lý 4.1, T1 , T2 , T3 dãy quy R[T1 , T2 , T3 ] nên phức (4.2) dãy khớp Phức xấp xỉ Z• hai phức (K• (f1 , f2 , f3 ), u• ) (K• (T1 , T2 , T3 ), v• ) có môđun thành phần Zi ∼ = ker(di )⊗R R[T1 , T2 , T3 ] (đẳng thức có 46 ta tenxơ môđun R với môđun tự do) đồng cấu thành phần vi , với i = 0, 1, 2, v v v (Z• , v• ) : → Z3 (−3) − → Z2 (−2) − → Z1 (−1) − → Z0 = R[T1 , T2 , T3 ] → Đặt I = (f1 , f2 , f3 ) iđêan R[T1 , T2 , T3 ] Ta biết H0 (Z• ) ∼ = S(I) Để minh họa, ta kiểm tra dùng vi phân v2 để ánh xạ Z2 vào Z1 Sử dụng vi phân v2 (K• (T1 , T2 , T3 ), v• ), ta ánh xạ Z2 vào R[T1 , T2 , T3 ](−1)3 Hơn nữa, u1 ◦ v2 + v1 ◦ u2 = 0, thật vậy, α ∀ β ∈ R[T1 , T2 , T3 ]3 , ta có γ α α (u1 ◦ v2 ) β + (v1 ◦ u2 ) β = γ γ α −f2 −f3 α −T2 −T3 0 −T3 β +(T1 T2 T3 ) f1 −f3 β (f1 f2 f3 ) T1 T1 T2 γ γ f1 f2 = Do đó, ta có v2 (Z2 ) ⊂ Z1 Ví dụ 4.7 Cho R = k[s, t, u] vành đa thức phân bậc chuẩn với deg(s) = deg(t) = deg(u) = f1 , f2 , f3 , f4 đa thức bậc d Ta xây dựng phức Koszul phân bậc f1 , f2 , f3 , f4 d d d d → R[−4d] − → R[−3d]4 − → R[−2d]6 − → R[−1d]4 − → R → 0, (4.3) vi phân cho   f3 f4 0   f4  −f4 −f2  −f2 −f3   f3   d4 = −f  , d3 =   f1 0 f4  ,  f1 −f3  f1 0 f1 f2   −f2 −f3 −f4 0 0 −f3 −f4  f d2 =  01 f1 f2 −f4  , d1 = (f1 f2 f3 f4 ) 0 f1 f2 f3 Ta lấy tenxơ phức (4.3) với R[T] = R[T1 , T2 , T3 , T4 ] R ta thu phức, kí hiệu (K• (f1 , f2 , f3 , f4 ), u• ), có dạng u u u u → R[T][−4d] − → R[T][−3d]4 − → R[T][−2d]6 − → R[T][−1d]4 − → R[T] → 0, 47 ma trận vi phân ui giống với ma trận di với i Vành R[T1 , T2 , T3 , T4 ] có phân bậc khác từ k[T1 , T2 , T3 , T4 ] với deg(T1 ) = deg(T2 ) = deg(T3 ) = deg(T4 ) = Ta sử dụng kí hiệu (-) cho thay đổi bậc k[T1 , T2 , T3 , T4 ] Ta có phức Koszul phân bậc khác R[T1 , T2 , T3 , T4 ] liên kết với dãy T1 , T2 , T3 , T4 , kí hiệu (K• (T1 , T2 , T3 , T4 ), v• ), có dạng v v v → R[T](−4) − → R[T](−3)4 − → R[T](−2)6 − → v v − → R[T](−1)4 − → R[T] → 0, (4.4) vi phân vi cho   T3 T4 0   −T4 T4  −T2  −T2 −T3   T3   v4 = −T  , v3 =   T1 0 T4  ,  T1 T1 −T3  0 T1 T2   −T2 −T3 −T4 0 T 0 −T3 −T4  v2 =  01 T1 T2 −T4  , v1 = (T1 T2 T3 T4 ) 0 T1 T2 T3 Hơn nữa, T1 , T2 , T3 , T4 dãy quy R[T] nên phức (4.4) khớp Phức xấp xỉ Z• hai phức (K• (f1 , f2 , f3 , f4 ), u• ) (K• (T1 , T2 , T3 , T4 ), v• ) có môđun thành phần Zi ∼ = ker(di )⊗R R[T1 , T2 , T3 ] (đẳng thức có ta tenxơ môđun R với môđun tự do) đồng cấu thành phần vi , với i = 0, 1, 2, 3, v v v v (Z• , v• ) : → Z4 (−4) − → Z3 (−3) − → Z2 (−2) − → Z1 (−1) − → Z0 = R[T] → Đặt J = (f1 , f2 , f3 , f4 ) iđêan R[T] Ta biết H0 (Z• ) ∼ = S(J) 48 Kết luận Nội dung luận văn trình bày lại số kiến thức dãy quy, độ sâu iđêan, phức Koszul vài ứng dụng phức Koszul Luận văn trình bày cách hệ thống tương đối đầy đủ cách xây dựng phức Koszul, đưa số tính chất phức Koszul Luận văn đề cập đến số ứng dụng phức Koszul.Vì thời gian khả có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đóng góp, phê bình bổ sung quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh 49 Tài liệu tham khảo [1] M F Atiyah and I G Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addision-Wesley Publishing Company, Inc.: Reading, Massachusetts, 1969 [2] N Bourbaki, Algebra I Chap - 3: Elements of Mathematics, Hermann, Paris, 1974 [3] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge studies in advanced mathematics, No 39, Cambridge University Press: Cambridge, 1993 [4] D A Buchsbaum and D Eisenbud, Some structure theorems for Finite Free Resolutions, Advances in Mathematics 12(1), 84-139, 1974 [5] L Busé and M Chardin, Implicitizing rational hypersufaces using approximation complexes, Journal of Symbolic Computation, Elsevier, 40(4-5), pp.1150-1168, 2005 [6] H Cartan and S Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press: Princeton, New Jersey, 1956 [7] D S Dumit and R M Foote, Abstract Algebra, John Wiley & Sons, Inc, 2004 [8] D Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebra Geometry, Graduate Texts in Mathematics No.150, Spring-Verlag: New York, 1995 50 [9] J Herzog, A Simis, and W V Vasconcelos, Koszul homology and blowing-up rings, Lecture note in Pure and Applied Math.,84:79-169, 1983 [10] N.H.V Hưng, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, 1998 [11] N.H.V Hưng, Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục, 2000 [12] S Sather-Wagstaff, Commutative Algebra Mini-Course, 2004 http://www.math.utah.edu/vigre/minicourses/algebra/satherwagstaff.pdf [13] S Sather-Wagstaff, Koszul notes, 2011 https://www.ndsu.edu/pubweb/ ssatherw/sp14/790/koszul120611.pdf [14] Irena Swanson, Homological Algebra, Rome, 2010 http://people.reed.edu/ iswanson/homologicalalgebra.pdf [15] G Valla, On the Symmetric and Rees algebras of an ideal, Manuscripta math.30, 239-255, 1980 51 [...]... gọi là môđun đồng điều thứ n của phức M• Một cách tương tự, môđun thương H n (M • ) := ker ∂ n /im ∂ n−1 được gọi là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức M • Như vậy, phức M• khớp tại vị trí thứ n khi và chỉ khi Hn (M• ) = 0 Một đồng cấu giữa hai phức sẽ cảm sinh một dãy các đồng cấu giữa các môđun đồng điều của hai phức đó Mệnh đề 1.9 Cho một đồng cấu f• giữa hai phức M• và M• ∂n+1 ∂ −−→ Mn+1... trong [7, tr 778] Ta sẽ nghiên cứu kĩ hơn về đồng cấu giữa hai phức Trước tiên ta nhắc lại khái niệm dãy khớp ngắn của các phức Định nghĩa 1.10 Cho các phức M• , M• , M• và các đồng cấu f• : M• → M• , g• : M• → M• Nếu với mỗi n, dãy fn gn 0 → Mn − → Mn − → Mn → 0 là một dãy khớp ngắn, thì ta gọi dãy f• g• 0 → M• − → M• − → M• → 0 là một dãy khớp ngắn của các phức M• , M• , M• Dãy khớp ngắn nói trên... nếu Mi là môđun xạ ảnh (tự do) với mọi i Về khái niệm môđun xạ ảnh, người đọc có thể tham khảo thêm trong [10, tr 180] Ví dụ 1.17 Giả sử x không là ước của không trong R Khi đó phức x 0→ − R→ − R→ − 0 (đồng cấu x biểu thị cho phép nhân bởi x) là một dãy giải tự do của R/(x) Mệnh đề sau đây đóng vai trò quan trọng trong đại số đồng điều Mệnh đề 1.18 Mọi môđun M đều có một dãy giải tự do Chứng minh Người... một môđun Về khái niệm môđun nội xạ, xin tham khảo thêm trong [10, tr 183] 15 Định nghĩa 1.19 Một dãy giải nội xạ của môđun M là một phức các môđun nội xạ 0 → Q0 → Q1 → Q2 → , với H i (Q• ) = 0, ∀i > 0 và H 0 (Q• ) = M Đôi khi, ta còn viết dãy giải nội xạ của M dưới dạng 0 → M → Q0 → Q1 → Q2 → , khi đó phức trên là một dãy khớp Ta cũng có một kết quả quan trọng về dãy giải nội xạ Mệnh đề 1.20... : Hn (M• ) → Hn−1 (M• ) được xây dựng như trong chứng minh của Định lý 1.11 gọi là các đồng cấu nối 12 1.1.3 Các cách xây dựng một phức khác từ các phức đã cho ∂n+1 ∂ n Cho C• : · · · → Cn+1 −−→ Cn − → Cn−1 → là một phức và M là một môđun tùy ý Ta có thể tạo ra các phức từ C• và M như sau HomR (M, C• ) : dn+1 d n · · · → HomR (M, Cn+1 ) −−→ HomR (M, Cn ) −→ HomR (M, Cn−1 ) → , trong đó, dn =... HomR (Cn−1 , M ) −−→ HomR (Cn , M ) −→ HomR (Cn+1 , M ) → , , trong đó, ϕn = ◦ ∂n Đây là một đối phức C• ⊗R M : ∂n+1 ⊗R idM ∂n ⊗R idM · · · → Cn+1 ⊗R M −−−−−−→ Cn ⊗R M −− −−−→ Cn−1 ⊗R M → Ngoài ra, ta còn có thể xây dựng một phức mới từ hai phức đã cho C• ⊗R K• Cho (C• , ∂• ) và (K• , λ• ) là hai phức Ta xét biểu đồ sau       −−→ Cn+1 ⊗ Km+1 −−→ Cn ⊗ Km+1 −−→ Cn−1 ⊗ Km+1 −−→  ... xn là một M -dãy, nên áp dụng Mệnh đề 2.3 hai lần nữa và kết hợp với Bổ đề 2.5 ta thấy rằng x1 , , xi−1 , xi+1 , xi , xi+2 , , xn là một M -dãy khi và chỉ khi xi+1 không là ước của không trên M/(x1 , , xi−1 )M , điều này được thỏa mãn do R là vành Noether địa phương Cũng trong vành Noether, mọi dãy chính quy đều phải hữu hạn, như ta chứng minh dưới đây Mệnh đề 2.7 Cho R là một vành Noether và... ngang là các dãy khớp ngắn và các hàng dọc là các phức 9       fn+1 gn+1 fn gn fn−1 gn−1 0 −−→ Mn+1 −−→ Mn+1 −−→ Mn+1 −−→ 0       0 −−→ Mn −−→ Mn −−→ Mn −−→ 0       0 −−→ Mn−1 −−→ Mn−1 −−→ Mn−1 −−→ 0       Một dãy khớp ngắn của các phức sẽ cảm sinh dãy khớp dài trên đồng điều Định lý 1.11 Cho một dãy khớp ngắn của các phức f• g• 0 → M• − → M• − → M• → 0 Dãy này sẽ cảm... Km−1 −−→ Cn−1 ⊗ Km−1 −−→       trong đó các hàng dọc là các phức với các đồng cấu (−1)n idCn ⊗ λm : Cn ⊗ Km → Cn ⊗ Km−1 , và các hàng ngang cũng là các phức với các đồng cấu ∂n ⊗ idKm : Cn ⊗ Km → Cn−1 ⊗ Km 13 Do cách chọn dấu của các đồng cấu theo chiều dọc nên biểu đồ trên giao hoán Ta có thể tạo ra tích tenxơ của hai phức (C• , ∂• ) và (K• , λ• ), kí hiệu C• ⊗R K• , theo cách sau: (C•... · → P2 → P1 → P0 → 0 Ta lần lượt tác động các hàm tử HomR ( , A), HomR ( , B), HomR ( , C) lên dãy giải sẽ cho ta các phức đối đồng điều HomR (P• , A), HomR (P• , B), HomR (P• , C) Hơn nữa, do các Pn đều xạ ảnh nên từ dãy khớp ngắn 0 → A → B → C → 0 sẽ cho ta dãy khớp ngắn của các phức 0 → HomR (P• , A) → HomR (P• , B) → HomR (P• , C) → 0 Áp dụng Định lý 1.11 ta được điều phải chứng minh 1.3 1.3.1