ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———– NGUYỄN THỊ MINH THƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———– NGUYỄN THỊ MINH THƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Huy Ruận HÀ NỘI - 2015 Mục lục Lời nói đầu Đại 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 cương đồ thị Định nghĩa đồ thị Một số dạng đồ thị đặc biệt Bậc đỉnh đồ thị 1.3.1 Bậc đỉnh 1.3.2 Nửa bậc 1.3.3 Một số tính chất Xích, chu trình, đường, vòng 1.4.1 Xích, chu trình 1.4.2 Đường, vòng 1.4.3 Một số tính chất Đồ thị liên thông 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Tính chất Số ổn định trong, số ổn định 1.6.1 Số ổn định 1.6.2 Số ổn định 1.6.3 Các thuật toán tìm số ổn định trong, số Nhân đồ thị ứng dụng vào trò chơi 1.7.1 Định nghĩa 1.7.2 Tính chất 1.7.3 Trò chơi Nim 1.7.4 Trò chơi bốc vật Cây bụi 1.8.1 Định nghĩa 1.8.2 Đặc điểm bụi ổn định 4 8 13 13 14 15 16 16 17 18 18 19 20 21 21 22 23 24 29 29 30 Một số toán đồ thị 2.1 Bài toán đường 2.1.1 Đường Euler - Chu trình Euler 2.1.2 Đường Hamilton - Chu trình Hamilton 2.2 Bài toán tô màu đồ thị 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Một số tính chất 2.2.3 Thuật toán tô màu đỉnh 33 33 33 40 43 43 43 53 Ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán phổ thông 3.1 Quy trình giải toán phương pháp đồ thị 3.1.1 Xây dựng đồ thị G mô tả quan hệ 3.1.2 Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực tiếp suy đáp án toán D 3.2 Bài toán đỉnh - cạnh đồ thị 3.3 Bài toán xích, chu trình, đường, vòng tính liên thông đồ thị 3.4 Bài toán tô màu đồ thị 3.5 Bài toán liên quan đến số ổn định trong, số ổn định 3.6 Bài toán liên quan đến đường 3.6.1 Bài toán tìm đường mê cung 3.6.2 Bài toán liên quan đến đường chu trình Euler 3.6.3 Bài toán liên quan đến đường chu trình Hamilton 3.7 Bài toán liên quan đến 54 54 54 Kết luận 89 Tài liệu tham khảo 90 54 55 58 63 74 76 76 80 82 84 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đồ thị ngành khoa học đời sớm Lý thuyết đồ thị giúp mô tả hình học giải nhiều toán thực tế phức tạp Khái niệm lý thuyết đồ thị nhiều nhà khoa học độc lập nghiên cứu có nhiều đóng góp lĩnh vực toán học ứng dụng Năm 2001, Bộ Giáo Dục Đào Tạo có quy định chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi thống toàn quốc, có chuyên đề lý thuyết đồ thị Như vậy, việc học chuyên đề Lý Thuyết Đồ Thị học sinh giỏi nhu cầu thực tế dạy học toán phổ thông Tuy nhiên, việc dạy học chuyên đề tồn số khó khăn lý khác Một lý mẻ, độc đáo khó chủ đề kiến thức Luận văn "Lý thuyết đồ thị với toán phổ thông" đưa đến sáng tạo cách nhìn nhận toán lập luận cách giải mắt lý thuyết đồ thị Ngoài phần mở đầu kết luận luận văn gồm chương: Chương Đại cương đồ thị Chương Một số toán đồ thị Chương Ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán phổ thông Luận văn hoàn thành hướng dẫn, giúp đỡ tận tình GS.TS Đặng Huy Ruận, tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện, dạy bảo dìu dắt tác giả năm học vừa qua Xin chân thành cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân thời gian học tập làm luận văn Do khả nhận thức thân tác giả, luận văn nhiều hạn chế, thiếu sót Tác giả kính mong ý kiến bảo quý thầy cô đóng góp bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2015 Chương Đại cương đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị Tập hợp X = ∅ đối tượng E cặp thứ tự không thứ tự phần tử X gọi đồ thị, đồng thời ký hiệu G(X, E) (hoặc G = (X, E) G(X)) Hình 1.1: Ví dụ mô hình đồ thị Các phần tử X gọi đỉnh Cặp đỉnh không thứ tự gọi cạnh, cặp đỉnh thứ tự gọi cạnh có hướng hay cung Đồ thị chứa cạnh gọi đồ thị vô hướng, đồ thị chứa cung gọi đồ thị có hướng Nếu đồ thị chứa cạnh lẫn cung họi đồ thị hỗn hợp hay đồ thị hỗn tạp Một cặp đỉnh nối với hai nhiều hai cạnh (hai nhiều hai cung hướng) Các cạnh (cung) gọi cạnh (cung) bội Một cung (hay cạnh) bắt đầu kết thúc đỉnh Cung (cạnh) loại gọi khuyên hay nút Cặp đỉnh x,y nối với cạnh (cung) a a gọi cạnh (cung) thuộc đỉnh x, đỉnh y Nếu cung b xuất phát từ đỉnh u vào đỉnh v u gọi đỉnh đầu, v gọi đỉnh cuối cung b Cặp đỉnh x, y gọi hai đỉnh kề x = y hai đầu cạnh hay cung Đối với đỉnh x dùng D(x) để tập đỉnh, mà đỉnh nối với x cạnh; D+ (x) để tập đỉnh mà đỉnh từ x có cung tới; D− (x) để tập đỉnh mà đỉnh có cung tới x Hai cạnh (cung) a,b gọi kề nhau, nếu: i) Chúng khác ii) Chúng có đỉnh chung (nếu a, b cung, không phụ thuộc vào đỉnh chung đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung b) Ví dụ 1.1 Cho đồ thị hỗn hợp có khuyên G(X, E) với tập đỉnh X = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 }, tập cạnh cung E = {x1 , x2 ; x2 , x3 ; x4 , x6 ; x5 , x6 ; x3 , x3 ; x1 , x6 ; x5 , x5 } = {a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 }, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 cạnh; b1 , b2 cung Hình 1.2 1.2 Một số dạng đồ thị đặc biệt Trong trường hợp không cần phân biệt cạnh cung ta quy ước dùng cạnh thay cho cung Đồ thị G = (X, E) khuyên cặp đỉnh nối với không cạnh, gọi đồ thị đơn hay đơn đồ thị thông thường gọi đồ thị Đồ thị G = (X, E) khuyên có cặp đỉnh nối với từ hai cạnh trở lên gọi đa đồ thị Đồ thị G = (X, E) gọi vô hướng cạnh E không định hướng Đồ thị G = (X, E) gọi có hướng cạnh E có định hướng Hình 1.3 Đồ thị vô hướng (có hướng) G = (X, E) gọi đồ thị đầy đủ cặp đỉnh nối với cạnh (một cung với chiều tùy ý) Hình 1.4: Đồ thị đầy đủ Đa đồ thị vô hướng (có hướng) G = (X, E) gọi đồ thị k-đầy đủ cặp đỉnh nối với k cạnh (k cung với chiều tùy ý) Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) hai mảng tập đỉnh X phân thành hai tập rời X1 , X2 (X1 X2 = X X1 X2 = ∅) cạnh có đầu thuộc X1 đầu thuộc X2 Khi G = (X, E) ký hiệu G = (X1 , X2 , E) Hình 1.5: Đồ thị hai mảng Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) phẳng, có dạng biểu diễn hình học trải mặt phẳng đó, mà cạnh đồ thị cắt đỉnh Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) gọi hữu hạn, số đỉnh hữu hạn, tức tập X có lực lượng hữu hạn Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) gọi vô hạn, số đỉnh vô hạn Đồ thị (đa đồ thị) với số cạnh thuộc đỉnh hữu hạn gọi đồ thị (đa đồ thị) hữu hạn địa phương Một đồ thị hay đa đồ thị hữu hạn hữu hạn địa phương Cho Y ⊆ X, Y = ∅; H ⊆ E, F = E ∩ (Y × Y ) V = (X × X)/E Đồ thị G1 (Y, F ) gọi đồ thị con, G2 (X, H) đồ thị phận đồ thị G(X, E) Đồ thị G (X, V ) gọi đồ thị bù đồ thị G(X, E) Đồ thị có hướng G(X, E) gọi đồ thị đối xứng ∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈ E Trong đồ thị đối xứng tùy ý, hai đỉnh kề luôn nối hai cung ngược chiều Để đơn giản, trường hợp người ta quy ước thay hai cung nói cạnh nối x y Đồ thị có hướng G(X, E) gọi đồ thị phản đối xứng ∀x, y ∈ X, (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈ /E 1.3 1.3.1 Bậc đỉnh đồ thị Bậc đỉnh Giả sử G = (X, E) đồ thị hay đa đồ thị có hướng hướng Số cạnh cung thuộc đỉnh x gọi bậc đỉnh x ký hiệu m(x) Đỉnh có bậc gọi đỉnh biệt lập Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Cạnh (cung) có đầu đỉnh treo gọi cạnh (cung) treo Hình 1.6 Ví dụ 1.2 Trong hình 1.6 ta có: m(1) = 2, m(2) = 2, m(3) = 3, m(4) = 3, m(5) = 3, m(6) = 1, m(7) = Đỉnh đỉnh treo, đỉnh đỉnh cô lập, g cạnh treo 1.3.2 Nửa bậc Giả sử G = (X, E) đồ thị hay đa đồ thị có hướng Số cung vào đỉnh x gọi nửa bậc vào đỉnh x ký hiệu m (x) m− (x) Số cung khỏi đỉnh x gọi nửa bậc đỉnh x ký hiệu m (x) m+ (x) Ký hiệu tập cung vào đỉnh x E − (x), tập cung khỏi đỉnh x E + (x) Áp dụng thuật toán tìm số ổn định mục 1.6.3.2 ta có số ổn định β(G) = 12, nên cần đặt tối thiểu 12 mã bàn cờ chúng khống chế toàn ô lại bàn cờ Chẳng hạn, đặt 12 mã hình 3.12 3.6 Bài toán liên quan đến đường 3.6.1 Bài toán tìm đường mê cung Bài toán tìm đường mê cung toán đố vui đồ thị lâu đời Một ví dụ văn học cổ Hi lạp câu chuyện dũng sĩ Theseus cứu công chúa Ariadne bị nhân mã Minotaur giam giữ mê cung Mê cung hệ thống gồm nhiều hành lang nối với Bài toán tìm đường mê cung đứng từ vị trí s (bên mê cung cửa vào) tìm đường đến vị trí e (cửa bên mê cung) Nếu biểu diễn mê cung đồ thị, hành lang cạnh, giao điểm chúng đỉnh ta có toán tìm đường đồ thị Lưu ý ta trước sơ đồ mê cung Thuật toán Tarri tìm đường mê cung Xuất phát từ đỉnh s theo cạnh đồ thị theo nguyên tắc sau: - Không trở lại cạnh theo chiều - Khi đến đỉnh E (ngã ba, ngã tư, ) chọn cạnh dẫn tới E lần không cách khác (nghĩa tất cạnh khác có đầu mút E hai lần rồi) - Tại đỉnh chọn cạnh chưa qua trước Trường hợp cạnh qua chọn cạnh theo hướng ngược lại Cạnh đánh dấu đặc biệt phương án cuối không cách khác Bằng cách ta qua tất cạnh đồ thị Như đồ thị liên thông lúc ta đến đỉnh e 76 Bài toán 3.6.1 ([1]Graph giải toán phổ thông) Cho mê cung hình vẽ 3.13a.Tìm đường từ vị trí A (cổng) đến vị trí M Hình 3.13a Giải: Ta đánh dấu (bằng điểm đậm) ngã ba, ngã tư điểm cuối ngõ cụt, nối điểm với theo đường mê cung; ta đồ thị với 13 đỉnh hình 3.13b Hình 3.13b 77 Ta vẽ lại đồ thị dạng đơn giản hình 3.13c Hình 3.13c Nhìn vào hình 3.13c ta thấy đường ngắn từ A đến M ACEGHJKM (hình 3.13d) Hình 3.13d 78 Bài toán 3.6.2 Bài toán ba ông chồng ghen Có ba cặp vợ chồng qua sông thuyền nhỏ Mỗi lần thuyền chở nhiều người biết bơi thuyền Các ông chồng mắc bệnh ghen nặng nên không cho vợ đứng với người đàn ông khác Hãy tìm phương án chở tất sang sông Giải: Ký hiệu cặp chồng vợ Aa, Bb, Cc Ta lập đồ thị có hướng, biểu diễn khả chuyển đổi trạng thái cặp chồng vợ hai bên bờ sông xuất phát đến Mỗi nút trạng thái tập (AaBbCc) trừ tập dạng {S|((aB) ⊂ S hay (aC) ⊂ S) v` aA∈ / S} {S|((bA) ⊂ S hay (bC) ⊂ S) v` aB ∈ / S} {S|((cA) ⊂ S hay (cB) ⊂ S) v` aC ∈ / S} tập bù chúng Sau áp dụng thuật toán để tìm đường từ nút 1.AaBbCc đến 2.AaBbCc Một phương án tìm biểu diễn đồ thị hình 3.14 sau: Hình 3.14 có đường 1.AaBbCc → 2.Cc → 1.AaBbC → 2.abc → 1.ABCc → 2.AaBb → 1.AaCc → 2.ABbC → 1.abc → 2.AaBbC → 1.Cc → 2.AaBbCc 79 3.6.2 Bài toán liên quan đến đường chu trình Euler Bài toán 3.6.3 ([1]Graph giải toán phổ thông) Có thể dạo chơi qua cầu thành phố (hình 3.15a), cầu vừa lần không? Hình 3.15 Giải: Coi khu vực A, B, C, D, E, F thành phố đỉnh, cầu qua lại hai khu vực cạnh nối hai đỉnh đồ thành phố đồ thị hình 3.15b Nhìn vào đồ thị ta nhận thấy đỉnh có bậc chẵn, theo định lý chu trình Euler tồn chu trình Euler đồ thị hình 3.15b, nên ta hoàn toàn qua cầu cầu vừa lần Ví dụ, ta có lời giải với chu trình xuất phát từ B sau: BECEBDCDEFAB 80 Bài toán 3.6.4 ([1]Graph giải toán phổ thông) Một ông vua xây dựng lâu đài với nhiều phòng để cất báu vật Người ta tìm thấy sơ đồ lâu đài (hình 3.16a) với lời dặn: Muốn tìm thấy báu vật cần từ phòng bên (số 1, 2, 6, 10, ), qua tất cửa phòng, cửa lần Báu vật giấu sau cửa cuối Hãy tìm nơi giấu báu vật Giải: Hình 3.16 Coi điểm phòng đỉnh, đường từ phòng sang phòng bên (qua cửa) cạnh ta có đồ thị hình 3.16b Đỉnh ứng với phòng phòng 18 có bậc lẻ, đỉnh lại có bậc chẵn, áp dụng định lý đường Euler, ta xuất phát từ phòng 6, cửa cuối có chứa báu vật phòng số 18 81 3.6.3 Bài toán liên quan đến đường chu trình Hamilton Bài toán 3.6.5 ([1]Graph giải toán phổ thông) Có đội bóng chuyền thi đấu với để tranh giải cúp quốc gia Biết hai đội đấu với trận đội phải đấu với đội khác, đồng thời trận hòa Chứng tỏ vào kết thi đấu xếp đội trưởng đội đứng theo hàng dọc để đội đứng sau thắng đội đứng trước Giải: Ta cho tương ứng đội bóng đỉnh đồ thị Hai đội thi đấu với ta dùng cung nối đỉnh tương ứng; chiều cung từ đỉnh tương ứng với đội thắng sang đỉnh tương ứng với đội thua Như đồ thị thiết lập đồ thị đầy đủ có hướng với đỉnh Đồ thị hình 3.17 mô tả kết thi đấu đội bóng chuyền A, B, C, D, E Theo định lý: "Đồ thị đầy đủ, có hướng có đường Hamilton" Nên vào đường Hamilton ta xếp đội trưởng đội đứng theo hàng dọc sau: A, E, C, D, B Hình 3.17 Bài toán 3.6.6 ([1]Graph giải toán phổ thông) Hình 3.18 cho sơ đồ nhà 22 bạn lớp (đánh số từ đến 22) Tìm đường từ nhà lớp trưởng (số 1) qua nhà bạn lần để đến sân vận động (S) Giải: 82 Trước hết ta thấy đỉnh 11, 12, 18, 19 có đỉnh bậc 2, đường Hamilton xuất phát từ phải qua cạnh vẽ nét đứt Khi ta xóa cạnh đánh dấu x Đường nối đỉnh 1, 12, 6, 17, 13, 7, 2, 3, 8, 9, 4, 5, 11, 16, 19, 10, 15, 14, 18, 22, 21, 20, S (đường nét đứt) mô tả toàn hành trình lớp trưởng (số 1) xuất phát từ nhà qua nhà bạn lần để đến sân vận động (S) Hình 3.18 Bài toán 3.6.7 ([4]Lý thuyết đồ thị toán không mẫu mực) Một nước có 10 thành phố Hãy thiết lập mạng cầu hàng không (bằng đồ thị) cho: Mỗi thành phố có cầu hàng không nối trực tiếp với thành phố khác; Từ thành phố có đường hàng không tới thành phố tùy ý khác hành trình tới đích qua thành phố lần Giải: Ta xây dựng đồ thị G biểu diễn mạng cầu hàng không cần tìm Đỉnh: Dùng 10 điểm tương ứng với 10 thành phố làm đỉnh đồ thị đánh số từ đến 10 Cạnh: Hai đỉnh có cạnh nối với hai thành phố tương ứng với hai đỉnh có cầu hàng không nối trực tiếp 83 Do thành phố có cầu hàng không nối trực tiếp với ba thành phố khác, nên đỉnh đồ thị G có cạnh Khi dạng mạng hàng không cần tìm biểu diễn đồ thị G sau: Hình 3.19 Trong đồ thị G đỉnh xuất phát cạnh, nên thành phố có cầu hàng không nối trực tiếp với thành phố khác Đồ thị lại có chu trình Hamilton, chẳng hạn, dãy đỉnh: α = 1, 2, 7, 8, 6, 3, 5, 9, 10, chu trình Hamilton đồ thị G, nên xuất phát từ thành phố tùy ý theo α, đến thành phố 10 thành phố 3.7 Bài toán liên quan đến Bài toán 3.7.1 ([4]Lý thuyết đồ thị toán không mẫu mực) Tại Euro 92, bốn đội Đức, Đan Mạch, Hà Lan, Thụy Điển vào bán kết Có dự đoán xếp hạng sau: 84 a) Đan Mạch vô địch, Thụy Điển nhì b) Đan Mạch nhì, Hà Lan ba c) Pháp nhì, Hà Lan tư Kết quả: Mỗi dự đoán đội Hãy cho biết kết xếp hạng đội Giải: Hình 3.20 Ta chọn đường từ "gốc" O đến "ngọn" cạnh không mang chữ trùng (vì đội xếp hai thứ hạng khác nhau), số trùng (vì hai đội xếp hạng), đồng thời thứ tự xếp hạng đội thỏa mãn điều kiện đầu Đường tô màu hồng (nét đậm) với dãy ký hiệu Đ1 , H3 , P2 cho ta xếp hạng cần tìm Bài toán 3.7.2 Minh Châu thi đấu cầu lông với Hai bạn chơi ván, bạn thắng ván trước kết thúc thi giành chiến thắng Cuộc thi đấu diễn theo cách khác nhau? Giải: Dùng M để ký hiệu Minh thắng, C để ký hiệu Châu thắng Dùng để mô tả toàn trạng có khả xảy Xây dựng cây: Xuất phát từ điểm O - Hai nhánh tương ứng với Minh thắng Châu thắng - Từ nhánh lại rẽ nhánh thành hai nhánh ứng với khả Minh thắng Châu thắng 85 - Thực kéo dài đường cách tương tự, quy ước bạn, đường mà xuất đỉnh ghi ký hiệu không kéo dài Ta có hình 3.21 Hình 3.21 Cây có 20 đỉnh ngọn, nên thi đấu diễn theo 20 cách khác Bài toán 3.7.3 ([1]Graph giải toán phổ thông) Hãy tìm tất ước số 126 Giải: Trước hết xin trình bày thuật toán xây dựng sinh ước Sau dùng sinh ước để xác định tập ước số 126 • Thuật toán xây dựng sinh ước Bước 1: Phân tích số n thành tích lũy thừa số nguyên tố xếp theo thứ tự số tăng dần: s t+1 n = as11 as22 ast t at+1 askk (∗) Với at , (1 ≤ t ≤ k) số nguyên tố, aj > , j > i st số nguyên không âm Khi U (ast t ) = {1, at , a2t , , ast t −1 , ast t } Bước 2: Xây dựng sinh ước (T) Cây T xây dựng phương pháp quy nạp theo số thừa số dạng phân tích (*) 86 Cơ sở quy nạp: Đầu tiên lấy điểm ghi số làm gốc đồng thời đặt khuyên tròn có mũi tên vào Sau phía phải gốc ta lấy cột gồm s1 + điểm khác ký hiệu từ xuống ước as11 : s1 1, a1 , a21 , , am , , a1 Đặt điểm khuyên tròn, nối điểm với gốc cạnh Hình 3.22 Quy nạp: Giả sử xây dựng phần đầu T đến hết cột đỉnh tương ứng với tập ước ast t Khi đỉnh đỉnh am t , (1 ≤ m ≤ t) với m đỉnh thuộc cột tương ứng với đỉnh at cạnh Hình 3.23 Ta tiếp tục trình xây dựng đặt hết cột đỉnh ghi ước askk đồng thời kẻ xong cạnh nối đỉnh với đỉnh tương ứng 87 Ta gọi số ghi đỉnh nhãn đỉnh, dãy số ghi đỉnh đường α nhãn đường α Do cách xây dựng tương ứng với dạng phân tích số n thành tích lũy thừa số nguyên tố (*), nên T có đặc điểm sau: i, Mỗi nhóm lũy thừa dạng (*) T có đường d chạy từ gốc đến (đỉnh gốc, thuộc cạnh), mà số thuộc nhóm nhãn đỉnh thuộc d đồng thời d đỉnh với nhãn nằm nhóm xét Bởi tích số thuộc nhãn đường d ước n, đồng thời ước n tích số thuộc nhãn đường từ gốc đến ii, Mỗi đường từ gốc đến có nhãn, mà tích số thuộc nhãn ước n Với hai đặc điểm nên T sinh tập ước số n • Tìm tất ước số số 126 Bước 1: Phân tích số 126 thành tích lũy thừa có số nguyên tố: 126 = 2.32 (∗∗) Khi đó: U (2) = {1, 2}, U (9) = {1, 3.9}, U (7) = {1, 7} Bước 2: Xây dựng T: Cây T có dạng hình 3.24 Cây T có 12 lá, nên 126 có 12 ước số khác tập ước 126 là: U (126) = {1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126} Hình 3.24 88 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc nghiên cứu lý thuyết đồ thị vận dụng kết để giải toán phổ thông trung học đạt kết sau: Nhằm mục đích tổng quan số vấn đề lý thuyết đồ thị: Trình bày khái niệm, định nghĩa lý thuyết đồ thị, định lý, tính chất áp dụng thiết thực hiệu để giải toán sơ cấp Làm bật ưu lý thuyết đồ thị việc giải số toán sơ cấp: Nêu số toán liên quan đến đỉnh, cạnh, tô màu, chu trình, đường đồ thị Các toán chứng minh cách cụ thể vận dụng có hiệu việc giải toán sơ cấp liên quan Hệ thống phân loại số lớp toán chương trình toán phổ thông trung học giải cách ứng dụng hiệu lý thuyết đồ thị Bên cạnh toán dành cho học sinh lớp chuyên, lớp chọn, tác giả đưa toán để giảng dạy cho học sinh phổ thông đại trà Tuy nhiên, với khả nghiên cứu khoa học hạn chế, nội dung đề tài tác giả, dù cố gắng nhiều có hạn chế Tác giả mong muốn nhận quan tâm dẫn quý thầy cô đóng góp ý kiến bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 89 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Chúng, 1992, Graph giải toán phổ thông ,NXB Giáo Dục [2] Vũ Đình Hòa, 2008, Giáo trình lý thuyết đồ thị, NXB đại học sư phạm [3] Đặng Huy Ruận, 2000, Lý thuyết đồ thị ứng dụng, NXB khoa học kĩ thuật [4] Đặng Huy Ruận, 2003, Lý thuyết đồ thị toán không mẫu mực [5] Đặng Huy Ruận, 2003, Trò chơi đồ thị, NXB khoa học kĩ thuật [6] Đặng Huy Ruận, 2002, Bảy phương pháp giải toán logic, NXB khoa học kĩ thuật [7] Vũ Dương Thụy (Chủ biên), 2001, 40 năm Olympic toán học quốc tế (1959-2000), NXB Giáo dục [8] Một số luận văn Thạc sĩ toán logic ứng dụng thuộc chuyên ngành "Phương pháp toán sơ cấp" 90 [...]... đỉnh x,y là liên thông Đồ thị vô hướng G = (X, E) được gọi là đồ thị liên thông, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều liên thông Đồ thị có hướng G = (X, E) được gọi là đồ thị liên thông mạnh, nếu mọi cặp đỉnh của nó đều liên thông 16 Giả sử a là đỉnh bất kỳ của đồ thị G = (X, E) Dùng Ca để ký hiệu tập con của các đỉnh thuộc G, gồm đỉnh a và tất cả các đỉnh liên thông với a trong đồ thị G Đồ thị con của G có... liên thông của đồ thị G Ví dụ 1.6 Cho đồ thị G có bốn thành phần liên thông: Các đồ thị con G1 , G3 , G4 là liên thông Đồ thị con G2 liên thông mạnh Hình 1.11 1.5.2 Tính chất Định lí 1.5.1 Đồ thị vô hướng tùy ý với n đỉnh (n ≥ 2), mà tổng bậc của hai đỉnh tùy ý không nhỏ hơn n là đồ thị liên thông Chứng minh Giả sử đồ thị vô hướng G(X, E) có n đỉnh (n ≥ 2) Với mọi cặp đỉnh a, b của đồ thị ta đều có:... tiên của lý thuyết đồ thị Ta có thể xây dựng đồ thị G = (V, E) mô tả bài toán như sau: + Đỉnh: Lấy các điểm trên mặt phẳng hay trong không gian tương ứng với các vùng đất trong sơ đồ Đối tượng của bài toán ở đây là một vùng đất trong sơ đồ Vậy, mỗi đỉnh biểu diễn cho một vùng đất Đồ thị G sẽ có 4 đỉnh A, B, C, D tương ứng với 4 vùng đất + Cạnh: Trong đồ thị G các đỉnh được nối với nhau bằng các cạnh... giữa hai vùng đất Đồ thị G sẽ có 7 cạnh tương ứng với 7 chiếc cầu nối giữa các vùng đất trong sơ đồ Euler đã nghiên cứu bài toán này, mô hình nó bằng một đa đồ thị, bốn vùng được biểu diễn bằng 4 đỉnh, các cầu là các cạnh như đồ thị sau: Hình 2.2 Bài toán tìm đường đi qua tất cả các cầu mỗi cầu không quá một lần có thể được phát biểu lại bằng ngôn ngữ đồ thị như sau: “Trong đa đồ thị G = (V, E) tồn... Nên đồ thị G không có chu trình và liên thông Do đó G là một cây Định lý được chứng minh 32 Chương 2 Một số bài toán đồ thị cơ bản 2.1 2.1.1 Bài toán về đường đi Đường đi Euler - Chu trình Euler 2.1.1.1 Bài toán mở đầu : Bài toán 7 cây cầu ở K¨onigsberg: Thành phố K¨onigsberg thuộc Phổ (bây giờ gọi là Kaliningrad thuộc Cộng hòa Liên bang Nga) được chia thành bốn vùng bằng các nhánh sông Pregel Các. .. là đồ thị tùy ý với |X| = n ≥ 2 Xét hai khả năng sau: 1) Nếu đồ thị có đỉnh bậc 0 thì trong đồ thị không có đỉnh nào kề với đỉnh này, nên mỗi đỉnh của đồ thị có bậc là một trong n − 1 số nguyên: 0, 1, 2, , n − 3, n − 2 2) Nếu đồ thị có đỉnh bậc n − 1 thì đồ thị không có đỉnh bậc 0 Bởi vậy, bậc của mỗi đỉnh thuộc đồ thị là một trong n − 1 số nguyên: 1, 2, , n − 2, n − 1 Từ kết quả trên ta nhận thấy, đồ. .. của khẳng định đối với k + 1 Theo giả thiết, thông đồ thị G gồm (k + 1)n + 1 đỉnh, số đỉnh kề với đỉnh x tùy ý không nhỏ hơn kn + 1, nên số đỉnh không kề với x sẽ không vượt quá n Bởi vậy, mỗi đỉnh y kề với x thì nó kề với nhiều nhất n đỉnh không kề với đỉnh x Do đó, đỉnh y phải kề với ít nhất kn + 1 − n = (k − 1)n + 1 đỉnh kề với đỉnh x Xét đồ thị con G1 gồm các đỉnh kề với x Đồ thị con G1 có ít nhất... 1.3.1 Trong đồ thị hay đa đồ thị tùy ý, tổng số bậc của tất cả các đỉnh bao giờ cũng gấp đôi số cạnh Chứng minh Thật vậy, khi tính bậc của các đỉnh mỗi cạnh vô hướng hặc có hướng đều được tính mỗi đầu đúng một lần, do đó tổng số bậc của tất cả các đỉnh bao giờ cũng gấp đôi số cạnh Định lí 1.3.2 Trong đồ thị hay đa đồ thị tùy ý, số đỉnh bậc lẻ luôn luôn là số chẵn Chứng minh Giả sử đồ thị (đa đồ thị) G =... cạnh thuộc chúng khỏi đồ thị G, ta được đồ thị con G1 có n − 2 đỉnh Theo định lý 1.3 trong G1 có hai đỉnh cùng bậc, chẳng hạn u,v 1) Nếu x, y cùng bậc 0, thì u,v trong G không kề với x,y nên u,v trong G đồng thời là hai đỉnh cùng bậc Như vậy, đồ thị G phải có ít nhất hai cặp đỉnh cùng bậc 10 2) Nếu x, y đều bậc n − 1 Khi đó, mỗi đỉnh u, v đều kề đồng thời với x, y nên trong đồ thị G các đỉnh u, v cũng... Định lí 1.3.6 Với mọi số tự nhiên n (n > 2) luôn luôn tồn tại đồ thị n đỉnh, mà ba đỉnh tùy ý của đồ thị đều không cùng bậc Chứng minh 1) Với n = 3 đồ thị G3 gồm một đỉnh bậc 0 và hai đỉnh bậc 1 11 2) Giả sử khẳng định đúng với đồ thị Gn có n đỉnh Đồ thị Gn+1 có n + 1 đỉnh được xây dựng như sau: a Nếu Gn có đỉnh bậc n − 1, thì không có đỉnh bậc 0, nên ta ghép vào Gn đỉnh x bậc 0 và được đồ thị Gn+1 gồm