Thông tin tài liệu
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂM 2013 MƠN: TỐN CHUN ĐỀ SỐ Thời gian: 150 phút Câu I: Cho phương trình: x 4mx m2 2m 0(1) với m tham số a) Tìm m cho phương trình (1) có hai nghiệm x1; x khơng thể trái dấu b) Tìm m cho: phân biệt Chứng minh rằng: x1 x2 Câu II: Giải hệ phương trình: 3x 2y 2z x 2 3y 2z 2x y 2 3z 2x 2y z 2 Câu III: Cho x, y hai số khơng âm thỏa mãn a) Chứng minh rằng: y x 1 b) Chứng minh rằng: x3 y3 x y Câu IV: Cho x1; x M a2 3a x3 y3 x y với a số ngun dương a) Chứng minh ước M số lẻ b) Tìm a cho M chia hết cho Với giá trị a M lũy thừa 5? Câu V: Cho ABC có A 600 Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng ID cắt EF K, đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M, N a) Chứng minh rằng: tứ giác IFMK IMAN nội tiếp b) Gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng c) Gọi r bán kính đường tròn (I) S diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r chứng minh SIMN S ( SIM N diện tích IMN ) Câu VI: Trong kỳ thi, 60 thí sinh phải giải tốn Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh ln có tốn mà hai thí sinh giải Chứng minh rằng: a) Nếu có tốn mà thí sinh khơng giải phải có tốn khác mà thí sinh giải b) Có tốn mà có 40 thí sinh giải ĐÁP ÁN Câu I: a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x ' 4m2 m2 2m 3m2 m 3m m 3m 1 3m 1 3m 1 m 1 m vàm > -1 3m vàm m m < vàm < -1 3m vàm m 1 Khi đó: Do x1.x m2 2m m 1 x1; x khơng thể trái dấu b) Phương trình có hai nghiệm khơng âm x1; x c m 1 (á p dụng câu a) m hoặ ' m S x1 x 4m P x x m Ta có: x1 x x1 x x1x 4m 4m m m m 1 1 4m 4m 0 m 4m 4m 1 m 2m 4m m m (thích hợp) 2 2m 4m 4m m m 2 Vậy m giá trị cần tìm Câu II: Ta có: 3x 2y 1 3y 2z 3z2 2x 2z x 2 2x y 2 2y z 2 3x 2y 3y 2z 3z2 2x 2zx 4z 2xy 4x 2yz 4y x 2xy y x 2zx z2 y 2yz z2 x 2x y 2y z2 2z 2 2 2 2 x y x z y z x 1 y 1 z 1 2 2 x y x z y z x 1 y 1 z 1 x y; x z; y z; x 1; y 1; z x y z Thử lại, ta có: x; y;z 1;1;1 nghiệm hệ phương trình cho Câu III: a) Ta có: Do : x 0; y x y x3 y3 Ta có : Nên Mà Vậy b) Nên xy xy x y x3 y3 x y x y x xy y x3 y3 từ Ta có : x = y = Nên x y x y x xy y x xy y x Nên x2 Mà y x 1 ta có : x x0 xy y Nên x y x 1 0 y x 1 nên y3 y2 ; x3 x2 Vì x xy y Vậy x3 y3 x y x y x y x xy y Nếu x = y Nếu Do : x xy y x y x3 y x y Do đó: x2 y2 x3 y3 x y Câu IV: a) M a2 3a a2 a 2a a a 1 2a số lẻ (Vì a, a + hai số ngun dương liên tiếp nên a a 1 ) Do ước M số lẻ b) M a2 3a a2 2a 5a a 1 5a Ta có: M 5; 5a Do đó: a 1 Nên a 15 a 5k 1 k N Ta có : a chia cho dư 1, tức Đặt a2 3a 5n n N * Ta có : 5n Ta có : 5k 1 ( n N theo ta có : * a1 nên a2 3a ) a 5k 1 k N 3 5k 1 5n 25k 10k 15k 5n 25k k 1 5n * Nếu n2 ta có : 5n 52 Vậy n = Ta có : , mà 25k k 1 52 ; 25k k 1 0; k N khơng chia hết cho 52 : vơ lí Do : k = Nên a = Câu V : A M E K N F I D B a) Ta có : MN // BC (gt), C J ID BC ((I) tiếp xúc với BC D) ID MN IK MN IKM IKN 900 IFM IKM 900 900 1800 Tứ giác IFMK nội tiếp Mặt khác : Ta có : IKN IEN 900 IMF IKF IMF ANI Tứ giác IKEN nội tiếp (Tứ giác IFMK nội tiếp) ; Tứ giác IMAN nội tiếp IKF ANI (Tứ giác IKEN nội tiếp) b) Ta có : IMK IFK Tứgiác IFMK nộitiế p c IKEN nộ i tiếp IN K IEK Tứgiá Mặt khác : IE = IF (= r) IEF cân I cân I có IK đường cao IMN IK đường trung tuyến IMN K trung điểm MN MN 2.MK Mà BC = 2.BJ (J trung điểm BC) Do đó: MN 2.MK MK BC 2.BJ BJ Mặt khác: ABC AM MN AB BC Ta có: Xét có MN // BC (Hệ định lý Thales) AM MK MN AB BJ BC AMK ABJ , ta có: AMK ABJ hai gó c đồ ng vòvàMN // BC AM MK AB BJ AMK ABJ c g c MAK BAJ Hai tia AK, AJ trùng Vậy ba điểm A, K, J thẳng hàng c) AE, AF tiếp tuyến đường tròn (I) AE = AF, AI tia phân giác EAF AEF cân A có EAF 600 (gt) AEF EF = AE = AF AEF có AI đường phân giác AI đường cao AEF AI EF S AI.EF IAE vng E AE = IE.cotIAE; IE = AI.sin.IAE AE r.cot 300 3.r; AI r 2r sin300 Vậy EF = AE = 3.r 1 S AI EF 2r 3.r 3.r (đvdt) 2 Vậy Gọi H giao điểm AI EF Ta có: IH EF, H trung điểm EF IHF vng H Do đó: Xét IH IF.cosHIF r.cos600 r 3.r SIEF IH EF IMN HIF 600 IEF (đvdt) , ta có: IMN IFE;INM IEF Do đó: S IM IMN SIEF IF Do đó: Ta có: Vậy IEF g g IMN Mà IF FM IM IF IM 1 IF SIM N SIMN SIEF SIEF S 3.r ; SIEF SIMN 3.r ; SIMN SIEF S Câu VI: Gọi ba tốn A, B, C a) Khơng tính tổng qt, giả sử thí sinh khơng giải tốn A Nếu thí sinh khơng giải tốn B từ giả thiết ta có thí sinh giải tốn C Nếu thí sinh giải tốn B tốn C ta có thí sinh giải tốn B; tốn C Nếu có thí sinh giải tốn, giả sử giải tốn B Xét học sinh với tất học sinh lại Theo giả thiết, có thí sinh giải tốn B Vậy có tốn mà thí sinh khơng giải phải có tốn khác mà thí sinh giải b) Theo giả thiết ta có thí sinh giải tốn Nếu có thí sinh giải tốn Xét học sinh với tất học sinh lại, ta có thí sinh giải tốn Ta xét trường hợp mà thí sinh giải hai tốn Gọi số thí sinh giải A, B mà khơng giải C x, số thí sinh giải B, C mà khơng giải A y, số thí sinh giải A, C mà khơng giải B z, số thí sinh giải A, B, C t (x, y, z, t N ) Ta có: x y z t 60 (1) Cách 1: Giả sử có điều trái với kết luận tốn Ta có: x + z + t < 40; x + y + t < 40; y + z + t < 40 Do : x + z + t + x + y + t + y + z + t < 40 + 40 + 40 x y z t t 120 Kết hợp (1) ta có : t < Điều vơ lí Điều giả sử sai Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải Cách : Ta có : số học sinh khơng giải A y, khơng giải B z, khơng giải C x Nếu x > 20 ; y > 20 ; z > 20 x + y + z > 60 Mâu thuẫn (1) Do : ba số x, y, z phải có số khơng vượt q 20 Như có tốn mà có nhiều 20 thí sinh khơng giải Do tốn có 40 thí sinh giải Vậy có tốn mà có 40 thí sinh giải
Ngày đăng: 16/06/2016, 18:56
Xem thêm: thi vao lop 10 chuyen toan, thi vao lop 10 chuyen toan