ĐỀ THI VÀO LỚP 10 NĂM 2013 ĐỀ SỐ MÔN: TOÁN CHUYÊN Thời gian: 150 phút Bài 1: (2 điểm) a) Cho A = 20122  20122.20132  20132 Chứng minh A số tự nhiên  x x  y2  y   b) Giải hệ phương trình  x   x   y y Bài 2: (2 điểm) a) Cho Parbol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = (m +2)x – m + Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt có hoành độ dương b) Giải phương trình: + x + (4  x)(2x  2)  4(  x  2x  2) Bài 3: (2 điểm) a) Tìm tất số hữu tỷ x cho A = x2 + x+ số phương b) Cho x > y > Chứng minh : (x  y3 )  (x  y ) 8 (x  1)(y  1) Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE CF Tiếp tuyến B C cắt S, gọi BC OS cắt M a) Chứng minh AB MB = AE.BS b) Hai tam giác AEM ABS đồng dạng c) Gọi AM cắt EF N, AS cắt BC P CMR NP vuông góc với BC Bài 5: (1 điểm) Trong giải bóng đá có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn lượt (hai đội thi đấu với trận) a) Chứng minh sau vòng đấu (mỗi đội thi đấu trận) tìm ba đội bóng đôi chưa thi đấu với b) Khẳng định không đội thi đấu trận? HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2 điểm) a) Cho A = 20122  20122.20132  20132 Đặt 2012 = a, ta có 2012  20122.20132  20132  a  a (a  1)  (a  1)  (a  a  1)  a  a  x y  a  b) Đặt  Ta có x   b  y   x  x  x     x  y2  y    y y    x   x  x   x    y y y y   b  a   b  b   a   a   nên  v  b  3 b  b  a  b  a  Bài 2: a) ycbt tương đương với PT x2 = (m +2)x – m + hay x2 - (m +2)x + m – = có hai nghiệm dương phân biệt b) Đặt t =  x  2x  Bài 3: a) x = 0, x = 1, x= -1 không thỏa mãn Với x khác giá trị này, trước hết ta chứng minh x phải số nguyên +) x2 + x+ số phương nên x2 + x phải số nguyên +) Giả sử x  m với m n có ước nguyên lớn n m m m  mn Ta có x + x =   số nguyên m2  mn chia hết cho n2 n n n nên m2  mn chia hết cho n, mn chia hết cho n nên m2 chia hết cho n m n có ước nguyên lớn 1, suy m chia hết cho n( mâu thuẫn với m n có ước nguyên lớn 1) Do x phải số nguyên Đặt x2 + x+ = k2 Ta có 4x2 + 4x+ 24 = k2 hay (2x+1)2 + 23 = k2 tương đương với k2 - (2x+1)2 = 23 (x  y3 )  (x  y ) x (x  1)  y (y  1) =  (x  1)(y  1) (x  1)(y  1) (x  1)  2(x  1)  (y  1)  2(y  1)    y 1 x 1 2  (x  1) (y  1)   2(y  1) 2(x  1)   1          x    x 1 y    y  x    y 1 x2 y2  y 1 x 1 Theo BĐT Côsi (x  1) (y  1) (x  1) (y  1)  2  (x  1)(y  1) y 1 x 1 y 1 x 1 2(y  1) 2(x  1) 2(y  1) 2(x  1)   4 x 1 y 1 x 1 y 1 1 1  2 y 1 x 1 y  x 1   2  (x  1)(y  1)   2.2  y 1 x 1  1 (x  1)(y  1)  y  x 1 Bài C S P M E Q N A O F B a) Suy từ hai tam giác đồng dạng ABE BSM b) Từ câu a) ta có AE MB  (1) AB BS Mà MB = EM( tam giác BEC vuông E có M trung điểm BC Nên AE EM  AB BS Có MOB  BAE,EBA  BAE  900 , MBO  MOB  900 Nên MBO  EBA MEB  OBA( MBE) Suy MEA  SBA (2) Từ (1) (2) suy hai tam giác AEM ABS đồng dạng(đpcm.) c) Dễ thấy SM vuông góc với BC nên để chứng minh toán ta chứng minh NP //SM + Xét hai tam giác ANE APB: Từ câu b) ta có hai tam giác AEM ABS đồng dạng nên NAE  PAB , Mà AEN  ABP ( tứ giác BCEF nội tiếp) Do hai tam giác ANE APB đồng dạng nên AN AE  AP AB Lại có AM AE  ( hai tam giác AEM ABS đồng dạng) AS AB Suy AM AN  nên tam giác AMS có NP//SM( định lí Talet đảo) AS AP Do toán chứng minh Bài a Giả sử kết luận toán sai, tức ba đội có hai đội đấu với Giả sử đội gặp đội 2, 3, 4, Xét (1; 6; i) với i Є{7; 8; 9;…;12}, phải có cặp đấu với nhau, nhiên không gặp hay i nên gặp i với i Є{7; 8; 9;…;12} , vô lý đội đấu trận Vậy có đpcm b Kết luận không Chia 12 đội thành nhóm, nhóm đội Trong nhóm này, cho tất đội đôi thi đấu với Lúc rõ ràng đội đấu trận Khi xét đội bất kỳ, phải có đội thuộc nhóm, đội đấu với Ta có phản ví dụ Có thể giải đơn giản cho câu a sau: Do đội đấu trận nên tồn hai đội A, B chưa đấu với Trong đội lại, A B đấu trận với họ nên tổng số trận A, B với đội nhiều đó, tồn đội C số đội lại chưa đấu với A B Ta có A, B, C ba đội đôi chưa đấu với