Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 01) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Khoảng đồng biến nghịch biến hàm số thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Khoảng đồng biến nghịch biến hàm số, Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Nhắc lại định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng hàm số y f ( x) xác định K - Hàm số gọi đồng biến K x tăng y tăng mà x giảm y giảm - Hàm số gọi nghịch biến K x tăng y giảm mà x giảm y tăng Chú ý: - Nếu hàm số y f ( x) đồng biến K đồ thị lên theo hướng từ trái sang phải - Nếu hàm số y f ( x) đồng biến K đồ thị xuống theo hướng từ trái sang phải - Nếu hàm số đồng biến kí hiệu Nếu hàm số nghịch biến kí hiệu Dấu hiệu nhận biết tính đồng biến, nghịch hàm số Định lý: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm K - Nếu y’ > K hàm số đồng biến K - Nếu y’ < K hàm số nghịch biến K Quy tắc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số (khoảng đơn điệu) hàm số y f ( x) Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tìm điểm xi (i 1,2, , n) làm cho y’ = y’ khơng xác định (nếu có) Bước 3: Lập bảng xét dấu Bước 4: Kết luận Chú ý: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số gọi xét biến thiên hàm số Ví dụ: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y x3 3x 2 y y x x 10 y x3 3x x x4 2x2 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Khoảng đồng biến nghịch biến hàm số thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn để giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Khoảng đồng biến nghịch biến hàm số Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu (Tài liệu dùng chung 01+02+03) Bài Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: y x x 2 y x 2x 3x y 2x x2 x 2x Bài Xét chiều biến thiên hàm số: y y 2x 3x y cos2 x y x (1 x) y x cos x cos ; x x cos 1 cos x ;x 0, tham số Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số: y x mx (m 6) x 2m đồng biến R (đồng biến với x) (m 1) x mx (3m 2) x Tìm m để hàm số ln đồng biến Bài Cho hàm số: y Bài Cho hàm số: y (m 1) x mx m Tìm m để hàm số đồng biến (1, Bài Cho hàm số: y ) (m2 5m) x3 6mx x Tìm m để hàm số đơn điệu R Khi hàm số đồng biến hay nghịch biến? m Bài Cho hàm số: y x x Tìm m để hàm số đồng biến tập xác định (đồng biến khoảng xác định nó) Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Khoảng đồng biến nghịch biến hàm số thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn để giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức giáo viên truyền đạt giảng Khoảng đồng biến nghịch biến hàm số Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu (Tài liệu dùng chung 01+02+03) Bài Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: y x x Giải Hàm số đồng biến khoảng (-1;0) (1; ) ; nghịch biến khoảng (- ; -1) (0;1) y x 2x Giải Hàm số đồng biến khoảng (- ;-1) (1;+ Nghịch biến khoảng (-1;1) 3x y 2x Giải 1 Hàm số đồng biến khoảng ( ; ) ( , 2 y ); ) x2 x 2x Giải Hàm số đồng biến khoảng ( ; ) ( ; ); Nghịch biến khoảng ( 1 ; ) ( ; ) 2 2 Bài Xét chiều biến thiên hàm số: y 2x 3x Giải TXĐ: D ; 3 3x Bảng biến thiên: Ta có: y ' 3x ; y' 3x Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt 3x x 89 48 Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương x 89 48 - y' Khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số + y Hàm số nghịch biến khoảng y cos2 x Giải y ' sin x cos x sin x sin x cos x ;x 0, 2sin x cos x y' 89 89 ; ; ; đồng biến khoảng 48 48 sin x x 0, x x sin x(2 cos x 3) Bảng biến thiên: 0 x + y' - y Hàm số đồng biến khoảng 0, (Chú ý: Với x y x (1 x) 0, ; nghịch biến khoảng , sin x nên dấu y’ dấu cos x ) Giải TXĐ: R Ta có: y ' 1 3x ; y' 27 x (1 x) x Dấu y’ dấu (1-3x)(1-x) Do ta có bảng biến thiên sau: x + + + + y' y Hàm số đồng biến khoảng y x cos x cos ; x x cos ; (1; ) ; nghịch biến khoảng ( ; 1) tham số Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Giải TXĐ: R Ta có: y ' 2sin ( x 1) ; y' ( x 2 x.cos 1) Bảng biến thiên: x y' + x2 -1 x 1 - + + y Hàm số đồng biến khoảng ( ; 1) (1; + ); nghịch biến khoảng (-1;1) Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số: y x mx (m 6) x 2m đồng biến R (đồng biến với x) Giải TXĐ: R Để hàm số đồng biến R (đồng biến với x) ta phải có y ' x x 2mx m x ' m2 m m (m 1) Bài Cho hàm số: y x mx (3m 2) x Tìm m để hàm số ln đồng biến Giải y ' (m 1) x 2mx 3m Để hàm số ln đồng biến y ' x + Với m-1 =  m = y’ = 2x +1 đổi dấu x vượt qua Vậy hàm số đồng biến Bài Cho hàm số: y (m 1) x mx m Tìm m để hàm số đồng biến (1, ) Giải y ' 4(m 1) x3 2mx x 2(m 1) x m Hàm số đồng biến (1; ) y' x 1; +) m = y’ = -2x Khi y’ lớn 1; => m = không thỏa mãn +) m-1 >  m > 1, y’ = có nghiệm Khi ta có dấu y’ sau: - - m 2( m 1) m 2(m 1) + Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt - + + Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương y' x m 2(m 1) 1; Khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số m 2(m 1) m +) m – <  m < Xét f(x) = 2(m - 1)x2 – m f 8m(m 1); m - Nếu m kết hợp với m < => m f ( x) x 8m => dấu y ' x 2(m 1) x m sau: - Nếu m y’ có nghiệm Khi dấu y ' x 2(m 1) x m sau: - + - Vậy khơng thể có y ' (1; + ) Đáp số: m (m2 5m) x3 6mx x Bài Cho hàm số: y Tìm m để hàm số đơn điệu R Khi hàm số đồng biến hay nghịch biến? Giải y' 3(m2 5m) x 12mx Hàm số đơn điệu R y’ không đổi dấu Xét trường hợp sau: +) m2 5m m m Với m = => y’ = > => Hàm số đơn điệu R hàm số đồng biến Với m = -5 => y’ = -60x + => Hàm số đổi dấu x vượt qua (không thỏa mãn) 10 m +) m2 5m m Khi y’ khơng đổi dấu ' 3m2 5m Với điều kiện ta có: 3(m2 5m) Kết luận: 5 m y ' R => Hàm số đồng biến R m hàm số đơn điệu R cụ thể hàm số ln đồng biến m x Tìm m để hàm số đồng biến TXĐ (đồng biến khoảng xác định nó) Giải TXĐ: x m y' ( x 1) Bài Cho hàm số: y - Nếu m y’ > x x hàm số đồng biến khoảng ( ;1) (1;+ ), tức đồng biến TXĐ Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương - Nếu m > y ' x2 Khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số 2x m , y' ( x 1) x m Ta có bảng biến thiên: x y' - + m - - + m + y Hàm số nghịch biến (1- m ;1) (1;1+ m ) nên đồng biến tập xác định Đáp số : m Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 02) TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Đây tài liệu tóm lược kiến thức kèm với giảng Khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn Để nắm vững kiến thức phần Khoảng đồng biến nghịch biến hàm số, Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Ví dụ 5: y x2 x x Ví dụ 6: y 2x 4x 2( x 1) Ví dụ 7: y 3x x Ví dụ 8: y x x 10 Ví dụ 9: y Ví dụ 10: y x x x2 x2 sin 20 x cos 20 x x 0; Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu ñược biên soạn kèm theo giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến hàm số thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn ñể giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến hàm số ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ tập tài liệu (Tài liệu dùng chung 01+02+03) Bài Xét ñồng biến, nghịch biến hàm số: 1 y = x − x + 2 y = x − x + 3x + y = 1− 2x x2 − x + 2x −1 Bài Xét chiều biến thiên hàm số: y = y = x − − x − 1 y = − cos2 x − cos x + ; x ∈ [ 0, π ] 2 y = x (1 − x) y = x cosα − x + cosα ; α tham số x − x cos α + 1 Bài Tìm giá trị tham số m ñể hàm số: y = x + mx + (m + 6) x − 2m − ñồng biến R (ñồng biến với x) ( m − 1) Bài Cho hàm số: y = x + mx + (3m − 2) x Tìm m để hàm số ln đồng biến Bài Cho hàm số: y = ( m − 1) x − mx + − m Tìm m để hàm số đồng biến (1, +∞ ) Bài Cho hàm số: y = −( m + 5m) x3 + 6mx + x − Tìm m để hàm số đơn điệu R Khi hàm số đồng biến hay nghịch biến? m Bài Cho hàm số: y = x + + x −1 Tìm m để hàm số ñồng biến tập xác ñịnh (ñồng biến khoảng xác định nó) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Khoảng ñồng biến, nghịch biến hàm số KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu ñược biên soạn kèm theo giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến hàm số thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn ñể giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến hàm số ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm ñầy ñủ tập tài liệu (Tài liệu dùng chung 01+02+03) Bài Xét ñồng biến, nghịch biến hàm số: 1 y = x − x + Giải Hàm số ñồng biến khoảng (-1;0) (1; +∞) ; nghịch biến khoảng (- ∞ ; -1) (0;1) 2 y = x − x + Giải Hàm số ñồng biến khoảng (- ∞ ;-1) (1;+ ∞ ); Nghịch biến khoảng (-1;1) 3x + y = 1− 2x Giải 1 Hàm số ñồng biến khoảng (−∞; ) ( , +∞) 2 x2 − x + 2x −1 Giải y = Hàm số ñồng biến khoảng (−∞; 1− 1+ ) ( ; +∞) ; 2 1− 1 1+ ; ) ( ; ) Nghịch biến khoảng ( 2 2 Bài Xét chiều biến thiên hàm số: y = x − − x − Giải 5  TXð: D =  ; +∞  3  3x − − 89 = ; y ' = ⇔ 3x − = ⇔ x = 48 3x − 3x − Bảng biến thiên: Ta có: y ' = − Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các tốn liên quan đến khảo sát hàm số DỰA VÀO ðỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu ñược biên soạn kèm theo giảng Dựa vào ñồ thị biện luận số nghiệm phương trình thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn ñể giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt giảng Dựa vào ñồ thị biện luận số nghiệm phương trình ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm ñầy ñủ tập tài liệu 3 x − x +5 a Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho Bài 1: Cho hàm số: y = b Tìm m để phương trình: x3 − x + m = có nghiệm thực phân biệt Giải: a Các em tự khảo sát b Ta có: x3 − x + m = ⇔ 3 m x − x +5 =5− 4 Do để phương trình cho có nghiệm phân biệt đường thẳng y = − ñiểm phân biệt ⇔ −3 < − m phải cắt ñồ thị (C) m < ⇔ < m < 32 Bài 2: Cho hàm số: y = − x + x − a Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho b Tìm m để phương trình: x3 − x − m = có nghiệm phân biệt, ñó có nghiệm nhỏ Giải: a Các em tự khảo sát b Ta có: x3 − x − m = ⇔ − x + x − = −m − Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các tốn liên quan đến khảo sát hàm số ðặt − m − = M ⇒ (*) ⇔ − x + x − = M Do để phương trình cho có nghiệm phân biệt, có nghiệm nhỏ đồ thị:  y = − x + x − (C ) phải cắt điểm phân biệt, có hồnh độ nhỏ   y = M , M ∈ (−∞; +∞) ⇔ −2 < M < ⇔ −2 < −m − < ⇔ < −m < ⇔ −2 < m < ðáp số: −2 < m < Bài 3: Cho hàm số: y = x3 − x (1) a Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số (1) b Tìm m để phương trình: x3 − x = 2m có nghiệm phân biệt m2 + Giải: a Các em tự khảo sát b ðặt 2m = M , −1 ≤ M ≤ m2 + coi M hàm số biến m, ñó ta có M ' = −2m + ; M ' = ⇔ m = ±1 (m + 1)2 Bảng biến thiên : m -∞ M’ M -1 - +∞ + 0 - -1 Từ bảng biến thiên suy −1 ≤ M ≤ Khi phương trình cho ⇔ x − x = M , M ∈ [ −1;1] Số nghiệm phương trình số nghiệm ñồ thị: y = x3 − x (C ) y = M với M ∈ [ −1;1] Do để phương trình cho có nghiệm phân biệt đồ thị:  y = x3 − x (1) phải cắt ñiểm phân biệt   y = M ( M ∈ [ −1;1]) ⇔ −1 ≤ M ≤ ⇔ −1 ≤ 2m ≤1 m2 + 2 m + 2m + ≥ (m + 1) ≥ ⇔ − m − ≤ 2m ≤ m + ⇔  ⇔ ∀m m − 2m + ≥ (m − 1) ≥ Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các toán liên quan ñến khảo sát hàm số Bài 4: Cho hàm số y = x − x + a Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số b Biện luận số nghiệm phương trình x − x − = m theo tham số m x −1 Giải: a Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị hàm số y = x − x + • Tập xác định: Hàm số có tập xác định D = R x = Sự biến thiên: y ' = x − x Ta có y ' = ⇔  x = yCD = y ( ) = 2; yCT = y ( ) = −2 • Bảng biến thiên: ðồ thị: b Biện luận số nghiệm phương trình x − x − = Ta có x − x − = m theo tham số m x −1 m ⇔ ( x − x − ) x − = m, x ≠ x −1 Do số nghiệm phương trình số giao điểm y = ( x − x − ) x − , ( C ' ) ñường thẳng y = m, x ≠  f ( x ) x > • Vì y = ( x − x − ) x − =  nên ( C ' ) bao gồm: − f ( x ) x < + Giữ nguyên ñồ thị (C) bên phải ñường thẳng x = Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các tốn liên quan đến khảo sát hàm số + Lấy ñối xứng ñồ thị (C) bên trái ñường thẳng x = qua Ox ðồ thị: • Dựa vào đồ thị ta có: + m < −2 : Phương trình vơ nghiệm; + m = −2 : Phương trình có nghiệm kép; + −2 < m < : Phương trình có nghiệm phân biệt; + m ≥ : Phương trình có nghiệm phân biệt Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các tốn liên quan đến khảo sát hàm số CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ TÀI LIỆU BÀI GIẢNG Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây tài liệu tóm lược kiến thức ñi kèm với giảng Các toán tiếp tuyến đồ thị hàm số thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn ðể nắm vững kiến thức phần Các tốn tiếp tuyến đồ thị hàm số, Bạn cần kết hợp xem tài liệu với giảng A) Cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y = f ( x) ñi qua M ( x0 ; y0 ) Giải: - ðường thẳng d ñi qua M ( x0 ; y0 ) với hệ số góc k có phương trình: y = k ( x − x0 ) + y0 (*) - ðể d tiếp tuyến (C) (tiếp xúc với (C)) hệ sau phải có nghiệm:  f ( x) = k ( x − x0 ) + y0   f '( x) = k - Giải hệ tìm ñược k; thay k vào (*) ta ñược phương trình trình tiếp tuyến cần tìm Bài tập mẫu x − x (C ) a) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua M(3; 0) Cho hàm số y = 2x +1 (C ) x +1 a) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho Cho hàm số y = b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua M(-1; 3) x4 − 3x + 2 a) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho Cho hàm số y =  3 b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua M  0;   2 B) Cách viết phương trình tiếp tuyến đường thẳng biết tiếp tuyến // vng góc với đường thẳng cho trước Chú ý: ∆ : y = ax + b Nếu d / / ∆ ⇒ d có phương trình: y = ax + m Nếu d ⊥ ∆ ⇒ d có phương trình: y = − x+n a Bài tập mẫu −x − (C ) 2− x a) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho Cho hàm số y = Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các tốn liên quan đến khảo sát hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng ∆ : y = −4 x + 2012 2 Cho hàm số y = x − x + (C ) 3 a) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = − x + 3 C) Công thức viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) y = f ( x) M ( x0 ; y0 ) , M tiếp ñiểm là: y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 Trong y '( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến M Bài tập mẫu Cho hàm số y = x − x (C ) a) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ -2 2x +1 x−2 a) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết hệ số góc tiếp tuyến -5 Cho hàm số: y = Giáo viên : Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các tốn liên quan đến khảo sát hàm số CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu ñược biên soạn kèm theo giảng Các toán tiếp tuyến đồ thị hàm số thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn ñể giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt giảng Các tốn tiếp tuyến đồ thị hàm số ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài Cho hàm số: y = − x + x − (C) a Khảo sát vẽ đồ thị (C) b Tìm ñường y = ñiểm mà từ ñó kẻ ñược tới (C) tiếp tuyến 2x −1 Bài Cho hàm số: y = (C) x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ (C) b Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1, 2) đến tiếp tuyến 2 Bài Cho hàm số: y = x − ( m + 1) x + (m − 1) x + (1) a Khảo sát vẽ ñồ thị m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox ñiểm phân biệt A(1, 0), B, C cho tiếp tuyến B C song song với 2x − Bài Cho hàm số: y = (C) x−2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C) b Tìm M ∈ (C ) cho tiếp tuyến (C) M cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn 2x −1 (C) x +1 a Khảo sát vẽ ñồ thị (C) b Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M ñường thằng ñi qua hai ñiểm M, I (I giao ñiểm tiệm cận ñứng tiệm cận ngang) có tích hệ số góc -9 Bài Cho hàm số: y = Bài Cho hàm số: y = x − x + (C) a Khảo sát vẽ (C) b Tìm (C) ñiểm A, B phân biệt cho tiếp tuyến (C) A B có hệ số góc ðồng thời đường thẳng qua A B vng góc với đường thẳng d: x + y – = x3 x2 − + x + (C) 3 a Khảo sát vẽ đồ thị (C) b Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc lớn Bài Cho hàm số y = x − x + (C) 2 a Khảo sát vẽ ñồ thị (C) b Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt (C) ñiểm phân biệt Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Bài Cho hàm số: y = − Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các tốn liên quan đến khảo sát hàm số CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ðỒ THỊ HÀM SỐ ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG Các tập tài liệu ñược biên soạn kèm theo giảng Các tốn tiếp tuyến đồ thị hàm số thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn ñể giúp Bạn kiểm tra, củng cố lại kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt giảng Các toán tiếp tuyến ñồ thị hàm số ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài Cho hàm số: y = − x + x − (C) a Khảo sát vẽ ñồ thị (C) b Tìm đường y = ñiểm mà từ ñó kẻ ñược tới (C) tiếp tuyến Giải b – Lấy M thuộc ñường y = => M(a; 2) - ðường thẳng d ñi qua M với hệ số góc k có phương trình: y = k(x – a) + (*) - ðể d tiếp tuyến (C) hệ sau phải có nghiệm: −  x + x − = k ( x − a ) + (1)  −3 x + x = k (2) Thế (2) vào (1) ta có: − x + x − = ( −3 x + x)( x − a ) + ⇔ x − (3 + 3a ) x + 6ax − = ⇔ ( x − 2)  x − (3a − 1) x +  = (3) Ta nhận thấy với nghiệm x thu đươc từ phương trình (3) thay vào (2) ta ñược k thay k vào (*) ta tiếp tuyến Do để từ M kẻ tiếp tuyến tới (C) phương trình (3) phải có nghiệm phân biệt ⇔ x − (3a − 1) x + = phải có nghiệm phân biệt khác  a < −1  5 ∆ = 9a − 6a − 15 > a < −1; a > ⇔ ⇔ 3⇔ k > -3 x   y = x3 − x +  y = (3 x − 3) − x + Ta có tạo ñộ A, B nghiệm hệ:  ⇔ 3 x − = k 3 x − = k    kx k  k   y = − 2x + =  −  x + y =  − 2 x + ⇔ ⇔ 3  3  3 x − = k 3 x − = k   k  => Phương trình đường thẳng AB y =  −  x + 3  k k  ðể AB vng góc với d ta phải có:  −  (−1) = −1 ⇔ − = ⇔ k = 3   y = x3 − 3x +  y = x − x + Vậy tọa ñộ A, B thỏa mãn:  => A(2; 4); B(-2; 0) ⇔ 3 x − =  x = ±2 x3 x2 − + x + (C) 3 a Khảo sát vẽ ñồ thị (C) b Tìm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc lớn Giải Bài Cho hàm số: y = −  x3 x2 4 b - M ∈ (C ) ⇒ M  xo ; − o − o + xo +  3  - Hệ số góc tiếp tuyến (C) M là: 1 9  y '( xo ) = − xo2 − xo + = −  xo +  + ≤ 2 4  => y’(xo) lớn  1 ⇔ xo = − ⇒ M  − ;   4 x − x + (C) 2 a Khảo sát vẽ đồ thị (C) b Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt (C) ñiểm phân biệt Giải Bài Cho hàm số y =  a4 5 b Lấy M thuộc (C) ⇒ M  a; − 3a +  2  - Phương trình tiếp tuyến (C) M d: y = y '(a ).( x − a ) + a4 − 3a + 2 a4 − 3a + 2 - ðể d cắt (C) ñiểm phân biệt phương trình: ⇔ y = ( 2a − 6a ) ( x − a ) + Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Các tốn liên quan đến khảo sát hàm số a4 x − x + = (2a − 6a )( x − a ) + − 3a + 2 2 ⇔ x − x = 2(2a − 6a )( x − a ) + a − 6a ⇔ x − x − ( 4a − 12a ) x + 3a − 6a = phải có nghiệm phân biệt ⇔ ( x − a ) ( x + 2ax + 3a − 6) = phải có nghiệm phân biệt ⇔ ( x + 2ax + 3a − 6) = phải có nghiệm phân biệt x ≠ a  − < a < −1  ∆ ' = − 2a > − < a < ⇔ ⇔ ⇔  −1 < a < 6a − ≠ ⇔ a ≠ ±1  a + 2a.a + 3a − ≠ 1 < a <  a4 5 Vậy M  a; − 3a +  với a ∈ − 3; −1 ∪ (−1;1) ∪ 1; tiếp tuyến (C) M cắt (C) 2  ñiểm phân biệt ( ) ( ) Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương ðề kiểm tra định kì số 01 ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KÌ SỐ 01 MƠN: TỐN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây đề kiểm tra định kì số 01 thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn ðể ñạt ñược kết cao học tập, Bạn cần tự làm trước đề, sau kết hợp xem với ñáp án Thời gian làm bài: 45 phút Bài (6,0 ñiểm) Cho hàm số: y = − x + x − x + a) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C ) hàm số ñã cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) giao điểm (C ) với trục hồnh c) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x3 − x + x − + m = 2 Bài (2,0 ñiểm) Cho hàm số y = x3 − mx − 2(3m − 1) x + , m tham số thực 3 Tìm m để hàm số có hai ñiểm cực trị x1 x2 cho x1 x2 + 2( x1 + x2 ) = Bài (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x − 3x + ñoạn [ 0; 2] x +1 Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra định kì số 01 HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KÌ SỐ 01 MƠN: TỐN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG ðây ñáp án ñề kiểm tra định kì số 01 thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương website Hocmai.vn ðể ñạt ñược kết cao học tập, Bạn cần tự làm trước đề, sau kết hợp xem với tài liệu Bài (6,0 ñiểm) ðáp án ðiểm a (4,0 ñiểm) Tập xác ñịnh: D = R ðạo hàm: y′ = −3 x + 12 x − x = Cho y′ = ⇔ −3 x + 12 x − = ⇔  x = Giới hạn: lim y = +∞ ; lim y = −∞ x →−∞ 1,0 x →+∞ Hàm số ñồng biến khoảng (1;3), nghịch biến khoảng (–∞;1), (3;+∞) 1,0 Hàm số ñạt cực ñại y Cð = x Cð = ; ñạt cực tiểu yCT = xCT = Bảng biến thiên: x –∞ y′ – +∞ + – 1,0 +∞ y –∞ x = Giao điểm với trục hồnh: y = ⇔ − x + x − x + = ⇔  x = y 1,0 O x Giao ñiểm với trục tung: x = ⇒ y = Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Hướng dẫn giải ñề kiểm tra định kì số 01 Bài (6,0 điểm) ðáp án ðiểm b (1,0 ñiểm) Giao ñiểm (C ) với trục hồnh: A(1;0), B (4;0) 0,50 Phương trình tiếp tuyến (C ) A(1; 0) : + x0 = y0 =   ⇒ phương trình tiếp tuyến A(1; 0) : + f ′( x0 ) = f ′(1) =  0,25 y = 0( x − 1) + ⇔ y = Phương trình tiếp tuyến (C ) B (4; 0) : + x0 = y0 =   ⇒ phương trình tiếp tuyến B (4; 0) : + f ′( x0 ) = f ′(4) = −9  0,25 y = −9( x − 4) + ⇔ y = −9 x + 36 c (1,0 điểm) Ta có: x3 − x + x − + m = ⇔ − x + x − x + = m (*) 0,50 (*) phương trình hồnh độ giao điểm (C ) : y = − x + x − x + d : y = m nên số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C ) d Dựa vào ñồ thị ta thấy (*) có nghiệm phân biệt khi: 0