ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)Tài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaTS Trần HuyênNgày 19 tháng 11 năm 2004Bài 3. Các Dạng Toán Kiểm Tra NhómCyclic Và Cấp Một Phần Tử TrongNhómĐể kiểm tra một nhóm cho trước là cyclic, thông thường ta áp dụng định nghĩa về nhóm cyclic.Ta nhắc lại định nghĩa đó:Định nghĩa 1 Nhóm X được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại một phần tử a ∈ X và X = a,tức X trùng với nhóm con sinh bởi phần tử a, bao gồm tất cả các lũy thừa nguyên của a.Vậy :X = a = {an: n ∈ Z}Như vậy, để chứng minh nhóm X là cyclic, theo định nghĩa 1, ta bắt buộc phải chỉ ra cho đượcmột phần tử sinh a ∈ X, đồng thời phải chứng minh rằng bất kỳ phần tử x ∈ X đều viết đượcdưới dạng một lũy thừa nguyên của a.Ví dụ 1 Cho X là nhóm cyclic, X = a. Chứng minh rằng mọi nhóm con A ⊂nX đều lànhóm cyclic.Bài giải Trường hợp A = {e} thì A = e.Trường hợp A = {e}, do A ⊂nX = {an: n ∈ Z}, ắt tồn tại một lũy thừa ak= e mà ak∈ A,và khi đó a−k∈ A do A là nhóm con. Tức tồn tại một lũy thừa nguyên dương của a thuộc vàoA (hoặc ak, hoặc a−k).Đặt m = min{k > 0 : ak∈ A}, ta chứng minh A = am. Thật vậy, với mọi x ∈ A thìx = akvới k = q.m+r(0 ≤ r < m), và từ ak= aq.m+r= (am)q.arta suy ra: ar= ak. (am)−q∈ Ado ak, am∈ A. Bởi điều kiện 0 ≤ r < m và m là một số nguyên dương bé nhất để am∈ A,buộc r = 0. Tức là k = q.m hay x = ak= (am)q. Vậy A là nhóm cyclic.Nhận xét Để dự đoán được phần tử sinh của A là lũy thừa nguyên dương bé nhất am∈ A, tacăn cứ vào tính chất của phần tử sinh: nếu amlà phần tử sinh của A thì mọi phần tử ak∈ Atất phải có ak= (am)q, tức k = m.q từ đó có thể thấy m phải là số bé nhất bởi nó là ước củamọi số k mà ak∈ A.1 Ví dụ 2 Cho A là tập các căn phức bậc n của đơn vị 1. Chứng minh A với phép nhân thôngthường các số phức là một nhón cyclic.Phân tích ban đầu: Vì A ⊂ (C∗, ·) nên ta chứng minh A là nhóm con cyclic của (C∗, ·)bằng cách tìm một phần tử a ∈ C∗mà A = a, và từ đó có kết luận A là nhóm cyclic.Bài giải Ta biểu diễn A =cos2kπn+ i sin2kπn: k ∈ Zhay A =cos2πn+ i sin2πnk: k ∈ ZVậy: A = a với a = cos2πn+ i sin2πn∈ C∗tức là A là nhóm cyclicNhận xét Việc chứng minh A là nhóm cyclic buộc ta phải lựa chọn cách biểu diễn các phầntử của A dưới dạng cụ thể, để từ đó có thể nhận ra được phần tử sinh của A.Liên quan đến các nhóm cyclic là khái niệm cấp của phần tử trong nhóm.Định nghĩa 2 Cho nhóm X và a ∈ X. Cấp của phần tử a là cấp của nhóm con cyclic sinhbởi phần tử a(cấp của nhóm con là số phần tử của nhóm đó, khi nhóm là hữu hạn; còn nếu nhóm con cósố phần tử là vô hạn thì cấp của nó là ∞!)Để tính cấp của phần tử a ∈ X, thông thường ta sử dụng một kết quả tiện dụng hơn sauđây:"Cấp của phần tử a (trong trường hợp hữu hạn) là số nguyên dương n bé nhất mà an= e."Khái niệm bé nhất trong mệnh đề trên hiểu theo nghĩa so sánh về giá trị lớn bé của các số,tuy nhiên nó còn được chính xác hóa hơn như ví dụ sau:Ví dụ 3 Cho X là nhóm và a ∈ X với cấp a = n. Chứng minh rằng ak= e khi và chỉ khi k .n.Bài giải – Hiển nhiên khi k .n thì k = l.n, do đó ak= al.n= (an)l= el= ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I MÔN: TOÁN LỚP: A Ma trận đề ( Bảng hai chiều) Cấp độ Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Cấp độ thấp Chủ đề Nhân, chia đa thức Số câu:2 Số điểm:1,75 Tỉ lệ:17,5 % Chủ đề Phân tích đa thức thành nhân tử Thực phép nhân đa thức Vận dụng tìm điều kiện hạng tử tự đẻ đa thức chia hết cho đa thức (đa thức biến) 0,75 1 Số câu: Số điểm: 1,75 Tỉ lệ: 17,5 % Chủ đề Phân thức Số câu: Số điểm: 2,75 Tỉ lệ: 27,5 % Chủ đề Tứ giác Số câu Số điểm % Tỉ lệ Tổng số câu: 10 Tổng số điểm: 10 Tỉ lệ: 100 % Cấp độ cao Phân tích đa thức thành nhân tử pp 1,5 Số câu: 1,5 điểm=15% Cộng, trừ, nhân phân thức, rút gọn phân thức 2,75 Số câu: 2,75 điểm=27,5% Vẽ hình, ghi gt,kl theo yêu cầu đề Chứng minh,tìm đk đẻ tứ giác HCN,HV, so sánh diện tich 0,5 3,5 Số câu: Số điểm: 1,25 12,5% Số câu: 1,75 điểm=17,5.% Số câu: Số điểm: 4,25 42,5% Số câu:4 4điểm=40% Số câu: Số điểm: 4,5 45% Số câu: 10 Số điểm:10 B Nội dung đề Câu 1(1,5 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, 2x3 – 12x2 + 18x b, 16y2 – 4x2 - 12x – Câu 2(1,5 điểm): Rút gọn phân thức sau a, (x – 5)(x2 + 26) + (5 – x)(1 – 5x) x2 − x +1 − ) + b, ( x − x + x2 + 6x + 2x + Câu 3(1,0 điểm): Tìm a để đa thức x3 – 7x – x2 + a chia hết cho đa thức x – Câu 4(2,0 điểm): Cho biểu thức P = x − 12 x + x − 4x − 4x + a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Câu 5(4,0 điểm): Cho tam giác ABC cân A, đường cao AM, gọi I trung điểm AC, K điểm đối xứng M qua I a./ Chứng minh rằng: Tứ giác AMCK hình chữ nhật b/ Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AKCM hình vuông c/ So sánh diện tích tam giác ABC với diện tích tứ giác AKCM C Đáp án Câu 1(1,5 điểm): a, 2x3 – 12x2 + 18x = 2x(x2 – 6x + 9) = 2x(x – 3)2 (0,25đ) (0,5đ) b, 16y2 – 4x2 - 12x – = 16y2 – (4x2 + 12x + 9) = (4y)2 – ( 2x + 3)2 = (4y + 2x + 3)(4y – 2x – 3) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) Câu 2(1,5 điểm): a, (x – 5)(x2 + 26) + (5 – x)(1 – 5x) = (x – 5)(x2 + 5x +25) (0,5đ) = x - 125 (0,25đ) ( H/s thực phép nhân rút gọn, cho điểm tối đa đúng) x + x2 −1 x +1 x2 − x +1 + − ) + b, ( = x − ( x + 3) 2x + x − x + x2 + 6x + 2x + = x +1 + = x + 2( x + 3) (0,25đ) (0,5đ) Câu 3(1,0 điểm) Thực phép chia đa thức x3 – 7x – x2 + a cho đa thức x – dư a – a – = ⇔ a = (0,5đ) ( H/s giải theo cách khác, cho điểm tối đa đúng) Câu 4(2,0 điểm): a) 4x2 – 4x + ≠ ⇔ ( 2x – )2 ≠ ⇔ x≠ (0,5đ) (0,5 điểm) (0,5 điểm) b) Với x ≠ : ( x − 1) x − 12 x + x − P= = = 2x – (0,5 điểm) (2 x − 1) 4x − 4x + 1 P = ⇔ 2x – = ⇔ x = ( không thoả mãn điều kiện) (0,25 điểm) Kl: Không có giá trị x thoả mãn yêu cầu toán Câu 5(4,0 điểm): a( điểm) Vẽ hình, ghi giả thiết kết luận (0,5 đ) Tg AKCM : AI = IC KI = IM Do AKCM hình bình hành ( Vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường) (1 đ) Hình bình hành AKCM có góc vuông ( AM ⊥ BC ) ( 0,25đ) Suy ra: AMCK hình chữ nhật (0,25đ) B b) (1 điềm) Hcn AMCK hình vuông k.c.k AM = MC hay AM = ½BC Vậy tam giác ABC tam giác vuông cân A.(1 điểm) c) (1 điềm) SABC = 2SAMC SAKMC = 2SAMC SABC = SAKMC (0,25đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,25 điểm) A K I M C ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)Tài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaTS Trần HuyênNgày 23 tháng 11 năm 2004Bài 4. Các Bài Toán Kiểm Tra NhómCon Chuẩn TắcMột nhóm con A của nhóm X được gọi là nhóm con chuẩn tắc (hay ước chuẩn tắc) của X,nếu A thỏa thêm điều kiện:∀x ∈ X, ∀a ∈ A thì xax−1∈ A (∗)( hoặc x−1ax ∈ A)Điều kiện (∗) được gọi là điều kiện chuẩn tắcVậy : A  X nếu A ⊂nX và A thỏa điều kiện chuẩn tắc.Và để kiểm tra A  X thì ta phải kiểm tra :• A là nhóm con của X và sau đó tiếp tục• Kiểm tra A thỏa điều kiện chuẩn tắc.Ví dụ 1. Cho nhómX =a b0 c: ac = 0và A =1 b0 c: c = 0Chứng minh rằng : A  XGIẢI:Hiển nhiên là A = ∅. Trước hết ta chứng minh A ⊂nX.Thật vậy:1 • ∀1 b10 c1,1 b20 c2∈ A :1 b10 c11 b20 c2=1 b2+ b1c20 c1c2với c1c2= 0, nên1 b10 c11 b20 c2∈ A.• ∀1 b0 c∈ A thì1 b0 c−1=1 −b/c0 1/c∈ ATheo tiêu chuẩn 2 về nhóm con ta có A ⊂nXTiếp tục kiểm tra điều kiện chuẩn tắc:• ∀a b0 c∈ X, ∀1 b10 c1∈ A thì:a b0 c1 b10 c1a b0 c−1=a b0 c1 b10 c11/a −b/ac0 1/c=1 x0 c1∈ A(với x =−bc+ab1+ bc2c, tuy nhiên ở đây có thể ta không cần tính cụ thể x, vì đòi hỏi một matrận thuộc A chỉ cần có số 1 ở góc trên bên trái và c1= 0).Vậy: A  XVí dụ 2. Cho nhóm X = Z × Z = {(k1, k2) : k1, k2∈ Z} với phép toán hai ngôi:(k1, k2)(l1, l2) = (k1+ l1, k2+ (−1)k1l2)(đã kiểm tra X là nhóm trong ví dụ 1.§1)Chứng minh rằng nhóm con A sinh bởi phần tử a = (0, 1) là nhóm con chuẩn tắc của X.Phân tích ban đầu: Trong bài toán này giả thiết đã cho A là nhóm con < a >. Vì vậy chỉ cònphải kiểm tra A thoả điều kiện chuẩn tắc. Tuy nhiên muốn làm điều đó thì phải biết được dạngtổng quát phần tử của A, tức trước hết phải mô tả tường minh các phần tử của A.GIẢI:Ta có: A =< a >= {an: n ∈ Z} với a = (0, 1)Trước hết ta chỉ ra (0, 1)n= (0, n) khi n > 0 theo qui nạp.Thật vậy:Với n = 1 thì (0, 1)1= (0, 1)Giả sử (0, 1)n−1= (0, n − 1) với n ≥ 2Khi đó: (0, 1)n= (0, n − 1)(0, 1) = (0 + 0, n − 1 + (−1)01) = (0, n)Vậy: (0, 1)n= (0, n) với mọi n > 0Với n < 0 thì −n > 0 nên:(0, 1)n= [(0, 1)−n]−1= (0, −n)−1= (0, (−1)0+1(−n)) = (0, n)Cuối cùng: (0, 1)0= (0, 0).Vậy: A = {(0, 1)n: n ∈ Z} = {(0, n) : n ∈ Z}Bây giờ ta kiểm tra A thỏa điều kiện chuẩn tắc:∀(k1, k2) ∈ X, ∀(0, n) ∈ A:2 (k1, k2)(0, n)(k1, k2)−1= (k1, k2)(0, n)(−k1, (−1)k1+1k2) = (0, m) ∈ A(với m = (−1)k1n; tuy nhiên giá trị m có thể không phải tính cụ thể vì đòi hỏi phần tử thuộcA chỉ cần thành phần đầu bằng 0 là đủ !)Kết luận: A  XVí dụ 3. Cho nhóm X như ví dụ 2, và cho tậpB = {(n, 0) : n ∈ Z} ⊂ XChứng minh rằng B là nhóm con không chuẩn tắc của X.GIẢI:Để kiểm tra B ⊂nX, ta có thể dùng tiêu chuẩn 2• ∀(n, 0), (m, 0) ∈ B ta có:(n, 0)(m, 0) = (n + m, 0) ∈ B• ∀(n, 0) ∈ B : (n, 0)−1= (−n, 0) ∈ BVậy B ⊂nX Để chỉ ra B không thỏa điều kiện chuẩn tắc ta chỉ ra tồn tại các phần tử (1, 1) ∈ Xvà (1, 0) ∈ B mà:(1, 1)(1, 0)(1, 1)−1= (1 + 1, 1)(−1, 1) = (1, 1 + (−1)21) = (1, 2) /∈ BVậy : B là nhóm con không chuẩn tắc của X.Khái niệm nhóm con chuẩn tắc còn có thể được định nghĩa nhờ vào các lớp ghép trái và lớpghép phảiTa nhắc lại các khái niệm lớp ghép theo nhóm con để dùng cho các ví dụ tiếp theo.Cho nhóm X, A ⊂nX và x ∈ X. Khi đó:- Lớp ghép trái xA = {xa : a ∈ A}- Lớp ghép phải Ax = {ax : a ∈ A}.Về mối quan hệ giữa các lớp ghép theo nhóm con ta có vài kết quả cần ghi nhớ để sử dụng:• Nếu y ∈ xA thì yA = xA.• Hai Lĩnh vực Công nghệ thông tinBài toán nhận dạng vân tay và ứng dụng trên môi trờng Web-Internet KS. Lê Xuân Khoa, KS. Trần Cao TùngTrung tâm Công nghệ thông tin Tóm tắtBài báo giới thiệu công nghệ nhận dạng vân tay và việc áp dụng trong bảo mật các ứng dụng Web yêu cầu mức bảo mật cao nh hệ thống tính cớc, hệ thống giao dịch ngân hàng qua đó chỉ ra yêu cầu cho phần mềm bảo mật đợc xây dựng và các khuyến nghị áp dụng.1. Đặt vấn đềNgày nay, cùng với sự phát triển nhanh chóng của ngành thơng mại điện tử, ngân hàng điện tử và các yêu cầu ngày càng tăng của việc bảo mật các thông tin cá nhân, doanh nghiệp thì việc định danh tự động ngời sử dụng (automatic personal identification) trở thành một vấn đề quan trọng. Một hệ thống định danh tự động ngày nay yêu cầu phải có thành phần sinh trắc (biometrics) trong đó, tức là hệ thống phải sử dụng những gì là đặc trng sinh trắc của ngời sử dụng nh vân tay, giọng nói, chữ ký, nét mặt . Hiện nay, công nghệ nhận dạng vân tay thờng đợc sử dụng hơn so với các công nghệ nhận dạng cá nhân khác nh chữ ký hay giọng nói bởi nó có lịch sử nghiên cứu phát triển hơn 100 năm và các hệ thống bảo mật dựa trên vân tay có thể dễ dàng đợc khai triển với chi phí thấp. Trong khi ngày càng nhiều ứng dụng doanh nghiệp đợc triển khai trên môi trờng Web nh hệ thống tính cớc, hệ thống quản lý mạng viễn thông và thiết bị trên mạng viễn thông, hệ thống giao dịch ngân hàng .thì yêu cầu đặt ra là nghiên cứu và xây dựng một phần mềm bảo mật vân tay nhằm nâng cao và đảm bảo tính bảo mật cho các ứng dụng này. Việc sử dụng vân tay trong bảo mật ứng dụng Web vừa đảm bảo tính tin cậy về công nghệ vừa tạo sự thuận tiện cho ngời dùng vì đây là giải pháp thay thế hoàn toàn cho bảo mật bằng password hay token. Các phần tiếp theo sẽ trình bày công nghệ nhận dạng vân tay và mô hình áp dụng cho bảo mật ứng dụng Web. Phần IV sẽ trình bày kết quả xây dựng phần mềm bảo mật các ứng dụng Web của Trung tâm Công nghệ thông tin CDiT. Một số khuyến nghị và hớng phát triển tiếp theo sẽ đợc trình bày trong phần V. 2. Vân tay và công nghệ nhận dạng vân tay tự động2.1.Vân tay và các đặc trng của ảnh vân tayVân tay là những đờng có dạng dòng chảy có trên ngón tay ngời. Nó là một tham số sinh học bất biến theo tuổi tác đặc trng cho mỗi ngời. Ngoài đặc trng về loại của vân tay (vân tay thờng đợc chia thành 5 loại chính: Whorl, Left Loop, Right Loop, Arch, Tented Arch), các vân tay đợc phân biệt chủ yếu nhờ các điểm đặc biệt trên ảnh vân tay. Các điểm này gọi là các chi tiết điểm của ảnh vân tay. Có hai loại chi tiết điểm thờng đợc sử dụng là kết thúc điểm (ending) và điểm rẽ nhánh (bifucation)Học viện Công nghệ BCVT Hội nghị Khoa học lần thứ 5Kết thúc điểm và điểm rẽ nhánh2.2. Kiến trúc của hệ nhận dạng vân tay tự động (AFIS)Sơ đồ chức năng ĐAI HOC QUÔC GIA THANH PHÔ HÔ CHI MINḤ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ́TR NG ĐAI HOC BACH KHOAƯỜ ̣ ̣ ́KHOA C KHIƠ ́BÔ MÔN THI T K MÁỴ Ế ẾĐÊ TAI:̀ ̀GVHD: NGUYÊN NH Ý̃ ƯSVTH : VŨ VĂN TÂN MSSV: 20502511NGHIÊN C U VÀ NG D NG ANSYS Ứ Ứ ỤTRONG TÍNH TOÁN S N PH M NÓN Ả ẨB O HI MẢ Ể NGHIÊN C U T NG QUAN V ANSYSỨ Ổ Ề2NG D NG TÍNH TOÁN M T S K T C U C KHÍỨ Ụ Ộ Ố Ế Ấ ƠTÍNH TOÁN CHO S N PH M NÓN B O HI MẢ Ẩ Ả Ể Là ph n m m ầ ềr t m nh trong ấ ạmô ph ng, ỏthi t kế ếCó kh năng ảliên k t v i ế ớnhi u ph n ề ầm m đ hoề ồ ạng d ng trong Ứ ụnhi u lĩnh v c : ề ựthi t k máy, ế ếhàng không, đi n t , xây ệ ửd ng,…ự1. T NG QUAN V ANSYSỔ Ề 2.1 T m ph ng ấ ẳ có l  b  kéoỗ ị2. NG D NG TÍNH TOÁN M T S K T C U C Ứ Ụ Ộ Ố Ế Ấ ƠKHÍMô hình tính toán Bi n d ng khi ch u kéoế ạ ị ng su t sinh raỨ ấ 2.2 Tính s c b n u n cho l i khoanứ ề ố ưỡ  Mô hình tính toán K t qu :ế ảBi n d ng khi ch u l cế ạ ị ự ng su t sinh ra khi ch u u nỨ ấ ị ố 2.3 Phân tích ti p xúc ghép ch t gi a ế ặ ữtr c và lụ ỗMô hình tính toán