B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI = = = £ Q ESI G = = = NGÔ VĂN NGHĨA THỐNG KÊ CỦA HÊ• CÁC DAO ĐÔNG TỬ • BIÉN DANG HAI THAM SỔ Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết & Vật lí toán Mã sổ: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ K HO A HỌC VẬT CHẤT • • • • Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội hướng dẫn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, ngưòi đặt móng tận tình hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành sâu sắc tói cô Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lí, Phòng Sau Đại Học, Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ ừong suốt thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, ngưòi động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến, kinh nghiệm quý báu giúp hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, chắn luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Ngô Văn Nghĩa LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng dưói hướng dẫn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không trùng lặp với đề tài nghiên cứu khác, thông tin trích dẫn ừong luận văn ghi rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Ngô Văn Nghĩa MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục MỞ Đ Ầ U NỘI DUNG Chương 1: HỆ NHIỀU HẠT ĐỒNG NHẤT 1.1 Dao động tử lượng tử 1.2 Nguyên lý bất khả phân biệt hạt đồng .13 1.3 Đối xứng hóa phản đối xứng hóa hàm sóng .16 1.4 Nguyên lý loại trừ Pauli ngưng tụ Bose- Einstein 18 Chương 2: THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ 21 2.1 Thống kê Bose - Einstein .21 2.1.1 Dao động tử Boson 21 2.1.2 Thống kê Bose- Einstein 26 2.2 Thống kê Bose- Einstein biến dạng hai tham số .29 Chương 3:THỐNG KÊ FERMI - DIRAC BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ 3.1 Thống kê Fermi- D ac 32 3.1.1 Dao động tử Fermion 32 3.1.2 Thống kê Fermi- Dirac 35 3.2 Thống kê Fermi- Dirac biến dạng hai tham s ố 37 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lí thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất hệ nhiều hạt, mô tả phương pháp thống kê Để hiểu biết đầy đủ hạt bản, việc mở rộng biến dạng hai tham số p,q hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà vật lí Bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử ta thấy thuận lợi đồng thời có khả xây dựng phân bố thống kê lượng tử mở rộng cho trường hợp dao động phi điều hòa hay dao động tử điều hòa biến dạng Lý thuyết trường lượng tử mở đường để nhận biết trình vật lí xảy ừong giới hạt vi mô, đóng vai ừò quan trọng ừong nhiều lĩnh vực vật lí, đặc biệt ừong việc nghiên cứu hệ nhiều hạt xây dựng định luật phân bố thống kê lượng tử Các phương pháp bổ sung cho để làm rõ chất vật lí trình vật lí ừong hệ nhiều hạt Nhóm lượng tử đại số biến dạng khảo sát thuận lợi hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng Trong năm gần việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số biến dạng kích thích thêm quan tâm ngày nhiều đến hạt tuân theo thống kê khác với thống kê Bose - Einstein thống kê Fermi - Dừac thống kê Para - Bose, Para - Fermi, thống kê vô hạn, thống kê biến dạng với tư cách thống kê mở rộng hai tham số Cho đến cách mở rộng đáng ý ừong khuôn khổ đại số biến dạng Việc nghiên cứu nhóm lượng tử đại số lượng tử phát triển mạnh mẽ, thu hút quan tâm nhiều nhà vật lí lý thuyết cấu trúc toán học phù hợp với nhiều vấn đề vật lí lý thuyết Việc mở rộng hình thức lượng tử điều hòa hai tham số quan tâm nghiên cứu với quan tâm ngày nhiều đến hạt tuân theo thống kê khác vói thống kê quen thuộc Vì hướng dẫn cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em xin chọn đề tài:44Thống kê hệ dao động tử biến dạng hai tham sổ” Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài xây dựng thống kê hệ dao động tử biến dạng hai tham số phương pháp lý thuyết trường lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Khảo sát hệ nhiều hạt đồng - Xây dựng thống kê Bose - Einstein biến dạng hai tham số - Xây dựng phân bố thông kê Fermi - Dirac biến dạng hai tham số Đổi tượng nghiên cứu Hệ dao động tử biến dạng hai tham số Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp vật lí lý thuyết: - Phương pháp vật lí thống kê phương pháp giải tích khác - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử II NỘI DUNG CHƯƠNG HỆ NHIÈU HẠT ĐỒNG NHẤT 1.1 Dao động tử lượng tử Dao động tử điều hòa chiều chất điểm có khối lượng m, chuyển động tác dụng lực đàn hồi f = - kx dọc theo đường thẳng Toán tử Hamiltonian dao động tử điều hòa chiều có dạng [1] : Trong đó: X = q = X toán tử tọa độ px - p - -ih toán tử xung lượng ti [p,q ]ụ/ = -ih h n Ềh (1.2) (1.3) A Khi ta biểu diễn toán tử H theo ã à+như sau: p r mcữ *2 mh H = — + —— X = ——d 2m 2 ' 2m - | - L Vw h j +)(á + a * ) - ( - * )(* -* * )] ì à 2â+aj 2* v v 2mứ?' j ) -(a -M _ LV- hí ' y ả *+ *\ â) ' (1.4) Ta biểu diễn toán tử â+và ngược lại qua pvầ q: ịrrih q= q _ „ ịlmũ) i =>ữ2+ + A A A AA \ p) í I ỈLĨL h ĨL^\ (điều phải chứng minh) Vậy ta thu toán tử Hamiltonian có dạng: Ê = â+â + - n 2) (1.8) l Việc nghiên cứu phổ lượng dao động tử điều hòa quy toán tìm vectơ riêng trị riêng Hamilonian (1.8), toán tử ũ thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.7) Để làm điều ta đưa vào toán tử sau N = â+â (1.9) Hệ thức giao hoán toán tử N với toán tử à+là: I Hay tTt a I C C -1 t a a -1 t A4- a a a A+ a / A4- A A Ạ 4- \ /\ ^ A A N,a \ = N a - aN = a aa —aa a = I a a -aa Ja = —1.a = -a Nâ = â ( N - 1) (1.10) Tương tự ta có [n ,â +] = ÌVổ+ - â +N = â+ââ+- a a a = a ( a a - â +â) = â+.ì HayNâ+=â+(N +1) (1.11) Ta kí hiệu |n) véc tơ riêng toántử N ứng với trị riêng n phương trình hàm riêng, trị riêng toán tử N là: N\n) = n\n) ^ (n\N\n) = (nịnịn) = n(n \n) (1-12) Hay (nÎNÎn) (n\ã+ã\n) n= Y / = \ / I I (1.13) ^nlâ+âln^ = ||âty/n^/j| иг *L\J Vì: (п\ п) = ||^„('гУ |М А- Nên W п > О Các kết tính toán cho kết luận sau: Kết luân 1: Các trị riêng toán tử iV số không âm Xét véc tơ trạng thái thu ẫ\n) cách tác dụng toán tử â lên véc tơ trạng thái |n ) Tác dụng lên véc tơ trạng thái toán tử N vầ sử dụng công thức (1.10) ta có: NàIn) = àị^N - ) In) = â(n - 1) In) = (n - l)â In) (1-14) Hệ thức ừên có nghĩa là: Véc tơ trạng thái ẫ\n) véc tơ trạng thái riêng toán tử N ứng với trị riêng (n -1) Tương tự à11n);â3 véc tơ trạng thái toán tử N ứng với ừị riêng (n - 2) , (n - 3), Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái â+1n), tác dụng lên véc tơ trạng thái toán tử N , sử dụng công thức (1.11) ta có: Nâ+In) = ầ+ị t i + = à+(n + l)ln) = (n + ì)â+In) (1-15) Nghĩa véc tơ trạng thái â+In) véc tơ trạng thái riêng toán tử N ứng với trị riêng (n + 1) Tương tự à+1\n)‘,â+3\n), véc tơ trạng thái toán tử N ứng với ừị riêng (n + 2) , (n + 3), 25 = {n\Q2\n) = —^ V.|V_ + â) |л) 2mcữs lv ' 1' h w> + (w ââ+ w 2mo) VN =— 2m|e n=0 = e " ^ " " )"(nln) = X e “í('"'')", (ní n) =l 71=0 71=0 n) 27 00 -ß(e-ju)n г г tông câp sô nhân lùi vô hạn với công bội Ta thấy X e в=0 с -ß {s-ß ) sô hạng đâu tiên ứng vói n = có giá trị băng 1 z = Vậy -e _ -ß {s-ß ) e ß{e-ß) { £-м ) e^ 'v -1 (2.19) Thay toán tử F toán tử số dao động N vào công thức (2.19) Ta cổ: т у /е -^ ы {N) = (â*â) = - ^ — ->- l (2.20) n=0 00 =Ẻ Mà (l+ ex +e2x+ + e(n-L)x) = I= Do l-e * _ e ( /1l —e_JC\ ) +, e e _ e (1 -4 (l-e f (2 21) Thay (2.19) (2.21) vào (2.20) ta có: ±ß{e-ß) -|2 w =- iß{e-ß) -1 -|2 ±ß(e-ß) ß^-ß) ß(s-n) ß{s-ß) _ ị Vậy W -1 £ -// (2 22) , feT -1 Đây biểu thức tính số hạt trung bình ừên mức lượng £ gọi phân bố thống kê Bose - Einstein cho hệ đồng hạt Boson 2.2 Thổng kê Bose - Einstein biến dạng hai tham sổ Để hiểu biết đầy đủ hạt bản, việc mở rộng biến dạng tham số q thành biến dạng hai tham số p,q hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà vật lí lý thuyết Xuất phát từ đại số biến dạng hai tham số p,q [3] ââ+ — p f lf l = ( f ââ+=[LN + 1]J p, q'„,,â+ â = L[N]na ’ J p>g (2*23) 29 Với số biến dạng г M _ я х —p ~ x = _ -! (Ị p (2.24) Đại số biến dạng hai tham số p,q thựchiện không gian Fock vói trạng thái riêng chuẩn hóa toán tử số N làm vectơ sở I«>„,» = f = , IO) (2.25) Trong không gian ta có hệ thức: ầ { y = p - nm nà + [n\p>q{ y - lqA (2.26) Từ thu phân bố thống kê hệ là: e ß(s-ß) _ ị (â ® = ems-ß) _ J +p -^ ^ + q p -1 (2'27) Khi p = q phân bố thống kê ừở phân bố thống kê biến dạng thông thường phân bố thống kê Bose - Einstein quen thuộc p=q =1 30 Kết luận chương Trong chương xây dựng dao động tà Boson, tìm phân bố thống kê dao động tà Boson thống kê Bose - Einstein hệ đồng hạt Boson Trong chương trình bày cách có hệ thống trường hợp biến dạng dao động, là: Biến dạng hai tham số thống kê Bose - Einstein 31 CHƯƠNG THỐNG KÊ FERMI - DIRAC BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ • 3.1 Thống kê Fermi - Dỉrac 3.1.1 Dao động tử Fermion Để tìm hệ thức tương tự cho fermion ta xuất phát từ đẳng thức giao hoán (2.1) (2.2) fermion vectơ trạng thái hệ hai hạt đồng phải phản đối xứng với phép hoán vị hai hạt [5], [6], [7]: \ vju) = - \ juv) (3.1) Kết hợp phường trình (3.1) với hai phương trình (2.1) (2.2), ta thấy toán tử sinh hạt fermion phải thỏa mãn hệ thức phản giao hoán sau đây: (3.2) Véctơ ừạng thái chứa hai hạt fermion đồng trạng thái V Ivv) = (b;)2i0> Theo tính chất (3.2) ta biết (b*)2 = nên Ivv) = 0, phù hợp với nguyên lý loại trừ Pauli Bây ta giả thiết V*ụ tác dụng toán tử KK lên vectơ trạng thái Iv) diễn tả trạng thái chứa hạt fermion đặc trưng bới số lượng tử V: A A A A bvb;\v)=bự\juv) =-bv \vju) =-\ju) A A Mặt khác, tác dụng toán tử b*bv lên Iv), ta lại có (3.3) 32 ể; ểviv) = £ ; io h a /> (3.4) So sánh hai vế (3.3) (3.4), ta suyra hệ thức phản giao hoán sau toán tử sinh hủy hạt fermion ụ ;+ b ;b v =o,ju*v Trong trường hợp n =v , ta sử dụng (3.2) ta có bvb:\v) =bv(b+ v)2\0)=0 ụ ; \ ) = b v \0)=\0) (3.5) (3.6) Kbv \ v ) = k I0)=lv> (3.7) Kbv \0) =0 (3.8) Cộng phương trình (3.5) -(3.8) lại với theo vế, ta (bv K + K b v )(\ ) + V » = ) + 1v ) Vì V nên ta suy bVbV++b+b =1 V V Tổng hợp kết vừa thu ta có hệ thức phản giao hoán sau hạt fermion: ỉ V b ; } = ^ , {bv,v = { b ;,b ;} = (3.9) ta định nghĩa A A A A A A {A,B} =AB +BA gọi phản giao hoán tử hai toán tử Ầ Từ hệ thức phản giao hoán (3.9) ta chứngminh đượcnguyên lý loại trừ Pauli theo cách khác dựa vào toán tử số hạtNv =b*bvừong trạng thái V Thật vậy, sử dụng (3.9) cho trường hợp ụ = V , ta có A - A A A A N y = by+bV b+ V bV 33 = 4+( i - +4 ) b v л * л = ь+ л - ю л ГУ * ГУ ю л = ъ+ V ъV Ni = Nv nghĩa Từ suy ừị riêng nv toán tử Nvphải thỏa mãn phương trình nv(nv - 1) = 1, nghĩa trạng thái có nhiều hạt fermion Hệ thức phản giao hoán dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức: {£,£*}=1 (3.10) b2=(b+f = о Toán tử dao động N có dạng : N = b +b (3.11) Toán tử dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán : [ n ,Ẩ] = -Ể [N, (3.12) =ьл (3.13) Đại số (3.10) thực ừong không gian Fock với sở vector chuẩn hóa toán tử số dao động tử N : / \n n) = iè O |0) ) n = 0, (3.14) (n = 0,1 hệ Fermion nên phải thỏa mãn nguyên lí loại trừ Pauli) Khi tác dụng toán tử b , b+ lên trạng thái |n) : 34 b |0) = (3.15) r |0 ) = l i|l) = b+|l) = 3.1.2 Thống kê Fermi - Dirac Để tính phân bố thống kê Fermi - Dirac ta tính N\n) muốn tính điều ta sử dụng (3.10) (3.14) tính: b\n) = b{b+J\0) л Л / А \Я—1 = bb+\b+) |0) = (l-fc +fc)(fc+)n_1|0) (г ) А \л—1 А А / А\л—1 л -ь+ь(ь+) )| 0) = {(b- У"1- b - ị i - w ^ ( b * Ị ' |0) = ( ( ^ ) 2^ ) ”-2)o> = ((*+)2^ +( * T ) 0> = ( ( Г ) 2(1-Г й )(й *)"‘3]|0) = ((fc*)"‘‘ -(fe+)3fe(6*)"_3]|0) 35 = |&j Ẩ|0) = = ^ +) Vậy tổng quát: (nếu n chẵn) - (^+) &j|0) = |tt - l) (nếu n lẻ) b In) = — -— - \ n - Ỷ j (3.16) b+\n) = b+ịb+^ Ịo) = (* ♦ )> > (3.17) = |n + l) Từ (3.7) (3.8) ta suy : N\n) —b+b\n = b+— ^ - n - ) ' = — y ^ - l »> (3.18) Phân bố thống kê dao động tử Fermion phân bố thống kê b+b ịb+b^ = - T r ị c ~ ^ b +b OD = ịÈ < ^ n=0 ^ 71=0 Ể+fc» z = — Ỵ U - pmn -(-1)" t Pmn) 2Z „=0’ ’ 36 2Z / 2z V11 _ e e ^ -1 y 1 e ^ -1 _ e2^ - l _ (3.19) " e ^ +l Hay n(s) = /(£) = e^+1 (3.20) Biểu thức (3.20) thống kê Fermi- Dừac 3.2 Thống kê Fermi - Dirac biến dạng hai tham sổ Trên sở lý thuyết trường lượng tử, chứng xây dựng hệ dao động tử Fermion đơn mode biến dạng hai tham số p,q tuân theo hệ thức [3] bb++pb+b = q-N (3.21) Tương ứng toán tử số dao động N biểu diễn theo toán tử sinh b+, toán tử hủy b sau ì>+b = {N}p,q bb+= { N + 1}M (3.22) Phương trình hàm riêng ừị riêng toán tử số dao động tử N\ n) M =n\n)M (3.23) Từ đại số (3.21) chứng minh hệ thức sau b(b+Ỵ = (-1 )V < Ể +)" Í+ {n}M ( Ể T V " (3.24) 37 Và từ xác định hệ số chuẩn hóa vectơ trạng thái Irì)p q đại số (3.21) thực không gian Fock vói sở vectơ trạng thái riêng chuẩn hóa toán tử số dao động tử N sau 'n)p" =J ầ Z ^ r '0) < '2 ) Chú ý ta sử dụng đến ký hiệu -X ,.,= ( q 1Y * X - + p (3.26) Để tính phân bố thống kê hệ dao động tử Fermion biến dạng hai tham số p ,q , chứng ta dựa vào công thức tính trung bình thống kê toán tử F (F) = ịT r ( e ~ ^ F) (3.27) Trong z tổng thống kê hệ đặc trưng cho tính nhiệt động hệ tính công thức z = T r(e"" ) =± ( n \ e m In) (3.28) 71=0 Với H Hamiltonian hệ,thông thường H =s N , £ lượng dao động.Chú ý vết ma trận lấy theo đầy đủ trạng thái hệ Khi kết tính toán chứng ta là: ể E-1 &>= eWp T+ i( p _- q -■')ep«*_ - q -1p [...]... đã trình bày một cách có hệ thống các trường hợp biến dạng của dao động, đó là: Biến dạng hai tham số của thống kê Bose - Einstein 31 CHƯƠNG 3 THỐNG KÊ FERMI - DIRAC BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ • 3.1 Thống kê Fermi - Dỉrac 3.1.1 Dao động tử Fermion Để tìm hệ thức tương tự cho các fermion ta cũng xuất phát từ các đẳng thức giao hoán (2.1) và (2.2) và các fermion vectơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất... thu được phân bố thống kê của hệ là: e ß(s-ß) _ ị (â ® = ems-ß) _ J +p -^ ^ + q p -1 (2'27) Khi p = q phân bố thống kê trên ừở về phân bố thống kê của biến dạng thông thường và phân bố thống kê Bose - Einstein quen thuộc khi p=q =1 30 Kết luận chương 2 Trong chương 2 chúng tôi đã xây dựng dao động tà Boson, tìm được phân bố thống kê của dao động tà Boson và thống kê Bose - Einstein của hệ đồng nhất hạt... tính số hạt trung bình ở ừên cùng một mức năng lượng £ được gọi là phân bố thống kê Bose - Einstein cho hệ đồng nhất các hạt Boson 2.2 Thổng kê Bose - Einstein biến dạng hai tham sổ Để hiểu biết đầy đủ hơn về các hạt cơ bản, việc mở rộng biến dạng một tham số q thành biến dạng hai tham số p,q cũng là một hướng nghiên cứu thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lí lý thuyết Xuất phát từ đại số biến dạng. .. Bose- Einstein là một hệ quả của nguyên lý bất khả phân biệt các hạt boson đồng nhất 19 Kết luận chương 1 Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày một cách lôgic của hệ nhiều hạt đồng nhất: - Trình bày biểu diễn hạt dao động tử điều hòa: - Chứng minh được các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy Boson toán tử số hạt - Biểu diễn Hamiltonian của dao động tử điều hòa theo các toán tử a,a+ - Trình bày... fermion Hệ thức phản giao hoán của dao động tử Fermion thỏa mãn hệ thức: {£,£*}=1 (3.10) b2=(b+f = о Toán tử dao động N có dạng : N = b +b (3.11) Toán tử dao động N thỏa mãn hệ thức giao hoán : [ n ,Ẩ] = -Ể [N, (3.12) =ьл (3.13) Đại số (3.10) có thể thực hiện ừong không gian Fock với cơ sở là vector đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N : / \n n) = iè O |0) 4 ) n = 0, 1 (3.14) (n = 0,1 vì đây là hệ. .. biệt các hạt đồng nhất, đối xứng hóa và phản đối xứng hóa hàm sóng - Trình bày về nguyên lý loại trừ Pauli và ngưng tụ Bose- Einstein Nội dung trình bày ừong chương này là những nội dung cơ bản, tiền đề để ừên cơ sở đó chứng tôi áp dụng vào nghiên cứu hệ các dao động tử có thống kê lượng tử ở các chương sau 20 CHƯƠNG 2 THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG HAI THAM SỐ 2.1 Thống kê Bose - Einstein 2.1.1 Dao. .. Xuất phát từ đại số biến dạng hai tham số p,q [3] ââ+ — p f lf l = ( f ââ+=[LN + 1]J p, q'„,,â+ â = L[N]na ’ J p>g (2*23) 29 Với số biến dạng г 1 M _ я х —p ~ x = _ -! (Ị p (2.24) Đại số biến dạng hai tham số p,q được thựchiện trong không gian Fock vói các trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử số N làm các vectơ cơ sở I«>„,» = f = , IO) (2.25) Trong không gian này ta có hệ thức: ầ { à y = p - nm nà... F, tương ứng vói toán tử F [1],[4] : T y Ị e -^ -" ^ ) F =— (2.17) Trong đó z là tổng thống kê đặc trưng cho tính chất nhiệt động của hệ và có dạng: Z = T > ( e ^ ) = £ < n l e ^ |n > ' ' (2.18) n=0 Với yỡ = 4 kT k: là hằng số Boltzman T: là nhiệt độ của hệ H: là Hamiltonian của hệ ti Chọn mốc tính năng lượng Eữ=- N\n) = nh , H = £N Khi đó Với £ là năng lượng của một dao động tử 00 Mặt khác ta lại... Einstein 2.1.1 Dao động tử Boson Một phương pháp toán học rất thuận tiện thường được sử dụng khi nghiên cứu các hệ nhiều hạt là phương pháp diễn tả các trạng thái của hệ bằng các vectơ chuẩn hóa ừong một không gian Hilbert và sử dụng các toán tử sinh hạt và hủy hạt như ta đã nói đến ừong dao động tử điều hòa để kiến tạo các vectơ trạng thái nhiều hạt Ta nhắc lại rằng, toán tử sinh hạt â+và toán tử hủy hạt... năng lượng là một hạt thì N sẽ là toán tử số hạt, â sẽ là toán tử hủy hạt và â+ sẽ là toán tử sinh hạt Khi đó trạng thái I rì) với năng lượng En = nh 12 sẽ là trạng thái chứa n hạt Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa Cuối cùng, ta hãy tính các hệ số tỷ lệ an,ß n, và Yn trong các hệ thức âịn) = a n \n —l) à+\n) = p n\n + 1) \n) =rnâ+\0} (1.19) Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa thì