BỌ GIÀO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI N G U Y Ễ N T H Ị M IN H T H Ủ Y BÀI TOÁN cA U C H Y -N EU M ANN Đ ố i VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN LU Ậ N VĂN TH ẠC Sĩ TO Á N HỌC Hà Nội, 2015 BỌ GIÀO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH ẠM HÀ NỘI N G U Y Ễ N T H Ị M IN H T H Ủ Y BÀI TOÁN cA U C H Y -N EU M ANN Đ ố i VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CAP HAI TRONG TRỤ VỚI ĐÁY KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LU Ậ N VĂN TH ẠC Sĩ TO Á N HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Hà Nội, 2015 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng , người quan tâm , động viên tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người th ân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2015 Nguyễn Thị Minh Thủy Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 20ỉ Nguyễn Thị Minh Thủy M ục lục M đầu N ộ i d u n g Chương K iến th ứ c chuẩn bị 1.1 Các kí hiệu Đạo hàm suy rộng 1.3 Không gian Sobolev 1.4 Một số bất đẳng thức 10 1.4.1 Bất đẳng thức Cauchy với £ 10 1.4.2 Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz 11 1.4.3 Bất đẳng thức Gronwall - Belman mở rộng 11 Chương B ài to n C au ch y-N eu m an n phương trìn h parabolic cấp hai tro n g trụ với đáy k hông trơn 14 Đặt toán 14 2 Tính nghiệm suy rộng 16 2 Bất đẳng thức lượng 16 2.2.2 Định lý nghiệm 18 2.3 Sự tồn nghiệm suy rộng 24 2.4 Ví dụ 33 K ết luận 36 Tài liệu th am khảo 37 Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng phận quan trọng toán học, nghiên cứu lần vào kỷ 18 công trình nhà toán học Euler, Dalembert, Lagrange Laplace, công cụ quan trọng để mô tả mô hình vật lý học Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính thường chia thành loại: phương trình loại elliptic, phương trình loại parabolic, phương trình loại hyperbolic Các toán biên phương trình hệ phương trình đạo hàm riêng tuyến tính dạng elliptic, parabolic, hay hyperbolic miền có biên trơn nghiên cứu đạt kết tương đối hoàn chỉnh Lý thuyết toán biên miền không trơn lĩnh vực quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đại, nghiên cứu phát triển cách hệ thống từ năm 60 kỷ 20 Các toán biên phương trình, hệ phương trình không dừng miền có biên không trơn nghiên cứu nhiều công trình với loại phương trình khác nhau, loại miền không trơn khác cách tiếp cận khác Trong công trình nhận kết tồn nghiệm suy rộng kết tính trơn biểu diễn tiệm cận nghiệm Với mong muốn hiểu sâu toán miền không trơn, nhờ giúp đỡ GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng chọn nghiên cứu đề tài B ài to n C au ch y-N eu m an n phương trìn h parabolic cấp hai tro n g trụ với đáy k hông trơn" Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn tìm hiểu tính giải toán Cauchy-Neumann phương trình parabolic cấp hai trụ với đáy không trơn, định lý tồn nghiệm toán trụ với đáy không trơn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kiến thức sở không gian hàm, không gian Sobolev, bất đẳng thức bản, kiến thức liên quan Từ áp dụng vào nghiên cứu tính giải toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn nghiệm suy rộng toán Cauchy-Neumann phương trình parabolic cấp hai trụ với đáy không trơn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp sử dụng luận văn phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp đánh giá bất đẳng thức, phương pháp không gian hàm Sobolev Đóng góp đề tài Các kết luận văn góp phần hoàn thiện lí thuyết cách hệ thống trường hợp đặc biệt toán tổng quát giải miền không trơn Nội dung Luận văn bao gồm chương: Chương : Giới thiệu số kiến thức bổ trợ Chương 2: Trình bày cách đặt toán Cauchy-Neumann phương trình parabolic cấp hai trụ với đáy không trơn, trình bày nghiệm suy rộng, tồn nghiệm suy rộng toán Chương K iến thức chuẩn bị 1.1 Các kí hiệu R n không gian Euclide n — chiều, X = {X\,X2, ,xn) e Rn Xét Q, miền bị chặn Rn, n > với dQ, biên n = n u dtì Giả sử < T < 00 Kí hiệu: rĩy = X (0, T1) = -((:£, i) : X G G (OịT1)} trụ Rn+1 Mặt xung quanh là: ST = d ữ x (0 , T ) = { ( z , í ) : X e d £ l , t e (0 , T ) } Với u hàm véc tơ phức với thành phần Uị, u2, u n Ta kí hiệu: u = (lii, u 2ì un) Dp = ỠÍCp f pị Pn đạo hàm suy rộng cấp p theo biến X = (íCi, :rn), utk = d ku / d t k đạo hàm suy rộng cấp Ả; theo biến t, p = (pi, ,Pn) kí hiệu đa số với Pi số nguyên không âm, |p| = Pi + + p n c (fì) không gian hàm khả vi vô hạn với giá compact n Giá hàm bao đóng tập hợp tấ t điểm mà hàm khác không kí hiệu supp Kí hiệu C k(Q) tập hợp tấ t hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k miền Q, < k < 00, CQ(n) = c o (íì), v c k (íì) = c c k (íì), (íì) n c k tập hợp tấ t hàm liên tục Q có giá compact thuộc Q Lp (Q): Cho Q, miền không gian R n cho < p < 00 Khi Lp (Q) không gian bao gồm tấ t hàm u (X) khả tổng cấp p theo Lebesgue Q với chuẩn: \\u \\lp(íi) = ụ \u \p d x j L (Q) không gian hàm khả tổng bình phương Q với chuẩn: \u \\ì2(ũ) = /I \u(oc)\2 dx n L (ÍXt) không gian hàm khả tổng bình phương QT với chuẩn : :/ I / , \ |2 ị u ( x , t ) f dxdt rtí *1 * • Một hàm số / đo Rn gọi bị chặn tồn số k cho I/ (x)\ < k hầu khắp nơi Rn Cận lớn số k gọi essential supremun l/l R n Kí hiệu esssup I/ (rr)Ị L 00 (fì) không gian bao gồm tấ t hàm u (X) đo theo Lebesgue bị chặn hầu khắp nơi Q với chuẩn : I M L ( f i ) = e s s s u P xeũ M * ) l - / IITỊtịị2 dxdt + Oh Ho \\t ị ( x , ) ||^ 1(n) < (7 số > phụ thuộc vào fl A0 Từ cách chọn hàm thử TỊ ta nhận được: V2 < ộ* - b| Jb u 2dr^j dt < ( b j u 2dr^j dt = Do vậy: Я ílb * л at) d x d t ' Chọn ò2 < 2^-, từ (2.11) ta có: í ịịritịị2 dxdt + ựo |М ж , 0) ||^ 1(п) < С í ^2\ \ riXi\\Ị J nb Г* ?.* Jũ i= _ _ л _ _ /*& я Mo 11^7 ( я , ) IlW ‘1(fì) hay là: —С / 70 ll^b« Ilz,2(fi) ^ i=l ta được: 77 (X, t) = V (X, b) — V (X, í ) TỊ (x, 0) = V (x, b) ĩ]x (z, í) = Vi (x, b) - Vị (x, t ) , < i < n ĩ]x (x, 0) = Vi (x, b) , < ỉ < n Từ bất đẳng thức viết lại sau: /^ o lh M )llL (n ) < - 2C [ H i i Ị'i ( M ) i i ỉ a(n) phụ thuộc vào ịiQ, [1 A0 Do theo bất đẳng thức Gronwall-Bellman ta suy J (ò) = với b G [0, ỊẤo/ẩC] Vì u (X, ò) = với b £ [0, ịấo/4C] Lập luận tương tự trên, ta chứng minh u (x, b) = với b e [ịiữ/2C, ịiữ/C] Tương tự, sau số bước hữu hạn ta thu u ( x, b ) = 0, với b e [0, r] Vì b tuỳ ý nên ta có U\ (x, t ) = u (x, t ) Định lý chứng minh 2.3 Sự tồn nghiệm suy rộng Mục dành cho trình bày việc phát biểu chứng minh tồn nghiệm suy rộng toán Cauchy-Neumann phương trình parabolic cấp hai trụ với đáy không trơn Sự tồn nghiệm suy rộng khẳng định qua định lí sau: Đ ịn h lý 2.3.1 Giả sử fij / e I " (0 , t , l (fi)) (ii) sup “Ị ^ ]\a\ \ < ịi]l < i, j < n, ịẮ = const > (Xji) €=ÍĨt1 Khi đố tồn số 7o cố định cho với > 7o toán (2.3) có nghiệm suy rộng u ( x , t ) e l l ^ l l W 1’1 ( e _ Ì , f 2T ) — w 1,1(e_7í,Q T) C (2 ) — thoả mãn: l l / I L “ (0,T,I,2(n)) c = const > không phụ thuộc vào h,u, f C hứng m inh Ta chứng minh tồn nghiệm suy rộng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin 24 Giả sử {í )|Il>(!ì) + (/*0 - 'Г)||»ЧЩ < < nịi I (IK + (Mo- г) IK (-.oll^^n)) dt+ ßo — £ Jo (2 -l8) + ^ { /> /) n ; Với Đ ặ t 7o = 7o tồn E > Eo cho = ta thu được: fi0 - £ = — 1 nịl ỗnịi‘7 - (ụ, + Ao)2 Đ ặt: Л (í) = II«" ( • т ) |£ 1(п, + Y II«" (.,r ) ii; từ (2.18) ta có: Jo (r) < / ^0 (í) dt + c v 11/11L°° (0,T,L2(Г2)) Jo đ ó (7 = C n sí > c h ỉ p h ụ t h u ộ c v o ß o , ß v Á p d ụ n g b ấ t đ ẳ n g thức Gronwall-Bellman, ta có: JqO ' ) < Ce1 \ \ f \ \ L°°( 0, T, L2(ũ)) hay: Do ta có: к (Ж >Т)|1^(П)+ IK (Ж >Т)И^(П) 28 C e 'ỴT Mi“ (0 , t , l 2(ü)) với с = const > phụ thuộc vào ịiữ,ịi Nhân hai bất đẳng thức với e 27T, lấy tích phân vế theo T từ đến T, ta nhận được: II _jV||2 14 IW1.1(e-7*)nT) - С 11/11ь“ (0,Т,Ьа(П)) với с = const > phụ thuộc vào Ho, ịi bị chặn không gian W 1,1 (e_7í, £Xr) nên ta trích Vì dãy dãy {UN (z ,í)} hội tụ yếu tới u ( x , t ) G W 1’1 (e_ 7í ,flr ) Ta chứng minh и (x, t) nghiệm suy rộng toán (2.1)- (2.3) Do {UN (x, t )} hội tụ yếu W 1’1 (e_7í, fiT) tới hàm и (X, t ) theo t G [0, T ] nên ị u N (X, 0)} hội tụ yếu đến и (я, 0) M ặt khác UN (X, 0) = nên и {x, 0) = T a cò n p h ả i ch ứ n g m in h u ( x , t ) th ỏ a m ã n đ n g n h ấ t th ứ c tíc h p h â n (2.5) Nhân vế (2.12) với dị (t ) £ w (0,T ) ,di (T) = 0, lấy tổng theo từ đến N, lấy tích phân theo t từ đến T, ta thu được: ( « « “ £> >7* ) - + (а> л ,7>пг - « ’ỉ>iìr = , v ) u T i,ổ=1 T v i TỊ ( x , t ) = ỵ ^ =1 dị ( t ) (fil ( t ) hay: — I I u fr jd x d t — ŨT aijU^.rjx.dxdt + i,J=1f2T J auNfịdxdt J = ŨT ffjdxdt ŨT Lấy tích phân phần số hạng ta được: I uNrỊtdxdt — ^2, Ị aiju x Vxßxdt + ílq 29 J auNfjdxdt = J frjdxdt, hay: n p t h ijU^.Tjx dxdt + J J auNrjdxdt + / fiy / J uNTjtdxdt = fiy frjdxdt fiy Cho iV —>■00 ta đồng thức tích phân V77 £ M n , tr N 'l M N = i x > ( í ) , (z, í) G c°° (Ũt ) cho: \\v ( x ,t) - U J £ ( M ) ||wi,i(c- 7t)nT) < |Khai triển Fourier hàm íút (x , t ) theo hệ {ĩỊ)k (íc) } ^ =1 ta có: íú£ (x, t) = ^ c k (í) ĩpk ( x ) , t £ [0, T] k= 30 c k (t ) = (ũ;£, ^ ) r ( S Ì ) , í e [ Т ] Với í G [0-^1 J ta có: ||cư£ ( я , t) Ilwi(fl) = ^ \Ck {t) I fc=i \ịu£ (x,t) - S L i Cfc ° ’ kỉli n М И и^п) °0 - Đặt: Sn (x, t) = ^ c k (t) фк (ж) fc=i £*ra ( í ) = l l ^ c ( æ , Î ) — Sfl {%ì t)) Il W " ( П ) • =ф Gn (t ) —>■0, n —>■00 Ta có: »S',! (æ, î ) G M* l ^ n (í) I = — ll^c ( æ , Î ) — (X Il W ( П ) Sn (æ, í ) ) ll*^n С2 ' ’ Il W"1(П) Il W ( f ỉ ) ) ||cư£ (x, í) IlW1(fỉ) - < Vì uj£ (x,t) G c°° (QT) =Ф ||cư£ (x , í) II hàm bình phương khả tích [О, Т] Do Gn (í) ->• , TL ^ 00, IGn (í) I < \ịue ( M ) I L i( íì) , IỊÍŨ£ ( x , t ) llw^n) hàm bình phương khả tích, nên theo định lí Lebesgue hội tụ bị chặn: lim [ n -> °° J0 Gn ( t ) d t = Ị n ^lim° ° Gn (t)dt Vo Mặt khác ta có: dCk (í) _ / duJ£ (x,t) dt -{ ỡt 31 ! \ ì4,kJ w4ũ)- (2.19) dio£ (x,t) dt du)ẹ (x,t) dt _v -£ fc = / dSn dt IV1(íí) du)ẹ (x,t) dt —>■0 , TI —y oo W í {ũ) x lim r n-»00 7o ^ « = r Vo = lim ^ n “)’00 Ỡt Từ từ (2.19) suy ra: \ịu£ (x,t) - s n (x,t)\\wi,He-,tĩŨT) -> , n ^ 00 Suy tồn N đủ lớn cho : ịịw£ ( x , t ) - S n (x,t)\\wl,He.,t ŨT) < |,V n > iV Vậy: ||i; (x, t) — Sn (x, í) HĩV'1*1(e-ft,ũT) < n đủ lớn Sn (x , t ) e M* Tức M* trù với £ không gian m ậ t tron g W 1,1 (e_7í, fiT) Ta có đẳng thức tích phân với hàm thử thuộc tập trù m ật không gian w 1'1 (e_7í, QT) nên cho hàm thử thuộc w 1,1 (e_7í, QT) Tức ta nhận được: Ỷ2 Ị hay aijux fịXidxdt + Ị aurịdxdt 4- J urỵdxdt = Ị n - (a>ijUXj ì TỊXi) aT + { au, Ĩ])ŨT + V t ) a T - ( u X i ì V x X T = ^>nT • ( -2 ) i—1 với hàm thử TỊ (x, t ) e w 1,:l (e_7í, fiT), 7] (x, t) = với t e [r, T ) , 0< r < T Nghiệm w(x,í) thỏa mãn phương trình (2.20), điều kiện ban đầu (2.21), điều kiện biên (2.22) đồng thức tích phân (2.23) đ i ề u k iệ n u (x, t ) e w1,1(e-7 í, QT) 33 T hật yậy, u ( x , t ) nghiêm toán th ì từ phương trình (2.20) ta có: ^ —rịdxđt —J utfjdxdt = / / ffjdxdt Áp dụng công thức tích phân phần thành phần thứ vế trái ta được: - J £ n ÌÍ71 *=1 I — S * ““ + J £ Õ Ằ37_1 *=1 utfịdxdt Utĩ]dxdt J Ị = = ("■ * < ) d s - J/ ffịdxdtì Í^T1 fì suy ra: n f n d - Y , 7o toán (2.20) — (2 22) có nghiệm suy rộng u (x,t) e w ljl (e-7 í, QT) thoả mãn: l l ^ l l W 1' ( e _ Ì , n T ) — C l l / I L “ (0,T,L2(n)) c = const > không phụ thuộc vào h, u, / 35 K ết luận Nội dung chủ yếu luận văn trình bày tính giải toán Cauchy-Neumann phương trình parabolic cấp hai trụ với đáy không trơn Những kết mà trình bày là: • Định nghĩa nghiệm suy rộng toán • Chứng minh tồn nghiệm suy rộng • Chứng minh tính nghiệm suy rộng Một số vấn đề mở phát triển tiếp: • Nghiên u t ín h trơ n th e o b iế n th i g ia n v không g ia n c ủ a n g h iệ m suy rộng • Nghiên cứu dáng điệu nghiệm suy rộng toán xét luận văn Do khả thời gian nghiên cứu có hạn nên luận văn chưa đầy đủ khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn 36 [...]... eum ann i vi phng trỡnh parabolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Trong chng ny lun vn trỡnh by v s tn ti v duy nht nghim suy rng ca bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh parabolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn, ta nhn c kt qu v tớnh gii c ca bi toỏn trong tr vi ỏy khụng trn 2.1 t bi toỏn Gi s Q, l mt min b chn trong R n, n > 2 vi biờn dQ, khụng trn Gi s 0 < T < 00 Kớ hiu l tr trong Rn+1 Mt xung quanh... ) d i,j= 1 j õy / l vector phỏp tuyn ngoi ca m t S T Xột trong min tr ÊỡT phng trỡnh: L ( x ,t , d) u Ut = f {x,t) trờn QT (2.1) vi iu kin ban u: u\t=o = 0 trờn Q (2.2) v iu kin biờn: N ( x , t , d ) u \ s T = 0 (2.3) Bi toỏn trờn c gi l bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh parabolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Bi toỏn ta ang xột l Parabolic mnh, tc l vi Ê e Rn \ {0} v (x,t) e ớỡoo, tn ti =... nht nghim suy rng ca bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh parabolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn Tớnh duy nht ca nghim suy rng c khng nh qua nh lớ sau: n h lý 2.2.2 Gi s rng h s ca toỏn t L (X, t, d ) tho mn iu kin (2.4) v: sup (x,t)eT Khi ú bi toỏn (2.2) (2.4) cú khụng quỏ mt nghim suy rng trong W 1,1 (e-7ớ, ÊỡT) vi 7 > 0 C hng m inh Gi s bi toỏn (2.1) (2.3) cú hai nghim suy rng w 1,1 (e-7ớ,... Vỡ b tu ý nờn ta cú U\ (x, t ) = u 2 (x, t ) nh lý c chng minh 2.3 S tn ti ca nghim suy rng Mc ny dnh cho trỡnh by vic phỏt biu v chng minh s tn ti ca nghim suy rng ca bi toỏn Cauchy- Neumann i vi phng trỡnh parabolic cp hai trong tr vi ỏy khụng trn S tn ti ca nghim suy rng c khng nh qua nh lớ sau: n h lý 2.3.1 Gi s rng fij / e I " (0 , t , l 2 (fi)) (ii) sup ^ ]\a\ \ < i]l < i, j < n, = const >... min trong khụng gian R n Ta nh ngha w l (fỡ) l khụng gian bao gm t t c cỏc hm (X) G L 2 ( f ỡ) , X G Q vi chun : K h ụn g gian w 1 (Q) n h ngha 1.3.2 Gi s Q, l mt min trong khụng gian R n Ta nh ngha W (Q) l khụng gian bao gm t t c cỏc hm u (X) Ê L 2 (ớỡ), x ớ ỡ vi chun : 0 K h ụn g gian W (Q) n h ngha 1.3.3 Gi s Q, l mt min trong khụng gian R n Ta nh 0 o ngha w 1 (Q) l bao úng ca c 00 trong. .. UXi (., t ) ) n i,j=1 Trong b sau ta s xột bt ng thc nng lng Bt ng thc ny l mt trong cỏc c s quan trng trong cỏc chng minh cỏc phn sau B 2 2 1 Gi s iu kin (2.4) tho món Khi ú tn ti 2 hng s iQ > 0 , o > 0 sao cho vi mi hm u = u (x,t) e w 1,1(e-7 ớ, fiT) ta cú bt ng thc sau: \ \\u\\r II II2 - B (u,u) (ớ) > fJL0 |M|flTV^è) - Ao l 2( ) C hng m inh T iu kin (2.4) v t bt ng thc Cauchy ta cú: n n \\UXi... = 0 MN N=1 trự m t trong w ljl (e_ 7ớ,Q T) T ht vy, bng phng phỏp trc giao húa Gramm-Schmith, t {(Pk (ớc) } ^ =1 ta cú th xõy dng mt h trc chun {)k (x )}^ =1 trong W (Q) m bao tuyn tớnh l w 1 (Q) t: 'l ' N M*N = < Y , d ( ớ ) ^ t o ; di (ớ) e W 1( 0 , T ) ; d, ( T ) , 1=1 M* = = o l J 0 M*N N=1 Vic chng minh M trự m t trong W 1,1 (e_ 7ớ,Q T) tng ng vi vic chng minh M*trự m t trong W 1,1 (e_7ớ, Xr)... h thc: I (ổ) D p(f () dx = J () Dp(f () dx n ' = ( 1 ) ^ J V ( x ) ớfi ( x ) d x = ( 1 ) ^ J V ( x ) ớfi (ổ) d x ' T ú ta nhn c u ( x ) cú o hm suy rng trong min fỡ' cng chớnh l hm v{x) o hm suy rng trong min c gi l thu hp ca o hm suy rng trong Q vo D a+òv = D a ) ^ v ) , a D av 1 + bDav2 = D a (av 1 + bv2), ú a,b l cỏc hng s tựy ý T nh ngha ca o hm suy rng thy ngay c o hm suy rng khụng ph... 1,1(e_7ớ,Q T) C (2 1 ) tho món: l l / I L (0,T,I,2(n)) 5 trong ú c = const > 0 khụng ph thuc vo h,u, f C hng m inh Ta chng minh s tn ti nghim suy rng bng cỏch s dng phng phỏp xp x Galerkin 24 Gi s { 0 ch ph thuc vo Ho, i v 7 b chn trong khụng gian W 1,1 (e_7ớ, ÊXr) nờn ta trớch ra mt Vỡ dóy con ca dóy {UN (z ,ớ)} hi t yu ti u ( x , t ) G W 11 (e_ 7ớ ,flr ) Ta s chng minh (x, t) l nghim suy rng ca bi toỏn (2.1)- (2.3) Do {UN (x, t )} hi t yu trong W