TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI P G S T S Đ Ặ N G Q U Ố C LƯƠ NG Cơ HỌC CŨ Sỏ TẬP II DtNG HOC VÀ ADNG Lirc HOC NHÀ XUẤT BẢN XÂY DỰNG HÀ NÔI - 2009 LỜI NÓI Đ Ầ U Giáo trình Cơ học sở tập phần tĩnh học đưỢc xu ả t năm 2007 Đê p h ụ c vụ cho yêu cầu giáng dạy học tập, cho x u ă t sách Cơ học sở tập phần Động học Động lực học Theo Quyết đ ịn h Ban giám hiệu Trường Đại học Kiến trúc H Nội, từ năm 2008 sinh viên đào tạo theo hệ thông tin Do thời lượng dành cho môn học lại lần rút gọn Môn Cơ học sở gồm hai học phần: Cơ học sở (Tỉnh học) dành cho ngành: X ây dựng, Công trin h ngầm , Kiên trúc, Quy hoạch, Vật liệu, Đô thị, Quản lý xây dựng đô thị với thời lượng 30 tiết Cơ học sở (Động học Động lực học) dành cho ngành X ã y dựng, Công trình ngầm với thời lượng 45 tiết Vì thời lượng giảng dạy lớp ít, nên biên soạn Cơ học sử tập này, cô gắng trình bày ván dề ti mỉ, đưa vào nhiều ví dụ m in h họa, nhiều t ậ p VỚI c c d n g k h c n h a u đ ế s i n h v iê n có t h ế t ự n g h i ê n c ứ u v r è n l u y ệ n nhà Đặc biệt, đè đáp ứng nhu cầu học tập sinh viên kh giỏi phục vụ chj công tác bồi dưỡng thí sinh viên giỏi, thi Olym píc Cơ học toàn quốc h n g năm , dưa phần Lý thuyết sô nội d u n g cao ưà 40 tậo chọn lọc, có nhiêu đề thi sinh viên giỏi Trường Đại học Kiến trúc H nội, dề thi Olympic Cơ học toàn quốc nhữ ng năm trước Cuốn sách tài liệii cần thiết cho sin h viên Trường Đ ại học K iến T rúc Hà Nội, đồng thời củng tài liệu tốt cho sinh viên trường đ i học k ỹ th.Lật k h c Chúng xin chân thành cảm ơn B an giáìn hiệu, B an chủ nhiệm khoa Xây d ự n g phòng Quản lý khoa học Trường Đại học Kiến Trúc H Nội tạo điều thuận lợi đ ể sách xuất Ct.úng củng chân thành cảm ơn đồng nghiệp đóng góp ý kiến g iú p đỡ ưiệc hoàn thành sách Vi thời gian biỗn soạn sách có hạn nên chắn thiếu sót, n u n g m u ô n n h ậ n đưỢc ý k i ế n đ ó n g g ó p c ủ a h n đ n g n g h i ệ p v c c e m s i n h liên M ặ ý kiến xin gửi phòng Quản lý khoa học Trường Đ ại học Kiến Trúc H N n PG S TS Đ ặ n g Q u ố c L n g DỘNG HỌC MỞ ĐẦU ĐỘNG HỌC Động học phần thứ hai học sở Động học nghiên cứu chuyển động vật thể vể mặt hình học, không quan tâm đến nguyên nhân gây chuyển động, nguyên nhân gây biến đổi chuyển động chúng, v ề phương diện đó, động học xem mở đầu động lực học, xác lập nên khái niệm phụ thuộc động học Những khái niệm phụ thuộc cần thiết nghiên cứu chuyển động cứa vật thô tác dụng lực Khi nghiên cứu động học ta cần hiểu rõ khái niệm sau đây; Hệ quy chiếu Chuyển động vật thể hoàn toàn có tính chất tương đối, phụ thuộc vào vật lấy làm mốc để theo dõi chuyên độiig Ví dụ người ngổi tàu chạy đứng yên so với tàu iại chiiyen dòna so với nlià bên đườiig Như để mô tả chuyển dộng cùa vật thể ta phai chi K) vật lây làm mòc, vật lây làm môc đế theo dõi chuyến động vật thể chuyển động goi l;i hệ quy chiếu Đe thuận tiện cho việc tính toán, ta thưòìig gắn vào hệ quy chiếu hệ tọa độ v ề sau đc đỡ cồng kềnh người ta thường lấy hệ tọa độ làm hệ qiiy chiếu Không gian thời gian Chuyển động vật thể diễn không gian theo thời gian Thực không gian thời gian hai dạng tồn lại khách quan vật chất, chúng phụ thuộc vào chiiyểrr động cụ thể vật chất Trong Cơ học sở để đơn giản ta xem không gian thời gian không phụ thuộc vào chuyển đông vật khảo sát, gọi không gian tuyệt đối thời gian tuyệt đối Không gian tuyệt đối dược hiểu không gian Ơcơlit chiều lý thuyết hình học ơcơlít nghiệm Đơn vị bán dể đo độ dài mét Thời gian tuyệt đối đưọc hiếu thời gian trôi đểu từ khứ đến tới tưoTig lai, không phụ thuộc vào hệ quy chiêu không phụ thuộc vào chuyển dộng vật thể Đoìi vị bán đê đo thời oian giây Đối với vật thể chuyển động với vận tốc nhỏ thua nhiều so với vân tốc ánh sáng (khoảng 300.000km/s) tức chuyển động học kv ihuật, khái niệm hoàn toàn có thê chấp nhận Mỏ hình vật thể chuyển động Trong động h ọ c để nghiên cứii chuyển động vật thể ta dùng hai mô hình: Động điểm vật rắn chuyển động Khi nghiên cứu chuyển động vật thể, kích thước không cần chii >' đến, ta biểu diễn vật thể bàng mô hình động điếm Động điểm điểm hình họcch u yển động không gian Iheo thời gian Nếu phải để ý đến kích thước vật, bỏ qua tính biến dạng nó, có thê biểu diễn vật thể mô hình vật rắn chuyển động Nếu vừa phải ý đến kích thước vật tính biến dạng nó, không dùng hai mô hình Đó đối tượng nghiên cứu học môi trường liên tục Dựa vào hai mô hình trên, động học chia thành hai phần; Động học điểm động học vật rắn Động học điểm nghiên cứu chuyên động vật thê dạng inô hình động điểm Động học vật rắn nghiên cứu chuyển động vật thể dạng mô hình vật rắn Việc nghiên cứu động học điểm ý nghĩa tự thân nó, nhằm chuẩn bị cho việc khảo sát chuyển dộng vật rắn Nội dung nghiên cứu động học xác định vị trí đặc trưng hình liọe chuyển động điểm hay vật rắn ta phải hiểu khái niệm sau: - Thông số định vị thòng số xác định vị trí điểm hay vật rắn hệ Cịuy chiếu chọn - Phương trình chuyển dộng biếu thức liêii hệ thông số định vị với thời gian - Vận tốc chuyển động dại lượiig biểu thị hưcViig lốc độ chuyển động điểm hay vật rắn thời điểm xét - Gia tốc chuyển động đại lượiig biểu thị thay đổi vận tốc theo thời gian Gia tốc chuyển động cho biết tính hay biến đổi chuyển động ChưưngI ĐỘNG HỌC ĐIỂM 1.1 KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM BẰNG ph ng ph p VÉCTƠ Phương trình chuyến động Giả sử động điểm M chuyển động không gian, lấy điểm o cố định vẽ véctơ r = Õ M Vị trí điểm M hoàn toàn xác định biết r Vì vậy, ta gọi véctơ r véc tơ bán kính định vị cỉia M hệ quy chiếu Khi M chuyển động ĩ thay đổi độ dài hưóTig, dó hàm thời gian t r = í(t) (1.1) Biểu thức phương trình cliLiyển động động điểm viết dạng véctơ Quỹ đạo động diếm liệ quy chiếu quỹ tích động điểm hệ quy chiếu Phương trìnli (1.1) phương trình quỹ đạo động điểm dạng tliam số Nếu quỹ dạo điểm thắng ihì chuyên dộng gọi chuyển động thẳng, qưỹ đạo cong ciuiycn cỉông goi chuyến động cong Vận tóc đièni Giả sử thời điểm t động diêm vị trí M, xác định véctơ bán kính định vị r Tại thời điếm t' = t + At, At đại lượng bé thời gian, động điểm vị trí M' xác định bời véctơ r ' Ký hiệu: Ar = r - r = MtM' M H i n h 1.1 Véc tơ Ar mô tả gần hirớiig quãng đường M khoảng thời gian At Véc tơ A? gọi véc tơ di chuyến động điểm véc tơ — yọi At vận tốc trung bình động điểm khoảng thời gian At — Ar At Véc tơ mô tả gần hướng tốc độ điểm M khoáng thời eian Al kể từ L Nếu At nhỏ độ xác cao Do đó, ta định nghĩa véc tơ vận tốc tức thời thời điểm l động điểm M véc tơ: Ar dĩ Ai-^o At dt V = lim V = lim — = At->0 Như vây, vận tốc M thời điểm t đạo hàm bậc véc tơ định vị theo thời gian: v=7 (1.2) Về mặt hình học véc tơ Ar Vị^nằm cát tuyến M M ’ At véc tơ V phải hướng tiếp tuyến với quỹ đạo động điếm thuận theo chiểu chuyển động động điểm Đơn vị đo vận tốc mét/giây, ký hiệu m/s Gia tốc điểm Giả sử thời điểm t vận tốc M V, thời điểm t’ vận tốc M v'.Đ ại lượng Av = v' - V ch o b iết thay đổi vận tốc điểm M u-ong khoảng thời gian At Đại lượng Wịj, = — cho biết sư thay đổi trung bình At Hình 1.2 V khoảng thời gian At gọi gia tốc trung bình M thời điểm t Đại lượng xác At bé, Do ta định nghĩa gia tốc điểm M thời điểm t là: w = lim = — Ai->0 At dt Như vậy, gia tốc điểm đạo hàm bậc vận (ốc đạo hàm bậc cua véc tơ bán kính định vị điếm theo thời gian: w=v= r (1.3) Vì véc tơ Av hướng vào bề lõm quỹ đạo Nên véc tơ w hướng vào bể lõm quỹ đạo Nhận xét chuyển động điểm nhờ véc tơ w V a) Tính chất quỹ đạo Xét tích có hướng V Aw Nếu VA w s V, w phương, chuyển độnglà Nếu VA w V, thẳng w không phưcmg, chuyểnđộng cong b) T ính hay biến đổi chuyển động Xét tích vô hướng: v.w T —2 ^ /-s'’ dv d(v) dv ^ Vì V = (v) nên ta có —— = ■= 2v,— = 2v.w dt dt dt Vậy V w = điểm chuyển động V w > điểm chuyển động nhanh dần V w < điểm chuyển động chậm dẩn Có thể biểu diễn tính hay biến đổi chuyên động bảng 1.1 Bảng 1.1 u điểm củ a phương pháp véc tơ khảo sát chuyển độn g điểm ngắn gọn , thường dùng chứng minh lý thuyết, Tuy nhiên, nhược điểm không cho ta công thức tính giá trị vận tốc, gia tốc cùa điểm Nhược điểm khắc phục ta dùng phương pháp tọa độ Đề Các phương pháp tọa độ tự nhiên 1.2 KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM BẰNG p h n g p h p ĐỂ CÁC tọa độ Phương trình chuyên động điểm Khảo sát chuyển động động điểm M không gian Lập hệ tọa độ Đề Các vuòng góc Oxyz Gọi tọa độ M hộ tọa độ X, y, z Vị trí M hoàn toàn xác định biết ba tọa độ Ta chọn X, y, z thông số định vị M Khi M chuyên động tọa độ thay đối theo thời gian, phương trình chuyển động M là; x = x(t), y = y(t),z = z(t) (1.4) đó: x(t), y(t), z(t) hàm thời gian (1.4) phương trình quỹ đạo điểm dạng tham số Vận tốc điểm Nếu gọi ĩ , J , ĩc véc tơ đơn vị tương ứng trục tọa độ Ox, Oy, Oz ta có: r = Xi + y j + zk Theo (1.2) vận tốc điếm: v = r = x i + ý j + zk (1.5) Do hình chiếu véc tơ vận tốc V lên trục tọa độ là: V, = x ; Độ lớn vận tốc V = >/x' + ỷ " V y-ý; v^=z +z" gọi tốc độ đicm Hướng vận tốc xác định nhờ cỏsiii phươiig; V V cos(Ox,v) = — ; cos(Oy,v) = — V V cos(Oz,v) = -— V V Gia tốc điểm Theo (1.3) gia tốc điểm là: ■ clv d _ w = — = — ( xi + ỳ j + z k) = x i + ỹ j + zk dt dt Hình chiếu gia tốc lên ba irục tọa độ: Độ lớn gia tốc: = X; Wy (.1 -í*) = ỹ ; w.^ = z w = yjx~ 4-ỹ' + z ' Côsin phưcrng véc tơ gia tốc; w _ w cos(ox,w) = — cos(oy,w) = — w w w cos(oz,w) = — w V í dụ: Xác định quỹ đạo, vận tốc gia tốc điếm M truyền AH, cấu tay quay truyền Biết OA = OB = 2a tay quay OA quay quanh o với vận tốc góc co (hình 1.4) Ban đầu OA = Ox 10 Bùi giải: Để khảo sát chuyển động điểm M ta lập hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Giả sử tọa độ M X, y Từ hình vẽ ta có; X = 2a c o s (p + a cos (p = 3a cos (p y = asincp Tỉiay (p = cot ta phương trình chuyển động điểm M: x = a co s(0 t, y = a.sina)t Từ suy ra: X y — = coscot , — = sino:)t 3a a Bình phưofng hai vế công lai ta đươc: (— )■ + ( —)■ = 3a a Vậy quỹ đạo M elíp với bán trục 3a a Vận tốc M: = X = -3acosin wt , Vy = ỳ = acocoscot; V = Gia tốc M: + ỳ ' = a c o V s s i n " 03t + = X = -3 ao r cosojt , w = = ỹ = -aco" sincot; + ỹ" = a c a ' V s c o s ' 0Jt + = 0)“r 1.3 KHẢO SÁT CHUYỂN ĐÓNG CỦA ĐIỂM BẰNG ph ng ph áp tọ a độ T ự NHIÊN Trong trường hợp biết quỹ đạo chuyển động điểm, ta thưừng dùng phương pháp tọa độ tự nhiên đê’ khảo sát chuyển động Phương trình chuyên động Thông số định vị: Lấy điểm tuỳ ý quỹ đạo làm điểm gốc, quy định chiều dương để tính cung Gọi OM = 's tọa độ cong động điểm quỹ đạo Vị trí M hoàn toàn xác định biết s Đó thông sô' định vị M quỹ đạo Hình 1.5 Phưofng trình chuvển động M ^ = 's(t) Chú ý: ^ nói chung lượng đại số, nhimg chiều chuyển động không đổi chọn chiểu làm chiểu dươiig ^ iuôn dương chọn o nằm phía dương quỹ đạo Tọa độ COIIO quãng đường nói ch u n g khác 11 2.Hệ tọa độ tự nhỉén a) Hệ tọa độ tự nhiên hệ ba trục vuông góc có gốc động điểm M - Trục tiếp tuyến thuận: tiếp tuyến với quỹ đạo M, hướng dương trùng với hướng dương chọn quỹ đạo Véc tơ đơn vị kí hiộu T - Trục pháp tuyến chính: nằm mặt phẳng mật tiếp với đường cong M, vuông góc với trục tiếp tuyến thuận, hướng vào bể lõm quỹ đạo Véc tơ đcm vị kí hiệu f i - Trục trùng pháp tuyến trục vuông góc với hai trục trên, véc tơ đơn vị kí hiệu b , với hai trục lập thành tam diộn thuận M T ĩì b - Mặt phẳng mật tiếp với dường cong M: M kẻ tiếp tuyến MT, M’ lân cạn với M kẻ tiếp tuyến M T Tại M kẻ M T // M T Gọi Jĩ mặt phẳng chứa MT M T’ Mặt phẳng mật tiếp đưòmg cong M định nghĩa giới hạn mặt phẳng n M’ dần tới M Nếu quỹ đạo phẳng mặt phẳng quỹ đạo mặt phẳng mật tiếp quỹ đạo điểm thuộc quỹ đạo b) Độ cong vá bán kính cong cùa quỹ đạo Aọ E)ộ cong quỹ đạo M số dương: k = lim AS-+0 As đó; d(p As = ^ ' ; A(p = fMT" Đối với dường cong ta định nghĩa; p = — bán kính cong đường cong M Iv Nếu quỹ đạo đường tròn thì; Nếu quỹ đạo thẳng thì: p = — = R bán kính đường tròn, k p=00 Vận tốc gia tốc điểm a) Vận tốc điểm Vì vận tốc tiếp tuyến với quỹ đạo nên biểu diễn V = V^T 12 _^ đó: ^ Mr, - P ^ 1'| sin ỉ ( P>,+ , + 33P P.)r,’ )>r ' = - = 2s "■'(Pi+3P,)r, íI Giải phương trình vi phân (c) với điều kiện baii đẩu ŨJ|(0) = ta được: 3.5 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN c NĂNG Trường lực Trưòfng lực khoáng khòng gian vật lý, chất điếm chịu tác dụng lực phụ thuộc vào vị trí chất điêm ây Trường trọng lực, trường lực đàn hồi tuyến tính ví dụ trường lực Trường lực Trường lực trưòng lực, công lực tác dung lên chất điểm không phụ thuộc vào quỹ đ o điểm đặt lực nià chí phu thuộc vào vị trí đầu, vị trí cu ối điểm Trưòng trọng lực, trường lưc đàn hổi tuyến tính đểu trường lực Lực tác dụng trường iưc thè gọi lưc T n ăn g Thế chất đièni hay hệ đại lượng biểu thị lượng dự trữ chất điểm hay hệ Xét cư hệ gồm n chất điếm trường lực thế, quy định vị trí hệ vị trí "O" Khi ihế náng đựoc định nghĩa tổng công lực tác dụng lên iiệ di chiiyên từ vị trí xét đến vị trí "O", ký hiệu n TTieo định nghĩa hệ vị trí "O" w\ \ \ \ Như vật trọng lượng p độ cao h so với măt đất thìthế so với mặt đất Ph Nếu chọn "O" vị trí cân tĩnh lò xo lực đàn hồi tuvến tính lò xo bị kéo khỏi vị trí cân tĩnh đoạn z là: n =-c đó: ( z + ỗ „ r -S(-, ô^, = — - độ võne tĩnh lò xo; c - độ cứng cứa lò xo (hình 3.31) H ình 3.31 Vì ta chọn vị trí "O" hệ vị trí nên hệ sai khác số Như vậy: 93 - Tliế trọng lực là: n = ±Mgh + const (3.39) lấy dấu + vật vị trí cao hon vị trí "O" ngược lại - Thế lực đàn hổi tuyến tính là: n = —cr^ + c o n s t (3.40) Trường hợp lò xo thẳng: n = —c x ‘ + c o n s t , đ ó X độ giãn hay nén lò xo - Thế ngẫu lực đàn hồi tuyến tính (lò xo xoắn) có mô men M = -ccp là: n = —C(p'+const (3.41) Vì công lực tác dụng lên hệ phụ thuộc vào vị trí đầu vị trí cuối chất điếm, nên nãiig hệ hàm tọa độ chất điểm: n = n (X|, y,, z, X,, y., z x „ , y„, z„) (3.42) Các tính chất ciía lực thê a) Công lực th ế hệ di chuyển trường lực th ế hiệu th ế hệ ỏ vị trí đầu vị trí cuối dịch chuyển ,2 A =n , - (3.43) Tliật còng lực trường lực không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo chuyến động nên ta có; A| = A| 0+ Aq-, = A | Q- A20 Nhưng theo định nghĩa th ế năng: A | Do đó: = 7t| ; A = 7Ĩ-, A| 2= n, - Ĩ I t b) Lực th ế biểu diễn qua thê n h sau ổXk õy^ z ,= - |l ỠL^ (3.44) Thật hệ di chuyển từ vị trí {M|^(X|j,y|^,Z|j)Ị sang vị trí lân cận | M j (Xị, +dXị.,y^ +dy^.,Z|^ + dZ |.) (k = 1, 2, , n) th eo tính chất (a), c ô n g lực sinh là: dA = n(xị,,y|,,Zị ) - n ( x ] , +dXj.,y|^ +dyj.,Z|^ +dZ|^)hay dA = - d l l Theo công thức tính công nguyên tố lực (3.30) ta có: dA = Ẻ ( ’< i‘ix ^ + Y ^ d y ^ + Z ^ d , ) k=l Còn vi phân toàn phần năng: 94 (a) dn = x k-1 vỡx, Thay vào (a) ta được: Xk= - dU dx^ + rT] -dz, 'k ởri ơx -5y, Õz Định luật bảo toàn Giả sử hệ di chuyển từ vị trí "1" đến vị trí "2" trường lực Tlieo định lý động ta có: Tọ - T, = A| ọ Tlieo tính chất (a)của lực thế: A | , = n , - n, đó: T ,-T | = n , - n , hay: T| + n , = T ị + n = const Đại lượng E =T + n gọi cíia hệ Vậy ta có định luật bảo toàn nãng sau: K h i c l ì ệ di chuyển troìiiỊ trườìiiỊ t h ế c năìi^ Chơ CO' h ệ dượ( Ihìo toàn E = T + n = const (3.45) Hệ học nghiệm định luật báo toàn nàng gọi hệ báo loàn, lực tác dụng lên hệ gọi lực báo toàn Như lực thê lực bảo toàn Hệ thức (3.45) gọi tích pliân lượng V í dụ: Một trụ tròn đồng chất có kliối lượng ni lãn xLiổníỉ theo dây treo thẳng đứng quấn vào Đầu A sợi dây dược buộc chặt vìi trụ rơi không vận tốc đầu dây nhả Tim vận tốc trục khối trụ rơi xuống đoạn h, tìm gia tốc cỉia trục sức cãng dây „ • ;■ W\^\> tiÚI iỊia i: Xét hệ khối trụ chuyển động song phắng chịu tác dụng trọng lực p sức căng f Vì dây đứng yên nồn tâm vận tốc tức thời trụ điêni tiếp xúc B dây trụ: V b = Do đó: d A (t) = T.dSfj = T V p d t= Các lực tác dụng lên hệ lưc Như hệ đanií xét hệ bảo toàn Chọn vị trí "O" vị trí ban đầu tru Vì trụ chuvcn độn” với vận tốc ban đầu nên theo định luật báo toàn nãnc ta có: T + n =Ty + n„ =0 Hinh 3.32 (a) 95 Động T trụ rơi xuống đoạn h là: T = —mV(5 + — t rong oo = - ^ ; J c mR- Do đó; T = -m V „ + V, 2 = -m V ẻ ^ R Thế hệ: n = -P h = -m g h Thay vào (a) ta được: —mV^ - m g h = (b) Suy vận tốc ciảa trụ rơi xuống đoạn h là: V Đạo hàm (b) theo thời gian ta đựơc: fV eW c-g V e= Suy gia tốc trục trụ là: W c=^g Áp dụng định lý chuyên động khối tàm cho hệ ta có: mWc = p + t (c) Chiếu (c) lên trục z ta được; -m W c = - P + T Suy sức căng dây; T = p - mW(^ = ni(g - 96 ) = - mg Chương IV NGUYÊN LÝ ĐALẢMBE Trong hai chưcmg trước, đế giài hai toán động lực học chất điểm hệ, sử dụng phương trình vi phân chuyển động chất điểm định lý tổng quát động lực học, hệ suy trực tiêp từ định luật NiuTơn Tuy nhiên nhiều toán động lực học tìm lời giải ngắn gọn, nhờ nguyên lý học Trong chương tiếp theo, nghiên cứu nguyên lý Một nguyên lý học có nhiều ứng dụng nguyên lý ĐalămBe nhà bác học người Pháp phát minh, mà đề cập 4.1 L ự c QUÁN TÍNH Định nghĩa Lựv quán tính củu i licít điếììi cố khối ỉỉ(Ợiì4 5) qua khối tâm c vuông góc với măt phẳng lán':, Kết cho trường hợp vât rắn chuyến đong song H ình 4.3 song với mặt phẳng đối xứng IIÓ 99 4.2 NGUYÊN LÝ ĐALẢM BE - CÁC PHƯƠNG TRÌNH TĨNH ĐỘNG Nguyên lý ĐaLămBe đối vói chất điém a) N guyên lý: Trotìg chuyển độ/ig chất điểm, lực tlìực tác cìinìg lên cììàt điểm với lực quán tíiilì chất điểm lập thùnh hệ lực câ/i Chứng minh: Xét chất điểm khối lượng m chuyển động với gia tốc w lực P p p Ị ,F„ ây Áp dụng phương trình động lực học chất điểm ta có; mW = F| + F, + .4- Chuyển mW sang vế phải với ý - m W = F'^' ta được: F | + F + + F „ + F ‘’‘ = Hệ lực j hệ lực đồng quy có véctơ triệt tiêu nên phải cân Chú ý hệ lực cân theo tiêu chuẩn cân hệ lực đồng quy, nhưiig chất điểm không cân mà chuyển động với gia tốc w b) Các phương trình tình động chất điểm ' Vì hệ lực cân nên theo điều kiện cân hệ lực đồng quy ta có phương trình cân sau: Ẻ X k + x „ =0, k= l + Y, =0 ẳ Z k + z „ = k= l (4.6) k= l đó: X( , Y^., Z| hình chiếu lực F|, lên trục tọa độ; Xq,Yq,,Zq( hình chiếu lực F^, lên trục Các phương trình (4.6) gọi phương trình tĩnh động chất điểm V í dụ: Quả cầu nhỏ khối lượng m buộc vào sợi dây dài không giãn OM = / Quay OM quanh trục thẳng đứng qua o làm M vẽ nên quỹ đạo đường tròn tâm Inằm mặt phẳng ngang Góc lập OM trục thẳng đứng a = 30° Tính vận tốc M sức căng sợi dây Bùi giải: Coi cầu M chất điểm Các lực thực tác dụng lên M gồm trọng lượng p sức căng T dây, lực-quán tính M: Theo nguyên lý ĐalămBe (P, T, Fqị) ~ Lập hệ trục tọa độ tự nhiên Mxnb hình vẽ Phương trình tĩnh động M hệ trục là,- 100 Tsina-F^^,;'' = (1) T c o sa - ? = (2 ) p Từ (2) có: _ 2mg cos a V' V" = inW„ = m — = m p /sinư Vì nén từ ( ) ta có: Do đó; 73 m V- ni” / sin a cosư siii a = m gíga V == ^ Ig tg a s iiìu = ị ~ ^ Nguvén lý Đ aL àm B e co hệ a) N guyên lý: Trong chuyến (Ỉộỉì^ ctiu hệ nliữỉiịj lực tlìực đật vào cúc cluíĩ cỉiểỉìì Í'íia c h ệ i^ồỉỉi c ú c ỉì íị o i lực' v ỉỉộ i lự c , cùỉìi^ c ú c lự c q u ú ỉì ĨÍỈIÌI c ú a c ú c c ì ì ấ ĩ â iế ỉìì l ậ p ỉliủỉỉh ntộí lỉệ lực củỉì hưng Cliửỉiịỉ niiỉỉlì: Khảo sát hệ gồm lì chất đièm gọi lẩn liạyt hợp cấc ngoại lực nội lực tác dung lên chất điểm thứ k liệ Áp dung iigiiyèn lý Đalăinbc cho chất điểm ta có: Nếu hệ gồm n chất điếm ta có n hc lưc cán băim, hệ lực tác dụng lên hệ, gồm n hệ lực cân phải cân bâng: ( p M p i P r k 1,2 11 b) Các phư ơng trình tĩnh động cư hệ Như biêt tĩnh học, hệ lực cán bằne vcclo' niòmcn chíiih hệ phái triệt tiêu: (a) k-l k ỉ M„ = X n , „ ( F ‘ ) + ĩ m „ ( F ; j + M j = k-:l Nhưng ihco tínli chất nội lực: ^ k- (b) k l = ơ; ^ m ,) Ị F|' I = từ (a) (b) suy ra: k=1 101 t F : + R - ‘' = ; Ì m „ ( F í ) + M3 ' = k=l k= l Chiếu phương trình véc tơ lên trục tọa độ ta có: ỵXl*RĨ'=0 k= l ĩm ,(F í)+ M Ĩ=0 k= l XYÍ +R f =0 Ẻ m ,(F ;) + M/ = k= l k= l z ĩ+ R f =0 k=l (4.7) m F ' ) + M , ‘' = k=l Các phương trình (4.7) gọi phương trình tĩnh động hệ Từ phương trình tĩnh động ta tìm lực hay chuyển động Như vậy, nhờ nguyên lý ĐalămBe ta giải toán động lực học hệ phương pháp tĩnh học Người ta gọi phương pháp phương pháp tĩnh động Phương pháp tĩnh động thường dùng để xác định gia tốc hay phản lực ổ trục quay hệ chuyển động V í dụ I : Hai vật nặng trọng lượng P|, p, quấn vào tầng ròng rọc trọng lượng Q, ròng rọc có bán kính quán ẽ tính trục quay p bán kính tương ứng R, r Tim gia ỉốc góc ròng rọc, phản lực trục quay sức căng sợi dây buộc hai vật A, B Bài giải: Xét hệ gồm ròng rọc vật nặng, ngoại lực tác dụng lên hệ gồm trọng lưọng P|, Pt, Q vật nặng ròng rọc, phản lực ổ trục R q Các lực quán tính tác dụng lên hệ gồm ỀỊ'' hai vật ngẫu lực M‘*'của ròng rọc Theo nguyên lý ĐalămBe; ( p ,, P2 , Q, Rq , F,‘’' , , M ‘’‘ ) ~ Giả sử gia tốc góc có chiều hình vẽ lực quán tính mô men quán tính có chiều hình vẽ có giá trị là; = ^ r s ; F? = g g g g Phương trình mômen hệ lực lấy tâm o là: ) = p,r - P,R - F,‘''r - p3‘'‘R - M ‘’' = k=l 102 Hinh 4.5 M ^'=J,£ = - p " s \ g Thay giá trị tính dược lực quán tính vào phương trình ta có: P ,r-P ọ R (p ,r+ P R -+ Q p Suy ra: =0 P ,r -P R s = P,r- + P R -+ Q p _ , P‘|t Nếu Pịĩ - P 2R > chiều s \ới chiều giá tniết Từ hình vẽ thấy ' có phương thẳng đứng, \'iêt phương Fĩ trình hình chiếu lên trục y ta có: p Suy ra: Ry Hình 4.6 + P , + Q - - ( P , r - P 2R) g Áp dụng nguyên lý ĐalămBe cho vật A ta có; (P|, Chiếu lên trục y ta được: ~ X ~ - ?1 = = p , - F,^' Suy ra: Áp dụng nguyên lý ĐalărnBe cho vật B ta có: (Pt, )- Chiếu lên trục y ta được: - Fỉ*' - p, = Zỵ|, = qt Suy ra: V í dụ 2: Tấm phẳng trọng lượng p quay vô\ vận tốc gc3c 03 = const quanh trục thẳng đứng vuông góc với mặt phẳng qua o Khối tâm c cách trục quay đoạn a tìm phản lực cối A ổ đỡ B biết OA = OB - h Bài iỊÌííi: Xét hệ phắng quay quanh truc vuông góc với Thu hệ lực quán tính cúa tâm o ta được: Rqi = -MW^, = -MW(ỊÍ nằm o c ngẫu M^‘ quay = nên M^‘ = Theo nguyên lý ĐalãmBe; s j ~ 103 Chọn hệ trục toa độ Oxy cho Oy qua Z y^ =- y c, , - ta có phương trình: y „ + r„ = o Iz ^ = z ^ -p =o = hY g-hY ^ -aP = X m , = h X „-h X = Giái liệ phương trình ta được: Xa = X , = 0; Z a =P Pa03' a 2g 2h P; 2g 2h V í dụ 3: Thanh đồng chất OA dài 1, nặng p liên kết với trục tliắng đứng bán lề o dây AB g T Trục quay với vận lốc góc không đối Õ3 Tim sức -y căng T dây phản lực o OA làm với trục góc a (hình 4.8) c/ Bùi iịidi: Y Xét cư hệ Ihanli dồng chái OA OA quay / ị // /- / - y quanh trục thang đứng niỗi phần tử khối lượng Am c ủ a t h a n h c c h triic q u a y m ộ t đ o n X c ó l ực quán tính là: ® = f ;>' = Amorx " Hình 4.8 Do hệ lực quán tính ihanh OA hệ lực phân bố theo quy luật tam giác Hcyp lực đặt trọng tâin tam giác, vuông góc với trục quay có giá trị: R^, =R^, = m W , = - W ^ = - - ^ c o - s i n a g g Tlieo nguyên lý ĐalăniBe: (P,R q,T,R^, ) ~ Các phương trình lĩnh động hệ: Z x^=x„+R ,„-T =0 (1 ) X y ^ = Y „ - P =0 (3) ^ 1U4 iĩI q = / T /c o s a - p, —sin a - —/ c o s a = (3) \ /or — sin a + - t g a 3g , Từ (3) suy ra: T= p Từ (1) tìm đươc: Xg = T - R = — Từ (2) suy ra: Yo = P 4.3 P H Ư Ơ N G T R ÌN H VI PHẢN CHUYỂN đông CL A vật CHU YẾN động SO N G P H Ẳ N G Xét chuyển động phãne troiig niặt pháng cua cliịu tác dụng cứa lực F|,F t ,F„ nằm inăt phàng Tliu hệ lưc quán tính cửa khối tâm c lực R^, đật c Iigẫu M^' Áp dụng nguyên lý Đalãinbe cho ta có: ( F ,,F , F„R;^,,ngM^c')~0 D ođó: R^,+Ỳ^,=0- =0 k-1 k- Tlieo(4.5) Hình 4.9 Tliay vào ta được: m w , = £ p, k-! (4.8) Phương trình mô tả chuyển độna song phẳng vật rắn Chiếu (4.8) lên trực hệ tọa độ Đề Các vuông g(3c cố định ta được: M M ỹ,- = J Y, (4.9) Trong đó: Xc, Yc tọa độ khối tâm c, (p sóc định vị tấni hệ động có gốc c hai trục song song với hai trục hệ tọa độ cố định Các phương trình (4.9) phương trình vi phân chuvển dộng vật chuyến động song pháng dạng tọa độ Đề Các Nếu biêì quỹ đạo khối tàm c ta chiếu (4.8) lên trục cùa hệ tọa độ tự nhiên được: 105 (4.10) đó: Sc, Vc tọa độ cong vận tốc khối tâm C; p bán kính cong quỹ đạo c Các phương trình (4.9), (4.10) sử dụng thuận tiện giải toán thuận toán ngược vật chuyển động song phẳng V í dụ: Tấm tròn đồng chất khối lượng m bán kính R đặt mặt phẳng nghiêng với mặt phẳng ngang góc a Ban đầu người ta truyền cho tâm o vận tốc Vq hướng lên trên, l ì m phương trình chuyển động tấm, giả thiết lăn không trượt mặt phẳng nghiêng, bỏ qua ma sát lăn Hệ số ma sát trượt f mặt nghiêng phải thoả mãn điều kiện để lăn không trượt Tim thời gian T từ bắt đầu lăn đến đến vị trí cao Bài giãi: Xét chuyển động song phẳng mặt phẳng nghiêng Chuyển động chia thành hai giai đoạn a) Giai đoạn I: Từ bắt đầu chuyển động đến vị trí cao Các lực tác dụng lên gồm: trọng lựơng p, phản lực pháp tuyến N, Lực ma sát trượt Chọn hộ trục tọa độ Oxy hình vẽ Phương trình vi phân chuyển động vật chuyển động song phẳng (4.9) có dạng: mx,, =Fn,s - P s i n a (1) mỹ( ■N - P c o s a (2 ) J zc9 = - F „ s-R (3) Do lăn không trượt nên: X(^ = Rcp-^ = R ộ —> ọ = R Từ (3) ta có: Thay vào (1) ta có: F = mx^ Jzc9 ^ R JzcXc ^ R- — -^ -m g s in a Xq = - —g t s i n a + C| 106 mx (a) Suy : X(- = — g s i n a Xq = - - g t s i n a + C |t + CT (b) Điều kiện ban đầu: x(0) = C| = Vq; Xq (0) = c , = 0; Vậy phương trình chuyển động giai đoạn la; Xq = v ^ t - —g t‘ s in a Gọi T thời gian từ bắt đầu chuyển động đến đạt vị trí cao Ta có : Xc(T) = Suy T= g T sin a = ■V gsina Vì: y^ = R = const nên từ (2) ta có: mỹj, = N - P c o s a = Suy ra: N = P cosa = mgcosa (c) Để cho lăn không trượt, phải thoả mãn điều kiện Tliay giá trị < fN N từ (a), ^b), (c) ta có - m g s i n a < f m g c o s a Suy ra: f > tg a / Đây điều kiện để lăn không trượt lên b) Giai đoạn 2: Từ vị trí cao nhát lãn không trượt xuống Phưcmg trình vi phân chuyển dộng song phẳng m x, I Psinơ (4) *T>ỹc “ N - P c o s a (5) Jzc^ = Fms-R (6 ) Do lăn không trượt: X(- = R(p-> X , = Rộ -> (p = — R Từ ( ) ta có: Thay vào (1) ta được; mx^ = - - mx^ + mg sin a Suy ra: x^, = —g sin a Nếu chọn gốc thời gian gốc tọa độ o ứng vị trí cao sau tích phân phương trình ta được; Xq - -1g t s in a Tương tự giai đoạn 1, thay vào điều kiện lăn không trượt: < fN, ta có: f > tga/3 107 [...]... chuyên động tịnh tiến, người ta thưòíig dùng các cơ cấu truyền chuyến động đơn giản sau a) Truyền động bằng cơ cấu đai truyền, dây xích, bánh răng Đế truyền chuyển động quay quanh hai trục cố định song song với nhau người ta dùng cơ cấu đai truyền, xích, bánh răng, như hình vẽ 2. 11 và 2. 12 Hình 2. 11 Truyền dộnĩị hâníỊ đai, dây xích 24 co- (ứ -, Hình 2. 12 Truyén ílộnỊ^ hâiìỊi hánl: răn^ Với giả thiết... không có sự trượt giữa đai truyền và các trục, các bánh rãng ăn khớp với nhau thì vàn tốc của các điểm tiếp xúc bằng nhau Truvền động cùng chiều quay biêu diễn trên hình 2. 11 a và 2. 12 a, ta có: V| = r, Õ3| = Vọ = i-,õ5| Suy ra: ^ ( = — ) cho trường hợp bánh răng trong đó C0 | ĩọ Z |, z, ]à số răng của bánh 1, 2 T r u y ề n động trái ch iề u như hình 2. 1 Ib và 2 12 b T a có; V| = r, Õ5| = Vt = -rT(Õ... dt _ r w (2 18 ) r Công thức trên gọi là công thức ơle W ^=8xr; ỹ / =c5 x v o (2 19 ) Hinh 2. 10 3 Các phương pháp truyền động đon giản trong kỹ thuật Trong kỹ thuật để truyền chuyển động quay quanh một trục cố định thành chuyến động quay quanh một trục cố định khác, chuyến động quay thành chuyển động tịnh tiến, chuyển động tịnh tiến thành chuyên động quay, chuyển động tịnh tiến thành chuyên động tịnh... = 2 a ( s - s 0 ) = 2as w =a= = -0 o-s? ,n/s2s Khi đi được nửa đưòlig vậii tốc điếm ihoả mãn: V- - V,- = 2as,; V" = Vf + 2a,S| = 16 3 mVs' Còn gia tốc pháp tuyến: 16 3 = p Lúc đó: w = = 0 ,27 m /s' 600 + W ; = ự(0,0 52) - + (0 ,27 )- = 0,3 m/s' V í dụ 2: Một quả đạn bay trong chân không theo quy luật: (1) X = VQtcosa gt (2 ) Tim quỹ đạo, vận tốc và gia tốc của quả đạn Tini gia tốc tiếp tuyến, pháp tuyến và. .. đồng lìồ và có độ lớn bằng tốc đ ộ g ó c của vật 21 * Biểu cìiểii: Nếu gọi k là véclơdon vị trên iruc quay Ta có: cò = õ)k (2. 10 ) b) Véctơ gia tốc góc * Định nghĩa: Véctơ gia tốc góc là đạo hàm bậc nhất của véctơ vận tốc góc theo thời gian: (2 11 ) dt Từ (2. 10 ) suy ra: ( 2 12 ) £=ổ)k=ẽk Như vậy véctơ gia tốc góc cũng nằm trên trục quay c) Biểu diễn tính biến đổi chuyển động theo véctơ vận tốc góc và gia... Ộ-R = 4- X 2 = 32 m/s' ± W| tiếp tuyến với trụ: w ,’' = e.R = Ộ.R = 4 .2 = 8 m/s" Vì: WJ 1 w ; 1 w, nên = ^ { w ; ) - + ( w ; ) - + ( W , )- « 37,6 m / s ' V í dụ 2: Xe chuyển động thắng theo quy luật x^ = 2r(m ) Trên xe điểm M ch u yến động trên đường íròn bán kính R = 2m, theo quy luật s = OM = (m) Tim vận tốc và gia tốc cúa M tại thời điếm t| = Is và u - 2s Bài Chọn xe là hệ quy chiếu động và mặt đất... 17 Chương II CHUYỂN ĐỘNG cơ BẢN CỦA VẬT RẮN Trong chương này ta nghiên cứu 2 dạng chuyến động đơn giản nhất của vật rắn đó là chuyển động tịnh tiến và chuyến động quay quanh một trục cố định Mọi dạng chuyển động phức tạp khác của vật rắn đều có thể phân tích thành các dạng chuyển động đcfn giản đó Vì vậy ta gọi chúng là các chuyển động cơ bản của vật rắn A CH U YÊN ĐỘNG TỊNH TIÊN CỦA VẬ T r Ắ n 2. 1. .. 400 71' (cm/s") = £ , r = 27 1. 4 = 8Tt(cm/s') = ' ' m = 40 ti (cin/s) Wg = = 8 71 (cm/s^) Tim vận tốc góc, gia tốc góc của bánh II Tại điểm tiếp xúc, điểm M| của bánh I và bánh II có vận tốc bằng nhau: V| su y ra = V t; ní o, I | ( i) | = Tt í O t 6 2 Tit = 2, 47« (rad/s) 5 = 2, 4 71 (rad/s‘) 26 Chương III CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA ĐIỂM 3 .1 KHÁI NIỆM VỂ CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA ĐIỂM 1 Đặt bài toán Trong chương... động của M (hình 2. 7) Lấy OM = ? l à m thông số định vị Chọn chiểu clươnc của C|uỹ đạo trùng với chiều dương tínli uóc la có phương liìnli chuyển động của điểm là: 22 s = np (2. 13 ) 2 Vận tốc và gia tốc cúa điếm thuộc vật a) Vận tốc V Theo phương pháp vcclơ vận tốc của điểm tiếp tuyến với quỹ đạo và hướng theo chiều quay của vật, giá trị cua vàn tốc được xác định như sau: dcp V = dt ('■9 ) = I’ (2. 14 )... Do đó vận tốc và gia tốc thành phần chuyển động tịnh tiến phụ thuộc vào việc chọn cực Trái lại, ta sẽ chứng minh rằng vận tốc góc Õ5 và gia tốc góc ẽ của thành phần chuyển động tương đối của vật quanh cực hệ động không phụ thuộc vào việc chọn cực Thật vậy gọi ọ và VỊ/ là các góc định vị của (S) đối với hệ động Oxy và 0 ’x y Từ hình vẽ ta có: V|/ = (p + a , trong đó a = const Đạo hàm 2 vế theo thời