CHUN ĐỀ TÍCH PHÂN CƠNG THỨC Bảng ngun hàm Ngun hàm hàm số thƣờng gặp Ngun hàm hàm số sơ cấp thƣờng gặp  dx  x  C  x  dx  x  1  C   1  1  dx  x  ax a dx   C 0  a  1 ln a cos xdx  sin x  C    sin xdx   cos x  C x  cos  x  du  u  C  d ax  b  a ax  b  C  x  ln x  C x  0  e dx  e  C x Ngun hàm hàm số hợp    dx  tan x  C ax  b dx  ax  b  C   1 a  1 dx  ln ax  b  C x  0 ax  b a e axb dx  e axb  C a cosax  b dx  sin ax  b   C a sin ax  b dx   cosax  b   C a 1 dx  tanax  b   C a cos ax  b   1   sin ax  b dx   a cotax  b  C 1 dx   cot x  C sin x  u  du   u  ln u  C u  0  e du  e  C du u u au  C 0  a  1 ln a cos udu  sin u  C    sin udu   cos u  C a u dx   cos u  sin u  1  C   1  1 u du  tan u  C du   cot u  C I ĐỔI BIẾN SỐ TĨM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TỐN Đổi biến số dạng b f[u(x)]u/ (x)dx ta thực bước sau: Để tính tích phân a Bƣớc Đặt t = u(x) tính dt u/ (x)dx Bƣớc Đổi cận: x a t u(a) , x b t u(b) b f[u(x)]u/ (x)dx Bƣớc f(t)dt a e2 Ví dụ Tính tích phân I e dx x ln x Giải Đặt t x e ln x t I dt 1, x dt t e2 ln t Vậy I ln http://megabook.vn dx x t ln cos x dx (sin x cos x)3 Ví dụ Tính tích phân I Hƣớng dẫn: 4 cos x I dx (sin x cos x)3 ĐS: I (tan x Ví dụ Tính tích phân I 1) dx x) 2x (1 dx Đặt t cos2 x tan x Hƣớng dẫn: 2x Đặt t ĐS: I ln Ví dụ 10 Tính tích phân I x dx x Hƣớng dẫn: Đặt t ĐS: I 3 x x t2 dt ; đặt t (t2 1)2 tan u Chú ý: Phân tích I x dx , đặt t x x tính nhanh Đổi biến số dạng b Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], để tính  f ( x)dx ta thực bước sau: a Bƣớc Đặt x = u(t) tính dx  u / (t )dt Bƣớc Đổi cận: x  a  t   , x  b  t   b Bƣớc    f ( x)dx   f [u(t )]u (t )dt   g (t )dt / a Ví dụ Tính tích phân I 1 x2 dx Giải Đặt x sin t, t x t ; 0, x dx 2 http://megabook.vn t cos tdt 6 I cos t dt sin2 t cos t dt cos t Vậy I dt t 06 Ví dụ Tính tích phân I x2 dx Hƣớng dẫn: Đặt x sin t ĐS: I dx x2 Ví dụ Tính tích phân I Giải Đặt x tan t, t x t ; 0, x Vậy I Ví dụ Tính tích phân I x dx 2x t dt Hƣớng dẫn: I Đặt x ĐS: I x dx 2x dx x2 Ví dụ Tính tích phân I ĐS: I dx (x 1)2 tan t 12 Ví dụ Tính tích phân I x dx 2x ĐS: I 12 Các dạng đặc biệt 3.1 Dạng lƣợng giác cos2 x sin xdx Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân I 4 tan2 t dt tan2 t I (tan2 x dx Hƣớng dẫn: http://megabook.vn 1)dt Đặt t cos x 15 ĐS: I cos5 xdx Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân I Hƣớng dẫn: Đặt t sin x ĐS: I 15 cos4 x sin2 xdx Ví dụ 13 (bậc sin cosin chẵn) Tính tích phân I Giải I cos x sin xdx 16 2 cos x sin 2xdx (1 cos 4x)dx (1 dx cos x sin x cos 4x)dx x 16 sin2 2xd(sin 2x) 32 Vậy I Ví dụ 14 Tính tích phân I 16 2 cos 2x sin2 2xdx sin3 2x 24 sin 4x 64 32 Hƣớng dẫn: x ln Đặt t tan ĐS: I Biểu diễn hàm số LG theo t  tan 2t 1 t2 2t a ; cos a  ; tan a  : sin a  2 1 t 1 t 1 t2 3.2 Dạng liên kết Ví dụ 15 Tính tích phân I xdx sin x Giải t dx , x Đặt x x t I ( sin( dt t sin t cos 2 t)dt t) dt sin t dt t cos2 sin t I dt t I 2 4 http://megabook.vn cos dt dt sin t t d t sin t t 2 tan t Vậy I Tổng qt: xf(sin x)dx 2 Ví dụ 16 Tính tích phân I f(sin x)dx sin2007 x dx sin2007 x cos2007 x Giải Đặt x x sin2007 I sin2007 t t cos2007 t t dx , x dt t 2 t cos2007 t dx sin2007 t cos2007 t dx Mặt khác I J dx (2) Từ (1) (2) suy I Tổng qt: 2 sinn x dx sinn x cosn x Ví dụ 17 Tính tích phân I 0 cosn x dx sinn x cosn x sin2 x dx J sin x cos x ,n cos2 x dx sin x cos x Giải I 3J I J (1) Đặt t x dx sin x Từ (1) (2) I cos x dx dx sin x ln (2) , J ln 16 ln(1 x) dx x2 dx  I dt ln 16 Ví dụ 18 Tính tích phân I J Đặt x x I 0 tan t Giải dx (1 tan2 t)dt t 0, x t ln(1 tan t) 1 tan2 t 4 tan2 t dt ln(1 http://megabook.vn tan t)dt J (1) Đặt t t u u dt , t du u 0 I ln(1 tan t)dt ln tan u du 4 1 ln tan u du tan u ln du tan u ln 2du ln tan u du Vậy I Ví dụ 19 Tính tích phân I ln I ln cos x dx 2007 x Hƣớng dẫn: Đặt x t ĐS: I Tổng qt: Với a > , , hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn f(x) a x dx f(x)dx thỏa f( x) Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục ; 2f(x) cos x Tính tích phân I f(x)dx Giải f( x)dx , x Đặt J t dx dt x t 2 , x I t 2 f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2 cos xdx cos xdx http://megabook.vn 2f(x) dx Vậy I 3.3 Các kết cần nhớ a f(x)dx i/ Với a > , hàm số f(x) lẻ liên tục đoạn [–a; a] a a a f(x)dx ii/ Với a > , hàm số f(x) chẵn liên tục đoạn [–a; a] a f(x)dx iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) (n 1)!! , nế u n lẻ n !! (n 1)!! , nế u n chẵ n n !! 2 cosn xdx sin n xdx 0 Trong n!! đọc n walliss định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn: 0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; !! 2.4; 5!! 1.3.5; 6!! 2.4.6; !! 1.3.5.7; !! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10 Ví dụ 21 cos11 xdx 10 !! 11!! sin10 xdx !! 10 !! 2 Ví dụ 22 2.4.6.8.10 1.3.5.7.9.11 256 693 1.3.5.7.9 2.4.6.8.10 63 512 II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Cơng thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Ta có uv / u/ v uv/ uv / dx u/ vdx uv/ dx b d uv vdu b udv d(uv) vdu a b uv b a a b vdu udv a udv a b b udv a b uv a b a vdu a Cơng thức: b b udv uv b a vdu (1) a a Cơng thức (1) đƣợc viết dƣới dạng: b b / f(x)g (x)dx f(x)g(x) a b a f / (x)g(x)dx (2) a Phƣơng pháp giải tốn b f(x)g(x)dx ta thực Giả sử cần tính tích phân a Cách http://megabook.vn Bƣớc Đặt u g(x)dx (hoặc ngược lại) cho dễ tìm ngun hàm v(x) vi phân f(x), dv b du / vdu phải tính u (x)dx khơng q phức tạp Hơn nữa, tích phân a Bƣớc Thay vào cơng thức (1) để tính kết Đặc biệt: b b b P(x) sin axdx, i/ Nếu gặp a b a a P(x) ln xdx đặt u ii/ Nếu gặp eax P(x)dx với P(x) đa thức đặt u P(x) cos axdx, ln x a Cách b b f(x)G/ (x)dx sử dụng trực tiếp cơng thức (2) f(x)g(x)dx Viết lại tích phân a a xex dx Ví dụ Tính tích phân I u Đặt Giải du x x dv e dx ex v dx (chọn C 0) x xe dx xe x ex dx e 1)ex (x 1 Ví dụ Tính tích phân I x ln xdx Giải Đặt u dv e xdx e x2 v x2 ln x x ln xdx dx x du ln x e xdx e2 1 ex sin xdx Ví dụ Tính tích phân I Giải Đặt u dv sin x du ex dx ex v 2 ex sin xdx I cos xdx ex sin x ex cos xdx 0 u Đặt dv cos x du ex dx v http://megabook.vn sin xdx ex e2 J P(x) 2 ex cos xdx J ex cos x e x sin xdx 0 I I e2 ( I) e2 I Chú ý: Đơi ta phải đổi biến số trước lấy tích phân phần Ví dụ Tính tích phân I cos xdx Hƣớng dẫn: Đặt t x I t cos tdt e Ví dụ Tính tích phân I sin(ln x)dx ĐS: I (sin1 cos1)e III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phƣơng pháp giải tốn Dạng b Giả sử cần tính tích phân I f(x) dx , ta thực bước sau a Bƣớc Lập bảng xét dấu (BXD) hàm số f(x) đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: b Bƣớc Tính I x1 a x f(x) x1 f(x) dx x2 b f(x)dx a a b x2 f(x)dx f(x)dx x1 x2 x2 Ví dụ Tính tích phân I 3x dx Giải Bảng xét dấu x2 x 3x I 2 x 3x x2 dx 59 Vậy I http://megabook.vn 3x dx 59 2 Ví dụ 10 Tính tích phân I cos2 x sin xdx ĐS: I Dạng b Giả sử cần tính tích phân I f(x) g(x) dx , ta thực a Cách b Tách I b f(x) b g(x) dx f(x) dx a g(x) dx sử dụng dạng a a Cách Bƣớc Lập bảng xét dấu chung hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] Bƣớc Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối f(x) g(x) Ví dụ 11 Tính tích phân I x x dx Giải Cách 2 I x x 1 dx x dx xdx (x 0 x2 1)dx dx (x 1)dx 1 x2 x xdx x2 2 x2 x x Cách Bảng xét dấu x x x–1 –1 – – I 0 +  – + + x x dx x x dx x x x dx 1 x x Vậy I x Dạng b Để tính tích phân I b max f(x), g(x) dx J a bước sau: Bƣớc Lập bảng xét dấu hàm số h(x) Bƣớc + Nếu h(x) max f(x), g(x) + Nếu h(x) max f(x), g(x) f(x), g(x) dx , ta thực a f(x) g(x) đoạn [a; b] f(x) f(x), g(x) g(x) f(x), g(x) 10 http://megabook.vn g(x) f(x) max x2 Ví dụ 12 Tính tích phân I 1, 4x dx Đặt h(x) x Giải 4x x2 4x Bảng xét dấu x h(x) + – + I x dx 4x x2 dx 80 dx 80 Vậy I 3x , Ví dụ 13 Tính tích phân I x dx Giải x x Đặt h(x) 3x x Bảng xét dấu x h(x) 1 – 3x dx I + x ln x dx 1 ln Vậy I x2 4x ln IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phƣơng pháp giải tốn Dạng b b f(x)dx Để chứng minh (hoặc a x f(x)dx ) ta chứng minh f(x) (hoặc f(x) a a; b Ví dụ 14 Chứng minh x dx 0 Giải Với x 0; : x 1 x x dx 0 Dạng b b f(x)dx Để chứng minh g(x)dx ta chứng minh f(x) a g(x) với x a; b a Ví dụ 15 Chứng minh dx sin10 x dx sin11 x Giải Với x 0; :0 sin x 11 http://megabook.vn sin11 x sin10 x ) với sin10 x sin11 x Vậy sin10 x dx sin10 x 0 sin11 x dx sin11 x Dạng b Để chứng minh A f(x)dx B ta thực bước sau a Bƣớc Tìm giá trị lớn nhỏ f(x) đoạn [a; b] ta m f(x) b Bƣớc Lấy tích phân A m(b a) f(x)dx M(b a) B a Ví dụ 16 Chứng minh x2 dx Với x 0; : Giải x2 4 x2 Vậy x2 dx Ví dụ 17 Chứng minh dx sin2 x Giải Với x 3 ; : 2 sin2 x sin x 1 3 4 dx sin2 x dx sin2 x 4 Vậy sin2 x 1 sin2 x 4 3 Ví dụ 18 Chứng minh 12 cotx dx x Xét hàm số f(x) x / f (x) sin x x2 Giải cotx , x x ; ta có cotx 12 http://megabook.vn x ; M f f(x) 3 f cotx x 3 x 4 x ; ; cotx dx x cotx dx x 3 3 3 Vậy 12 4 Dạng (tham khảo) b Để chứng minh A f(x)dx B (mà dạng khơng làm được) ta thực a f(x) Bƣớc Tìm hàm số g(x) cho g(x) x a; b b f(x)dx b g(x)dx B B a a h(x) Bƣớc Tìm hàm số h(x) cho f(x) x a; b b A b h(x)dx A f(x)dx a a Ví dụ 19 Chứng minh 2 2 dx x2007 Giải Với x x2 0; 2 :0 x2007 x2007 1 x2007 2 2 dx x2007 0 dx Đặt x sin t dx x2 cos tdt dx x 2 Vậy t dx x2 2 2 0, x 2 0 x2 t cos tdt cos t dx x2007 13 http://megabook.vn 4 1 x2 Ví dụ 20 Chứng minh 1 xdx x 2 Giải 0; : x2 x x x x Với x Vậy xdx 3 1 xdx x xdx x xdx 2 2 1 V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường b y f(x), x a, x b trục hồnh S f(x) dx a Phƣơng pháp giải tốn Bƣớc Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b] b f(x) dx Bƣớc Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân a Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y ln x, x 1, x Giải Do ln x x 1; e nên e e Ox e S ln x dx ln xdx x ln x e 1 Vậy S (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 4x Giải Bảng xét dấu x y – + 3, x 0, x S x 4x x2 dx 4x dx 1 x 2x x3 3x Vậy S (đvdt) Diện tích hình phẳng 2.1 Trƣờng hợp 14 http://megabook.vn 2x 3x 3 Ox Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường b y f(x), y g(x), x b S a, x f(x) g(x) dx a Phƣơng pháp giải tốn Bƣớc Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) đoạn [a; b] b f(x) Bƣớc Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân g(x) dx a 2.2 Trƣờng hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f(x), y g(x) S f(x) g(x) dx Trong phương trình f(x) g(x) a b Phƣơng pháp giải tốn Bƣớc Giải phương trình f(x) g(x) Bƣớc Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) đoạn f(x) Bƣớc Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân nghiệm nhỏ lớn , ; g(x) dx Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x3 11x x 0, x Giải Đặt h(x) (x3 11x 6) 6x2 x3 6x2 11x h(x) x x x (loại) Bảng xét dấu x h(x) – + S x 6x 11x x3 dx 6x2 11x dx x 2x 11x x 6x 2x 11x2 2 6x Vậy S (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x3 11x 6, y Giải 11x 6) 6x2 x3 6x2 11x Đặt h(x) (x h(x) x x x Bảng xét dấu x h(x) + – S x 6x 11x x3 dx 15 http://megabook.vn 6x2 11x dx 6x2 6, y 6x2 , x4 2x 11x2 x4 2x (đvdt) 6x Vậy S Chú ý: Nếu đoạn thức f(x) ; phương trình f(x) g(x) dx f(x) 11x2 2 g(x) khơng nghiệm ta dùng cơng g(x) dx Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x3 , y 4x Giải Ta có x 4x x x x x3 4x dx 4x dx 0 x 4 x 2x 2x2 Vậy S (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 x Giải Ta có x x t2 4t t x x t 2 x3 S x trục hồnh 0, t x x x x dx x2 4x dx x 4x x2 dx x3 4x dx 1 x3 2x2 3x 16 Vậy S (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 4x y Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 4x x x x x2 4x x x x 4x x 2x2 3x Bảng xét dấu x S 6x x 4x + – 16 http://megabook.vn + 16 x 1 S x 5x dx x 3x x2 dx x3 5x2 x3 3 3x2 x3 6x 5x2 109 109 Vậy S (đvdt) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 , y x Giải Phương trình hồnh độ giao điểm x2 x t2 t 5, t x t x t x t2 t x t t2 t S 5x dx 3 x x dx x2 x dx Bảng xét dấu x x – + S x x x2 dx x 3 x dx 1 x x2 x 4x 6x 73 73 (đvdt) Vậy S Chú ý: Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có) B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY Trƣờng hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y f(x) x b x a x b (a f (x)dx b) quay quanh trục Ox V a Ví dụ Tính thể tích hình cầu hình tròn (C) : x2 y2 R2 quay quanh Ox Giải R2 x R Hồnh độ giao điểm (C) Ox x2 2 2 2 Phương trình (C) : x y R y R x R R V R x dx R R2 R2 x x R 17 http://megabook.vn R3 x2 dx a;b , y 0, R3 (đvtt) Vậy V Trƣờng hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường x y c;d , x g(x) , x a g(y) 0, d y c y d (c g2 (y)dy d) quay quanh trục Oy V c x2 y2 Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối ellipse (E) : a b2 Giải Tung độ giao điểm (E) Oy x2 a2 Phương trình (E) : b V a y2 b2 b Vậy V x2 y a2 b a2 b a y2 b2 a y2 dy b2 R a y a2 b 3b2 a2 b (đvtt) a2 y y2 b2 a y2 dy b2 quay quanh Oy Trƣờng hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y f(x), y x b (a b, f(x) 0, g(x) x a; b ) quay quanh trục Ox b f (x) V g2 (x) dx a Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y Ox Giải x x Hồnh độ giao điểm x x4 x V x2 , y2 x quay quanh x x4 x dx x dx x Vậy V x 10 (đvtt) 10 Trƣờng hợp Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường x f(y), x y d (c d, f(y) 0, g(y) y c; d ) quay quanh trục Oy g(y) , y c d f (y) V g2 (y) dy c Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x quay quanh Oy 18 http://megabook.vn y2 5, x y Giải Tung độ giao điểm y2 y2 y y y V y dy y4 11y2 6y 16 dy y5 11y3 3y 16y 153 153 (đvtt) Vậy V VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 1 1 10 Tính I=  1  x  dx Áp dụng kết tính tổng sau: S   C101  C102   C1010 11 Tính: I   x 1  x  dx Áp dụng kết tính tổng sau: 19 1 1 18 19 S  C190  C19  C19   C19  C19 20 21 3 Chứng minh rằng:  Cn1  Cn2   2n 1  Cnn  n 1 n 1 BÀI TẬP TỰ GIẢI Tìm ngun hàm F(x) hàm số f(x)= sin x  cos x , biết F      ln sin x  cos x  4 Tính tích phân sau: e A= x  - x dx  x B=  x -1 dx C= x ln 2dx  -2 Tính tích phân sau:  A= e3 cos x sin xdx  e B=  ln xdx C*= x  dx x x2  x dx x -1 1 D*=  Tính tích phân sau:  e I=  sin(ln x) dx x J= 10 K=  lg xdx dx  sin x cot x  ln L=  x dx x 3 ln e  2e M=  cos x  sin x  C=  sin xdx sin x dx (1  cos x)2 Tính tích phân sau: 19 http://megabook.vn N=  dx x -9 dx A=  - x2 ln  D= B=  3 1- e x dx  ex dx x 3 C=  16 - x dx dx x 1 E=  2 Tính tích phân sau:  B*=  x sin x dx e2 A=  ln x dx x ln x dx x  cos x D = cos(ln x)dx  x2   dx 1  x 3x  x E=  dx x3 e * C*=  F  * Tính:   A=  cos xdx e F=  ln x  dx x B=  cos3 xdx C=  xe x dx G=  x  x dx H=  x  xdx 0 D=  e I=  x dx x x dx x 1 E=  x ln xdx 1 x dx 1 x J=  Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a x=1; x=e; y=0 y=  ln x b y=2x; y=3x x=0 x c y=sin2xcos3x, trục Ox x=0, x=  Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) tiếp tuyến với đường cong (C) điểm có hồnh độ 10 Cho hình phẳng D giới hạn đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox 11 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong y2=x3 y=0, x=1 quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Hết 20 http://megabook.vn [...]... max x2 Ví dụ 12 Tính tích phân I 1, 4x 2 dx 0 Đặt h(x) x 2 Giải 4x 1 x2 2 4x 3 Bảng xét dấu x h(x) 0 1 0 + 1 3 0 – 4 + 3 I x 2 4 1 dx 4x 0 x2 2 dx 1 80 3 1 dx 3 80 3 Vậy I 2 min 3x , 4 Ví dụ 13 Tính tích phân I x dx 0 Giải 4 x x Đặt h(x) 3 3x x 4 Bảng xét dấu x h(x) 1 1 0 – 2 3x dx I 0 + x 4 0 2 3 ln 3 x dx 1 1 0 2 ln 3 Vậy I 2 x2 2 4x 2 ln 3 1 5 2 5 2 IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phƣơng pháp giải... cos tdt cos t dx 1 x2007 13 http:/ /megabook. vn 4 4 1 1 x2 3 Ví dụ 20 Chứng minh 1 1 xdx x 2 2 1 2 1 Giải 0; 1 : 2 1 x2 2 1 3 x x x 2 3 1 2 1 x 2 1 4 2 0 Với x 1 0 Vậy 1 xdx 3 1 3 0 1 1 4 1 xdx 2 x 2 1 xdx x 2 0 xdx 2 1 0 2 2 1 2 1 1 V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1 Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các... dấu tính tích phân a Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ln x, x 1, x Giải Do ln x 0 x 1; e nên e e và Ox e S ln x dx ln xdx 1 x ln x 1 e 1 1 1 Vậy S 1 (đvdt) Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x2 4x Giải Bảng xét dấu x 0 1 3 y – 0 + 0 1 3, x 0, x 3 S x 2 4x x2 3 dx 0 4x 3 dx 1 1 3 x 3 2x 2 x3 3 3x 0 Vậy S 8 (đvdt) 3 2 Diện tích hình phẳng 2.1 Trƣờng hợp 1 14 http:/ /megabook. vn... của hàm số f(x)= sin x  cos x , biết rằng F      ln 2 sin x  cos x  4 2 Tính các tích phân sau: e A= 2 x  5 - 7 x dx 2  2 x 1 2 B=  x 2 -1 dx C= 2 x ln 2dx  0 -2 3 Tính các tích phân sau:  3 A= e3 cos x sin xdx  0 e 4 B=  ln xdx 1 C*= x 2 3  5 dx x x2  4 2 x dx x -1 1 1 D*=  4 Tính các tích phân sau:  e I=  sin(ln x) dx x 1 J= 10 4 K=  lg xdx dx  sin 2 x cot x 1 6  ln 5 L=... x dx x 3 ln 3 e  2e M= 2  0 cos x  4 sin x 2  2 C=  0 2 sin 2 xdx sin 2 x dx (1  cos 2 x)2 5 Tính các tích phân sau: 19 http:/ /megabook. vn 2 N=  1 dx x -9 2 1 dx A=  4 - x2 0 ln 2  D= B= 0 3  3 3 1- e x dx 1  ex 4 dx 2 x 3 C=  16 - x 2 dx 0 2 dx x 1 E=  2 2 6 Tính các tích phân sau:  B*=  x sin x dx 2 e2 A=  ln x dx x 1 0 ln x dx 2 1 x 1  cos x D = cos(ln x)dx  1 x2  1  4 dx... TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÕN XOAY 1 Trƣờng hợp 1 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x) 0 x b x a và x b (a f 2 (x)dx b) quay quanh trục Ox là V a Ví dụ 9 Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x2 y2 R2 quay quanh Ox Giải R2 x R Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 2 2 2 2 2 2 Phương trình (C) : x y R y R x R R V R 2 x 2 dx R 2 R2 2 0 R2 x 3 x 3 R 0 17 http:/ /megabook. vn... quay quanh trục Oy là g(y) , y c và d f 2 (y) V g2 (y) dy c Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x quay quanh Oy 18 http:/ /megabook. vn y2 5, x 3 y Giải Tung độ giao điểm y2 5 y2 5 3 y y y 1 2 2 V 2 3 y 2 dy 1 2 y4 11y2 6y 16 dy 1 y5 5 2 11y3 3 3y 2 16y 1 153 5 153 (đvtt) 5 Vậy V VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 1 1 1 1 10 1 Tính I=  1  x  dx Áp dụng kết quả đó hãy tính... hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường b y f(x), y g(x), x b là S a, x f(x) g(x) dx a Phƣơng pháp giải toán Bƣớc 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) g(x) trên đoạn [a; b] b f(x) Bƣớc 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân g(x) dx a 2.2 Trƣờng hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), y... bảng xét dấu tính tích phân là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của , ; g(x) dx Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x x 0, x 2 Giải Đặt h(x) (x3 11x 6) 6x2 x3 6x2 11x 6 h(x) 0 x 1 x 2 x 3 (loại) Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 0 1 S 2 x 3 6x 2 11x x3 6 dx 0 6x2 11x 6 dx 1 4 x 4 2x 11x 2 3 1 2 4 x 4 6x 0 2x 3 11x2 2 2 6x 1 5 2 5 Vậy S (đvdt) 2 Ví dụ 4 Tính diện tích hình phẳng... Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a x=1; x=e; y=0 và y= 1  ln x b y=2x; y=3x và x=0 x c y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=  3 9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 10 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0 a Tính diện tích hình phẳng D b Tính thể tích vật thể