Đang tải... (xem toàn văn)
Kì thi THPT QUỐC GIA đang đến gần. Hi vọng với tài liệu này giúp bạn tự tin lấy 6 điểm mô toán........................................................................................................................................................................................................
Bước 3: Giải điều kiện toán: A KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ DẠNG 1: TỌA ĐỘ CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC (Khi y ' đẹp) Ví dụ: Cho hàm số y x3 m 1 x 6mx Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cho khoảng cách hai cực trị Bước 1: Tính y ' x m 1 x 6m 2 y ' 36 m 1 Điều kiện có cực trị: m 1* a m 1 m 1 x m 12 Bước 2: Hoành độ cực trị: y ' m x m 1 m 1 12 3 x m y m 3m A m; m 3m 1 Tọa độ cực trị: x y 3m B 1;3m Bước 3: Giải điều kiện toán: Khoảng cách hai cực trị AB m 1 m 1 x1 x2 4m2 4m 17 m (Thỏa mãn điều kiện * ) 4m2 4m 16 17 m Chú ý: Học sinh cần nắm biểu thức Viet bản: x12 x22 x1 x2 x1 x2 ; x13 x23 x1 x2 3x1 x2 x1 x2 ; x1 x2 DẠNG 3: CỰC TRỊ TRÙNG PHƯƠNG BẬC Ví dụ (B – 2011): Cho hàm số y x m 1 x m Tìm m để đồ thị hàm số có cực trị A, B, C cho OA = BC O gốc tọa độ, A cực trị thuộc trục tung, B C hai cực trị lại Bước 1: Xét y ' rút x: y ' x3 m 1 x x x m 1 Bước 2: Giải điều kiện có cực trị: m m 1 * Bước 3: Tính tọa độ cực trị: Xét y ' ta có: x y m A 0; m 2 x m y m m B m 1; m m x m y m2 m C m 1; m m Ví dụ: Tìm m để hàm số y x mx mx có cực trị x1 , x2 thỏa mãn (Chú ý cực trị nằm trục tung có hoành độ 0) Bước 4: Giải điều kiện toán: x1 x2 OA BC m2 m 1 m 2 (Thỏa mãn điều kiện * ) Bước 1: Tính y ' x2 2mx m DẠNG 4: TƯƠNG GIAO HÀM SỐ BẬC CÔ LẬP THAM SỐ KHÔNG y ' 4m 4m m CÓ NGHIỆM CHUNG Điều kiện có cực trị: * m Ví dụ: Tìm m để hàm số y x3 mx m cắt trục hoành điểm phân biệt a Bước 2: Khi phương trình y ' có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn định lý Viet: Bước 1: Cô lập m phương trình hoành độ giao điểm: x3 mx m x3 m x 1 Xét x = 1 ta thấy 1 m.0 (Vô lý) b c x1 x2 2m; x1 x2 m a a x3 x3 m Ta xét đồ thị hàm số y x 1 x 1 m (Thỏa mãn điều kiện * ) m 1 m 1 m DẠNG 2: VIET CỰC TRỊ (Khi y ' xấu) Do x x2 x m * Đặt f x x x m Bước 2: Giải điều kiện có điểm phân biệt: Phương trình có nghiệm phân m biệt * có nghiệm phân biệt khác đó: ** f m Bước 3: Khi gọi nghiệm phân biệt x1 1, x2 , x3 x2 , x3 thỏa mãn định lý Viet: x2 x3 1, x2 x3 m Bước 2: Lập bảng biến thiên: Vậy để phương trình có nghiệm phân biệt đường thẳng y = m x3 phải cắt đồ thị y điểm x 1 27 phân biệt hay m DẠNG 5: TƯƠNG GIAO BẬC KHÔNG CÔ LẬP ĐƯỢC THAM SỐ Ví dụ: Tìm m để hàm số y x3 3mx m2 1 x m3 m cắt trục hoành Bước 4: Giải điều kiện toán: x x x x x 2 x x 3 3 điểm phân biệt Chú ý: Đối với dạng toán cô lập m phương trình 2m m Kết hợp ** ta m 1, m hoành độ giao điểm, ta gọi y1 , y2 hai tung độ cực trị, ta có: DẠNG 7: TƯƠNG GIAO BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT Phương trình có nghiệm nếu: y ' 0, y1 y2 (2 cực trị khác phía x 1 Ví dụ (A – 2011): Cho hàm số y Tìm m để đường thẳng y x m 2x 1 Ox) Phương trình có nghiệm y ' 0, y1 y2 (1 cực trị nằm Ox) cắt đồ thị hai điểm phân biệt A B cho tổng hệ số góc tiếp tuyến A B đạt giá trị lớn Phương trình có nghiệm y ' 0, y1 y2 y ' (2 cực trị Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm: nằm phía với Ox hàm số cực trị) x 1 x m x 2mx m Đặt f x x 2mx m 2 Bước 1: Ta có y ' 3x 6mx m 1 Điều kiện có cực trị: 2x 1 Bước 2: Giải điều kiện có nghiệm phân biệt: Khi phương trình f x có y ' 36 m hàm số có cực trị 1 a nghiệm phân biệt khác hay ' m2 2m 0, f m 2 x1 m y1 2m Bước 2: Tọa độ cực trị: y ' Bước 3: Gọi hai giao điểm A x1; x1 m , B x2 ; x2 m x2 m y2 2m Bước 3: Phương trình có nghiệm phân biệt hàm số có cực trị nằm x , x thỏa mãn định lý Viet: x x m, x x m 2 2 hai phía trục hoành nghĩa y1 y2 4m2 1 m DẠNG 6: TƯƠNG GIAO BẬC CÔ LẬP THAM SỐ CÓ NGHIỆM CHUNG Bước 4: Gọi k1 , k2 hai hệ số góc tiếp tuyến A B, ta có: x1 x2 x1 x2 x1 x2 Ví dụ (A – 2010): Tìm m để hàm số y x3 x 1 m x m cắt trục hoành 1 k1 k2 2 ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x12 x22 x32 x1 x2 x1 x2 1 x1 1 x2 1 Bước 1: Xét hoành độ giao điểm cô lập tham số: m Thay x1 x2 m, x1 x2 ta có k1 k2 4 m 1 2 x3 x 1 m x m x3 x x mx m 2 Vậy với m 1 tổng hệ số góc tiếp tuyến A B đạt giá trị x x 1 m x 1 x 1 x x m lớn DẠNG 8: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bước 3: Lập bảng biến thiên kết luận Ví dụ (D – 2010): Viết phương trình tiếp tuyến y x x biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x Bước 1: Gọi tiếp điểm M x0 ; x0 x0 f x 1 m 1 0; Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo x0 : y y ' x0 x x0 y0 4 x03 x0 x x x x02 * DẠNG 11: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI CỰC TRỊ HÀM SỐ BẬC Ví dụ: Tìm m để hàm cho hàm số y x3 3mx 1 m2 x m3 có hai Hệ số góc tiếp tuyến k 4 x03 x0 Bước 3: Giải toán: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x k 1 k 6 4 x03 x0 6 x0 Bước 4: Thay giá trị x0 tìm vào tiếp tuyến ta y 6 x 10 DẠNG 9: TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ x2 Ví dụ (A – 2014): Tìm điểm M đồ thị y cho khoảng cách từ x 1 M đến đường thẳng y x a2 Bước 1: Gọi điểm cần tìm M a; ,a a 1 Bước 2: Giải điều kiện toán: Khoảng cách từ M đến đường thẳng y x a 1 a a2 a a M 0; 2 M 2;0 nên ta có: DẠNG 10: TÍNH ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Ví dụ (A – 2013): Tìm m để hàm số y x3 3x 3mx nghịch biến khoảng 0; điểm cực trị đường thẳng song song với đường thẳng d : x y Chú ý: Thực phép chia đa thức y : y ' thương p x , số dư r x Viết lại dạng y y ' p x r x Vì cực trị nghiệm phương trình y ' nên cực trị thỏa mãn điều kiện y r x Vậy đường thẳng qua hai cực trị y r x y ' 10 10 m m Bước 1: Điều kiện có cực trị: * 5 a 10 1 4 Bước 2: Ta có y y ' x m m2 x m3 m 3 3 3 3 Vì cực trị nghiệm phương trình y ' nên cực trị thỏa mãn điều kiện 10 4 y m2 x m3 m đường thẳng qua hai cực trị 3 3 10 Bước 3: Hệ số góc đường thẳng qua hai cực trị k m2 Để đường 3 thẳng qua hai cực trị song song với d : y 2 x điều kiện cần đủ là: Bước 1: Hàm số nghịch biến y ' 3x2 x 3m 0x Bước 2: Cô lập m: m x xx m f x , f x x x 10 m 2; m3 m 1 m 1 (Thỏa mãn điều kiện * ) 3 3 DẠNG 12: VẼ ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI LOẠI Ví dụ (B – 2009): Với giá trị m phương trình x x m có Chú ý: m f x x a; b m max f x ; m f x x a; b m f x nghiệm thực phân biệt? Chú ý: x2 x2 m x x m 0; a;b a;b DẠNG 14: KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM BẬC CÓ CỰC TRỊ Ví dụ (B – 2012): y x3 3x Bước 2: Phần đồ thị phía trục Ox ký hiệu D1 Loại bỏ phần đồ thị phía trục Ox lấy đối xứng qua trục hoành, gọi phần Tập xác định: D Sự biến thiên: y ' 3x x x 0, x đồ thị D2 Đồ thị hàm số y x x có đồ thị D D1 D2 Hàm số đồng biến ;0 2; nghịch biến 0; Bước 3: Vẽ đồ thị y x x đường thẳng y m : Hàm số đạt cực đại 0;3 , cực tiểu 2; 1 Số nghiệm x x m số giao Giới hạn: lim y , lim y x x điểm đồ thị y x x đường y " x x 1;2 điểm uốn thẳng y m Bảng biến thiên: Phương trình có nghiệm phân biệt đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số Bước 1: Vẽ đồ thị y x x , y x x điểm phân biệt Dựa vào đồ thị ta thấy m giá trị tham số m cần tìm DẠNG 13: VẼ ĐỒ THỊ TRỊ TUYỆT ĐỐI LOẠI Ví dụ (A – 2006): Tìm m để phương trình x x 12 x m có nghiệm Chú ý: x x 12 x m x x 12 x m 3 Đồ thị: Lấy điểm: x y 0,25 điểm 0,25 điểm Bước 1: Vẽ đồ thị y x x 12 x 0,25 điểm 1 1 1 1 3 Bước 2: Phần đồ thị bên phải trục Oy ký hiệu D1 Loại bỏ phần đồ thị bên trái trục Oy lấy đối xứng đồ thị D1 qua trục Oy, gọi D2 Đồ thị y x x 12 x D D1 D2 0,25 điểm Bước 3: Vẽ đồ thị y x x 12 x đường thẳng y m Số nghiệm x x 12 x m số giao điểm y x x 12 x đường thẳng y m Phương trình có nghiệm đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số điểm Dựa vào đồ thị ta thấy m giá trị tham số m cần tìm DẠNG 15: KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ Ví dụ (D – 2009): y x x Tập xác định: D Sự biến thiên: y ' x3 x x 0, x 1 0,25 điểm Hàm số đồng biến 1;0 1; Hàm số đồng biến ; 1 1; Giới hạn tiệm cận: lim y lim y Tiệm cận ngang đường thẳng y x x lim y ; lim y Tiệm cận đứng đường thẳng x 1 x 1 Hàm số nghịch biến ; 1 0;1 Cực trị: Hàm số có cực đại 0;0 , cực tiểu 1; 1 ; 1; 1 0,25 điểm x 1 Giao điểm hai tiệm cận điểm I 1; Bảng biến thiên: 0,25 điểm Giới hạn: lim y , lim y x 0,25 điểm x Bảng biến thiên: 0,25 điểm Đồ thị: Lấy điểm: Đồ thị: Lấy điểm: x y 2 1 1 x 0 1 y 0,25 điểm DẠNG 16: KHẢO SÁT HÀM BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT 2x 1 Ví dụ (B – 2010): y x 1 Tập xác định: D \ 1 Sự biến thiên: y ' x 1 0x \ 1 0,25 điểm 3 2 1 Vẽ đường thể đối xứng 0,25 điểm B NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN DẠNG 1: TÍCH PHÂN PHÂN THỨC, ĐA THỨC VÀ CÁCH TÁCH 2x 1 1 Ví dụ 1: I dx CHÚ Ý: dx ln mx n 3x x mx n m 2x 1 2x 1 A B Nguyên tắc: 3x x x 1 3x x 3x 3 A B 11 Tìm hệ số: A 3x B x 1 x A ,B 10 10 7 A B 11 11 Giảii: I dx dx ln x ln 3x C 10 x 10 3x 10 30 x x 1 Ví dụ 2: I dx x 3x x x2 x x2 x A B C Nguyên tắc: x 3x x x x 1 x x x x Tìm hệ số: A x 1 x 2 B x x C x 1 x x x x A B C x A B C A x x 1 A B C 1;3 A B C 1; A A , B 1, C 2 1 1 Giải : I dx dx dx ln x ln x ln x C x x 1 x2 2 4x 1 dx Ví dụ 3: I x x 1 Nguyên tắc: 4x 1 A B C 2 x x 1 x x x Tìm hệ số: A x 1 x B x 1 Cx x A C 0; A 2B 4; B 1 A 6, B 1, C 12 1 1 Giải: I 6 dx dx 12 dx 6ln x 6ln x C x x 2x 1 x dx Ví dụ 4: I x x 5 Nguyên tắc: Biến đổi tử số dạng x6 x6 6 x 5 x 1 x5 dx dx dx dx Giải: I x x6 5 x x6 5 x x 5 1 1 1 I ln x d x6 ln x ln x6 C 5 x 5 30 Chú ý: Có thể thay x x n khác thay số số khác cách giải tương tự x 1 Ví dụ 5: I dx 3x Nguyên tắc: Các có lũy thừa dạng mx n , đặt t mx n p t 2 , dt 3dx dx dt , ta có: 3 t 2 7 1 x 1 7t 17 17 I dx dt dt dt dt 5 t t t t 3x Giải: Đặt t 3x 2, x I 17 7 17 7 17 dt dt C 4 t t 27 t 36 t 27 3x 36 3x 4 1 n x n 1 x2 x Ví dụ 6: I dx x 1 Nguyên tắc: Bậc tử lớn bậc mẫu ta chia đa thức Chú ý: Phân số = Thương + Số dư/Mẫu x x 3 x2 dx x 2dx dx x ln x C Giải: I x 1 x 1 Ví dụ 7: I x x 1 dx Chú ý: x n dx Nguyên tắc: Các có lũy thừa dạng mx n , đặt t mx n p Giải: Đặt t x 1, x t 1, dx dt Khi ta có: I x x 1 dx t 1 t dt t10 2t t dt t11 t10 t C 11 DẠNG 2: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Loại 1: sin/cos mũ lẻ ta cho sin/cos vào dx cos3 x I sin xdx sin x sin xdx 1 cos x d cos x cos x C Loại 2: sin/cos mũ chẵn ta hạ bậc liên tục đến bậc 2 1 1 cos x I cos xdx dx dx cos xdx cos 2 xdx 4 x sin x 1 cos x x sin x 1 I dx dx cos xdx 4 4 8 x sin x x sin x I C 4 32 cos ax sin ax Chú ý: sin axdx , cos axdx a a 1 Loại 3: sin/cos mũ chẵn nằm mẫu ta tách cos x sin x 1 tan x I dx dx tan x d tan x tan x C cos2 x cos2 x cos x 1 Chú ý: tan x 1, cot x cos x sin x Loại 4: sin/cos mũ lẻ nằm mẫu ta nhân tử lẫn mẫu với sinx/cosx cos x I dx dx d sin x cos x cos x sin x 1 1 1 I dx dx ln sin x sin x C sin x sin x 2 Loại 5: tanx/cotx mũ lẻ đổi sin/cos: sin x sin x cos x I tan xdx dx d cos x d cos x cos3 x cos3 x cos3 x 1 1 I d cos x d cos x ln cos x C cos x cos x cos x Loại 6: tanx/cotx mũ chẵn ta hạ bậc tan/cot dần: I tan xdx tan x 1 dx tan x dx tan xdx 2 cos x cos x tan x dx tan x x C cos2 x DẠNG 3: TÍCH PHÂN CĂN THỨC Nguyên tắc: Trong gì, vi phân y hệt I tan xd tan x x2 dx x Phân tích: Trong x nên phải có dx ta cần cho x vào dx Ví dụ 1: I x2 x x2 1 x2 dx dx dx x x2 x2 I Đặt t x2 x2 t 1, dx 2tdt Khi ta có: t t2 I 2tdt dt dt dt t 1 t 1 t 1 t 1 I t ln t x 1 sin x tan x Ví dụ 2: I dx cos3 x ln t ln x2 1 2 ln Phân tích: Trong tan x nên phải có d tan x nên cho x2 C vào dx cos x sin x tan x sin x tan x 1 dx dx tan x tan x 1d tan x cos x cos x cos x Đặt t tan x tan x t 1, d tan x 2tdt Khi ta có: I tan x tan x 2t 2t C 5 DẠNG 4: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN P x sin ax b u P x Loại 1: P x cos ax b dv sin ax b dx / cos ax b dx u x du dx x VÍ DỤ: I dx Đặt 1 cos x dv dx v dx tan x cos x cos x I t t.2tdt I x tan x tan xdx x tan x d cos x x tan x ln cos x C cos x u P x Loại 2: P x eax b ax b dv e dx u 3x du 3dx 3x VÍ DỤ: I x dx Đặt 1 2 x e dv x dx e dx v e2 x e 3x 2 x 3x 6x I e dx x x C e2 x 2e 4e 4e2 x u log a x Loại 3: P x log a x dv P x dx 2 VÍ DỤ: I 3x ln xdx I I1 I đó: x I1 ln xdx 2 ln xd ln x ln x x u ln x du dx I 3x ln xdx Đặt x Ta có: dv 3x dx v x3 3 x x I ln x x3 ln x C 3 ax b ax b e sin mx n u e Loại 4: ax b dv sin mx n dx / cos mx n dx e cos mx n I x3 ln x x dx x3 ln x du 2e2 x dx 2x u e VÍ DỤ: I e2 x sin 3xdx Đặt cos 3x dx dv sin 3xdx v 2x du e x dx 2x 2x e cos3x 2e u e I cos3xdx Đặt 3 dv cos 3xdx v sin 3x 2e2 x 2e2 x sin 3x x 2e2 x sin 3x cos3 xdx e sin xdx I 9 9 2x 2x 2x e 2sin 3x 3cos 3x e cos 3x 2e sin 3x Do ta có I I I 9 13 DẠNG 5: TÍCH PHÂN ĐẠO HÀM MẪU f ' x Nguyên tắc: dx ln f x f x Khi Ví dụ 1: I x 1 sin x x cos x dx x sin x Xét x sin x 1 ' sin x x cos x Do ta biến đổi toán thành: I x 1 sin x x cos x dx x sin x x sin x 1dx sin x x cos x dx x sin x x sin x x sin x 1 'dx x ln x sin x C I dx x sin x 1 x e x dx Ví dụ 2: I xe x Xét xe x 1 ' e x xe x Do ta biến đổi toán thành: xe x ' xe x xe x e x I x dx dx dx dx x ln xe x C x x xe xe xe x 4x x Ví dụ 3: I dx x x 1 x x3 x x3 dx dx Ta thấy x x 1 ' x3 Ta có I x x 1 x x 1 x x 1 ' ta có: I dx dx x ln x x C x x 1 C HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN DẠNG 1: Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng bản: Viết P qua A, B, C: nABC AB; AC Viết P chứa A d: Chọn d điểm B C, P ABC Viết P chứa d d // : Lấy d điểm A, lấy điểm B C, P ABC Viết d qua A B: ud AB DẠNG 2: Các toán nhận dạng vector phương pháp tuyến: Viết P qua A vuông góc d: nP ud Viết P qua A song song với Q : nP nQ Viết P qua A với A hình chiếu vuông góc B P : nP AB Viết d qua A song song với : ud u Viết d qua A vuông góc với P : ud nP DẠNG 3: Các dạng toán sử dụng nguyên tắc ba vector Viết P qua A, song song d : nP ud ; u DẠNG 5: Phương trình đoạn chắn: Viết P cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho G 1; 2;3 trọng tâm tam giác ABC Gọi A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0;c giao điểm P với trục Ox, x y z a b c a 3xG x y z G trọng tâm tam giác ABC đó: 0 b yG P : 0 c z G DẠNG 6: Tìm chân đường vuông góc từ điểm có tọa độ A 2;5;3 đến Oy, Oz Khi ta có P : x 1 y 1 z 2 Gọi H hình chiếu A d , ta có H 2t 1, t , 2t H hình chiếu AH ud t H 3;1; x 1 y 1 z cho khoảng cách từ 2 điểm A 2;5;3 đến P lớn Gọi H chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng Tương tự Dạng 6, ta tìm H 3;1; Ta gọi I chân đường vuông DẠNG 7: Viết P chứa d : Viết P qua A, song song d vuông góc với Q : nP nQ ; ud Viết nằm P , cắt vuông góc với d: u ud ; nP DẠNG 4: Phương trình chùm mặt phẳng: 2 x y Viết P chứa d : cho d A; P A 1; 2;3 z 1 Gọi P có dạng a x y 1 b z 1 0, a b góc hạ từ A đến P Ta thấy AI AH nên khoảng cách từ A đến P lớn I trùng H hay P qua H vuông góc AH Ta có P : 2ax ay bz a b d A; P 20a 20ab 5b2 a b Chọn a 1, b 2 P : x y z đường thẳng d : Viết P chứa d song song với : nP ud ; u Viết P qua A, vuông góc với Q , R : nP nQ ; nR Viết P chứa d vuông góc với Q : nP nQ ; ud 2b 5a 5a b2 25a 20ab 4b2 45a 9b2 2b 5a 4a a b 2 3 Do ta có P : x y z DẠNG 12: Tổng hợp đường thẳng chéo nhau: x2 y2 z mặt Viết phương trình đường vuông góc chung d1 d2: Gọi A B có 1 1 AB.ud phẳng P : x y 3z tọa độ tham số d1 d2 cho ta tìm A B Gọi giao điểm A, ta có A d A t 2; t 2; t AB.ud Đường thẳng cần tìm qua A B Vì A P xA y A 3z A Viết d cắt d1, d2 chéo vuông góc với P : Gọi A B có tọa t 2 t 2 t t 1 A 3;1;1 độ tham số d1 d2 cho AB // nP ta tìm A B Đường DẠNG 9: Xác định chân đường vuông góc từ điểm A 2; 2;0 tới mặt thẳng cần tìm qua A B phẳng P : x y z Viết d cắt d1, d2 chéo song song với d3: Gọi A B có tọa độ x2 y2 z tham số d1 d2 cho AB // ud ta tìm A B Đường Gọi H chân đường vuông góc, ta có phương trình AH : 1 1 thẳng cần tìm qua A B H giao đường thẳng AH P nên ta có H d H t 2; t 2; t Viết d cắt d1, d2 cho d song song với P cách P khoảng Vì H P xH yH zH AB.nP a Gọi A B có tọa độ tham số d d cho t 2 t t t 1 H 3;1;1 d A; P a 2 x y ta tìm A B Đường thẳng cần tìm qua A B DẠNG 10: Viết phương trình giao tuyến d : x z Viết d cắt d1, d2 d qua M Gọi A B tham số d1 d2 cho Chọn x y 1, z 2 A 0; 1; 2 điểm giao tuyến MA // MB ta tìm A B Đường thẳng cần tìm qua A B DẠNG 13: Tổng hợp mặt cầu: Chọn x y 1, z 3 B 1;1; 3 điểm giao tuyến Viết mặt cầu qua điểm A, B, C, D: Gọi I a, b, c Giải hệ IA = IB, x y 1 z Giao tuyến đường thẳng qua AB nên: d : IA = IC, IA = ID 1 Viết mặt cầu có tâm nằm P qua A, B, C: Gọi I a, b, c Chú ý: d giao tuyến R , Q ud nQ ; nR Giải hệ IA = IB, IA = IC, I P DẠNG 11: Các toán tìm điểm cắt: Viết mặt cầu có tâm I tiếp xúc với P : R d I ; P Tiếp điểm Viết d qua A, d d1 , d cắt d2: Gọi B có tọa độ tham số d2 cho chân đường vuông góc I tới P AB.ud ta tìm B Đường thẳng cần tìm qua A B DẠNG 8: Xác định giao điểm đường thẳng d : Viết d qua A, cắt vuông góc với : Gọi B có tọa độ tham số cho AB.u Đường thẳng cần tìm qua A B Viết d qua A, cắt d song song với P : Gọi B có tọa độ tham số cho AB.nP Đường thẳng cần tìm qua A B Viết mặt cầu có tâm I tiếp xúc với d : R d I ; d Tiếp điểm chân đường vuông góc I tới d P cắt mặt cầu theo đường tròn bán kính r: R2 r d I ; P đường tròn chân đường vuông góc I tới P Tâm D CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐẶC BIỆT CỦA SỐ PHỨC (KHÔNG XÉT DẠNG CƠ BẢN NHẤT CỦA SỐ PHỨC) DẠNG 1: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM: Đặt z x yi x, y a) z 3i x y i x y 3 16 Quỹ 2 tích đường tròn tâm 2;3 , R b) z i 2 z i z 2i x y 1 x y z 2i x y 3 Quỹ tích đường tròn tâm 0;3 , R 2 c) z i 2 2 z i z x y 1 x 3 y z 3 x y Quỹ tích đường thẳng d) z z 3x yi 3x y 2 2 x y2 3 Quỹ tích Elipse có tâm e) z2 z2 6 x 2 y2 Gọi M điểm biểu diễn z, gọi 2 I ;0 3 x 2 y F1 2;0 , F2 2;0 DẠNG 2: TÌM GTNN, GTLN BẰNG MẶT PHẲNG PHỨC Tìm số phức z thỏa mãn z i z 2i giá trị z i đạt GTNN Đặt z x yi x, y x iy i x yi 2i 4x y 1 Vậy z có điểm biểu diễn M nằm đường thẳng: d : 4x y 1 Ta có: z i x 1 y 1 2 nên gọi I 1; 1 z i MI Vậy z i đạt GTNN MI đạt GTNN hay M chân đường vuông góc I hạ xuống d : x y 13 13 Ta tìm điểm M ; Do số phức cần tìm z i 10 10 DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO a) z 1 i z 3iz i z z 1 i z 3z 1 z 1 z 2i 1 z i 1 TH1: z TH2: z 2i 1 z i 1 z i z i ta có: MF1 MF2 2a a , F1F2 2c c Vậy quỹ tích x2 y 1 z Elipse có phương trình: z i x y 1 i x2 y 1 2x z i i f) số thực âm 2 z i x y 1 i x y 1 z i x y 1 2x x x y x y2 1 Do ta có: 2 0 1 y x y y 12 x y 1 Vậy quỹ tích 1;1 trục Oy b) 3z 5z 3z z z z 3z z 1 TH1: z z z i z i 1 13 TH2: 3z z z c) z 3z z z 3z 3z z 6z z 2z TH1: z z z 3 i TH2: z z z 1 i DẠNG 4: SỐ PHỨC LƯỢNG GIÁC i cos i sin 4 i cos i sin 4 3 3 1 i cos i sin 4 5 5 1 i cos i sin 4 2 2 1 3i cos i sin 3 4 4 1 3i cos i sin 3 7 7 i cos i sin 6 Tính giá trị biểu thức: P 3i 2015 1 i 2014 P cos i sin 3 P 22014 22015 i cos i sin 6 i cos i sin 6 5 5 i cos i sin 6 3i cos i sin 3 3i cos i sin 3 P 3i 2015 2i 2014 22014 2015 2014 3 3 2014 i sin cos 4 2014 2015 2015 3021 3021 cos i sin i sin cos 3 2 1 P 25036 i i 25035 3i i 25035 i 2 DẠNG 5: ĐỊNH LÝ VIET VỚI NGHIỆM PHỨC Cho phương trình bậc 2: z 3z i có nghiệm z1 , z2 Tính giá trị biểu thức A z z 3 Ta có z1 z2 3, z1 z2 i A z1 z2 3z1 z2 z1 z2 18 9i DẠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HỆ SỐ THỰC a) Tìm phương trình bậc có hệ số thực có nghiệm 3i Phương trình bậc có hệ số thức có nghiệm phức hai số phức liên hợp z1 3i z2 3i Theo định lý Viet đảo ta có: z1 z2 2, z1 z2 10 phương trình bậc hai cần tìm z z 10 20 100 b) Cho z z có nghiệm z1 ; z2 Tính A z1 z2 Phương trình bậc có hệ số thức có nghiệm phức hai số phức liên hợp ta có: z1 z2 z1 z2 z1 2 20 z2 100 1 A c) Tìm m để phương trình z i z 2mz 1 có nghiệm phức Để có nghiệm phức f z z 2mz có nghiệm phức ' phân biệt khác i m 1;1 \ 0 f i DẠNG 7: ARGUMENT CỦA SỐ PHỨC Số phức z có argument số phức có dạng z R cos i sin , R Tìm số phức z thỏa mãn z z 3i có argument Gọi số phức có dạng z R cos i sin , R , ta có: 3 R cos i sin R cos i sin 3i 2 2 R cos i sin 3 2 2 R cos i sin 3 2 i sin R cos 3 2 2 2 i sin R cos 3 3i 3i R i R i 3i R 3i 3i R 2 2 Vậy thay giá trị R argument vào số phức ta z 3i E HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CÁC LOẠI ĐỈNH ĐẶC BIỆT VÀ CÁC THÔNG SỐ SA SB SC ABC tam giác vuông B Gọi I trung điểm cạnh huyền AC SI mặt đáy Chóp có mặt SAB mặt đáy, tam giác SAB đều: Gọi H trung điểm AB SH mặt đáy SH AB Chóp có mặt SAB mặt đáy, tam giác SAB vuông S: Gọi H chân đường vuông góc hạ từ S tới AB SH mặt đáy SA.SB SH SA2 SB SA2 Vị trí H: AH AB SA SB SC SD ABCD hình chữ nhật Gọi I giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật SI mặt đáy DẠNG 1: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Chóp S.ABCD có SA ABCD , ABCD hình vuông cạnh a Biết góc SC SAD 300 Tính SA SA SB SC tam giác ABC Gọi I tâm ngoại tiếp tam giác ABC (đồng thời trọng tâm, trực tâm) SI mặt đáy CÁCH 1: KHÔNG GIAN THUẦN TÚY: CD AD, CD SA CD SAD SC; SAD SC; SD CSD 300 CD tan 300 SD a SD Do SA SD2 AD2 a CÁCH 2: SỬ DỤNG HỆ TỌA ĐỘ: Gán hình vẽ vào hệ trục tọa độ với đỉnh: A 0;0;0 , B a;0;0 , C a; a;0 , D 0; a;0 Đặt SA t S 0;0; t , SC a; a; t SAD Oyz nSAD 1;0;0 Khi sin SC , SAD SCnSAD đó: t SA a SC nSAD a a AD ; ;0 u AD 3; 1;0 nSAD u AS , u AD 2t; 2t 3; a 2 a CS 0; ; t uCS 0; a; 2t a a CD ; ;0 uCD 3;1;0 nSCD uCS , uCD 2t; 2t 3; a 2 Do cos SAD ; SCD nSAD nSCD t SO a nSAD nSCD DẠNG 2: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, góc BAD 1200 , SO mặt đáy với DẠNG 3: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG O giao hai đường chéo Biết góc SAD SCD 900 Tính SO Chóp S.ABCD có ABCD hình vuông tâm O cạnh a Hình chiếu vuông góc a 30 CÁCH 1: KHÔNG GIAN THUẦN TÚY S (ABCD) trung điểm H OC Biết độ dài SH Gọi M BD AC, AC SO AC SBD trung điểm AD Tính cosin góc hai đường thẳng BM SC Do AC SD Hạ OK SD ta có CÁCH 1: KHÔNG GIAN THUẦN SD ACK SD AK , SD CK TÚY: Lấy N E cho D trung ̂ điểm MN AE (𝑆𝐶, 𝐵𝑀) = SAD , SCD AKC 90 ̂ Do ta có: 𝑆𝐶𝑁 OC a tan OKC OK OC OD EC 3OD 3a OK NH 2 1 a 2 SO SN SH NH a 3, OK OD SO CÁCH 2: SỬ DỤNG HỆ TỌA ĐỘ a CN BM AB AM Chọn hệ trục với O 0;0;0 gốc, a a A 0; ;0 , B ;0;0 a a C 0; ;0 , D ;0;0 SC CN SN 10 2SC.CN 40 CÁCH 2: SỬ DỤNG HỆ TỌA ĐỘ Gọi điểm có tọa độ A 0;0;0 , ̂= Do ta có: cos𝑆𝐶𝑁 S 0;0; t SO t 3a 3a a B a;0;0 , C a; a;0 , D 0; a;0 , H ; ;0 , M 0; ;0 , 4 a AS 0; ; t u AS 0; a; 2t SC.BM 3a 3a a 30 10 ̂ 𝐵𝑀) = S ; ; Ta có: cos(𝑆𝐶, SC.BM 40 4 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG Chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a, AC = a M, N trung điểm AB, AD, SM ⊥ (ABCD), SM = a Tính khoảng cách từ A tới (SBN) CÁCH 1: HÌNH KHÔNG GIAN Hạ MI ⊥ BN, SM ⊥ BN nên THUẦN TÚY BN ⊥ (SMI) Hạ MH ⊥ SI, ta có BN ⊥ MH MH ⊥ SI nên MH ⊥ (SBN) d(M;(SBN)) = MH 1 Ta có: = + MH2 MI2 MS2 Lại có MI.BN = 2SBMN = 2(SBAN − SMAN ) a2 MI.√AB2 + AN2 = a√2 a MI = Do MH = √17 Lại có: d(A;(SBN)) AB = =2 d(M;(SBN)) MB DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B Tam giác SAC nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết BC = a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SB AC Tam giác ABC vuông cân B nên AC = a√2 Gọi H trung điểm AC Tam giác SAC a√6 SH ⊥ AC, SH = (SAC) ⊥ (ABC), SH ⊥ AC SH ⊥ (ABC) CÁCH 1: HÌNH KHÔNG GIAN THUẦN TÚY (DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG) Hạ OH ⊥ SB Tam giác ABC vuông cân B, H trung điểm AC BH ⊥ AC BH ⊥ AC, AC ⊥ SH AC ⊥ (SHB) AC ⊥ HK HK đoạn vuông góc chung SB 1 AC ∆SHB vuông H nên = + 2 HK SH BH2 a √6 D(SB,AC) = HK = (đvđd) CÁCH 2: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ a√2 Chọn B gốc tọa độ ta có tọa độ đỉnh (đvđd) → d(A;(SBN)) = sau: B 0;0;0 , A 0; a;0 , C a;0;0 Có H CÁCH 2: SỬ DỤNG HỆ TỌA ĐỘ: Chọn điểm có tọa độ tương ứng A 0;0;0 , B 2a;0;0 , C 2a; a;0 , D 0; a;0 Vì M, N trung điểm AB, a a trung điểm AC nên H ; ;0 Vì SH ⊥ 2 a AD M a;0;0 , N 0; ;0 Vì SM ⊥ (ABCD), SM = a nên S a;0; a a a a 6 a√6 (ABC) SH = nên S ; ; BS a;0; a uBS 1;0;1 2 2 Ta có nSBN uBS ; uBN 1; 4; 1 a BN a ; ;0 u 4;1;0 BN Áp dụng công thức khoảng cách chéo nhau: uSB ; u AC BC a 2a a d SB; AC SBN : x y z 2a d A; SBN uSB ; u AC 18 [...]... 2 0 z 2 2 z 2 3z 2 z 1 0 TH1: z 2 2 z 2 0 z 1 i z 1 i 1 13 TH2: 3z 2 z 1 z 6 c) z 2 2 3z 6 2 z z 2 3z 6 3z 2 0 z 2 6z 6 z 2 2z 6 0 TH1: z 2 6 z 6 0 z 3 i 3 TH2: z 2 2 z 6 0 z 1 i 5 DẠNG 4: SỐ PHỨC LƯỢNG GIÁC 1 i 2 cos i sin 4 4 1 i 2 cos i sin 4... 3i 2 cos i sin 3 3 7 7 3 i 2 cos i sin 6 6 Tính giá trị của biểu thức: P 1 3i 2015 1 i 2014 P 2 cos i sin 3 3 P 22014 22015 3 i 2 cos i sin 6 6 3 i 2 cos i sin 6 6 5 5 3 i 2 cos i sin 6 6 1 3i 2 cos i sin 3 3 1 3i ... 0; a;0 , C a;0;0 Có H là CÁCH 2: SỬ DỤNG HỆ TỌA ĐỘ: Chọn các điểm có tọa độ tương ứng là A 0;0;0 , B 2a;0;0 , C 2a; a;0 , D 0; a;0 Vì M, N là trung điểm của AB, a a trung điểm AC nên H ; ;0 Vì SH ⊥ 2 2 a AD do đó M a;0;0 , N 0; ;0 Vì SM ⊥ (ABCD), SM = a nên S a;0; a a a a 6 a 6 2 (ABC) và SH = nên S ; ; 2 BS a;0; a uBS 1;0;1... SO AC SBD là trung điểm của AD Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng BM và SC Do đó AC SD Hạ OK SD ta có CÁCH 1: KHÔNG GIAN THUẦN SD ACK SD AK , SD CK TÚY: Lấy N và E sao cho D là trung ̂ 0 điểm của MN và AE (𝑆𝐶, 𝐵𝑀) = SAD , SCD AKC 90 ̂ Do đó ta có: 𝑆𝐶𝑁 OC a 1 tan OKC OK OC OD EC 3OD 3a 2 OK 2 NH 2 2 4 1 1 1 a 6 2 2 SO SN SH ... nên AC = a√2 Gọi H là trung điểm AC Tam giác SAC đều a 6 SH ⊥ AC, SH = 2 (SAC) ⊥ (ABC), SH ⊥ AC SH ⊥ (ABC) CÁCH 1: HÌNH KHÔNG GIAN THUẦN TÚY (DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG) Hạ OH ⊥ SB Tam giác ABC vuông cân tại B, H là trung điểm AC BH ⊥ AC BH ⊥ AC, AC ⊥ SH AC ⊥ (SHB) AC ⊥ HK HK là đoạn vuông góc chung của SB 1 1 1 và AC ∆SHB vuông tại H nên = + 2 2 HK SH BH2 a 6 D(SB,AC) = HK = (đvđd) 4 CÁCH... tích là một Elipse có tâm 1 9 e) z2 z2 6 x 2 2 y2 Gọi M là điểm biểu diễn của z, gọi 2 I ;0 3 x 2 y 2 6 F1 2;0 , F2 2;0 DẠNG 2: TÌM GTNN, GTLN BẰNG MẶT PHẲNG PHỨC Tìm số phức z thỏa mãn z 2 i z 2i và giá trị z 1 i đạt GTNN Đặt z x yi x, y x iy 2 i x yi 2i 4x 2 y 1 0 Vậy z có điểm biểu diễn là M nằm trên đường thẳng:... Gọi I là trung điểm cạnh huyền AC SI mặt đáy Chóp có mặt SAB mặt đáy, tam giác SAB đều: Gọi H là trung điểm của AB SH mặt đáy 3 SH AB 2 Chóp có mặt SAB mặt đáy, tam giác SAB vuông tại S: Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S tới AB SH mặt đáy SA.SB SH SA2 SB 2 SA2 Vị trí H: AH AB SA SB SC SD trong đó ABCD là hình chữ nhật Gọi I là giao điểm hai đường... nSAD nSCD t SO a 6 4 nSAD nSCD DẠNG 2: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD 1200 , SO mặt đáy với DẠNG 3: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG O là giao hai đường chéo Biết góc giữa SAD và SCD bằng 900 Tính SO Chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O cạnh a Hình chiếu vuông góc a 30 CÁCH 1: KHÔNG GIAN THUẦN TÚY của S trên (ABCD) là trung điểm H của OC Biết độ dài... 0 2 13 2 13 Ta tìm được điểm M ; Do đó số phức cần tìm là z i 5 10 5 10 DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO a) z 3 2 1 i z 2 3iz 1 i 0 z 3 2 z 2 1 i 2 z 2 3z 1 0 z 1 z 2 2i 1 z i 1 0 2 TH1: z 1 TH2: z 2 2i 1 z i 1 0 1 z i z i 1 khi đó ta có: MF1 MF2 2a 6 a 3 , F1F2 2c 4 c... 2: SỬ DỤNG HỆ TỌA ĐỘ Gọi các điểm có tọa độ là A 0;0;0 , ̂= Do đó ta có: cos𝑆𝐶𝑁 S 0;0; t trong đó SO t 0 3a 3a a B a;0;0 , C a; a;0 , D 0; a;0 , H ; ;0 , M 0; ;0 , 4 4 2 a AS 0; ; t u AS 0; a; 2t 2 SC.BM 3a 3a a 30 10 ̂ 𝐵𝑀) = S ; ; Ta có: cos(𝑆𝐶, SC.BM 40 4 4 4 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG Chóp S.ABCD