Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến Chƣơng I VEC-TƠ I CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.Định nghĩa Vec-tơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng, rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối Kí hiệu: MN Trong M điểm đầu, N điểm cuối Vec-tơ -khơng Vec-tơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vec-tơ –không Hai vec-tơ phƣơng, hƣớng Hai vec-tơ phƣơng: Hai vec-tơ nằm hai đường thẳng trùng hai đường thẳng song song Hai vec-tơ phương chúng hướng chúng ngược hướng Lưu ý: Ta quy ước vec-tơ –không hướng với vectơ Hai vec-tơ Hai vec-tơ gọi chúng hướng độ dài Nếu vec-tơ a b ta viết a  b Lưu ý : Vectơ-khơng kí hiệu II TỔNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa Cho vec-tơ a b Lấy điểm A xác định điểm B C cho AB  a , BC  b Khi vec-tơ AC gọi tổng hai vec-tơ a b Kí hiệu : c  a  b Các tính chất phép cộng vectơ Tính giao hốn : a  b  b  a Tính kết hợp : a  b  c  a  b  c     Tính chất vectơ-không : a   a Quy tắc Quy tắc ba điểm Với ba điểm M, N, P ta ln có MN  NP  MP Quy tắc hình bình hành Nếu OABC hình bình hành ta có OA  OC  OB Kiến thức bổ sung M trung điểm đoạn thẳng AB MA  MB  M trung điểm đoạn thẳng AB O điểm 2OM  OA  OB G trọng tâm tam giác ABC GA  GB  GC  G trọng tâm tam giác ABC O điểm 3OG  OA  OB  OC Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến G trọng tâm tứ giác ABCD O điểm 4OG  OA  OB  OC  OD Bài tập áp dụng Chứng minh với bốn điểm A, B, C D ta có AC  BD  AD  BC Cho tam giác ABC có cạnh a Tính độ dài vec-tơ tổng AB  AC Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Chứng minh MA  MB  Giải  MM  MA  AM  MA  MB ( Vì AM , MB hai vec-tơ hướng, độ lớn) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh GA  GB  GC  III TỔNG HAI VECTƠ Vec-tơ đối vectơ Nếu tổng hai vec-tơ a b vectơ-không, ta nói a vec-tơ đối b , b vec-tơ đối a Nhận xét : - Hai vec-tơ đối hai vec-tơ ngược hướng độ lớn - Vec-tơ đối vec-tơ vec-tơ - Vec-tơ đối vec-tơ AB vec-tơ BA Hiệu hai vectơ Hiệu hai vec-tơ a b tổng vec-tơ a vec-tơ đối vec-tơ b Kí hiệu : a  b Quy tắc hiệu hai vectơ MN  ON  OM Bài tập áp dụng Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh AB  CD  AD  CB Giải Cách AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  DB  DB  AD  CB Cách AB  CD  OB  OA  OD  OC  OB  OC  OD  OA  CB  AD IV TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ Định nghĩa tích số với vectơ Tích vec-tơ a với số thực k vectơ, kí hiệu ka , xác định sau: Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến - Nếu k  vec-tơ ka hướng với vec-tơ a - Nếu k  vec-tơ ka ngược hướng với vec-tơ a Độ dài vec-tơ ka kí hiệu k a Phép lấy tích số với vec-tơ với số gọi phép nhân vec-tơ với số Nhận xét: a  1.a;  a  1.a Tính chất phép nhân vec-tơ với số Với hai vec-tơ a, b số thực k, l ta có     k la   kl  a k a  b  ka  kb  k  l  a  ka  la k  ka    a   a  b   ka  kb Bài tập áp dụng 1.Chứng minh điểm I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M bất kì, ta có MA  MB  2MI Giải - I trung điểm AB Chứng minh: Điểm M bất kì, MA  MB  2MI Áp dụng quy tắc hình bình hành , ta có MA  MB  MD ; mà MD  2MI ( tính chất hình bình hành ) Suy MA  MB  2MI - Điểm M bất kì, MA  MB  2MI Chứng minh: I trung điểm AB Ta có: MA  MB  MI  IA  MI  IB  2MI  IA  IB ; mà MA  MB  2MI (gt) Suy IA  IB  Vậy: I trung điểm AB Cho tam giác ABC với trọng tâm G Chứng minh với điểm M bất kì, ta có MA  MB  MC  3MG Giải MA  MB  MC  MG  GA  MG  GB  MG  GC  3MG  GA  GB  GC  3MG Điều kiện để hai vec-tơ phƣơng Vectơ b phương với vec-tơ a a  có số k cho b  ka   Điều kiện để ba điểm thẳng hàng Điều kiện để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k cho AB  k.AC Bài tập áp dụng 1.Cho tam giác ABC có trực tâm h, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O a Gọi I trung điểm BC Chứng minh AH  2OI b Chứng minh OH  OA  OB  OC c Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng Giải a Kẻ đường kính AK Ta có: BH // CK ( vng góc KC ) Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến CH // BK ( vng góc AB ) Suy BHCK hình bình hành Mà I trung điểm BC Suy I trung điểm IK Mà O trung điểm AK Suy OI đường trung bình tam giác AKH AH  AH  2OI b Ta có : OB  OC  2OI ( tính chất hình bình hành ) Suy : OB  OC  AH  OB  OC  OA  AH  OA  OB  OC  OA  AH  AO  OH c OA  OB  OC  3OG  GA  GB  GC  OA  OB  OC  3OG  OH  3OG  OI  Vậy ba điểm O, G, H thẳng hàng Đường thẳng qua ba điểm gọi đường thẳng Ơ-le Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi I trung điểm đoạn AG K điểm a Hãy phân tích AI , AK , CI , CK theo a  CA, b  CB cạnh AB cho AK  AB b Chứng minh ba điểm C, I, K thẳng hàng Giải a Kẻ trung tuyến AD tam giác ABC 1 AD  CD  CA  CB  CA  b  a 2 1 AI  AD  b  a 1 AK  AB  CB  CA 5   b ( tự giải ) Biểu thị vec-tơ qua hai vec-tơ không phƣơng Cho a b hai vec-tơ khơng phương Khi vec-tơ x biểu thị cách qua hai vec-tơ a b , nghĩa có hất cặp số m n cho x  na  mb V TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1.Trục tọa độ Trục tọa độ ( trục số ) đường thẳng xác định điểm O vectơ i có độ dài Trong : Điểm O gọi góc tọa độ, vec-tơ i gọi vec-tơ đơn vị Trục tọa độ kí hiệu O; i   Tọa độ vec-tơ trục Cho vec-tơ u nằm O; i Khi vec-tơ u  số a gọi tọa độ u     O; i Tọa độ điểm trục Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến   Cho điểm M nằm O; i Khi vec-tơ OM  mi số m gọi tọa độ   điểm M O; i Độ dài đại số vec-tơ trục Nếu hai điểm A B nằm trục Ox tọa độ vec-tơ AB kí hiệu AB gọi độ dài đại số vec-tơ AB trục Ox Trên trục số : AB  CD  AB  CD AB  BC  AC  AB  BC  AC Hệ trục tọa độ Hai hệ trục Ox Oy vng góc với Vec-tơ đơn vị trục Ox i , vec-tơ đơn vị trục Oy j Điểm O gọi góc tọa độ, trục Ox gọi trục hoành, trục Oy gọi trục tung Hệ trục tọa độ kí hiệu Oxy hay O; i; j   Trong mặt phẳng cho ( chọn ) hệ trục tọa độ ta gọi mặt phẳng mặt phẳng tọa độ Tọa độ vec-tơ hệ trục tọa độ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , a  xi  y j cặp số  x; y  gọi tọa độ vec-tơ a Kí hiệu : a   x; y  hay a  x; y  Ví dụ : Đối với hệ trục tọa độ 0; i ; j ; i  j ; j  i ; i  j; Hai vec-tơ O; i ; j  ; tọa độ vec-tơ 3i  0.14 j  x  x  y  y Cho a  x; y  b  x; y  a  b   Biểu thức tọa độ phép toán vec-tơ Cho a  x; y  b  x; y  a  b   x  x; y  y  ; a  b   x  x; y  y  ka   kx; ky  Điều kiện hai vec-tơ phƣơng Cho a  x; y  b  x; y  khác vec-tơ  x  kx Vec-tơ a phương với vec-tơ b   y  ky Bài tập áp dụng Cho a  3;  b  4; 5 a Hãy biểu thị vec-tơ a; b qua hai vec-tơ i; j b Tìm tọa độ vec-tơ c  a  b ; d  4a ; u  4a  b Xét cặp vec-tơ sau có cung phương khơng? a a  0; 5 ; b  1;  Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến b e  4;  8 ; f  0.5; 1 Tọa độ điểm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ vec-tơ OM gọi tọa độ điểm M Cặp số  x; y  gọi tọa độ điểm M OM   x; y  Ta viết: M  x; y  M   x; y  Số x gọi hoành độ điểm M, số y gọi tung độ điểm M Tọa độ vec-tơ Cho điểm A  xA ; yA  điểm B  xB ; yB  AB   xB  xA ; yB  y A  Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác Tọa độ trung điểm đoạn thẳng M trung điểm đoạn thẳng AB xM  Tọa độ trọng tâm tam giác G trọng tâm tam giác ABC xG  xB  xA y y ; yM  B A 2 xA  xB  xC y y y ; yG  A B C 3 Bài tập Tìm tọa độ điểm M  đối xứng với điểm M  7; 3 qua điểm A 1; 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 1; 0 ; B  0; 4 ; C 1; 3 a Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A  2; 0 ; B  0; 4 ; C 1; 3 a Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác c Tìm tọa độ trung điểm cạnh tam giác ABC Cho a  1;  1 , b   2; 1 Hãy phân tích c   4; -1 theo a b Giải  m  2n  m  n  1 Giả sử c  ma  nb   m  2n; m  n    Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: Hình học lớp 10 Chƣơng II Người soạn: Bùi Thiện Chiến TÍCH VƠ HƢỚNG CỦA HAI VEC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG I TỈ SỐ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ Định nghĩa Nửa đƣờng trịn đơn vị Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vể phía tung độ dương, ta vẽ đường trịn tâm O, bán kính R  , đường kính thuộc trục xOx Nửa đường tròn gọi nửa đường tròn đơn vị Tỉ số lƣợng giác góc Với góc   0o    180o  , xác định điểm M cho MOx   Giả sử điểm M  x; y  , ta có sin   y cos   x tg  y x  x  0 cotg  x y  y  0 Chen hình vào Ví dụ Tìm giá trị lượng giác góc 135o Hệ thức tan   sin  cos sin cos2 cot   cos  sin  tan cot 1 cos cos2 Chú ý:  sin   1;   cos   1 tan sin cos sin cot sin 0 Tỉ số lƣợng giác số góc đặc biệt  0o 30o 45o 60o 90o 180o sin  2 cos  2 2 -1 tan  3 3 3 TSLG cot  Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com 0 Trang: Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến Tỉ số lƣợng giác hai góc phụ bù Tỉ số lƣợng giác hai góc phụ Góc bù Góc phụ sin 180o cos 180o sin tan 180o cot 180o tan sin  90o     cos cos 90o    sin   cos  tg  90o     cot g cot g 90o    tg  cot  Bổ sung Hai góc 180o sin 180o sin cos 180o tan 180o tan cot 180o cot Hai góc 90o sin  90o     cos cos 90o     sin   cos  tg  90o      cot g cot g 90o    tg   Bài tập áp dụng Chứng minh a sin   cos2   1   90o   cot g 2     0o  cos  sin  Cho tan x  5 , tìm giá trị lượng giác cịn lại góc x b  tg 2  Tính giá trị biểu thức P  tg1o.tg 2o.tg 4o.tg5o tg87o.tg88o.tg89o Q  cos10o  cos 20o  cos30o  cos 40o   cos150o  cos160o  cos170o R  cos1o.cos 2o.cos3o.cos 4o cos178o.cos179o.cos180o II TÍCH VƠ HƢỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ Góc hai véc-tơ Cho a  0; b  Từ điểm O ta vẽ OA  a; OB  b     Khi a, b  AOB với 0o  AOB  180o ; a, b gọi góc hai véc-tơ a b b a O a A b B Chú ý: Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến  a, b  90  a  b  a, b    a, b hướng  a, b  180  a, b ngược hướng  a, b   b, a  o o o Tích vơ hƣớng hai véc-tơ Định nghĩa a b  a b cos a, b   Đặc biệt: a a  a  a Tính chất Với a, b, c k  a.b  b.a  ka .b  k  a.b   a  kb   a  b  a  2a.b  b a  b   a  b  a  b  a.b    a, b  nhọn 2   a b  c  a.b  a.c 2 2 a  0; a   a  a  b 2  a  2a.b  b 2     a.b   a, b tù a.b   a, b vuông Biểu thức tọa độ tích vơ hƣớng Cho a   a1 , a2  ; b   b1, b2  Khi a.b  a1b1  a2b2   cos a, b  a b a.b a  a12  a22 = a1b1  a2b2 a  b  a1b1  a2b2  a  a22 b12  b22 Cho A  xA ; yA  , B  xB ; yB  Khi AB  Kiến thức bổ sung 4.1.Trong ABC : AB AC    xB  xA    yB  y A    2 2 1 AB  AC  BC   AB  AC  AB  AC  AB.AC  AB  AC  2    Chứng minh BC  AC  AB  BC  AC  AB khai triển đẳng thức ta AB AC  AB  AC  BC   4.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  xA ; yA  , B  xB ; yB  ; C  xC ; yC  không thẳng hàng - Điểm I  xI ; yI  tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  AI  BI  CI x  ?  AI  BI tìm  I  AI  CI  yI  ? Giải hệ phương trình  Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến  AH BC  - Điểm H  xH ; yH  trực tâm ABC    BH AC   AH BC  x  ? Giải hệ phương trình  tìm  H  yH  ?  BH AC   AK BC  - Điểm K  xK ; yK  chân đường cao AK ABC    BC  k KC  xK  ?  yK  ? Giải hệ phương trình ẩn số k  ? tìm  - Điểm D  xD ; yD  chân đường phân giác hạ từ đỉnh A Ta có BD AB sử dụng  DC AC  xD  ?  yD  ? kiến thức hai véc –tơ để tìm  III HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lƣợng tam giác vuông Cho ABC có BC  a AB  c AC  b AH  h BH  c HC  b Ta có: a  b2  c h2  b.c b2  ab c  a.c 1 1 a.h  b.c   S  a.h  b.c h b c 2 A C B Tỉ số lƣợng giác H b  a sin B  a cos C  c tan B  c cot C c  a sin C  a cos B  b tan C  b cot B Hệ thức lƣợng tam giác thƣờng Cho ABC có A - BC  a AB  c AC  b - Ba đường cao kẻ từ A, B, C là: hA , hB , hC - Ba đường trung tuyến kẻ từ A, B, C là: mA , mB , mC C B H D M - Ba đường phân giác kẻ từ A, B, C là: lA , lB , lC - Bán kính đường trịn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp tam giác là: R, r - Đường bàng tiếp ABC : Đường trịn có tâm nằm đường phân giác góc tiếp xúc ngồi với ba cạnh tam giác Trong rA , rB , rC bán kính đường trịn bàng tiếp có tâm nằm đường phân giác góc A, góc B, góc C - Chu vi : P Nửa chu vi : p  P : Định lí côsin a  b2  c  2bc.cos A b  a  c  2ac.cos B c  a  b  2ab.cos C Định lí sin Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: 10 Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến a b c    2R sin A sin B sin C Độ dài đƣờng trung tuyến m  a  b2  c   a m  b  a  c   b2 m  c  a  b2   c Một số công thức bổ sung tan A r r   A pa p tan a  hA  cot B  cot C  B r r   B p b p b  hB  cot A  cot C  tan C r r   C pc p c  hC cot A  cot B  Diện tích tam giác 1 1 1 abc S  a.hA  b.hB  c.hC  ab.sin C  ac.sin B  bc.sin A  2 2 2 4R S  pr   p  a  rA   p  b  rB   p  c  rC  p  p  a  p  b  p  c  S ABC   AB2 AC  AB AC  Hệ thức lƣợng đƣờng tròn Cho đường tròn ( O, R ) điểm M cố định - Từ điểm M vẽ hai cát tuyến MAB MCD PM / O  MA.MB  MC.MD  MO2  R - Từ điểm M vẽ tiếp tuyến MT PM / O  MT  MO2  R2 Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: 11 Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến Chƣơng III PHƢƠNG PHÁP TẠO ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Định nghĩa véc-tơ Véc-tơ phƣơng a gọi véc-tơ phương đường thẳng giá trùng song song với đường thẳng Lƣu ý: n a; b a b; a a a có Véc-tơ phƣơng n gọi véc-tơ pháp tuyến đường thẳng véc-tơ n vuông góc với đường thẳng a n giá b; a Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình tổng quát đường thẳng có dạng Ax đó: A2 B2 By có VTPT n C A; B Định lí qua M xo ; yo có VTPT n :A x xo B y yo A; B Lưu ý: i qua M xo ; yo có VTPT n A;0 :x ii 0; B :y qua M xo ; yo có VTPT n xo yo iii Hai đường thẳng vng góc tọa độ vec-tơ phương đường thẳng tọa độ vec-tơ pháp tuyến đường thẳng Các trƣờng hợp đặc biệt Các hệ số Phƣơng trình đƣờng thẳng Tính chất đƣờng thẳng A By C // Ox Ox B Ax C // Oy Oy C Ax By qua gốc tọa độ O Phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: 12 Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến qua A a ;0 B ; b : x a y b Phƣơng trình đƣờng thẳng theo hệ số góc ( hsg ) k qua A a ;0 hsg : k :y yo k x xo + Hệ số góc k góc tạo đường thẳng trục Ox theo chiều dương- ngược k tan với chiều kim đông hồ tan a góc nhọn k 180o tan a góc tù k k 0o // Ox Ox Phƣơng trình tổng qt đƣờng thẳng Ví dụ Lập phương trình đường thẳng Biết Giải VTCP a AB 3;4 VTPT n 4; qua A 2;0 có VTPT n :4 x : 4x 3y y qua A 2;0 B 1;4 4; 0 Ví dụ Cho tam giác ABC có ba đỉnh A 1; , B 1;3 , A 2; a Viết phương trình tổng quát ba cạnh tam giác b Viết phương trình tổng quát ba đường cao tam giác tam giác c Viết phương trình tổng quát ba đường trung tuyến tam giác tam giác ( tự giải) Ví dụ Cho A 1;2 , B 3;4 Tìm điểm C đường thẳng d : x y cho tam giác ABC vuông C Giải Gọi C xc ; yc C xc ; yc d C yc 1; yC Tam giác ABC vuông C CACB CA.CB Vậy C 3;2 yc C yc yc yc yc yc ; 5 Ví dụ Lập phương trình đường thẳng cạnh tam giác ABC biết đỉnh C 4; , đường cao đường trung tuyến có phương trình x y 12 0; Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: 13 Hình học lớp 10 2x 3y Người soạn: Bùi Thiện Chiến Giải A B H C M Ta có AH : x y 12 0; AM : x VTPT n AH VTCPa AH 2; 3y 3;2 + Viết phương trình đường thẳng BC Dạng PTTQ BC : Ax BC AH VTCPa AH BC qua C 4; Vậy BC : 3x By C 3;2 VTPT n BC 3.4 C C 10 y 10 + Viết phương trình đường thẳng AC 2x 2x Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình Tọa độ điểm A AC 7; 3 x y 3;2 VTPT n AC AC qua điểm A 3 y 12 3y 3;7 3;2 có VTPT n AC 7.2 C C Vậy AC : 3x 7y 3;7 + Viết phương trình đường thẳng AB 2x 3x Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình 3y y 10 x y Tọa độ điểm M 6; M 6; trung điểm BC xB yB xM yM xC yC xB 2.6 yB Tọa độ điểm B 8; AB 11; VTPT n AB AB qua điểm A 11.2 9;11 3;2 có VTPT n AB C C Vậy AB : 9x 11y 9;11 Ví dụ: Cho đường thẳng : 2x tạo đường thẳng trục Ox 2y Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com 0; : 3x y Tính số đo góc Trang: 14 Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến Giải k : 2x 2y 1 tan : 3x y :y x tan ( tự giải) 1 180o 135o Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình tham số đường thẳng, với tham số t có dạng x y đó: a b2 xo yo at bt có VTCP a a; b Định lí qua M xo ; yo có VTCP a : x y xo yo a; b at bt Ví dụ Lập phương trình tắc đường thẳng qua M Giải qua M 2;3 có VTCPa 5; PTTS : x y 5t 2;3 , VTCPa 5; t t Phƣơng trình tắc đƣờng thẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình tắc đường thẳng có dạng x xo a y yo b đó: ab có VTCP a a; b + Lƣu ý: Khi a b đường thẳng khơng có phương trình tắc Định lí qua M xo ; yo có VTCP a : x xo a y a; b yo b Phƣơng trình đƣờng thẳng qua A xA ; yA ; B xB ; yB AB : x xA xB xA y yA yB y A Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: 15 Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến Ví dụ Lập phương trình tắc đường thẳng qua M 2;3 , VTCPa qua M PTCT : 2;3 có VTCPa x y 5; Ví dụ Viết phương trình đường thẳng qua A 4; ; B x 4 AB : 5; y AB : x 3;2 y Chuyển phƣơng trình tổng quát sang phƣơng trình tham số; phƣơng trình tắc + PTTQ đường thẳng ĐK: A2 B : Ax By C VTPT n A; B VTCP a B; A + Chọn điểm M xo ; yo + Lập phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng qua M xo ; yo có VTCP a B; A Chuyển đổi phƣơng trình tham số; phƣơng trình tắc sang phƣơng trình tổng quát + PTTS đường thẳng : PTCT đường thẳng VTCP a a; b : x y x VTPT n xo yo xo a at ; bt y yo b b; a + Chọn điểm M xo ; yo + Lập phương trình tổng quát đường thẳng qua M xo ; yo có VTPT n b; a Ví dụ Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ đường thẳng qua điểm M hsg : k Giải qua M 3; có hsg : k :y : 2x PTTQ y : 2x y VTPT n M x 3;1 2;1 3;1 có VTCPa M 1; 3;1 Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: 16 Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến qua M PTTS : PTCT : 3;1 có VTCPa x y x t 2t 1;2 t y Tìm điểm M xM ; yM đối xứng với N xN ; yN qua đƣờng thẳng + Lập phương trình đường thẳng + Tìm giao điểm I đường thẳng qua điểm N xN ; yN và + M xM ; yM đối xứng với N xN ; yN qua đường thẳng I trung điểm MN Dùng công thức trung điểm đoạn thẳng tìm tọa độ điểm M Ví dụ Cho : x y , tìm tọa độ điểm N đối xứng với M 2; Giải 2; y qua điểm M : 2x Tìm giao điểm I đường thẳng N đối xứng với M xI yI xM 2; I 1; I trung điểm MN xN yM yN xN yN Vậy: N 4;6 Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d thẳng đối xứng với đƣờng thẳng d qua đƣờng Trƣờng hợp d / / + Chọn M xM ; yM d + Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua đường thẳng + Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M có VTPT n d VTPT n Trƣờng hợp d I d với M I + Chọn M xM ; yM + Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua đường thẳng + Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M có VTPT n d Ví dụ Lập phương trình đường thẳng d thẳng a d : x VTPT n d đối xứng với đường thẳng d qua đường y b d : x y Giải : 3x 4y : 2x 3y Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: 17 Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến a Tìm giao điểm I d I ; 11 11 Chọn M 0;1 d Viết phương trình qua điểm M 0;1 vng góc với đường thẳng 3y : 4x Tìm giao điểm N N 18 ; 25 25 Tọa độ điểm M đối xứng với M qua N Lập phƣơng trình cạnh tam giác - Lập phương trình cạnh tam giác ABC, biết phương trình chứa cạnh BC; phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C tam giác B AC : A BC BB qua C xC ; yC AC AC BB C AB : BC CC qua B xB ; yB AB CC AB - Lập phương trình cạnh tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A; phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C tam giác AC : B BC : qua A xA ; y A AC AB BB BB AB : C qua A xA ; y A AB AC CC CC qua B xB ; yB qua C xC ; yC - Lập phương trình cạnh tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A; phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C tam giác Mô tả: - Dựng A’ đối xứng với A qua trọng tâm G - Ta có GA’ BC cắt trung điểm S - Suy BGCA’ hình bình hành - Suy BA’ song song CN; CA’ song song BM Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: 18 Hình học lớp 10 Người soạn: Bùi Thiện Chiến G CN BM A GA DG : A GA qua A xA ; y A AC : AB : A C / / BM B AB AB C N CN AB M xA yA xN yN BC : AB : xB yB xA yA qua B xB ; yB qua C xC ; yC ; AC : qua A x A ; y A AB / / CN AC AC AC xM yM BM xC yC qua A x A ; y A qua C xC ; yC qua B xB ; yB qua A x A ; y A - Lập phương trình cạnh tam giác ABC, biết phương trình hai cạnh tam giác AB , AC ; trung điểm M cạnh lại BC tam giác d1 : qua M xM ; yM d1 / / AB N d1 xB yB xN yN BC : AC xA yA d2 : M xC yC qua M xM ; yM d / / AC d2 AB xM yM xA yA qua B xB ; yB qua C xC ; yC Bài tập áp dụng Cho tam giác ABC, biết phương trình AB : x y 12 , phương trình hai đường cao BB :5x y 15 0, CC : x y Viết phương trình cạnh cịn lại tam giác ABC Cho tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A 3;0 , phương trình hai đường cao BB :3x 12 y 0, CC : x y Viết phương trình cạnh lại tam giác ABC Cho tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh A 1;3 , phương trình đường trung tuyến BM : x y 0, CN : y Viết phương trình cạnh lại tam giác ABC Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: 19 Hình học lớp 10 Cho tam giác ABC, biết phương trình Người soạn: Bùi Thiện Chiến AB : x y , phương trình hai đường trung tuyến AM : x y 0, BN : 2x y 11 Viết phương trình cạnh lại tam giác ABC Cho tam giác ABC, có M 1,1 trung điểm BC phương trình hai cạnh AB : 2x y 0, AC : x y Viết phương trình cạnh cịn lại tam giác ABC Cho tam giác ABC, có A 2; , phương trình đường cao BH :3x y 11 , phương trình đường trung tuyến CN : x y Viết phương trình cạnh cịn lại tam giác ABC Hướng dẫn: - Viết phương trình đường thẳng (AC) qua A vng góc đường thẳng (BH) - C giao điểm đường thẳng (AC) đường thẳng (CN) - Copyright to thuvientailieubuithienchien@gmail.com Trang: 20