ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM    ĐÀO THỊ THANH THUỶ LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2007 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM    ĐÀO THỊ THANH THUỶ LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : GS.TSKH.HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2007 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC trang Mở đầu Chương Kiến thức sở 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet 1.2 Trường số p - adic 1.3 Hàm chỉnh hình trường không Acsimet Chương Lý thuyết Nevanlinna trƣờng p - adic ………… …… 14 2.1 Các hàm đặc trưng Nevanlinna 14 2.2 Các định lý phân phối giá trị hàm phân hình 20 2.3 Tập xác định hàm phân hình 25 Chương Phƣơng trình hàm P(f) = Q(g) trƣờng p - adic 30 Kết luận .54 Tài liệu tham khảo 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Luận văn trình bày số kết Lý thuyết Nevanlinna ứng dụng phương trình hàm P( f ) = Q( g ) trường p adic Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Trình bày số kiến thức trường định chuẩn không Acsimet , trường số p - adic , số tính chất đặc biệt hàm phân hình trường không Acsimet áp dụng cho chương sau Chương 2: Nêu định nghĩa , số tính chất hàm đặc trưng Nevanlinna , hai định lý lý thuyết Nevanlinna số kết toán xác định tập hàm phân hình trường p - adic Chương 3: Trình bày số kết phương trình hàm P( f ) = Q( g ) trường p - adic Kết luận văn : Cho P , Q đa thức thuộc K[x] với P 'Q '  Xét hai hàm phân biệt f , g giải tích phân hình đĩa x  a  r ( tương ứng K ), thoả mãn P( f ) = Q( g ) Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị hàm phân hình Nevanlinna , đưa điều kiện đủ không điểm P ' ,Q ' để f g bị chặn đĩa x  a  r ( tương ứng số ) Trường hợp đặc biệt degP = 4, xét trường hợp riêng Q  P (  K ) đưa số điều kiện đặc trưng cho tồn hai hàm phân biệt khác f , g phân hình K thoả mãn P( f )  P( g ) Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình GS TSKH Hà Huy Khoái Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thành kính đến Thầy , Thầy không hướng dẫn nghiên cứu khoa học mà Thầy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thông cảm tạo điều kiện động viên suốt trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn khoa Toán , khoa sau Đại học trường đại học sư phạm Thái Nguyên , Viện toán học Việt Nam giúp đỡ tạo điều kiện để hoàn thành luận văn Cuối xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường CĐCN Việt Đức , đặc biệt đồng nghiệp khoa KHCB , gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ thời gian học hoàn thành luận văn Trong trình viết luận văn việc xử lý văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy cô, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên , tháng năm 2007 Học viên Đào Thị Thanh Thuỷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng Kiến thức sở 1.1.Trƣờng định chuẩn không Acsimet Định nghĩa 1.1.1 Giả sử K trường , chuẩn K hàm : K  R+ thoả mãn : i) x =  x = 0, ii) xy = x y ,  x, y  K, iii) x  y  x + y ,  x, y  K Chuẩn gọi chuẩn không Acsimet thoả mãn điều kiện iv) x  y  max { x , y },  x, y  K Một chuẩn K cảm sinh hàm khoảng cách d định nghĩa d(x,y) = x  y ,  x, y  K Nếu chuẩn không Acsimet mêtric cảm sinh d thoả mãn: d(x,y)  max {d(x,z) , d(z,y)},  x, y ,z  K mêtric ứng với chuẩn không Acsimet gọi siêu mêtric Ví dụ 1.1.2 Xét hàm : K  R+ 1  x x = 0  Khi , nÕu x  nÕu x  chuẩn không Acsimet K mêtric cảm sinh d : K  K  R+ 1 nÕu x  y  (x,y)  d(x,y) =  0 nÕu x  y  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn siêu mêtric Mêtric gọi mêtric tầm thưòng Ta xét số đặc trưng tôpô sinh chuẩn không Acsimet thông qua hình cầu sau: Với r  R+ ta định nghĩa hình cầu mở , đóng tâm a , bán kính r : K(a;r) =  x  K d(x,a) < r  K [a;r] =  x  K d(x,a)  r  Mênh đề 1.1.3 Giả sủ K trường định chuẩn không Acsimet Ta có : i ) Nếu b  K(a;r) K(a;r) = K(b;r) ii ) Hình cầu K(a;r) tập mở tập đóng iii ) Hai hình cầu mở (hình cầu đóng) rời chứa Trƣờng số p - adic1 Với p  Z , p số nguyên tố số nguyên a  biểu diễn dạng: a = p  a’ , với p không chia hết a’ , a’  Z \   Kí hiệu :  =  p (a) Vậy ta có hàm :  p :Z\    N a   p (a) Ta mở rộng hàm  với x =  a  Q sau Đặt : b  p (a)   p (b), nÕu x  p (x) =   , nÕu x  Với số nguyên p , xét  p : Q  R  +  x  xp = p , với  =  p (x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi , p chuẩn không Acsimet Q gọi chuẩn p - adic Mệnh đề 1.2.1(Ostrowski) Mọi chuẩn không tầm thường Q tương đương với hai chuẩn sau : 1) Chuẩn p - adic , với p số nguyên tố; 2) Giá trị tuyệt đối thông thường Như ta có hai hướng làm đầy trường số hữu tỷ Q + Làm đầy theo giá trị tuyệt đối thông thường ta thu trường số thực R + Làm đầy theo chuẩn p - adic ta thu trường số p - adic Cụ thể , xây dựng Q p đầy đủ hoá Q theo chuẩn p sau Dãy x n  gọi dãy Cauchy theo p   ,  n0  N cho  m , n > n0 xm  xn p   Hai dãy Cauchy x n  , y n  gọi tương đương xn  y n p  Với x n  dãy Cauchy theo p , ta kí hiệu xn  tập dãy Cauchy tương đương với xn  Đặt Q p tập tất lớp tương đương theo chuẩn p Trên Q p trang bị phép toán sau Với xn  , y n   Q p , ta định nghĩa: xn  + y n  = xn  y n  ; xn  y n  = xn y n  Ta thấy định nghĩa không phụ thuộc vào phần tử đại diện lớp tương đương Khi , Q p trường trường định chuẩn với chuẩn p Định nghĩa 1.2.2 Với   Q p x n   Q cho xn  =  ta xác định : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  p = lim xn p n  Chú ý định nghĩa xác định theo tính chất sau chuẩn p adic Mệnh đề 1.2.3 Q p đầy đủ hoá Q theo chuẩn Q Q p theo p p tập giá trị trùng , tập p n , n  Z  0 Tương tự trình đầy đủ hoá Q theo  , ta nhận trường Q p đầy đủ không đóng đại số Người ta giải vấn đề mở rộng trường sau Xét mở rộng chuẩn tắc Q p  K nhóm Galois G(K/ Q p ) Đặt: N K / Qp : K    Qp N K / Qp (  ) =  ( ) ,  G ( K / QP ) với  tự đẳng cấu K giữ nguyên phần tử Q p Chú ý bậc mở rộng trường [K : Q p ] = n N K / Q (  ) =  n ,   Q p p Mệnh đề 1.2.4 Giả sử K/ Q p mở rộng chuẩn tắc bậc n Khi tồn chuẩn không Acsimet K mở rộng chuẩn p - adic xác định sau : x  n N K / Q p ( x) trường K đầy đủ với chuẩn p , Đặt Q p trường đóng đại số Q p Trên Q p ta trang bị chuẩn không Acsimet sau : Với x  Q p , tồn mở rộng chuẩn tắc bậc n cho x  K, : x  n N K / Q p ( x) p Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chuẩn x không phụ thuộc vào tồn K Ta có kết sau : Mệnh đề 1.2.5 Hàm : Qp  R+ xác định chuẩn không Acsimet mở rộng chuẩn p - adic Q p Tuy nhiên, Q p không đầy đủ theo chuẩn Ta đầy đủ hoá Q p theo mệnh đề sau Mệnh đề 1.2.6 Tồn trường C p với chuẩn không Acsimet cho: i) Q p trù mật C p chuẩn không Acsimet mở rộng chuẩn Q p ban đầu; ii) C p đầy đủ với chuẩn C p trường đóng đại số 1.3 Hàm chỉnh hình trƣờng không Acsimet Ta kí hiệu K trường đóng đại số , đầy đủ với chuẩn không Acsimet có đặc số Các khái niệm dãy , chuỗi hội tụ dãy, chuỗi giống trường định chuẩn Acsimet Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet ta có số tính chất đặc biệt sau Bổ đề 1.3.1 Giả sử x n  dãy K Dãy x n  dãy Cauchy x n 1  x n = lim n  Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên theo định nghĩa dãy Cauchy Ta chứng minh điều kiện cần với n , p  N ta có : x n  p  x n = xn p  xn p 1  xn p 1  xn p 2   xn 1  xn   max xn p  xn p 1 , xn p 1  xn p 2 , , xn1  xn  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x n 1  x n = nên suy điều phải chứng minh Vì lim n   Từ tính chất theo định nghĩa hội tụ chuỗi số , chuỗi luỹ thừa , ta có tính chất sau: Mệnh đề 1.3.2 Chuỗi  a n 0 , an  K hội tụ lim an = n  n Khi ta có:  a n 0 Chuỗi luỹ thừa f(z) =  max a n n n  a n 0 n K hội tụ z z n , an  lim a n z n =0 n  Mệnh đề 1.3.3 Đặt  = , ta có : lim sup n a n i) Nếu  = f (z) hội tụ z = ii) Nếu  =  f (z) hội tụ với z  K a n  n  f (z) hội tụ z   iii) Nếu <  <  iv) Nếu <  <   an  n f (z) hội tụ z   Khi ,  gọi bán kính hội tụ chuỗi luỹ thừa f (z)  Tập chuỗi luỹ thừa f (z) =  a n z n , an  K thoả mãn với cấu trúc n 0 cộng nhân hai luỹ thừa vành , kí hiệu Ar (K ) Đặt A(K) = A (K ) - tập hàm nguyên K , Ar (K ) = { f (z) | bán kính hội tụ   r } Ta có : Ar (K ) =  s r As (K ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  a Định nghĩa 1.3.4 Với f (z) = n 0 n zn  A (K ) < r   , ta an r n định nghĩa số hạng lớn :  (r, f ) = max n0  (r, f ) = max n | a n r n   (r , f ) số ứng với số hạng lớn  (r, f ) Với r = , ta định nghĩa :  (0, f ) = lim  (r, f ) ; r 0   (0, f ) = lim  (r, f ) r 0  Từ định nghĩa số hạng lớn , ta có kết sau Mệnh đề 1.3.5 Với r > , hàm  (r,.) : Ar (K )  R+ thoả mãn : i)  (r, f )  ;  (r, f ) = f = ; ii)  (r, fg) =  (r, f )  (r, g ) ,  (r ,  f ) =   (r, f ) , với   K; iii) (r, f  g )  max {  (r, f ) ;  (r, g ) }; Khi ,  (r,.) chuẩn không Acsimet Ar (K ) iv) Ar (K ) đầy đủ với chuẩn  (r,.) ; v) Vành đa thức K[z] trù mật Ar (K ) theo  (r,.) Định lí 1.3.6 (Định lí Weierstrass) Với f  Ar (K ) \ 0 , r > , tồn đa thức : g (z) = b0 + b1z + + b z   K [z] với  =  (r, f ) chuỗi luỹ thừa :  h [z] = + c n 1 n zn , cn  K thoả mãn : i) f (z) = h(z) g(z), ii)  (r, g ) = b r  , iii) h  Ar (K ) , 10 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv)  (r, h  1) < (r, f  g ) <  (r, f ) Định nghĩa 1.3.7 Với U  K tập mở , hàm f : U  K gọi khả vi z0  U tồn : lim f ( z  h)  f ( z ) h 0 : f ' ( z ) h Hàm f gọi khả vi U f khả vi z  U Ta có mối liên hệ hàm f đạo hàm f ' sau:  Mệnh đề 1.3.8 Giả sử chuỗi f (z)=  a n z n có bán kính hội tụ   n 0 z  K Nếuf (z) hội tụ f ' (z) tồn : f ' ( z)   na z n 1 n n 1 Hơn f f ' có bán kính hội tụ  thoả mãn :  (r , f ' )   (r , f ) r , 0  r   Mệnh đề 1.3.9 Với dãy z n   K * : z n   tích vô hạn  f (z) = z  (1  z n 1 ) n hàm nguyên Ngược lại , giả sử f hàm nguyên khác đa thức f biểu diễn dạng :  f (z) = azm  (1  n 1 z ) zn với m > , a  K , zn  , z n   f (zn) = Hệ 1.3.10 Nếu f hàm nguyên khác đa thức f có vô số không điểm ; Nếu f hàm nguyên không điểm f hàm hằng; Tồn ước chung lớn họ hữu hạn hàm nguyên 11 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hệ 1.3.11 Giả sử f , g  A(K ) \ 0 Nếu f g hàm f g hàm Giả sử f, g  A(d (a, r )) \ 0 Nếu f g bị chặn f g hàm bị chặn Định nghĩa 1.3.12 Giả sử D tập vô hạn K , R(D) tập hàm hữu tỉ h cực điểm D Khi , với h  R(D) đặt : h D  sup h( z ) zD Kí hiệu , H (D)là đầy đủ hoá R(D) theo tô pô sinh chuẩn hội tụ D Mỗi phần tử H (D)được gọi hàm giải tích D Khi , H (D)là K - không gian véc tơ hàm giải tích D giới hạn dãy hàm hữu tỉ  R(D) Mệnh đề 1.3.13 Với r  R+ , ta có H (K [0;r]) = Ar (K ) Chứng minh Vì vành đa thức K [z] trù mật Ar (K ) nên ta suy : Ar (K )  H (K [0;r] ) (*) Ngược lại , với  a  K \ K [0;r] , k  Z+ ta có: ( k  z )  (  ( ) n ) k za a n 0 a a  z a = ( ) k  bn ( ) n  Ar (K ) , với bn  Z+ n 0 Vì a > r nên suy ra: bn n r r  ( )n  n a a Do đó: ( k )  Ar (K ) za hay R (K [0;r])  Ar (K ) (**) Mặt khác ,  (r, f ) liên tục r nên ta suy ra: 12 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn sup f ( z )   (r , f ) ,với  r   z r Do ta có: f Vì K [ 0; r ] K [ 0,r ]   (r , f ) , f  Ar (K ) Ar (K ) đầy đủ với chuẩn  (r,.) nên Ar (K ) đầy đủ với chuẩn Do từ (**) ta suy Ar (K )  H (K [0;r] ) Kết hợp với (*) ta  điều phải chứng minh Định nghĩa 1.3.14 Giả sử D  K điểm cô lập Hàm f : D  K gọi giải tích địa phương với a  D,  r  R+ , a n   K cho : f (z) =  a n 0 n ( z  a) n , z  D  K a; r  Mệnh đề 1.3.15 Nếu hàm f giải tích địa phương tập mở D có đạo hàm cấp D Điểm z0  D nghiệm bội q f : f (n) (z0) = ,  n < q f (q) (z0)  Định nghĩa 1.3.16 Với tập D  K điểm cô lập Hàm f : D  K   gọi hàm phân hình D tồn tập đếm S  D , S điểm giới hạn D cho f hàm chỉnh hình D \ S Kí hiệu M (D) tập hàm phân hình D Định nghĩa 1.3.17 Với tập D  K điểm cô lập Hàm f : D  K   gọi hàm phân hình địa phương D với  a  D , r  R+ , q  Z+ an  K cho:  f(z) = a n q n ( z  a ) n , z  D  K [a ; r ] Vậy hàm phân hình hàm phân hình địa phương Đặt M(  (K) = M(K(0 ;  )) Ta có kết sau : 13 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 1.3.18 Giả sử f  M(  (K) , tồn g , h  A(  (K) cho f  g : h  (r , f )   (r , g )  (r , h) ,0  r   Đặc biệt : f  (r , )   (r , f ) Mệnh đề 1.3.19 Với < r <  , hàm  (r , ) : M(  (K)  R+ thoả mãn : i)  (r, f ) = f = ii)  (r , f1  f )  max {  (r , f1 ) ,  (r , f ) } iii)  (r , f1 f ) =  (r , f1 )  (r , f ) 14 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng LÝ THUYẾT NEVANLINNA TRÊN TRƢỜNG P - ADIC Trong chương , ta xét K trường đóng đại số , đầy đủ với chuẩn không Acsimet có đặc số 2.1 Các hàm đặc trƣng Nevanlinna Định nghĩa 2.1.1 Giả sử f  A(  ( K ) ,     f (z) =  a n m n zn , ( m  , am  ) , a  K Ta định nghĩa : + n (r , ) : f a z  K[0 ;  r ] : f ( z)  a  hàm đếm số không điểm (kể bội ) f - a đĩa K[0;r] + n( r , ) hàm đếm số không điểm phân biệt f - a đĩa f a K[0;r] + Với     , hàm : N (r , ) : f a n(t , r  0 ) f a dt , (   r   ) t gọi hàm giá trị f - a đĩa K [0;r] Mệnh đề 2.1.2 Với f (z) =  a n m n z n  Ar (K ) ,  (r, f ) số ứng với số hạng lớn  (r, f ) , ta có : n ( r , ) =  (r , f ) f Chứng minh Theo định lí 1.3.6 (định lí Weierstrass) tồn đa thức 15 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn g (z) = b0 + b1z + + b z   K [z] với  =  (r, f ) chuỗi luỹ thừa  h [z] = + c n 1 n , cn  K zn thoả mãn : i) f (z) = h (z) g (z) , ii)  (r, g ) = b r  , iii) h  Ar (K ) , iv)  (r, h  1) < Để chứng minh n(r , ) =  (r, f ) , ta chứng minh với   K : g(  ) = f   r tồn   K : h(  ) =   r Giả sử   K : g(  ) = , tồn i  v cho bi    ( , g )  b  i  Suy   r : bi  b   i  b r  i , Tức : bi r i  b r  i r i  b r  (mâu thuẫn với ii) Vậy   r (1) Mặt khác , giả sử tồn   K : h(  ) = Khi , tồn n > cho cn  n  Do   r c n   n  rn Từ suy ra: 16 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cn r n  n r 1, rn điều mâu thuẫn với  (r, h  1) < Vậy - điểm hàm h không thuộc đĩa K[0;r] (2) Từ (1), (2) ta suy n ( r , ) =  (r , f ) f  Mệnh đề 2.1.3 Giả sử f  Ar (K ) có k - điểm (kể bội ) K[0;r], k  Khi với b  f (K [0;r]) f - b có k - điểm (kể bội) K[0;r] Chứng minh Giả sử f (z) =  a n m n z n Theo định lí 1.3.6 ta có : k =  (r, f ) an r n  ak r k , n  k ; an r n  ak r k , n  k Với b  f (K [0;r]) , ta có : a0  b  f (0)  b   (r , f ( z )  b)  a k r k Do đó: (r, f  b) = k =  (r, f ) Theo định lí 1.3.6, f - b có k - điểm  đĩa K [0;r] Từ mệnh đề 2.1.3 , ta suy số tính chất hàm giá trị hàm phân sau: Hệ 2.1.4 Giả sử f  A(  ( K ), (0    ) không bị chặn b  K , ta có: N (r , 1 )  N (r , )  O(1), f b f (r   ) Hệ 2.1.5 Giả sử f hàm nguyên khác b  K , ta có: N (r , 1 )  N (r , )  O(1), f b f (r   ) 17 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta xây dựng hàm đặc trưng cho hàm phân hình Cố định r , < r <    f  M(  (K) Khi , tồn f0, f1  Ar (K ) , với f0 , f1 nhân tử chung vành Ar (K ) cho f = f0 f1 Định nghĩa 2.1.6 Với a  K   , ta định nghĩa : + Hàm đếm số - điểm (kể bội) f - a đĩa K [0;r] xác định :   n ( r , f )  n ( r, f ) ,  n( r , ) =  f a n ( r , ) ,  f1  af0 nÕu a   nÕu a   + Hàm giá trị f - a đĩa K [0;r] xác định :  N ( r , f )  N ( r, f ) , nÕu a    N (r , ) =  f a N ( r , ) , nÕu a    f1  af0 Mệnh đề 2.1.7 Với f  M(  (K) , ta có : N (r , ) - N (r, f ) = log  (r , f )  log  (  , f ) , với <  < r   f (Công thức Jensen) Chứng minh Với f  A(  (K ) , ta kí hiệu: r N (r, f  a) =  n(t , 1 )  n(0, ) f a f a dt  n(0, ) log r , với < r <  t f a Khi ta có: N (r, f  a) - N (  , f  a ) = N (r , )  f a 18 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... K và a n  n  0 thì f (z) hội tụ khi và chỉ khi z   iii) Nếu 0 <  <  iv) Nếu 0 <  <   và an  n 0 thì f (z) hội tụ khi và chỉ khi z   Khi đó ,  được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa f (z)  Tập các chuỗi luỹ thừa f (z) =  a n z n , an  K thoả mãn với cấu trúc n 0 cộng và nhân hai luỹ thừa là một vành , kí hiệu là Ar (K ) Đặt A(K) = A (K ) - tập các hàm nguyên trên K , và. .. Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi z  U Ta có mối liên hệ giữa hàm f và đạo hàm f ' như sau:  Mệnh đề 1.3.8 Giả sử chuỗi f (z)=  a n z n có bán kính hội tụ   0 và n 0 z  K Nếuf (z) hội tụ thì f ' (z) tồn tại và : f ' ( z)   na z n 1 n n 1 Hơn nữa f và f ' có cùng bán kính hội tụ  và thoả mãn :  (r , f ' )  1  (r , f ) r , 0  r   Mệnh đề 1.3.9 Với dãy z n  ... f ) = 0 khi và chỉ khi f = 0 ii)  (r , f1  f 2 )  max {  (r , f1 ) ,  (r , f 2 ) } iii)  (r , f1 f 2 ) =  (r , f1 )  (r , f 2 ) 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng 2 LÝ THUYẾT NEVANLINNA TRÊN TRƢỜNG P - ADIC Trong chương này , ta xét K là trường đóng đại số , đầy đủ với chuẩn không Acsimet có đặc số 0 2.1 Các hàm đặc trƣng Nevanlinna ...x n 1  x n = 0 nên suy ra điều phải chứng minh Vì lim n   Từ các tính chất trên và theo định nghĩa sự hội tụ của chuỗi số , chuỗi luỹ thừa , ta có các tính chất sau: Mệnh đề 1.3.2 Chuỗi  a n 0 , an  K hội tụ khi và chỉ khi lim an = 0 n  n Khi đó ta có:  a n 0 Chuỗi luỹ thừa f(z) =  max a n n n  a n 0 n K hội tụ tại z khi và chỉ khi z n , an  lim a n z n =0 n  1 Mệnh... 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  a Định nghĩa 1.3.4 Với f (z) = n 0 n zn  A (K ) và 0 < r   , ta an r n định nghĩa số hạng lớn nhất :  (r, f ) = max n0 và  (r, f ) = max n | a n r n   (r , f ) là chỉ số ứng với số hạng lớn nhất  (r, f ) Với r = 0 , ta định nghĩa :  (0, f ) = lim  (r, f ) ; r 0   (0, f ) = lim  (r, f ) r 0  Từ... điều phải chứng minh Định nghĩa 1.3.14 Giả sử D  K không có điểm cô lập Hàm f : D  K được gọi là giải tích địa phương nếu với mỗi a  D,  r  R+ , a n   K sao cho : f (z) =  a n 0 n ( z  a) n , z  D  K a; r  Mệnh đề 1.3.15 Nếu hàm f giải tích địa phương trên tập mở D thì nó có đạo hàm mọi cấp trên D Điểm z0  D là nghiệm bội q của f nếu và chỉ nếu : f (n) (z0) = 0 ,  n < q và f (q)... hàm  (r,.) : Ar (K )  R+ thoả mãn : i)  (r, f )  0 ;  (r, f ) = 0 khi và chỉ khi f = 0 ; ii)  (r, fg) =  (r, f )  (r, g ) , do đó  (r ,  f ) =   (r, f ) , với   K; iii) (r, f  g )  max {  (r, f ) ;  (r, g ) }; Khi đó ,  (r,.) là một chuẩn không Acsimet trên Ar (K ) và iv) Ar (K ) đầy đủ với chuẩn  (r,.) ; v) Vành đa thức K[z] trù mật trong Ar (K ) theo  (r,.) Định lí 1.3.6 (Định... Với f (z) =  a n m n z n  Ar (K ) ,  (r, f ) là chỉ số ứng với số hạng lớn nhất  (r, f ) , ta có : 1 n ( r , ) =  (r , f ) f Chứng minh Theo định lí 1.3.6 (định lí Weierstrass) tồn tại một đa thức 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn g (z) = b0 + b1z + + b z   K [z] với  =  (r, f ) và một chuỗi luỹ thừa  h [z] = 1 + c n 1 n , cn  K zn... chuỗi luỹ thừa  h [z] = 1 + c n 1 n , cn  K zn thoả mãn : i) f (z) = h (z) g (z) , ii)  (r, g ) = b r  , iii) h  Ar (K ) , iv)  (r, h  1) < 1 Để chứng minh 1 n(r , ) =  (r, f ) , ta chứng minh với   K : g(  ) = 0 f thì   r và nếu tồn tại   K : h(  ) = 0 thì   r Giả sử   K : g(  ) = 0 , khi đó tồn tại i  v sao cho bi    ( , g )  b  i  Suy ra nếu   r thì : bi  b... ( K ), (0    ) không bị chặn và b  K , ta có: N (r , 1 1 )  N (r , )  O(1), f b f (r   ) Hệ quả 2.1.5 Giả sử f là hàm nguyên khác hằng và b  K , ta có: N (r , 1 1 )  N (r , )  O(1), f b f (r   ) 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta xây dựng các hàm đặc trưng cho hàm phân hình Cố định r , 0 < r <    và f  M(  (K) Khi đó , tồn tại