TS MAI XUÂN VINH (Chủ biên) PHẠM KIM CHUNG – PHẠM CHÍ TUÂN ĐÀO VĂN CHUNG – DƯƠNG VĂN SƠN K2P.NET.VN Dành cho học sinh khối THPT Dành cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia Tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI MỤC LỤC CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH I PHƯƠNG PHÁP THẾ ĐẠI SỐ II PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ 36 III PHƯƠNG PHÁP TẠO NHÂN TỬ BẰNG KỶ THUẬT CỘNG, TRỪ, NHÂN CHÉO 193 IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ HĨA 229 Ẩn phụ hóa với hệ hữu tỷ 229 Ẩn phụ hóa với hệ chứa thức 270 V HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 296 VI HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 357 CHƯƠNG II SUY LUẬN TÌM LỜI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG KỸ NĂNG ĐẶC BIỆT HÓA A TÌM MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN TRÊN MỘT PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỆ 413 B HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CĨ MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN TRÊN MỘT PHƯƠNG TRÌNH 457 CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG HP A MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG 470 B PHỤ LỤC 520 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình B PHỤ LỤC SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO–FX 570ES A PHƢƠNG TRÌNH BẬC CAO Tìm nghiệm hữu tỷ phƣơng trình bậc cao Thí dụ Tìm nghiệm phương trình: x4  13 x3  15 x2  x   1.1 1.2 1.3 THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH CASIO ALPHA ) 1.4 x 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 (REPLAY)  ALPHA ) 1.12 x 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 (REPLAY)  + ALPHA ) 1.20 x2 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 ALPHA ) + ALPHA CALC SHIFT CALC = THỨ TỰ 520 KẾT QUẢ HIỂN THỊ Ý NGHĨA X Viết ẩn X CaSiO 6X4 6X4  6X4  13X3 6X4  13X3  15X2 Viết phương trình cho máy tính CaSiO 6X4  13X3  15X2  9X 6X4  13X3  15X2  9X  6X4  13X3  15X2  9X   6X4  13X3  15X2  X  0.6666666667 R  Nghiệm phương trình cho Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt x  Bình luận.Từ việc biết trước nghiệm phương trình cho, ta dễ dàng đưa phương trình   dạng tích: 3 x  2 2x3  3x2  x   Tìm nhân tử phƣơng trình bậc cao có nghiệm vơ tỷ Phƣơng án 01: Sử dụng chức TABLE Thí dụ 1.Tìm nhân tử phương trình: x4  2x3  x2   THỨ TỰ NỘI DUNG THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH CASIO KẾT QUẢ HIỂN THỊ Ý NGHĨA Tương tự bước 2.a.1 x4  2x3  x2   X4  2X3  X2   từ: 1.1 máy tính CaSiO đến 1.28 Thực X4  2X3  X2   lại Phương trình Gán giá trị: bước có nghiệm 2.a.2 Solve for X là: X  1.618033989 từ1.29đến chờ kết quả… 1.618033989 R  1.32  Chú ý: Chúng ta khơng quy đổi kết quảđó có giá trị xác màđi tìm nhân tử phương trình ban đầu dựa vào kết quảđó Viết phƣơng trình 2.a.3 2.a.4 2.a.4 2.a.5 Gán biến X cho biến A ALPHA ) SHIFT RCL XA 2.a.6 (–) 2.a.7 MODE SETU P 1.618033989 2.a.8 2.a.9 2.a.10 2.a.11 Kiểm tra giá trị hàm số f  X   A  AX khoảng  9;  cách đơn vị Nhập hàm số f(X) = ALPHA (–) x2 f  X   A2 521 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình 2.a.12 – 2.a.13 ALPHA 2.a.14 (–) 2.a.15 ALPHA 2.a.16 ) 2.a.17 = f  X   A  AX Start ? Giá trị bắt đầu 2.a.18 – 2.a.19 2.a.20 = Bắt đầu bằng: –9 End ? Giá trị kết thúc 2.a.21 2.a.22 = Kết thúc là: Step ? Cách 1đơn vị 2.a.23 2.a.24 Kiểm tra giá trị F(X) thể bảng Chúng ta quan tâm đến giá trị F(X) ngun Kết quả: X … 11 … = Phƣơng trình có nhân tử x2  x    Phƣơng trình có nhân tử là: x2  x   Đƣa phƣơng trình dạng tích: x Đề xuất: Phương pháp giải tốn  F(X)    x  x2  x   Chú ý : Cách làm nhanh, nên áp dụng cho phương trình bậc bốn có hệ số a  Phƣơng án 02: Sử dụng chức RCL (gán biến) Thí dụ 2:Tìm nhân tử phương trình: 16 x4  112x3  284 x2  212x  39  THỨ TỰ 522 NỘI DUNG THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH CASIO KẾT QUẢ HIỂN THỊ Ý NGHĨA Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Viết phƣơng trình 3.b.1 16 x4  112 x3  284 x2 212 x  39  máy tính CaSiO 3.b.2 Tương tự bước từ: 1.1 đến 1.14 Thực lại bước từ 1.15 đến 1.18 Gán giá trị: Solve for X là: chờ kết quả… 16X4  112X3  284 X2 212X  39  16X4  112X3  284 X2 212X  39  X = 0.1513878189 R  Phương trình có nghiệm 0.1513878189 Tìm nghiệm phương trình gán biến X cho biến A 3.b.3 ALPHA 3.b.4 ) 3.b.5 3.b.6 SHIFT Gán biến X cho biến A RCL XA 3.b.7 (–) 0.1513878189 Tìm nghiệm khác phương trình gán biến X cho biến B Viết phƣơng trình 16 x  112 x  284 x 212 x  39  3.b.8 máy tính CaSiO 3.b.9 Gán giá trị: Solve for X là: – chờ kết quả… Tương tự bước từ: 1.1 đến 1.14 Thực lại bước từ1.15 đến 1.18 3.b.10 ALPHA 3.b.11 ) 3.b.12 Gán biến X cho biến B 16X4  112X3  284 X2 212X  39  16X4  112X3  284 X2 212X  39  X = –1.651387819 R  Phương trình có nghiệm –1.651387819 SHIFT 3.b.13 RCL 3.b.14 ,,, X B –1.651387819 523 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình Nhận thấy biến A biến B có giá trị khác Ta tiếp tục thực nhƣ sau: (Chúý: Nếu bước: 3.b.9 cho kết giống với bước 3.b.2 ta cần gán giá trịSolve for X khác) 3.b.15 ALPHA 3.b.16 (–) 3.b.17 + 3.b.18 Tìm tổng: A+B A ALPHA 3.b.19 ,,, 3.b.20 = 3.b.21 ALPHA 3.b.22 3.b.23 (–) X 3.b.24 ALPHA A+B A+B 3.b.25 Tìm tích: A.B ,,,  AxB AxB 3.b.26 = Nhân tử phƣơng trình cho là:  Kết quả: 1  x2   A  B  x  A.B , tức là:  x2  x   4  Đƣa phƣơng trình cho dạng tích: Đề xuất: Phương pháp giải tốn  524 4 x    x  x2  22x  39  Chú ý : Trong trường hợp A  B A.B khơng hữu tỷ, ta tiếp tục tìm nghiệm gán cho biến C sau thử với A  C B  C để tìm xem tổng có kết hữu tỷ Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt B PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ Tìm nghiệm hữu tỷ phƣơng trình vơ tỷ Thí dụ Tìm nghiệm phương trình: x2  x   THỨ TỰ THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH CASIO KẾT QUẢ HIỂN THỊ Ý NGHĨA 1.1 1.2 ALPHA ) X Viết ẩn X CaSiO 1.3 x2 X2 1.4 + X2 + 1.5  X2+  1.6 X2+ 1.7 1.8 ALPHA ) X2+ 3X 1.9 – X2+ 3X  1.10 X2+ 3X  1.11 (REPLAY)  X2+ 3X  1.12 ALPHA 1.13 CALC 1.14 Viết 3X CaSiO Đưa dấu nhắc ngồi thức X2+ 3X  = Viết phương trình: X + 3X  =2 x2  3x   lên máy tính CasiO 1.15 SHIFT 1.16 CALC 1.17 Solve for X X2 + 3X  = 1.18 = X=1 Ở bước 1.17 nhập giá trị Nghiệm phương trình x  R   Bình luận.Việc biết trước nghiệm phương trình vơ tỷ quan trọng q trình tìm lời giải cho tốn phương trình vơ tỷđó Máy tính CaSiO giúp trả lời câu hỏi nghiệm phương trình cách nhanh chóng 525 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình Kiểm tra số nghiệm phƣơng trình vơ tỷ Thí dụ Tìm tất nghiệm phương trình: x2   2x  THỨ TỰ NỘI DUNG Viết phƣơng trình 2.a.1 2.a.2 x2   2x  máy tính CaSiO Gán giá trị: Solve for X là: chờ kết quả… THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH CASIO KẾT QUẢ HIỂN THỊ Tương tự bước từ: 1.1 đến 1.14 X2   2X  Thực lại bước từ1.15 đến 1.18 Can’t Solve  AC : Cancel    : Goto Ý NGHĨA Phƣơng trình vơ nghiệm  Chú ý: Khi gặp trường hợp để chắn bạn nên thử gán Solve for X với giá trị khác (Giá trị nên chọn giá trị ngun lân cận X   , chọn là0 chẳng hạn) X2   2X  2.a.3  (REPLAY) 2.a.4 SHIFT Solve for X CALC 2.a.5 Gán giá trị: Solve for X là: 2.a.6 Can’t Solve 2.a.7 526 Quay bƣớc hiển thị phƣơng trình =  AC : Cancel    : Goto Dựđốn Phƣơng trình cho vơ nghiệm Đề xuất: Phương pháp giải tốn Hàm số, đánh giá Phƣơng trình vơ nghiệm Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  Thí dụ Tìm tất nghiệm phương trình: 23 x    x   THỨ TỰ NỘI DUNG Viết phƣơng trình 23 3x  2.b.1 2.b.2 3  x   máy tính CaSiO Gán giá trị: Solve for X chờ kết quả… THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH CASIO Tương tự bước từ: 1.1 đến 1.14 Thực lại bước từ1.15 đến 1.18 KẾT QUẢ HIỂN THỊ Ý NGHĨA 23 3X    5X   23 3X    5X   X  R  –2 Phƣơng trình có nghiệm x  2  Chú ý: Ta tiếp tục kiểm tra xem phương trình có nghiệm khác ngồi x  2 cách gán Solve for X giá trị khác lân cận X  2.b.3 2.b.4 Gán giá trị: Solve for X là: 2.b.5 SHIFT Solve for X CALC –2 23 3X    5X   2.b.6 = X  R  –2 Phƣơng trình có nghiệm x  2 Dự đốn Phƣơng trình cho có nghiệm x  2 Đề xuất: Phương pháp giải tốn Liên hợp, đánh giá, hàm số 527 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình  Thí dụ 3.Tìm tất nghiệm phương trình: THỨ TỰ NỘI DUNG x  x  1  x  x    x THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH CASIO KẾT QUẢ HIỂN THỊ Tương tự bước từ: 1.1 đến 1.14 X  X  1  X  X    X Ý NGHĨA Viết phƣơng trình x  x  1 2.c.1  x  x  2  x2 2.c.2 máy tính CaSiO Gán giá trị: Solve for X chờ kết quả… Thực lại bước từ1.15 đến 1.18 X  X  1  X  X    X X  R  0 Phƣơng trình có nghiệm x   Chú ý: Ta tiếp tục kiểm tra xem phương trình có nghiệm khác ngồi x  cách gán Solve for X giá trị khác lân cận X  2.c.3 2.c.4 2.c.5 Gán giá trị: Solve for X là: SHIFT Solve for X CALC X  X  1  X  X    X 2.c.6 = X  R  1.125 Phƣơng trình có nghiệm x  Chú ý: Ta tiếp tục kiểm tra xem phương trình có nghiệm khác ngồi x  x  cách gán Solve for X giá trị khác lân cận X  2 2.c.7 SHIFT Solve for X Gán giá trị: 2.c.8 CALC Solve for X là: –3 – 2.c.9 1.125 X  X  1  X  X    X 2.c.10 528 = X  R  Phƣơng trình có nghiệm x  Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Dự đốn Đề xuất: Phương pháp giải tốn Phƣơng trình cho có nghiệm x  x    Nhân liên hợp đƣa dạng: x2  f  x    Chú ý: Chúng ta sử dụng liên tục nút SHIFT CALC để thử khoảng chứa nghiệm phương trình Việc thử nhiều giá trị (Solve for X) nhận đốn kết xác! Tìm nhân tử phƣơng trình có nghiệm vơ tỷ Phƣơng án 01: Sử dụng chức TABLE  Thí dụ 1.Tìm nhân tử phương trình: x2  x4  x2  2x  THỨ TỰ NỘI DUNG THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH CASIO KẾT QUẢ HIỂN THỊ Ý NGHĨA Tương tự 3.a.1 X2  X4  X2  2X  x2  x4  x2  2x  bước từ: 1.1 máy tính CaSiO đến 1.14 Thực X2  X4  X2  2X  lại Phương trình Gán giá trị: có nghiệm 3.a.2 Solve for X là: bước X  1.618033989 chờ kết quả… 1.618033989 từ1.15 R  đến 1.18  Chú ý: Chúng ta khơng quy đổi kết quảđó có giá trị xác màđi tìm nhân tử phương trình ban đầu dựa vào kết quảđó Viết phƣơng trình 3.a.3 3.a.4 3.a.4 3.a.5 Gán biến X cho biến A ALPHA ) SHIFT RCL XA 3.a.6 (–) 1.618033989 3.a.7 Kiểm tra giá trị hàm số f  X   A  AX MODE SET UP 3.a.8 khoảng  9;  3.a.9 cách đơn vị ALPHA Nhập hàm số f(X) = 529 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình 3.a.10 (–) 3.a.11 x2 3.a.12 – 3.a.13 ALPHA 3.a.14 (–) 3.a.15 ALPHA 3.a.16 ) 3.a.17 = f  X   A2 f  X   A  AX Start ? Giá trị bắt đầu 3.a.18 – 3.a.19 3.a.20 = Bắt đầu bằng: –9 End ? Giá trị kết thúc 3.a.21 3.a.22 = Kết thúc là: Step ? Cách 1đơn vị 3.a.23 3.a.24 Kiểm tra giá trị F(X) thể bảng Chúng ta quan tâm đến giá trị F(X) ngun Kết quả: X = … 11 … F(X) Phƣơng trình có nhân tử x2  x    Phƣơng trình có nhân tử là: x2  x   Nhân liên hợp đƣa phƣơng trình dạng: Đề xuất: Phương pháp giải tốn  x   x  f  x  Nhận xét: Phương án 01 chỉđưa vềđược phương trình: x2 – mx + n = (m, n  N), khơng đưa vềđược phương trình: x2 – px + q = (p, q  Q) Ngun nhân: Trên bảng TABLE ta cho Step? nhận giá trị là1 nên máy tính kiểm tra giá trị biến X ngun cách đơn vị 530 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phƣơng án 02: Sử dụng chức RCL (gán biến)  Thí dụ 2:Tìm nhân tử phương trình: x2  14 x  11  x  10 THỨ TỰ THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH CASIO NỘI DUNG Viết phƣơng trình 3.b.1 4 x  14 x  11   16  x  10  Tương tự bước từ: 1.1 đến 1.14 KẾT QUẢ HIỂN THỊ 4X Ý NGHĨA  14X  11   16  6X  10  máy tính CaSiO 3.b.2 Gán giá trị: Solve for X là: chờ kết quả… Thực lại bước từ1.15 đến 1.18 4X  14X  11  Phương trình có nghiệm 0.1513878189  16  6X  10  X = 0.1513878189 R  Tìm nghiệm phương trình gán biến X cho biến A 3.b.3 ALPHA 3.b.4 ) 3.b.5 3.b.6 Gán biến X cho biến A SHIFT RCL XA 3.b.7 (–) 0.1513878189 Tìm nghiệm khác phương trình gán biến X cho biến B Viết phƣơng trình 3.b.8 4 x  14 x  11   16  x  10  máy tính CaSiO 3.b.9 3.b.10 Gán giá trị: Solve for X là: – chờ kết quả… Gán biến X cho biến Tương tự bước từ: 1.1 đến 1.14 Thực lại bước từ1.15 đến 1.18 4X  14X  11   16  6X  10  4X  14X  11   16  6X  10  X = –1.651387819 Phương trình có nghiệm –1.651387819 R  ALPHA 531 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình B 3.b.11 ) 3.b.12 SHIFT 3.b.13 RCL 3.b.14 ,,, X B –1.651387819 Nhận thấy biến A biến B có giá trị khác Ta tiếp tục thực nhƣ sau: (Chúý: Nếu bước: 3.b.9 cho kết giống với bước 3.b.2 ta cần gán giá trịSolve for X khác) 3.b.15 ALPHA 3.b.16 (–) 3.b.17 + 3.b.18 Tìm tổng: A+B A ALPHA ,,, A+B 3.b.20 = A+B  3.b.21 ALPHA 3.b.22 3.b.23 (–) X 3.b.24 ALPHA 3.b.19 3.b.25 Tìm tích: A.B ,,, AxB AxB 3.b.26 = Nhân tử phƣơng trình cho là:  Kết quả: Đề xuất: Phương pháp giải tốn  1  x2   A  B  x  A.B , tức là:  x2  x   4  Nhân liên hợp, đƣa phƣơng trình dạng: 1   x  x  .f  x    Nhận xét: Điểm mạnh phương án 02 tìm nhân tửđối với phương trình khơng chứa thức (phương trình sau phép lũy thừa) Ngun nhân: Một phương trình vơ tỷ có nghiệm, nghiệm khơng thỏa mãn điều kiện Vì máy tính tựđộng loại bỏ nó! 532 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Kiểm tra miền giá trị hàm số chức TABLE  Thí dụ Kiểm tra miền giá trị hàm số: f  x  2x2  11x  21  3 x  nêu định hướng cách giải phương trình: 2x2  11x  21  3 x   (VMO–1995) – Bƣớc 1: Kiểm tra phương trình có nghiệm x  (xem mục B) – Bƣớc 2: Kiểm tra miền giá trị hàm số f  x   2x2  11x  21  3 x  khoảng (–9; 9) cách đơn vị THỨ TỰ NỘI DUNG THAO TÁC TRÊN MÁY TÍNH CASIO KẾT QUẢ HIỂN THỊ Kiểm tra TABLE hàm số f  x   x2  11x 4.a.1 21  3 x  khoảng (–9; 9) cách đơn vị … 12 13 14 … 19 Tương tự bước từ: 3.a.7 đến 3.a.22 Ý NGHĨA X –9 –8 … F(X) 292.25 246.9 … 2.2377 2.1317 74.475 Tại vị trí13 ta thấy X=3 F(X)=0, nghĩa phương trình có nghiệm x3 Các giá trị lại X ln cho giá trịF(X)>0 Bƣớc 3: Kiểm tra giá trị X khoảng (2;4) với độ rộng 0.1 (lân cận nghiệm x  ) Viết hàm số 4.a.2 f  x   x2  11x 21  3 x  TABLE Tương tự bước từ: 3.a.7 đến 3.a.16 f  X   2X2  11X 21  3 4X  Start ? 4.a.3 = 4.a.4 4.a.5 Kiểm tra giá trị X khoảng (2;4) với độ rộng 0.1 Bắt đầu với x2 End ? = 4.a.6 4.a.7 = Kết thúc với x  Step ? 533 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình 4.a.8 4.a.9  4.a.10 Kiểm tra giá trị cách khoảng 0.1 X 4.a.11  Kiểm tra dấu F(X) thể bảng = … 10 11 12 … 21 2.1 … 2.9 3.1 F(X) 2.2377 1.804 … 0.0217 0.0216 2.1317 Các giá trị X khác bảng ln làm cho F(X) > Nhận định: 2x2  11x  21  3 x   0, x  R Đề xuất: Phương pháp giải tốn Đánh giá, hàm số, liên hợp Nhận xét: Trong q trình giải tốn, gặp phải phương trình cần sử dụng phương pháp đánh giáđể giải trọn vẹn tốn Chức kiểm tra giá trị F(X) bảng TABLE giúp có nhận định xác như: f(x) > hay f(x) < 0, hàm số cóđơn điệu khơng? …  Chú ý: Nếu giá trị F(X) tăng dần theo giá trị X chứng tỏ hàm sốđồng biến, giá trịF(X) giảm dần giá trị X tăng dần chứng tỏ hàm số nghịch biến Khơng nên thử giá trị ngồi tập xác định, khơng nhận kết với giá trịđó 534