Đang tải... (xem toàn văn)
Bất đẳng thức 3 biến đối xứng nhỏ hơn hoặc bằng 8 Bất đẳng thức 3 biến đối xứng có hình thức đẹp và nhiều ý tưởng giải hay. Có lẽ vì thế mà chúng xuất hiện nhiều trong các kỳ thi trong và ngoài nước. Đã có khá nhiều phương pháp mạnh giải quyết loại bài toán này như: SCHUR, SOS, SS, MV, EV , GLA,PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN…..Trong bài viết này tôi sẽ trình bày một phương pháp mới gần gũi hơn với học sinh THPT “PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SỐ BẬC 1, BẬC 2”.
Bất đẳng thức biến đối xứng nhỏ Bất đẳng thức đối xứng biến 1.1 Cơ sở lý thuyết Chúng ta biết hàm số bậc đạt giá trị lớn hay nhỏ biên Hàm số bậc hệ số a dương đạt giá trị lớn biên hệ số a âm đạt giá trị nhỏ tạ biên Dựa vào đặc điểm ta quan tâm việc tìm đặc điểm biên biến toán nhiều biến số Cụ thể hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ có biến biến bàng Trước hết ta xét toán sau Bài toán Cho số thực không âm thõa mãn Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Xét phương trình Ta cần tìm r để phương trình (1) có nghiệm không âm Đặt có nghiệm và Vì (1) có nghiệm không âm Nên phương trình Hay Từ ta có giá trị lớn Dấu đẳng thức xảy hoán vị Dấu đẳng thức xảy khi: hoán vị Nhận xét Lời giải toán lạ ta nhìn xoáng qua Xong để ý dấu đẳng thức xảy khai thác ta có cách nhìn tổng quát dạng toán tiêu đề viết Bài toán 2.(tổng quát toán 1) Cho số thực không âm thõa mãn Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức theo Gợi ý: Tương tự lời giải toán ta có kết Bây ta vào trọng tâm viết Tìm đặc điểm, mối quan hệ biến hàm số đạt giá trị lớn , nhỏ Định lý Mỗi số thực không âm tồn thỏa mãn đông thời điều kiện i) ii) iii) Chứng minh Ta chứng minh trường hợp tồn giá trị lớn (trường hợp lại chứng minh tương tự) Xét phương trình Đặt Để ý: Nên có nghiệm kép Từ ta chọn (Sự tồn tồn , biến phải thuộc bạn đọc tự chứng minh, điều thể rõ yêu cầu toán chứng minh bất đẳng thức hay tìm giá trị lớn , nhỏ nhất) Nhận xét : Định lý trường hợp Hệ Đa thức đối xứng biến hàm bậc bậc theo đạt giá trị nhỏ (hệ số a âm)hoặc lớn (hệ số a dương )khi biến biến Chú : trường hợp bậc lớn ta thay điều kiện hàm lồi hay lõm điều sử dụng thi HSG QG Chứng minh: Hàm bậc giá trị lớn hay nhỏ đạt biên Hàm bậc hệ số a dương đạt giá trị lớn biên, hệ số a âm đạt giá trị nhỏ biên Từ định lý ta suy biên biến biến (Trong trường hợp a,b,c ác số thực xảy biến nhau) 1.2 Một số đẳng thức thường sử dụng Với biến Đặt , , Ta có đẳng thức sau 10 11 12 1.3 Bài tập vận dụng Bài Cho số thực dương Lời giải Chuẩn hóa Chứng minh Đặt Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành , Ta có Với hàm số bậc có hệ số a dương nên đạt giá trị lớn Áp dụng bổ đề 1ta có có số Giả sử Bất đẳng thức ban đầu cần chứng minh trở thành Việc biến đổi sau xét biến cách khéo léo ta cần để ý đến nhân tử đẳng thức xảy biến Bài Cho số thực dương Chứng minh Lời giải: Chuẩn hóa Đặt Biểu diễn bất đẳng thức theo biến , Ta có ta Với hàm số bậc có hệ số a dương nên đạt giá trị lớn Áp dụng hệ ta có có số Giả sử Bất đẳng thức ban đầu cần chứng minh trở thành Bài 3.[ Rusia MO-2005] Cho số thực không âm thõa mãn Chứng minh Nhận xét i) Đây bất đẳng thức biến đối xứng Nếu ta qui đồng mãu đưa đa thức đối xứng bậc bậc ii) Điều kiện toán không cho ta Tuy nhiên ta xử lý toán cách đổi biến để ý muốn dùng hệ sau : Đặt Bài toán cho trở thành Cho Chứng minh Đến ta đủ điều kiện sử dụng bổ đề cần xét trường hợp có biến biến Cụ thể việc làm đơn giản Bài [Iran 96] Cho số thực dương Chứng minh Hướng dẫn: Sử dụng đẳng thức ta dụng hệ Bài Cho bậc có hệ số a âm Nên áp Chứng minh Bài Cho số thực dương Chứng minh Bài [Vietnam TST] Cho số thực Bài Cho số thực không âm Chứng minh thõa mãn Chứng minh Câu hỏi mở thú vị Nếu biến a,b,c bị ràng buộc điều kiện khác nhau: Chẳng hạn abc=1, ab+bc+ca+abc=4,….thì bạn xử lý nào?