Đang tải... (xem toàn văn)
Rõ ràng là trong chương trình Toán THCS phương trình bậc hai là một phần kiến thức trọng tâm, vì thế mà nó xuất hiện hầu khắp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong chuyên đề này tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai(điều kiện có nghiệm, định lý Viét và các áp dụng) và một số bài toán liên quan(hệ bậc hai,…).
Phương trình bậc hai số cách giải Phương trình bậc hai ẩn số phương trình có dạng , với số thực thoả mãn Cho ví dụ phương trình bậc hai đủ, thiếu Số nghiệm phương trình bậc hai Đặt Một phương trình bậc hai có nghiệm , có hai nghiệm và có nghiệm Khi làm toán dạng bạn nhớ phải quan tâm đến hệ số sau tính trường hợp hệ số khác Bài 1.1 Chứng minh với ba số thực đôi khác phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 1.2 Chứng minh phương trình vô nghiệm với độ dài ba cạnh tam giác Bài 1.3 Chứng minh với nghiệm ba phương trình sau phải có Bài 1.4 Cho trình số thực không đồng thời Chứng minh phương có nghiệm Bài 1.5 Cho phương trình số thực thoả mãn có nghiệm Bài 1.6 Cho phương trình số thực thoả mãn có nghiệm Bài 1.7 Cho số thực thoả mãn ba phương trình sau có nghiệm Chứng minh Chứng minh Chứng minh Bài 1.8 Cho ba số dương đôi khác có tổng Chứng minh ba phương trình sau có phương trình có nghiệm, phương trình vô nghiệm Bài 1.9 Chứng minh trình sau có nghiệm số thực thoả mãn Bài 1.10 Chứng minh với nghiệm phương phương trình sau có Bài 1.11 Chứng minh phương trình bậc hai có hệ số thoả mãn hai phương trình có nghiệm Giải phương trình bậc hai có tham số Đừng có tính phương trình chưa bậc hai! Hệ số Bài 2.1 Giải biện luận phương trình Bài 2.2 Giải biện luận phương trình Bài 2.3 Giải biện luận phương trình Phải xét kiện trước đặt điều kiện giải xong nhớ kiểm tra điều Một số phương trình quy bậc hai Trong mục ta xét phương trình giải sau chuyển phương trình bậc hai nhờ phép đặt ẩn phụ Bạn cần phải nhớ cách giải phương trình có dạng đặc biệt sau a)Phương trình trùng phương b)Phương trình đối xứng gương c)Phương trình dạng d)Phương trình dạng e)Phương trình dạng với Đương nhiên có dạng phương trình khác cách giải chúng gần năm dạng Bài 3.1 Giải phương trình a) b) c) d) e) Bài 3.2 Giải phương trình a) b) c) Bài 3.3 Giải phương trình a) b) Bài 3.4 Giải phương trình a) b) Bài 3.5 Cho phương trình trình có Tìm a) nghiệm phân biệt b) nghiệm phân biệt c) nghiệm phân biệt d) nghiệm e) nghiệm Bài 3.6 Giải phương trình a) b) c) Bài 3.7 Giải phương trình để phương a); b) Định lý Viét áp dụng Định lý Viét Nếu phương trình bậc hai nói có nghiệm có Nhẩm nghiệm Nếu Nếu phương trình có nghiệm phương trình có nghiệm Bài 4.1.1 Giải phương trình a) b) ; Bài 4.1.2 Giải phương trình a) ; ta b) ; c) ; d) Xét dấu nghiệm Phương trình có hai nghiệm trái dấu , phương trình có hai nghiệm âm và , phương trình có hai nghiệm dương và Bài 4.2.1 Tìm giá trị nghiệm mang dấu gì? a) b) Bài 4.2.2 Tìm để phương trình sau có nghiệm dấu Khi hai ; để phương trình có a)Một nghiệm; b)Hai nghiệm dấu phân biệt; c)Hai nghiệm âm phân biệt Bài 4.2.3 Tìm để phương trình a)Hai nghiệm dấu; có b)Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn; c)Đúng nghiệm dương Bài 4.2.4 Tìm để phương trình nghiệm không dương có Bài 4.2.5 Tìm để phương trình nghiệm không âm có Bài 4.2.6 Cho biểu thức Tìm để có thoả mãn Bài 4.2.7 Tìm để có cho Bài 4.2.8 Tìm để có cho Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Để tính giá trị biểu thức có hai biến với đối xứng, ta chuyển biểu thức Bài 4.3.1 Gọi nghiệm phương trình Tính Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm Bài 4.3.2 Không giải phương trình tính hiệu lập phương nghiệm lớn nhỏ phương trình bậc hai Bài 4.3.3 Giả sử nghiệm phương trình nghiệm phương trình Tính giá trị biểu thức theo Bài 4.3.4 Gỉa sử nghiệm phương trình Tính theo tìm đa thức bậc có hệ số nguyên nhận làm nghiệm Bài 4.3.5 Gọi biểu thức sau nghiệm phương trình ; ; Tính giá trị Bài 4.3.6 Cho phương trình Biết tích nghiệm phương trình thứ với nghiệm phương trình thứ hai nghiệm phương trình thứ ba Chứng minh Bài 4.3.7 Gỉa sử phương trình Chứng minh hợp số có hai nghiệm nguyên dương Bài 4.3.8 Cho phương trình nghiệm phương trình, tìm giá trị lớn biểu thức Gọi Bài 4.3.9 Cho phương trình Gọi nghiệm phương trình Chứng minh Dãy Nhớ ta có công thức truy hồi liên hệ ba số hạng liên tiếp dãy Bài 4.4.1 Cho nghiệm phương trình số nguyên Chứng minh với số nguyên dương , số nguyên không chia hết cho với là số Bài 4.4.2 Chứng minh số thực chúng thoả mãn dương Bài 4.4.3 Cho trình thoả mãn với số nguyên số nguyên dương a)Chứng minh số nguyên; b)Tìm bội bé để nghiệm phương Bài 4.4.4 Cho số nguyên lẻ phương trình có hai nghiệm phân biệt Chứng minh số nguyên dương hai số nguyên tố Bài 4.4.5 Tìm số dư chia Bài 4.4.6 Gọi hiệu a)Tính cho nghiệm phương trình với số nguyên dương Kí ; b)Tìm hệ thức liên hệ tính ; c)Chứng minh d)Tìm số dư chia với số nguyên dương Từ số nguyên dương với cho nguyên dương; Bài 4.4.7 Cho a)Chứng minh b)Đặt đơn vị ; ; Chứng minh c)Tìm chữ số hàng đơn vị số tự nhiên có chữ số hàng Bài 4.4.8 Tìm chữ số cuối Tìm hai số biết tổng tích nghiệm phương trình với Bài 4.5.1 Tìm hai số biết a)Tổng , tích ; b)Tổng , tích Hệ phương trình đối xứng kiểu Hệ đối xứng kiểu hệ có dạng với thức đối xứng Để giải hệ ta dùng phép đặt Bài 4.6.1 Giải hệ phương trình a) ; biểu b) ; c) ; d) e) ; Bài 4.6.2 Giải hệ phương trình a) ; b) ; c) Bài 4.6.3 Giải hệ phương trình a) b) ; ; c) Bài 4.6.4 Giải hệ phương trình a) ; b) Bài 4.6.5 Giải hệ phương trình a) ; b) ; c) ; d) ; e) Tìm tham số để Nếu đối xứng ta chuyển , trái lại ta có hai cách để làm Chuyển giải hệ sau thay vào Hoặc dùng phương pháp đối xứng hoá, chuyển trường hợp đối xứng Cả hai cách làm phải ý đến điều kiện có nghiệm phương trình Bài 4.7.1 Tìm để phương trình có hai nghiệm mãn Bài 4.7.2 Xác định để nghiệm thoả mãn phương trình thoả Bài 4.7.3 Tìm để phương trình nghiệm thoả mãn Bài 4.7.4 Tìm nghiệm có hai để phương trình có hai thoả mãn Bài 4.7.5 Cho phương trình có Chứng minh hai nghiệm phương trình, có nghiệm gấp ba lần nghiệm Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm nghiệm phương trình với Bài 4.8.1 Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỷ có nghiệm Bài 4.8.2 Gọi nghiệm phương trình phương trình bậc hai có nghiệm Tính Bài 4.8.3 Lập phương trình bậc hai có nghiệm mãn Bài 4.8.4 Gọi Hãy lập thoả nghiệm phương trình trình bậc hai có nghiệm Lập phương Bài 4.8.5 Tìm số nguyên cho phương trình có nghiệm Tìm hệ thức độc lập nghiệm Phương pháp chung để giải toán dạng khử hệ Bài 4.9.1 Cho phương trình không phụ thuộc Bài 4.9.2 Cho phương trình phương trình có nghiệm, gọi nghiệm nghiệm không phụ thuộc từ Tìm hệ thức hai nghiệm Xác định để Tìm hệ thức liên hệ Bài 4.9.3 Cho phương trình bậc hai Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc Bài 4.9.4 Cho phương trình bậc hai Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc Nghiệm hai phương trình bậc hai Trong mục quan tâm đến toán yêu cầu tìm tham số để hai phương trình có nghiệm chung(giao tập nghiệm khác rỗng) hay hai phương trình tương đương(tập nghiệm hai phương trình nhau),… Bài 5.1 Tìm số thực hai Đáp số Bài 5.2 Tìm Đáp số Bài 5.3 Tìm Đáp số cho hai phương trình bậc có nghiệm chung để hai phương trình sau có nghiệm chung để hai phương trình sau có nghiệm chung Bài 5.4 Tìm để hai phương trình nghiệm chung Đáp số Bài 5.5 Xác định Đáp số để hai phương trình có nghiệm chung có Bài 5.6 Xác định để phương trình lần nghiệm phương trình Đáp số có nghiệm hai Bài 5.7 Cho hai phương trình a)Tìm để hai phương trình có nghiệm chung b)Tìm để hai phương trình tương đương Đáp số Bài 5.8 Tìm để hai phương trình chung Đáp số có nghiệm Bài 5.9 Cho hai phương trình phương trình có nghiệm chung và bé Tìm để hai Hướng dẫn Điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung Từ suy dấu, hay Đặt tìm để hệ có nghiệm Đáp số Bài 5.10 Cho hai phương trình phương trình có nghiệm chung Đáp số bé Tìm để hai Phương trình bậc hai Điều kiện cần để phương trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỷ phải bình phương Bài 6.1 Tìm tất số nguyên để phương trình có nghiệm nguyên Bài 6.2 Với giá trị nguyên phương trình có nghiệm số hữu tỷ Bài 6.3 Gỉa sử trình số nguyên tố Chứng minh phương có nghiệm hữu tỷ Lời giải Dùng phương pháp hiệu bình phương Fermat Bài 6.4 Chứng minh phương trình hữu tỷ nghiệm phải số nguyên Bài 6.5 Chứng minh số nguyên lẻ phương trình có nghiệm hữu tỷ có nghiệm Lời giải Giao điểm đường thẳng Parabol Cho đường thẳng có phương trình parabol có phương trình Khi số giao điểm số nghiệm khác phương trình , hoành độ giao điểm nghiệm phương trình Bài 7.1 Cho a)Xác định toạ độ giao điểm b)Tìm thuộc cung của ; để diện tích tam giác Bài 7.2 Cho xúc với Tìm toạ độ tiếp điểm Tìm để tiếp Tìm Bài 7.4 Cho ứng Tìm cung hai điểm có hoành độ tương cho tam giác có diện tích lớn Chứng minh với vuông góc với qua Bài 7.3 Cho đường thẳng Bài 7.5 Cho tuyến kẻ từ đến để tiếp tuyến lớn song song với , tiếp Bài 7.6 Cho độ dài bé Tìm Bài 7.7 Cho để cắt a)Viết phương trình b)Xác định ; đường thẳng tiếp xúc với Bài 7.8 Cho đường thẳng có phương trình để cắt hai điểm phân biệt để song song với Tìm , tìm toạ độ trung điểm Bài 7.9 Chứng minh với , đường thẳng hai điểm phân biệt Gọi hai điểm nói , tìm giác Bài 7.10 Tìm theo dây cung có tiếp xúc với cắt để diện tích tam điểm có hoành độ [...]... chung để hai phương trình sau có nghiệm chung và Bài 5.4 Tìm để hai phương trình nghiệm chung Đáp số Bài 5.5 Xác định và Đáp số để hai phương trình có nghiệm chung và có Bài 5.6 Xác định để phương trình lần một nghiệm của phương trình Đáp số và có một nghiệm bằng hai Bài 5.7 Cho hai phương trình và a)Tìm để hai phương trình có nghiệm chung b)Tìm để hai phương trình tương đương Đáp số và Bài... của hai phương trình bậc hai Trong mục này chúng ta sẽ quan tâm đến các bài toán yêu cầu tìm tham số để hai phương trình có nghiệm chung(giao các tập nghiệm khác rỗng) hay hai phương trình tương đương(tập nghiệm của hai phương trình bằng nhau),… Bài 5.1 Tìm các số thực hai và Đáp số và Bài 5.2 Tìm và Đáp số Bài 5.3 Tìm và Đáp số sao cho và hai phương trình bậc có nghiệm chung duy nhất để hai phương trình. .. để hai phương trình chung Đáp số và có nghiệm Bài 5.9 Cho hai phương trình phương trình có nghiệm chung và và bé nhất Tìm để hai Hướng dẫn Điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung là Từ đây suy ra cùng dấu, hay Đặt rồi tìm để hệ có nghiệm Đáp số là Bài 5.10 Cho hai phương trình phương trình có nghiệm chung và Đáp số và bé nhất Tìm để hai Phương trình bậc hai trên Điều kiện cần để phương trình. .. thoả mãn của phương trình thoả Bài 4.7.3 Tìm để phương trình nghiệm thoả mãn Bài 4.7.4 Tìm nghiệm có hai để phương trình có hai thoả mãn Bài 4.7.5 Cho phương trình có Chứng minh rằng trong hai nghiệm của phương trình, có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm là các nghiệm của phương trình với Bài 4.8.1 Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỷ có một nghiệm... của phương trình phương trình bậc hai có các nghiệm là và Tính Bài 4.8.3 Lập phương trình bậc hai có các nghiệm mãn Bài 4.8.4 Gọi và Hãy lập thoả là các nghiệm của phương trình trình bậc hai có các nghiệm là và Lập phương Bài 4.8.5 Tìm các số nguyên và sao cho phương trình có nghiệm Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm Phương pháp chung để giải bài toán dạng này là khử hệ Bài 4.9.1 Cho phương. .. nếu và phương trình hữu tỷ thì nghiệm đó phải là số nguyên Bài 6.5 Chứng minh rằng nếu là các số nguyên lẻ thì phương trình không thể có nghiệm hữu tỷ có nghiệm Lời giải Giao điểm của đường thẳng và Parabol Cho đường thẳng có phương trình và parabol có phương trình Khi đó số giao điểm của và đúng bằng số nghiệm khác nhau của phương trình , và hoành độ của giao điểm chính là nghiệm của phương trình. .. minh rằng nếu các số thực và thì chúng cũng thoả mãn dương Bài 4.4.3 Cho trình thoả mãn với mỗi số nguyên là một số nguyên dương và a)Chứng minh rằng là một số nguyên; b)Tìm là bội của bé nhất để là các nghiệm của phương Bài 4.4.4 Cho là một số nguyên lẻ và phương trình có hai nghiệm phân biệt Chứng minh rằng nếu là số nguyên dương thì và là hai số nguyên tố cùng nhau Bài 4.4.5 Tìm số dư khi chia Bài... nghiệm của phương trình với Bài 4.5.1 Tìm hai số biết rằng a)Tổng bằng , tích bằng ; b)Tổng bằng , tích bằng Hệ phương trình đối xứng kiểu 1 Hệ đối xứng kiểu 1 là hệ có dạng với thức đối xứng của và Để giải hệ này ta dùng phép đặt Bài 4.6.1 Giải các hệ phương trình a) ; và là các biểu và b) ; c) ; d) e) ; Bài 4.6.2 Giải các hệ phương trình a) ; b) ; c) Bài 4.6.3 Giải các hệ phương trình a) b)... 4.6.4 Giải các hệ phương trình a) ; b) Bài 4.6.5 Giải các hệ phương trình a) ; b) ; c) ; d) ; e) Tìm tham số để Nếu đối xứng thì ta chuyển về , nếu trái lại ta có hai cách để làm Chuyển về giải hệ sau đó thay vào Hoặc có thể dùng phương pháp đối xứng hoá, chuyển về trường hợp đối xứng Cả hai cách làm đều phải chú ý đến điều kiện có nghiệm của phương trình Bài 4.7.1 Tìm để phương trình có hai nghiệm... Bài 4.9.1 Cho phương trình không phụ thuộc Bài 4.9.2 Cho phương trình phương trình có nghiệm, gọi các nghiệm là nghiệm không phụ thuộc từ Tìm hệ thức giữa hai nghiệm Xác định để Tìm hệ thức liên hệ giữa các Bài 4.9.3 Cho phương trình bậc hai Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc Bài 4.9.4 Cho phương trình bậc hai Khi phương trình có nghiệm, hãy