Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV KHẢO SÁT ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CƠ CẤU QUICK-RETURN DYNAMIC ANALYSIS OF A QUICK RETURN MECHANISM Sanh Do1a, Phong Phan Dang2b, Khoa Do Dang1c Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, Việt Nam Viện Nghiên cứu Cơ khí, Hà Nội, Việt Nam a b dosanhbka@gmail.com; phongpd@narime.gov.vn; ckhoa.dodang@hust.edu.vn TÓM TẮT Trong báo khảo sát động lực cấu Quick-Return, phận chủ yếu nhiều máy công cụ (ví dụ, máy bào) Đây loại cấu có dạng hệ chịu liên kết phức tạp Việc thành lập phương trình chuyển động thường sử dụng phương trình Lagrange dạng nhân tử Như biết, việc sử dụng dạng phương trình biến pha (tọa độ vận tốc suy rộng) phải sử dụng thêm biến nhân tử Điều làm tăng độ phức tạp cho việc xử lý hệ phương trình chuyển động Trong báo sử dụng phương trình dạng ma trận xây dựng từ Nguyên lý phù hợp nhờ chuyển động cấu mô tả hệ biến đóng kín (tức sử dụng biến pha mà không cần đưa thêm vào biến nhân tử), đồng thời sử dụng trực tiếp phần mềm chuyên dụng Maple, Matlab, Mathematica, để xử lý hệ phương trình chuyển động Trong báo đề xuất trình chịu tải hợp lý máy: xác định khoảng thời gian trước sau thời điểm đầu trượt đổi hướng chuyển động (vận tốc triệt tiêu) ứng với thời điểm lắc đổi chiều chuyển động (khoảng chuyển tiếp), khoảng thời gian trượt không chịu tải để đảm bảo độ êm dịu chuyển động cấu qua thời điểm chuyển tiếp Từ khóa: Nguyên lý phù hợp, Phương pháp ma trận truyền, Phương trình dạng ma trận, Khoảng chuyển tiếp ABSTRACT In the paper, it is introduced to analyze the dynamics of a quick-return mechanism, a key part in many machine tools (for example: planers) Generally, the equations of motion of this mechanism, which is subject to highly complex constraints, are derived by the method of Lagrange with multipliers As known, this method adds the multiplier variables, beside the phase variables (generalized coordinates and velocities), to build the system’s equations of motion In other word, this method burdens the motion equation-solving process with more complexity and computation This paper presents a matrix-based method from the Principle of Compatibility to build a closed system of motion equations which depend only on the phase variables but not the multiplier variables As a result, this proposed method can easily be applied by the computational software such as Maple, Matlab, and Mathematica, etc to solve the system of motion equations In the paper, the planer cutting head’s appropriate working stages are also introduced in detail The timing of motion change from cutting to non-cutting stages due to the motion change of the rocker and slider cranks is considered to guarantee the smooth motion of the planer’s slider crank Keywords: Principle of compatibility, Transfer-matrix method, Matrix-based equations of motion, Timing of motion change MỞ ĐẦU Cơ cấu Quick-Return phận chủ yếu số máy (ví dụ, máy bào) ý nhiều có ưu điểm rút ngắn thời gian hành trình chạy trơn Nhiều công 803 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV trình nghiên cứu động lực loại cấu trình động lực phức tạp Để khảo sát trình động lực nó, phải sử dụng tọa độ suy rộng dư sử dụng phương trình động lực Lagrange dạng nhân tử [1-3] Cho đến nói dạng phương trình phổ biến để khảo sát động lực học hệ không tự nói chung, động lực học máy nói riêng hầu hết cấu máy hệ không tự Dạng phương trình sử dụng rộng rãi việc thành lập chúng đơn giản lại kèm theo khó khăn việc xử lý chúng việc tăng thêm nhân tử, làm tăng thông số xác định trạng thái động lực hệ, gồm tọa độ pha (tọa độ suy rộng vận tốc suy rộng) nhân tử Lagrange kéo theo, làm tăng độ phức tạp cho việc khảo sát Trong báo khảo sát động lực hệ không tự do, tác giả không sử dụng phương trình Lagrange dạng nhân tử, mà sử dụng phương trình dạng ma trận đóng kín tọa độ suy rộng chọn [4] CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khảo sát hệ học, gọi tắt hệ, vị trí xác định n tọa độ suy rộng qi (i = 1, n) Nếu tọa độ suy rộng độc lập điều kiện ràng buộc (được gọi liên kết) hệ gọi hệ tự Đối với hệ vậy, để khảo sát chúng sử dụng phương trình Lagrange loại Tuy nhiên, chúng có số hệ thức ràng buộc (các liên kết), phương trình Lagrange không hiệu lực Để khảo sát loại hệ liên kết lý tưởng [1-3], phương pháp sử dụng phổ biến phương trình Lagrange dạng nhân tử có dạng sau r ∂f d ∂T ∂T − =Qi + ∑ λα α ; dt ∂qi ∂qi ∂qi α =1 (i =1, n) (1) Trong đó: T biểu thức động hệ tính theo tọa độ suy rộng qi vận tốc suy rộng qi (i = 1, n) Đối với hệ chịu liên kết dừng, biểu thức động có dạng sau: n T = 0.5 ∑ aij qi q j (2) i , j =1 Trong dạng ma trận viết sau: T = q T Aq (3) q ký hiệu ma trận vận tốc suy rộng: q = [ q1 q2 qn ] T (4) T nằm vị trí cao góc phải biểu thức phép tính chuyển vị ma trận A - ma trận quán tính, ma trận vuông đối xứng, cỡ (n × n) , không suy biến, với yếu tố aij (i, j = 1, n) hàm phụ thuộc vào tọa độ suy rộng qi (i = 1, n) trường hợp liên kết dừng Qi − lực suy rộng lực thế, ứng với tọa độ suy rộng qi , chúng phần tử ma trận lực suy rộng (ma trận cột) Q: Q = [Q1 Q2 Qn ] T (5) Từ sau ma trận viết chữ nét đậm đồng vectơ với ma trận cột (3x1) Biểu thức fα phương trình (1) vế trái phương trình liên kết, biểu diễn giải tích mối ràng buộc tọa độ suy rộng 804 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV fα (q1 , q2 , , = qn ) 0;= α 1, r (6) λα (α = 1, r ) - nhân tử Lagrange, gọi nhân tử chưa xác định Như vậy, để xác định chuyển động hệ với k bậc tự (k = n-r) cần xác định (n+r) đại lượng{qi , λ= 1,= n, α 1, r , thực tế cần n đại lượng {qi }, i = 1, n để α }, i xác định chuyển động hệ Nói cách khác, số đại lượng để xác định chuyển động hệ tăng thêm r đại lượng λα (α = 1, r ) ,vượt số đại lượng cần thiết để xác định chuyển động hệ khảo sát Việc tăng thêm đại lượng làm tăng độ phức tạp việc khảo sát toán (qua việc tăng số phương trình mô tả chuyển động, thay n phương trình ta phải sử dụng (n+r) phương trình) Để xác định chuyển động hệ với liên kết đặt lên hệ lý tưởng qua n tọa độ suy rộng qi (i = 1, n) mà không cần sử dụng thêm r nhân tử Lagrange, ta sử dụng Nguyên lý Phù hợp, theo phương trình chuyển động hệ viết dạng ma trận [4-6]  = Q + Q - Q* + R Aq (7) Trong đó: Q - ma trận cỡ (nx1) lực suy rộng theo biểu thức (5) Q , Q* − ma trận cỡ (nx1), xác định từ ma trận quán tính A Để tính đại lượng cần tính ma trận ∂ i A :  ∂a11  ∂q  i  ∂a12  ∂q ∂i A =  i    ∂a1n  ∂qi ∂a1n  ∂qi   ∂a2 n  ∂qi    ∂ann  ∂qi  ∂a12 ∂qi ∂a22 ∂qi (8) Dựa vào (8) ta tính phần tử ma trận Q : = Qi0 T q ∂ i Aq (9) Ma trận Q* tính theo công thức: * Q= ∑ ∂ Aq q i i (10) R - ma trận cỡ (nx1) phản lực đáp ứng từ liên kết đặt lên hệ Theo Nguyên lý phù hợp [3], phương trình chuyển động hệ viết dạng sau:  − D(Q + Q - Q* ) = DAq (11) Trong D ma trận hệ số biểu diễn tất tọa độ suy rộng (không độc lập) thông qua tọa độ suy rộng độc lập Tổng quát hơn, ma trận hệ số biểu diễn gia tốc suy rộng (không độc lập) qua gia tốc suy rộng độc lập nhờ phương trình liên kết (6) Chú ý, r phương trình liên kết (6) độc lập ma trận D có hạng k = n-r, tức ta nhận k phương trình vi phân cấp hai độc lập, k phương trình với r phương trình (6), tức có tất r+k = n phương trình mô tả chuyển động hệ 805 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Bằng cách ta nhận n phương trình mô tả chuyển động hệ, tức chuyển động hệ mô tả cần n phương trình (6) (11), giảm r phương trình so với phương pháp nhân tử Lagrange Chú ý rằng, để giải hệ n phương trình (6) (11) sử dụng phương pháp phương trình vi phân đại số (DAE) [7] Tuy nhiên, ta áp dụng hướng khác: chuyển động hệ mô tả n phương trình vi phân cấp hai (đúng số tọa độ suy rộng chọn) gồm k phương trình vi phân cấp hai (11) r phương trình vi phân cấp hai nhận từ phương trình liên kết (6) viết chúng dạng phương trình vi phân cấp hai tương đương cách đạo hàm hai lần theo thời gian phương trình liên kết Phương pháp giúp xử lý toán nhờ hệ n phương trình vi phân cấp hai với 2n điều kiện đầu vị trí đầu vận tốc đầu hệ n biến chọn Đó phương pháp quen thuộc cán kỹ thuật, kỹ sư; đặc biệt có nhiều phần mềm chuyên dụng Maple, Matlab, Mathematica, hỗ trợ cho việc xử lý hệ phương trình KHẢO SÁT ĐỘNG LỰC HỌC CƠ CẤU QUICK-RETURN Khảo sát cấu máy gồm D E khâu Hình Tay quay OA • cân tĩnh (trọng tâm • ϕ3 O), có mômen quán tính khối J1 • CI chịu tác dụng ngẫu lực có mômen F M dc = M − αω1 , M α thông số động Cần A • M lắc BC cân tĩnh (có trọng tâm B), mômen quán tính trục quay B J Con trượt A xem chất điểm, có ϕ1 khối lượng m1 , CD đồng chất có khối lượng m3 , chiều dài ϕ2 B l3 mômen quán tính khối tâm I J Thanh trượt DE có Hình Cơ cấu Quick-return khối lượng m, BO=h, BE=H Chọn tọa độ suy rộng ϕ1 , ϕ x, ϕ1 , ϕ góc định vị khâu OA, BC phương ngang, x - thông số định vị trượt DE, x ≡ ED Cấu hình hệ xác định nhờ tọa độ suy rộng ϕ1 , ϕ x hệ có bậc tự Do đó, có hai phương trình liên kết Để viết phương trình liên kết áp dụng phương pháp ma trận truyền [4-6]: 1 0  t1= 0 −h  ; t2= 0  cos ϕ3 − sin ϕ3 = t3  sin ϕ3 cos ϕ3  0 cos ϕ2  sin ϕ   l2  =  ; rO  − sin ϕ2 cos ϕ2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) − sin(ϕ1 − ϕ2 ) u   sin(ϕ − ϕ ) cos(ϕ − ϕ )  ; 2    0  (12) l1  l3  0  x 0  ; r =  0  ; r  h  =  D   ; ro =  D  1     1    0  ; t12=  806 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Trong đó: u ≡ BA; h1 ≡ OE ; ϕ3 − góc định vị CD BC, rO , rD vecto định vị điểm O điểm D hệ tọa độ vật rO0 ; rD0 − vecto định vị điểm O D hệ tọa độ nền, h + h1 = H Để thiết lập hai phương trình liên kết ta viết phương trình xác định tọa độ điểm O D hệ tọa độ (hệ tọa độ cố định)  l1 cos ϕ1+ ucoϕ2  0  r= t1t2t12= rO l1 sin ϕ1 + u sin ϕ2 − h  ≡ 0  ; r= t1t2t3 r= D D      1  O  l2 cos ϕ2 − l3 cos(ϕ2 + ϕ3 )   x      l2 sin ϕ2 − l3 sin(ϕ2 + ϕ3 ) − h  ≡  h1      (13) Từ ta nhận được: l1 cos ϕ1 + u cos = ϕ2 0; l1 sin ϕ1 + u sin ϕ = 0; −h (14) l2 cos ϕ2 − l3 cos(ϕ= x; l2 sin ϕ − l3 sin(ϕ + ϕ = h1 + ϕ3 ) 3) − h (15) Khử đại lượng u hai phương trình (14) khử ( (ϕ2 + ϕ3 ) hai phương trình (15), ta nhận hai phương trình liên kết tọa độ chọn ϕ1 , ϕ2 , x : = f1 h cos ϕ2 − l1 sin(ϕ1 − ϕ= 0; 2) f = (x − l2 cos ϕ2 ) + ( H − l2 sin ϕ2 ) − l32 = (16) Chú ý: Các phương trình liên kết (16) tìm trực tiếp từ: a) Hệ thức sinus tam giác OAB; b) Hệ thức tọa độ điểm D điểm C: ( xD − xC ) + ( yD − yC ) − l32 = Từ nhận phương trình liên kết thứ hai từ (16) thay trực tiếp biểu thức xC , y C , x D , y D tính qua tọa độ suy rộng chọn ϕ1 , ϕ2 , x Từ phương trình liên kết (16), tính ma trận D phương trình (11), ma trận hàng cỡ (1× 3)  l1 cos(ϕ2 − ϕ1 ) D = 1  l1 cos(ϕ2 − ϕ1 ) − h sin ϕ2 l1l2 cos(ϕ2 − ϕ1 )( H cos ϕ2 − x sin ϕ2 )   ( x − l2 cos ϕ2 )[l1 cos(ϕ2 − ϕ1 ) − h sin ϕ2 ]  (17) Để viết phương trình vi phân chuyển động ta tính ma trận quán tính A, ma trận lực suy rộng Q ma trận Q , Q* theo công thức (9), (10) Biểu thức động hệ tính theo công thức sau: T= ( J1ω12 + J 2ω22 + J 3ω32 + m1v A2 + m3vI2 + mvD2 ) (18) Trong ω1 , ω2 , ω3 - vận tốc góc khâu OA, BC CD tương ứng, v A , vI , vD − vận tốc trượt A, khối tâm I CD trượt ED Dễ dàng nhận được: ω1 = ϕ1 ; ω2 = ϕ2 ; v D = x; vI = 0.5( x + vCx ) = 0.5( x − l2 sin ϕ2ϕ2 ); ω32 = 807 2 ( x + l2 ϕ2 + 2l2 sin ϕ xϕ2 ) l3 (19) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Khi thay (19) vào (18) ta nhận được: J l2 1 J T= ( J1 + m1l12 )ϕ12 + ( J + J 22 )ϕ22 + ( 23 + m + 0.25m3 ) x + ( 23 − 0.25m3 )l2 sin ϕ2 xϕ2 ; (20) 2 l3 l3 l3 A ma trận vuông cở (3 × 3) , có yếu tố a11 = J1 + m1l12 ; a12 == 0; a13 0; a22 = J + J3 J l22 ;a 23 = ( 23 − 0.25m3 )l2 sin ϕ2 ; l3 l3 J a33 = ( 23 + m + 0.25m3 ) l3 (21) Thế tính theo biểu thức: = π m1 gl1 sin ϕ1 + 0.5m3 gl2 sin ϕ2 (22) Lực suy rộng Q (7) ma trận cỡ (3 ×1) , gồm lực không lực có dạng Q1 =M − aϕ1 − m1 gl1 cos ϕ1 ; Q2 = −0.5m3 gl2 cos ϕ2 ; Q3 = F (23) Các ma trận Q , Q* tính theo (8), (9), (10)   0  ∂1 A = 0; ∂ A = 0   J 0 ( 23 − 0.25m3 )l2 cos ϕ2 l3      J3 ( − 0.25m3 )l2 cos ϕ  ; ∂ A = l3     (24) J Q10 = 0; Q20 = ( 23 − 0.25m3 )l2 cos ϕ2 xϕ2 ; Q30 = 0; l3 T  J3 Q = 0;Q = 0 ( − 0.25m3 )l2 cos ϕ xϕ2 l3  *  J ( 23 − 0.25m3 )l2 cos ϕ 2ϕ22  ;Q*3 = ; (25) l3  * Phương trình chuyển động cấu nhận từ phương trình liên kết (16) viết dạng phương trình vi phân cấp hai (bằng cách đạo hàm hai lần theo thời gian) phương trình (11) với số liệu từ (21) – (25) Cụ thể, hệ phương trình mô tả chuyển động cấu gồm phương trình vi phân cấp hai (phi tuyến) sau: l1 cos(ϕ2 − ϕ1 )ϕ1 − [l1 cos(ϕ2 − ϕ1 ) + h sin ϕ2 ]ϕ2 + [l1 sin(ϕ2 − ϕ1 ) − h cos ϕ2 ]ϕ22 − h sin ϕ2ϕ1ϕ2 = 0; ( x − l2 cos ϕ2 )  x + l2 ( x sin ϕ2 − H cos ϕ2 )ϕ2 + x + l2 ( H sin ϕ2 + x cos ϕ2 )ϕ22 + 2l2 sin ϕ xϕ2 = 0; d11a11ϕ1 + (d12 a22 + d13 a23 )ϕ2 + (d12 a23 + d13 a33 )  x − ∑ d1 j (Q j + Q 0j − Q*j ) = (26) j =1 Hệ ba phương trình (26) với điều kiện đầu cho:   = ϕ1 (0) ϕ10= ; ϕ2 (0) ϕ= x= ϕ10= ; ϕ2 (0) ϕ= x0 20 ; x (0) ; ϕ1 (0) 20 ; x (0) (27) mô tả chuyển động cấu Nói khác đi, hệ phương trình (26) với điều kiện đầu (27) xác định chuyển động cấu qua hệ nghiệm {ϕ1 (t ), ϕ2 (t ), x(t )} 808 (28) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Từ xác định đươc hành trình trượt DE, xD (t ) ≡ x(t ) (29) Biểu thức xD (t ) theo (29) xác định chuyển động trượt DE tính với hai trạng thái động lực có tải không tải {M , F } mô tả hành trình trượt DE [8] MÔ PHỎNG SỐ Tổng quát trình làm việc trượt DE gồm hai giai đoạn chính: hành trình Hành trình trình ăn tải, trình thoát tải (không có tải thắng loại tải ích, ví dụ, ma sát) Thời điểm chuyển tiếp hai trình cần lắc có vận tốc không (đổi chiều) Yêu cầu động lực lân cận thời điểm chuyển tiếp trượt DE dỡ tải (tức thời điểm tải không) Vì lý trước sau điểm dừng (điểm chết) cần lắc có khoảng chuyển tiếp, tải dỡ bỏ (F=0) Ở đề xuất khoảng thời gian tính từ tay quay OA từ vị trí nằm ngang (bên phải bên trái) quay đến vị trí thẳng góc với cần lắc (vị trí dừng cần lắc BC) Cụ thể vị trí trượt DE hành trình gồm đoạn sau (H.2): Đoạn thứ nhất: − x* ≤ x ≤ x* Đoạn thứ hai: Đoạn thứ ba: x* ≤ x ≤ x − x ≤ x ≤ − x* Trong x* ứng với vị trí trượt DE tay quay OA nằm ngang bên phải, x ứng với vị trí xa trượt DE bên phải (ứng với vị trí tay quay OAvuông góc với lắc BC bên phải) Dễ dàng suy vị trí tương ứng đối xứng qua đường BE Từ kích thước cho (H.2) dễ dàng tính được: = x* 4.1227 = , x 4.3327 x0 x* E 0.5π O D* C* C0 A* 0.5π A0 ϕ20 ϕ2* B Hình Các giai đoạn làm việc cấu 809 D0 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Đồ thị hình mô tả chuyển động trượt DE từ phương trình (23) Hình 3: Hành trình vận tốc đầu trượt DE Số liệu: Giả thiết lực F có dạng sau: F=150N F=0 { −4.1227 ≤ x(t ) ≤ 4.1227} −4.3325 ≤ x(t ) ≤ −4.1227; 4.1227 ≤ x(t ) ≤ 4.3325 m = 50kg ; m1 = 1kg ; m3 = 30kg ; J1 = 2000kgm ; J = 5kgm ; J = 2kgm ; M = −165 Nm; = = = F 150= N ; g 10m / = s ; α 0.1Nms ; l1 1.5= m; l2 4= m; l3 1.9= m; h 2.5m ; H 4m Điều kiện đầu: = ϕ1 (0) 0.5π (= rad ); ϕ2 (0) 0.5π= (rad ); x(0) 1.9( = m); ϕ1 (0) 0.1(1/ = s ); ϕ2 (0) 0.0375(1/ s ); x (0) = 0.15m / s Thời gian tính: 15 (s) KẾT LUẬN Việc khảo sát chuyển động cấu Quick-Return cho phép đánh giá, kiểm tra, kiểm định trình làm việc cấu mà giúp cho việc khảo sát trình động lực máy nói chung toán thiết kế máy nói riêng Kết khảo sát giúp cho việc giải toán ngược động lực: tính toán, chọn tối ưu thông số động nhằm đáp ứng yêu cầu trình gia công nhiều toán điều khiển lĩnh vực động lực máy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lurie A.I., Analytical Mechanics, Spinger Berlin _Heidelber-NewYork, 1961 810 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV [2] Neimark Ju.I., and Fufaev N.A., Dynamics of Nonholonomic Systems, American Mathematical SocietyProvidence, Rhode Island, 1972 [3] Đỗ Sanh, Chuyển động hệ chịu liên kết, Luận án Tiến sĩ khoa học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 1984 [4] Javier Garcia de Jalon Educardo Bayo, Kinematic and Dynamics Simulation of Multibody of Systems, Springer-Verlag, 1994 [5] Sanh Do, Khoa Do Dang, Method of Transmission Matrix Applying for Investigation of Motion of Planar Mechanisms, Machine Dynamics Research, 2010, Vol.34, No 4, pp 522, Varsaw [6] Đỗ Sanh, Cơ học giải tích, NXB Bách Khoa, Hà Nội, 2008 [7] Đỗ Sanh, Đỗ Đăng Khoa, Điều khiển hệ động lực, NXB Bách Khoa, Hà Nội, 2014 [8] Do Sanh, Dinh Van Phong, Trieu Quoc Loc, Phan Dang Phong, Do Dang Khoa, Observation of Dynamic Reaction Forces in Controlled Mechanical Systems, Proceedings of the International Symposium on Dynamics and Control, Hanoi, September 19-21, 2013, Vietnam, pp.108-117 [9] Haug E.J., Computer Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Vol I, Basic Methods, Allyn and Bacon, Boston, 1989 811