Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG ĐỘNG STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL SHELLS SUBJECT TO DYNAMIC LOADS Lê Thúc Định1a, Vũ Quốc Trụ2b, Trần Thị Hương3c 1,2 Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội, Việt Nam Trường CĐKT Lý Tự Trọng, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam a ledinhvhp@gmail.com; bvuquoctru@gmail.com; ckhoinguyen020109@yahoo.com TÓM TẮT Bài báo trình bày kết phân tích động lực học vỏ trụ thoải làm vật liệu có tính biến thiên chịu tác dụng tải trọng động Tải tới hạn xác định theo tiêu chuẩn ổn định Budiansky – Roth Trên sở thuật toán chương trình lập, khảo sát số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng động vỏ FGM Kết báo sở cho việc nghiên cứu, tính toán, thiết kế cho kết cấu dạng vỏ FGM kỹ thuật Từ khóa: vỏ, vật liệu có tính biến thiên, ổn định, tải trọng động, tải trọng tới hạn ABSTRACT This paper presents the results of dynamic analysis of functionally graded material cylinderical shallow shells subject to dynamic loads Critical loads are defined as Budiansky Roth stability criteria Based on algorithms and programs have been formulated to investigate some of factors which affect to dynamic response of FGM shells Results paper is the basis to study, calculate, design for FGM shell structures in engineering Keywords: shell, functionally graded material, stability, dynamic load, critical load ĐẶT VẤN ĐỀ Vật liệu có tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) loại vật liệu nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Các kết cấu làm vật liệu FGM (đặc biệt kết cấu dạng tấm, vỏ) sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực: hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, … Tuy nhiên, nghiên cứu trước xét mô hình chịu tải trọng theo phương hướng kính theo phương song song với đường sinh vỏ trụ Do vậy, nghiên cứu ổn định vỏ làm vật liệu FGM chịu tác dụng tải trọng động theo phương mô hình báo đặt vấn đề có ý nghĩa khoa học thực tiễn Bài báo sở để nghiên cứu ổn định vỏ trụ thoải FGM với dạng tải trọng phức tạp hơn, tải trọng khí động XÂY DỰNG BÀI TOÁN 2.1 Mô hình vật liệu có tính biến thiên Vật liệu có tính biến thiên thường sử dụng nhiều thực tế loại hai thành phần, hỗn hợp gốm (ceramic) kim loại (metal) (Hình 1) Trong đó, tỷ lệ thể tích thành phần vật liệu biến đổi theo chiều dày kết cấu hàm lũy thừa biến chiều dày z [1], [2]: k  z 1 Vc (z)     ; Vm (z)   Vc (z) với (0  k  ) h 2 769 (1) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV đó: k số tỉ lệ thể tích; Vc , Vm tỉ lệ thể tích thành phần gốm kim loại tương ứng, z trục tọa độ theo phương pháp tuyến bề mặt kết cấu z Bề mặt giàu gốm h/2 x -h/2 Bề mặt giàu kim loại Hình Mô hình kết cấu vật liệu FGM Tính chất hiệu dụng vật liệu xác định theo biểu thức sau [1], [2]: k  z 1 Pe   Pc  Pm      Pm h 2 (2) Pe, Pc, Pm tính chất hiệu dụng (mô đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số giãn nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt) vật liệu FGM, gốm, kim loại tương ứng Còn hệ số Poisson thường lấy số ảnh hưởng đến đáp ứng kết cấu không đáng kể, [3] nhiều công trình nghiên cứu khác 2.2 Mô hình toán giả thiết Vỏ trụ thoải vật liệu có tính biến thiên, chịu tác dụng tải trọng điều hòa phân bố, có chiều dọc trục Oy hợp với mặt phẳng xOy góc α, kích thước vỏ hình z y L O x a f0 P (t ) R α θ/2 θ/2 Hình Mô hình toán Vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi, vỏ có chiều dày thỏa mãn lý thuyết Reissner Mindlin y y v4 v3 z u4 v1 w4 w1 v2 u1 u3 u2 x a) Phần tử phẳng chịu kéo (nén) θz1 θy1 θx1 w3 θz4 θy4 θx4 θz3 θy3 θx3 w2 θ z2 θy2 θx2 x b) Phần tử vỏ phẳng chịu uốn-xoắn kết hợp Hình Mô hình phần tử vỏ chịu kéo (nén) phần tử vỏ chịu uốn-xoắn 770 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Vỏ thoải rời rạc hoá phần tử phẳng, theo vỏ tổ hợp hữu hạn phần tử phẳng bốn nút, phần tử xem tổ hợp hai loại phần tử: phần tử phẳng bốn nút, nút có hai bậc tự (ui, vi) phần tử phẳng bốn nút chịu uốn - xoắn kết hợp, nút có bốn bậc tự (wi, xi, yi, zi), thể hình 3 QUAN HỆ ỨNG XỬ CƠ HỌC 3.1 Quan hệ biến dạng chuyển vị Chuyển vị điểm có tọa độ (x,y,z) thuộc phần tử vỏ phẳng thời điểm t có dạng [4]: u  x, y, z, t   u  x, y, t   z y  x, y, t     v  x, y, z, t   v0  x, y, t   zx  x, y, t     w  x, y, z, t   w  x, y, t  (3) đó: u, v w tương ứng chuyển vị dài dọc theo trục x, y z điểm có tọa độ (x,y,z); u0, v0 w0 tương ứng chuyển vị dài dọc theo trục x, y z mặt trung bình; x, y góc xoay pháp tuyến mặt phẳng quanh trục x y Khi kể đến biến dạng mặt trung bình, thành phần véctơ biến dạng quan hệ với trường chuyển vị (3) theo biểu thức [4]:   x y  xy  yz  xz  T    m  z  u           c    c     (4) đó: m  ,  , c  véc tơ biến dạng màng, véc tơ độ cong, véc tơ biến dạng trượt tương ứng xác định sau: 2   u    w       x   x    2  v0    w   L N m   m  m        y     y    u v0   w w       x   x y   y        (5)   N đó:  L m - chuyển vị màng tuyến tính;  m - chuyển vị màng phi tuyến    x        y    y    x  xy       x y T  y    x y x   w   y     x  c    xz    w   yz    x   y  (6) (7) 3.2 Quan hệ ứng suất biến dạng Giả thiết bỏ qua ứng suất pháp theo phương trục z (z = 0), quan hệ ứng suất biến dạng phần tử vỏ phẳng FGM viết dạng sau [4]: 771 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV  x   Q Q12    11  y  Q21 Q22   xy       0 xz    yz     0 0 Q66 0 C44 0   x      y       xy      xz    C55      yz  (8) với Qij , Ckl hệ số độ cứng, hệ số trượt xác định sau: Q11  Q22  E z 1  , Q12  Q21  E  z  1    E  z  , Q66  C44  C55   2  2   (9) E(z) mô đun đàn hồi vật liệu FGM, xác định sau: k  z 1 E  z    Ec  E m      E m h 2 (10) 3.3 Các thành phần nội lực Theo [4], quan hệ thành phần nội lực biến dạng biểu diễn sau: N   A     M   B    Q      B 0  m   D 0     D   0 C c   (11) đó: N  Nx , N y , N xy  T - véc tơ lực màng; M  Mx , M y , M xy  T Q  Qx , Q y  T - véc tơ mô men uốn xoắn; - véc tơ lực cắt; [A], [B], [D], [C] ma trận độ cứng màng, ma trận độ cứng tương tác màng-uốn-xoắn, ma trận độ cứng uốn ma trận độ cứng trượt tương ứng [2]: h /2 h /2 h /2   A     E  dz,  B    E  zdz,  D    E  z 2dz   h /2  h /2  h /2   k p 1   h /2    C  E z dz       1    0       h /2  (12) với  E  ma trận hệ số đàn hồi:   1   E z     E  2 1   1   0    (13) k p hệ số hiệu chỉnh cắt (thường lấy k p  / ) 772 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Áp dụng nguyên lý Hamilton cho phần tử [5], ta có: t1   T e e   U dt  t0 t1  W dt  e (14) t0 đó: T e , U e , W e động năng, lượng biến dạng đàn hồi, công gây lực điều hòa xác định theo biểu thức sau: Te  e   e T T e e q  z N N dV q       e  V      U  q We  e T   (15) T    N   L  N  e  e L 1  [Bu ]   Bw   C [Bu ]  Bw   dA q 2  e       A    e vP(t) cos  d A e e wP(t)sin  d A  A e (16) (17) A Thay (15), (16), (17) vào (14) biến đổi ta phương trình sau: [Me ]{qe}  [Ce ]{qe}  [Ke ]{qe}  {Fe} (18) đó: [Me ] - ma trận khối lượng phần tử: e  I0[Nw ] [Me ]  2424 T   [N w ]  I2 [Nx ]T [Nx ]  [N y ]T [N y ] dAe (19) A với  I0 , I2   h /2   k  z 1    z  1, z dz ;   z   c  m   h    m  h /2 e [K e ] , [C ] ma trận độ cứng kết cấu ma trận cản phần tử:   K*   k  K *  N  e  e  N  2020 [K e ]   2424   0  420    204  e e e  ; [C ]    M     K  e  K   2424  rz   44   0 (20) với α,  hệ số cản Rayleigh Véctơ chuyển vị nút phần tử: qe  u1 v1 w1 x1 y1 z1 u v4 w x4 y4 z4  T (21) {Fe } - véc tơ tải phần tử {Fe }  e [Nv ] T A Pye dAe    Nw T Pze dAe A e 773 (22) Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV Sử dụng phương pháp ma trận biến đổi tọa độ, phương trình vi phân mô tả dao động phần tử hệ tọa độ tổng thể sau: [Me ]{q e}  [Ce ]{q e}  [Ke ]{q e}  {Fe} (23) Sau tập hợp ma trận véc tơ phần tử theo theo thuật toán phương pháp PTHH ta ma trận véctơ tổng thể Khi đó, phương trình vi phân dao động vỏ FGM chịu tác dụng tải trọng động có dạng sau: [M]{q}  [C]{q}  [K]{q}  F (24) Phương trình (24) phương trình vi phân phi tuyến, tác giả sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson để giải TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN 5.1 Xác định lực tới hạn Xét vỏ trụ thoải làm vật liệu có tính biến thiên hai thành phần nhôm nhôm oxit với thuộc tính vật liệu sau: Em = 70.109N/m2, m = 2700 kg/m3, m = 0,3, Ec = 380.109N/m2, c = 3800 kg/m3, c = 0,3 Kích thước vỏ: chiều dài L = 1m, bán kính R = 1m, chiều dày h = 0,005m, liên kết ngàm cứng cạnh cong, chịu tác dụng tải trọng điều hòa có phương dọc theo trục oy hợp với mặt xoy góc α = 300, độ lớn P = P0sin(t), P0 = 595N/m,  = 320 Sử dụng chương trình tính DB FGM Shells nhóm tác giả lập để giải toán, đồng thời so sánh với kết giải phần mềm Ansys ta nhận kết đồ thị hình 4: Hình Đáp ứng độ võng vỏ theo thời gian Dựa vào đồ thị đáp ứng độ võng vỏ theo thời gian, áp dụng tiêu chuẩn ổn định động Budiansky – Roth, ta có bảng giá trị tới hạn thời gian lực bảng sau: Tham số Bảng Giá trị lực tới hạn DB_FGM_Shells Ansys Sai số [%] Thời gian tới hạn tth[s] 0,0698 0,681 2,43 Lực tới hạn Pth[N/m] 559,72 553,45 1,12 Từ kết giải toán chương trình tác nhóm tác giả lập giải phần mềm Ansys cho thấy sai số thời gian tới hạn 2,43% sai số giá trị lực tới hạn 1,12% Như vậy, mô hình chương trình tính xây dựng hoàn toàn chấp nhận 774 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV 5.2 Khảo sát số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng động vỏ 5.2.1 Ảnh hưởng số mũ tỉ lệ thể tích Khi xem xét ảnh hưởng số mũ tỉ lệ thể tích đến đáp ứng động vỏ FGM, tác giả khảo sát cho trường hợp: k = (vỏ làm nhôm oxit), k = 0,5 (vỏ làm vật liệu FGM), k = ∞ (vỏ làm nhôm) Kết đáp ứng độ võng vỏ đồ thị hình * Nhận xét: Dựa vào đồ thị hình 5, ta thấy số mũ k có ảnh hưởng lớn đến đáp ứng động vỏ Cụ thể độ võng trường hợp vỏ làm nhôm oxit nhỏ nhất, độ võng vỏ làm nhôm lớn độ võng vỏ FGM nằm trung gian vỏ nhôm nhôm oxit Điều hoàn toàn phù hợp với quy luật học vật liệu, đồng thời cho thấy độ tin cậy chương trình tính Hình Ảnh hưởng số mũ k đến đáp ứng độ võng vỏ FGM Bảng Giá trị lớn độ võng theo số mũ tỉ lệ thể tích Chỉ số mũ k k=0 k = 0,5 k=∞ Độ võng LN Wmax[m] 0,010578 0,014659 0,025284 Từ bảng ta thấy: độ võng lớn vỏ FGM lớn không nhiều so với vỏ làm nhôm oxit, lại nhỏ nhiều so với vỏ làm nhôm Đây tính chất ưu việt vật liệu FGM so với vật liệu thành phần 5.2.2 Ảnh hưởng tỉ số h/R Để đánh giá ảnh hưởng tỉ số h/R đáp ứng động vỏ FGM, tác giả khảo sát với giá trị h/R thay đổi từ 0,005 – 0,02 thu kết đồ thị hình Hình Ảnh hưởng tỉ số h/R đến đáp ứng độ võng vỏ FGM 775 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV * Nhận xét: Căn vào đồ thị hình 6, ta nhận thấy tỉ số chiều dày bán kính (h/R) có ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng động vỏ FGM Khi tỉ số h/R tăng, độ võng vỏ giảm Như khả chịu tải vỏ tăng lên Đây giải pháp học nhằm tăng cứng cho vỏ, nhiên cần ý đến tính kinh tế tính công nghệ kết cấu 5.2.3 Ảnh hưởng số mũ tỉ lệ thể tích đến lực tới hạn Thực khảo sát đáp ứng chuyển vị vỏ FGM theo thời gian ứng với ba giá trị khác số mũ: k = 0,5, k = 1, k = Kết thể đồ thị hình Hình Ảnh hưởng số mũ k đến lực tới hạn vỏ FGM Bảng Giá trị lực tới hạn tương ứng với số mũ tỉ lệ thể tích Chỉ số mũ k k = 0,5 k=1 k=2 Lực tới hạn Pth[N/m] 559,72 214,31 129,45 * Nhận xét: Căn vào kết khảo sát đồ thị hình bảng 3, ta thấy số mũ tỉ lệ thể tích có ảnh hưởng lớn đến lực tới hạn vỏ, lực tới hạn tỉ lệ nghịch với số mũ Kết cấu ổn định tốt số mũ nhỏ 1, thực tế để thiết kế kết cấu vỏ theo hướng tăng khả ổn định nên lựa chọn vật liệu FGM có số mũ k nhỏ KẾT LUẬN Trong báo này, tác giả xây dựng thuật toán PTHH giải toán động lực học phi tuyến vỏ FGM chịu tác dụng tải trọng động, xây dựng chương trình tính ngôn ngữ matlab tiến hành khảo sát số xác định lực tới hạn vỏ FGM Nghiên cứu số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng động vỏ FGM: ảnh hưởng số mũ tỉ lệ thể tích, tỉ số h/R; nghiên cứu ảnh hưởng số mũ tỉ lệ thể tích đến khả ổn định kết cấu vỏ FGM Thông qua kết số, rút nhận xét làm sở tham khảo để lựa chọn giải pháp hợp lý cho kết cấu vỏ FGM TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lee S L., Kim J H., Thermal post-buckling and limit-cycle oscillation of functionally graded panel with structural damping in supersonic airflow, 2009, Composite Structures (91), pp 205-211 [2] Lee S.-L., Kim J.-H., Thermal Stability Boundary of FG Panel under Aerodynamic Load, World Academy of Science, Engineering and Technology,2007, (32), pp 60 - 65 776 Kỷ yếu hội nghị khoa học công nghệ toàn quốc khí - Lần thứ IV [3] Lê Khả Hòa, Phân tích ổn định tĩnh vỏ vật liệu có tính biến thiên, Luận án tiến sĩ học, Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015 [4] Trần Ích Thịnh, Vật liệu composite học tính toán kết cấu, NXB Giáo dục, 1994 [5] Yuan K H., Qiu Z P., Nonlinear flutter analysis of stiffened composite panels in supersonic flow, Sciene China Physics & Astronomy, 2010, Vol No 2, pp 336 - 344 THÔNG TIN TÁC GIẢ Lê Thúc Định, Học viện KTQS, ledinhvhp@gmail.com, 0982.140.560 – 0919.148.167 Vũ Quốc Trụ, Học viện KTQS, vuquoctru@gmail.com, 0983.577.999 Trần Thị Hương, Trường CĐKT Lý Tự Trọng, khoinguyen020109@yahoo.com, 0988100633 777