SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỤC LỤC Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Toán học môn khoa học đòi hỏi tư lớn với lập luận chặt chẽ logic Để có kỹ đó, đòi hỏi học sinh cần phải có vốn kiến thức toán học phổ thông Tuy nhiên, thực tế cho thấy đa số học sinh thường hay lúng túng lập luận thiếu chặt chẽ đứng trước toán Một mặt, em thiếu kỹ phương pháp trình bày toán Mặt khác, em chưa nắm lý thuyết liên quan đến toán mà em thực hiện, có nhiều lúc mang tính máy móc, ngộ nhận chưa thật hiểu sâu chất vấn đề Trong chương trình đại số toán học phổ thông, mảng kiến thức lượng giác tương đối rộng chiếm vị trí quan trọng, đặc biệt phương trình lượng giác Với hệ thống công thức tương đối nhiều nhiều dạng phương trình khác nhau, đứng trước toán lượng giác học sinh thường hay lúng túng biến đổi theo hướng áp dụng công thức nên thường gặp nhiều khó khăn.Việc giải phương trình lượng giác khó việc so sánh nghiệm phương trình với điều kiện ban đầu phương trình lượng giác có điều kiện lại khó khăn Có nhiều học sinh kỹ giải tốt việc so sánh nghiệm với điều kiện thường gặp nhiều khó khăn, chí có học sinh giải xong không cần để ý đến điều kiện ban đầu phương trình kết luận nghiệm, có so sánh không đầy đủ nên thường dẫn đến kết sai Nhằm khắc phục cho học sinh thiếu sót, nâng cao kỹ giải phương trình lượng giác có điều kiện cho học sinh, chọn đề tài: “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN ” nhằm nêu số kỹ việc kết hợp nghiệm với điều kiện ban đầu phương trình lượng giác có điều kiện mà áp dụng công tác giảng dạy trường THPT HỢP THANH đạt kết khả quan Mục đích đề tài: Mục đích đề tài này, người viết muốn nêu cách nhìn nhận, số kỹ việc giải phương trình lượng giác có điều kiện, nhằm để trao đổi, đánh giá, góp ý từ phía đồng chí, đồng nghiệp, để từ người viết hoàn thiện trình truyền đạt tri thức, hoàn thiện việc hình thành kỹ giải phương trình lượng giác có điều kiện Đối tượng phạm vi đề tài: Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài là: Một số dạng tập giải phương trình lượng giác có điều kiện nêu Sách giáo khoa sách tập Đại số Giải tích 11- Cơ nâng cao Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp để hoàn thành đề tài sở phân tích, tổng hợp số tập giải phương trình lượng giác có điều kiện nêu Sách giáo khoa tập Đại số Giải tích 11- Cơ nâng cao,cũng qua nhìn nhận, đánh giá từ thực tế tiết giảng dạy lớp Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHẦN NỘI DUNG Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận: Mỗi người tồn sống hình thành cho kỹ sống riêng Kỹ người sinh có mà hình thành từ môi trường sống, từ kinh nghiệm sống thói quen người Để hình thành kỹ đơn giản mà phải trải qua trình dài sở đúc rút kinh nghiệm vốn có, sở phân tích, tổng hợp khái quát hoá Kỹ giải toán hiểu kỹ xảo, thủ thuật trình giải toán Đối với dạng toán mang cách giải với thử thuật riêng mà việc hình thành cho học sinh thủ thuật điều thật cần thiết cho người học toán Việc hình thành cho học sinh kỹ giải toán không mang lại cho học sinh có cách nhìn tổng quát mặt phương pháp dạng toán đó, mà giáo dục cho học sinh biết phân tích, xem xét để tình cụ thể, công việc cụ thể vận dụng khả hợp lý Đồng thời góp phần bồi dưỡng cho ngưòi học đức tính cần thiết người lao động sáng tạo tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, kỹ phân tích, tổng hợp vật, tượng Cơ sở thực tiễn: Mỗi dạng toán đại số thường có sơ đồ, phương pháp, quy trình giải riêng phương trình lượng giác vậy, có phương pháp giải phương trình đơn giản Tuy nhiên, giải phương trình lượng giác có điều kiện phương pháp chung để kiểm tra nghiệm sau giải với điều kiện ban đầu, thường làm cho học sinh lúng túng Cho nên việc hình thành cho học sinh kỹ so sánh nghiệm, loại bỏ trường hợp trùng với điều kiện ban đầu giải phương trình lượng giác có điều kiện điều cần thiết thiết thực cho người học Hơn trình dạy học thấy học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn việc giải phương trình lượng giác, đặc biệt phương trình lượng giác có điều kiện Trong phương trình học sinh hay mắc lỗi không để ý kết hợp nghiệp nêu điều kiện phương trình dẫn đến kết luận nghiệm phương trình bị sai Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Chương II: NỘI DUNG Phương trình lượng giác loại phương trình siêu việt, có nét đặc trưng riêng so với phương trình đại số thông thường khác Việc so sánh nghiệm với điều kiện giải phương trình đại số thông thường tương đối đơn giản, tuý so sánh số thay hữu hạn nghiệm phương trình nhận vào điều kiện để kiểm tra Tuy nhiên việc làm phương trình lượng giác tương đối khó khăn nghiệm phương trình lượng giác hữu hạn nghiệm mà vô số nghiệm (họ nghiệm), họ nghiệm lại có giá trị thoả mãn, có giá trị không, nên thường làm cho học sinh lúng túng Những kỹ mà trình bày không mang ý nghĩa tuý mặt lượng giác mà xem cách “ đại số hoá ” từ việc kiểm tra mặt lượng giác sang kiểm tra, so sánh mặt đại số thông thường Cũng yếu tố mà làm cho học sinh dễ hiểu nhẹ nhàng * Phương trình lượng giác: Là phương trình có chứa hàm số lượng giác sin, cos, tan, cotan Khi giải phương trình lượng giác ta cần ý phân làm hai loại phương trình là: + Phương trình điều kiện như: Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm sinx cosx ( hàm sin x cosx xác định với giá trị x) + Phương trình có điều kiện như: Phương trình chứa hàm tan, cotan, chứa phân thức Khi giải phương trình cần ý đến điều kiện kết luận nghiệm phương trình tránh tình trạng thừa (thiếu) nghiệm I) Phương trình lượng giác có điều kiện: Khái niệm: Những phương trình lượng giác có chứa ẩn mẫu chứa ẩn hàm số tan cotan, đầu đề người ta cho điều kiện ràng buộc ẩn số, gọi chung phương trình lượng giác có điều kiện Ví dụ : 1) tan(2 x + 30 ) − = , có điều kiện là: cos x + 30 ≠ ( ) sin x ≠ cos x ≠ 2) tan x − cot x + = , có điều kiện là:  sin x = , có điều kiện là: cos x ≠ cos x − 4)Tìm x ∈ [ 0;14] thoả phương trình: 3) cos x − cos x + cos x − = 5) Tìm m để phương trình: (m+2) sin x + m cos x = có hai nghiệm Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM II) Phương pháp tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện: Những phương trình lượng giác có điều kiện thỏa mãn: Khi giải phương trình lượng giác có chứa hàm tanx cotx ta phải nhắc nhở học sinh ý đến điều kiện tồn (có nghĩa) phương trình Nhưng giải nghiệm kết hợp nghiệm với điều kiện đầu ta thấy nghiệm tìm thỏa mãn Như biết, phương trình lượng giác có chứa tan f ( x) , cot f ( x ) có điều kiện cos f ( x ) ≠ , sin f ( x) ≠ Tuy nhiên, việc giải phương trình mà lại đưa phương trình tan f ( x) = a , cot f ( x ) = a , sau giải nghiệm không cần kiểm tra lại điều kiện cos f ( x) ≠ , sin f ( x ) ≠ mà nghiệm thoả mãn 1 2 ⇒ cos f ( x ) = Thật vậy, ta biết: + tan f ( x) = cos f ( x) + tan f ( x ) Do đó, giá trị x làm cho tan f ( x ) = a ( nghĩa nghiệm phương trình) làm cho cos f ( x) ≠ 1 2 ⇒ sin f ( x ) = Hoàn toàn tương tự: + cot f ( x) = sin f ( x ) + cot f ( x ) Bởi vậy, giá trị x làm cho cot f ( x ) = a ( nghĩa nghiệm phương trình) làm cho sin f ( x) ≠ Trong sách Đại số Giải tích 11, nâng cao (kể Sách giáo khoa Bài tập) giải phương trình dạng : a tan f ( x) + b = , a cot f ( x) + b = , a tan f ( x) + b tan f ( x) + c = , a cot f ( x) + b cot f ( x ) + c = , người ta lại lơ điều kiện cos f ( x) ≠ sin f ( x) ≠ Vì sao? Bởi vì, phương trình có điều kiện cos f ( x ) ≠ sin f ( x) ≠ Hơn nữa, sau giải phương trình đưa dạng phương trình bản: tan f ( x) = α cot f ( x ) = α nên theo phân tích nghiệm phương trình thoả mãn điều kiện ban đầu Sau số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: cot x − = Bài giải: π cot x − = ⇔ cot x = ⇔ cot x = ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Vậy nghiệm phương trình là: x = π + kπ ( k ∈ Z ) Trong lời giải bỏ qua điều kiện phương trình sin x ≠ Nếu đặt điều kiện sin x ≠ sau tìm nghiệm x= π + kπ ( k ∈ Z ) , kiểm tra lại điều kiện ta thấy: 1 k = 2m ≠ 0,  π   sin  + kπ ÷ =  k = 2m + 6   − ≠ 0,   Như nghiệm phương trình thoả mãn điều kiện sin x ≠ Ví dụ 2: Giải phương trình: tan x + tan x + = Bài giải: π  x = − + kπ  tan x = −1  (k ∈ Z )  tan x + tan x + = ⇔ ⇔  tan x = −  x = arctan(− ) + kπ   π Vậy nghiệm phương trình là: x = + kπ , x = arctan(− ) + kπ ( k ∈ Z ) ( Trong lời giải bỏ qua điều kiện cos x ≠ nghiệm thoả mãn) Ví dụ 3: Giải phương trình: (3 tan x + ) (2s in x - 1) = Bài giải: Điều kiện: sinx ≠ 3 t anx + = Ta có: (3 tan x + ) (2s in x - 1) = ⇔   2s inx −1 =  5π  x = + kπ ; ( k∈ Z)    t anx = − π ⇔  ⇔  x = + k2π ; ( k∈ Z)   s inx =    x = 5π + k2π ; ( k∈ Z)  Các giá trị thoả mãn điều kiện phương trình điều kiện là: Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM sinx ≠ giải ta nghịêm sinx = ≠ ( thoả mãn) ≠ (thoả mãn, tanx = sinx = 0)  5π  + k2π ; ( k∈ Z)  tập tập giá Trong tập giá trị  x =    5π  + kπ ; ( k∈ Z)  ( k chẵn) trị:  x =   Vậy nghiệm phương trình cho là: tanx = − x= 5π π + kπ ; ( k∈Z) x = + k2π ; ( k∈ Z) 6 Tóm lại: Khi giải phương trình bậc bậc hai hàm số tang cotang ta thường bỏ qua điều kiện nghiệm nhận thoả điều kiện toán • Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1) 2tan x + 3cot x = 2) tan2 x = 3) tan x + tan2 x + tan3 x + cot x + cot2 x + cot3 x = 4) tan x + cot x = 5) tan x + -2=0 c otx + t anx = cos x 1 = sin x − 7) s inx − s inx sin x 6) Một số kỹ tìm nghiệm phương trình lượng giác có điều kiện: 2.1: Kỹ 1: Biểu diễn điều kiện phương trình nhận sau giải hàm số lượng giác: Khi giải phương trình lượng giác có phương trình không cần giải phương trình điều kiện để tìm giá trị x cụ thể mà ta viết điều kiện dạng hàm số lượng giác Sau biến đổi giải phương trình cho ta đưa phương trình ban đầu phương trình hàm số lượng giác lúc ta so sánh với điều kiện phương trình Phương pháp tương đối thuận lợi việc so sánh nghiệm với điều kiện ban đầu, cần cho học sinh so sánh giá trị nhận hàm số Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM phương trình lượng giác sau giải với giá trị bị loại hàm số điều kiện ban đầu Sau số ví dụ minh hoạ: cos x = (1) Ví dụ 4: Giải phương trình: − sin x ( Bài tập 4- Sách giáo khoa ĐS & GT 11- Cơ bản- Trang 29) Bài giải: Điều kiện: − sin x ≠ ⇔ sin x ≠ Khi đó: (1) ⇔ cos x = ⇔ sin x = ±1 Đối chiếu với điều kiện ta thấy có sin x = −1 thoả mãn Do đó: sin x = −1 ⇔ x = − π π + k 2π ⇔ x = − + kπ Vậy nghiệm phương trình là: x = − (k ∈ Z) π + kπ ( k ∈ Z ) sin x = (2) cos x − ( Bài tập 2.4a - Sách tập ĐS & GT 11- Cơ bản- Trang 23) Bài giải: Điều kiện: cos x − ≠ ⇔ cos x ≠ Khi đó: (2) ⇔ sin x = ⇔ cos x = ±1 Đối chiếu với điều kiện ta thấy có cos x = −1 thoả mãn π 2π (k ∈ Z) Do đó: cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ⇔ x = + k 3 π 2π (k ∈ Z) Vậy nghiệm phương trình là: x = + k 3 + cos x sin x = Ví dụ 6: Giải phương trình: (3) cos x − cos x ( Bài tập 49- Sách giáo khoa ĐS & GT 11- Nâng cao - Trang 48) Bài giải: sin x ≠ ±1 cos x ≠ sin x ≠ ±1 ⇔ ⇔ Điều kiện:   2 sin x ≠ 1 − cos x ≠ sin x ≠  Ví dụ 5: Giải phương trình: Khi đó: ( 3) ⇔ (1 + cos x )(1 − cos x ) = cos x sin x ⇔ (1 − cos x ) = cos x sin x 2 ⇔ sin 2 x = cos x sin x ⇔ sin x cos x = cos x sin x Nguyễn Thị Mai Chinh Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ⇔ sin x cos x − cos x sin x = ⇔ sin x cos x(2 sin x − 1) =    sin x = sin x = sin x =    ⇔ cos x = ⇔ sin x = ⇔ sin x = ±1    1 sin x = sin x = sin x = 2    Đối chiếu với điều kiện ta thấy có sin x = thỏa mãn π 5π + k 2π x = + k 2π 6 + =0 Ví dụ 7: Giải phương trình: tan x − cos x Bài giải Điều kiện: cosx ≠ Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = Đặt t = (k ∈ Z) ; ta có phương trình bậc hai t: t2 – 4t + = cos x ⇔ t=2 ⇔ cosx = ⇔ cosx = cos π Vậy nghiệm phương trình cho x = ± π + k2π ( k∈Z) • Bài tập áp dụng: Giải phương trình lượng giác sau: 1) + t anx = s inx + cos x 1 + 2) s inx + cos x = t anx c otx 3) + t anx = 2 s inx 4) + tanx = sinx + cosx 2.2: Kỹ 2: Sử dụng phép biến đổi lượng giác Kỹ thường dùng phương trình nhận điều kiện biểu diễn hàm số lượng giác không loại cung không hàm số lượng giác Khi ta biến đổi tiếp phương trình lượng giác nhận để đưa đẳng thức lượng giác có hàm số lượng giác loại cung với điều kiện để thay điều kiện vào kiểm tra Sau số ví dụ để minh hoạ: Nguyễn Thị Mai Chinh 10 Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Ví dụ 8: Giải phương trình: cos x tan x = (4) ( Bài tập 5c- Sách giáo khoa ĐS & GT 11- Cơ - Trang 29) Bài giải: Điều kiện: cos x ≠ cos x = Khi đó: ( ) ⇔  (4’)  tan x = 2 cos x − = cos x = cos x = ⇔ ⇔ ⇔ (4”) cos x = ±  tan x = sin x =  Thay cos x = vào (4”) ta thấy không thoả mãn nên nghiệm (4’) nghiệm (4) π π π   x = + k π x = + k cos x = ⇔ ⇔ (k ∈ Z) Do đó: ( 4) ⇔    tan x =   x = kπ  x = kπ Vậy nghiệm phương trình (4) là: x = π π + k x = kπ (k ∈ Z) Ví dụ 9: Giải phương trình: tan x + tan x = sin x cos x (5) ( Bài tập 36d- Sách giáo khoa ĐS & GT 11- Nâng cao - Trang 42) Bài giải: sin x ≠ ±1 sin x ≠ ±1 cos x ≠  ⇔ ⇔ Điều kiện:  sin x ≠ ± cos x ≠ − sin x ≠     Khi đó: sin x sin x + = sin x.cos x ⇔ sin x.cos x + cos x.sin x = sin x.cos x.cos x ( 5) ⇔ cos x cos x ⇔ sin 3x − sin 3x cos x cos x = ⇔ sin 3x(1 − cos x cos x) = sin x = sin 3x = ⇔ ⇔  2 1 − cos x cos x = cos x + cos x − = sin 3x = sin 3x =  ⇔  cos x = ⇔  (5’) cos x =    cos x = −2 3 sin x − sin x = ⇔ (5”) 1 − sin x = Nguyễn Thị Mai Chinh 11 Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lần lượt thay sin x = ±1 sin x = ± vào trường hợp (5”) ta thấy không thoả mãn nên nghiệm (5’) nghiệm (5) π  x = k sin 3x = 3 x = kπ π ⇔ ⇔ (k ∈ Z) ⇔x=k Do đó: ( 5) ⇔   cos x = 2 x = k 2π  x = kπ Vậy nghiệm phương trình là: x = k π (k ∈ Z) Ví dụ 10: Giải phương trình sau: cos x + s inx = − cos x + s inx + Bài giải: Đặt cosx + sinx + = t Điều kiện t ≠ Khi phương trình cho trở thành: t = 4− t = (TM ) ⇔ t − 4t + = ⇔  t t =1 (TM ) Bài toán trở toán giải phương trình dạng asinx + bcosx = c * Với t = ta có: cosx + sinx + = π π  ⇔ sin  + x ÷= ⇔ x = − + kπ ( k∈Z) 6  * Với t = ta có: cosx + sinx + = hay cosx + sinx = π π  ⇔ sin  + x ÷= ⇔ x = + k2π ( k∈Z) 6  Vì t = t = thoả mãn điều kiện phương trình nên hai họ nghiệm nghiệm phương trình cho Vậy nghiệm phương trình cho π π x = − + kπ ( k∈Z) v x = + k2π ( k∈Z) Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1) tanx + tan2x = tan3x 2) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = =3 3) 3cos3 x + 4sin x + 3cos3 x + 4sin x − Nguyễn Thị Mai Chinh 12 Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.3: Kỹ 3: Dùng phản chứng Kỹ thường dùng điều kiện nghiệm tìm khó đưa hàm số lượng giác để sử dụng hai kỹ Khi ta tìm nghiệm cụ thể , sau giả sử điều kiện nghiệm trùng để kiểm tra xem đẳng thức nhận có xảy khả hay không Để sử dụng kỹ học sinh cần nhớ tính chất số học là: “ Với số nguyên dương n cho trước, số nguyên tập Z biểu diễn dạng n.k + i ( ≤ i ≤ n − 1, k ∈ Z ) ” Sau số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 11: Giải phương trình: sin x cot x = (6) ( Bài tập 5d- Sách giáo khoa ĐS & GT 11- Cơ - Trang 29) Bài giải: Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ lπ ( l ∈ Z ) π  x = k 3x = kπ  sin x = ⇔ ⇔ (k ∈ Z )  Khi đó: ( 6) ⇔  π  cot x = π x = + k π   x = + kπ   Kiểm tra điều kiện: π * Nghiệm x = + kπ thoả điều kiện (Vì cot x = ⇒ sin x ≠ (theo phần (1)) π π : Giả sử k = lπ ⇔ k = 3l ( k , l ∈ Z ) 3 π Như họ nghiệm x = k nhận với k = 3l + k = 3l + ( l ∈ Z ) * Nghiệm x = k Vậy nghiệm phương trình (6) là: π π 2π + lπ l ∈ Z x = + lπ , x = + lπ x = 3 Ví dụ 12: Giải phương trình: π  sin  + x  cot x + sin ( π + x ) − cos x = (7) 2  ( Bài tập 1.64a- Sách tập ĐS & GT 11- Nâng cao - Trang 19) Bài giải: ( Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ lπ ⇔ x ≠ l Khi đó: ( ) ⇔ cos x cos 3x − sin x − Nguyễn Thị Mai Chinh sin 3x ) π (l ∈ Z ) cos x = 13 Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ⇔ cos x cos x − sin x sin x − cos x sin x = ⇔ cos x − cos x sin x = ⇔ cos x − sin x = π π π   x = + k π x = + k   10 cos x =   π 2π π ⇔ ⇔  3 x = + k 2π ⇔  x = + k (k ∈ Z ) sin x =   12    π   3x =  x = π + k 2π + k 2π    4 π 2π π 2π (k ∈ Z ) Rõ ràng hại họ nghiệm x = + k x = + k 12 thoả mãn điều kiện ( Vì nghiệm phương trình sin x = ≠0 π π Ta kiểm tra họ nghiệm x = + k : 10 ( Giả sử π π π + k = l ⇔ + 6k = 10l ( *) 10 ) ( k, l ∈ Z ) Đẳng thức (*) không xảy vế trái số lẻ vế phải số chẵn, nghiệm π + kπ không vi phạm điều kiện 10 π 2π π 2π π (k ∈ Z ) + kπ , x = + k Vậy nghiệm (7) là: x = x = + k 10 12 Ví dụ 13: Giải phương trình: cot x cot x = (8) ( Bài tập 2.6d- Sách tập ĐS & GT 11- Cơ - Trang 23) Bài giải: π  x ≠ l  sin x ≠ (l ∈ Z ) ⇔ Điều kiện:   π sin x ≠  x ≠ l  Khi đó: ( 8) ⇔ cos x cos 3x = sin x sin 3x ⇔ cos x cos 3x − sin x sin 3x = π π π ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ ⇔ x = +k (k ∈ Z) 10 π π + k với điều kiện ban đầu Bây ta kiểm tra họ nghiệm x = 10 x= Nguyễn Thị Mai Chinh 14 Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Với x ≠ l π π π π + k = l ⇔ + 2k = 5l , đẳng thức xảy , giả sử: 10 2 k = + 5m l = + 2m ( m ∈ Z ) π π π π + k = l ⇔ + 6k = 10l - Với x ≠ l , giả sử: 10 ( Vô lý, vế phải chẵn, vế trái lẻ) Vậy nghiệm phương trình là: x = 3π 7π π + mπ , x = + mπ + mπ , x = 10 10 10 9π + mπ ( m ∈ Z ) 10 2.4: Kỹ 4: Ràng buộc nghiệm Kỹ dùng giải phương trình lượng giác mà điều kiện phương trình cho đầu đề hay với phương trình chứa tham số Khi giải nghiệm, ràng buộc nghiệm với điều kiện ban đầu để tìm giá trị số nguyên có họ nghiệm, sau thay ngược giá trị vào họ nghiệm ta nghiệm thoả điều kiện ban đầu toán Sau số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 14: Tìm nghiệm phương trình sau khoảng ( 0;2π ) : sin x (9) = cos x − sin x ( Bài tập 1.50- Sách tập Đại số & Giải tích 11- Nâng cao- Trang 16) Bài giải: Điều kiện: sin x ≠ ⇔ x ≠ π ( x ∈ (0;2π ) ) * Với x ∈ ( 0; π ) ⇒ sin x > : ( 9) ⇔ = cos x − ⇔ cos x = (Vô nghiệm) 2 * Với x ∈ ( π ;2π ) ⇒ sin x < : 2π  x = + k 2π  1 ( 9) ⇔ −1 = cos x − ⇔ cos x = − ⇔  (k ∈ Z) 2  x = − 2π + k 2π  2π + k 2π , ta có: Vì x ∈ ( π ;2π ) , nên: + Với nghiệm x = x= Nguyễn Thị Mai Chinh 15 Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2π   1 + k 2π < 2π π < 1 < + 2k <  y = f (t ) ⇔  ⇔  −4 m < −1  m >   m < −  Vậy phương trình có nghịêm ⇔  m >  • Cách 2: Phương trình (12) có nghiệm ⇔ phương trình (12’’) có nghiệm thuộc khoảng ( -1; 1) TH1: Phương trình (12’’) có nghiệm t = -1 ⇔ m = − 1 với m = − 4 t = −1 Phương trình (12’’) có nghiệm  không thoả mãn điều kiện đề t = >  Nguyễn Thị Mai Chinh 18 Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TH2: Phương trình (12’’) có nghiệm t = ⇔ m = 1 với m = phương 4 t = −1 ∉( −1;1) không thoả mãn trình (12’’) có nghiệm  t = −  TH3: Phương trình (12’’) có nghiệm nằm nghiệm nằm (-1; 1)  m >  ⇔f (−1) f (1) [...]... Vậy nghiệm của phương trình là: x = 3π 7π π + mπ , x = + mπ và + mπ , x = 10 10 10 9π + mπ ( m ∈ Z ) 10 2.4: Kỹ năng 4: Ràng buộc nghiệm Kỹ năng này chỉ dùng khi giải phương trình lượng giác mà điều kiện của phương trình được cho ngay đầu đề bài hay với các phương trình chứa tham số Khi đó chúng ta giải ra nghiệm, ràng buộc nghiệm với điều kiện ban đầu để tìm các giá trị của số nguyên có trong họ nghiệm,... (12’’) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( -1; 1) TH1: Phương trình (12’’) có nghiệm t = -1 ⇔ m = − 1 1 khi đó với m = − thì 4 4 t = −1 Phương trình (12’’) có 2 nghiệm  4 không thoả mãn điều kiện đề bài t = > 1  3 Nguyễn Thị Mai Chinh 18 Trường THPT Hợp Thanh SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TH2: Phương trình (12’’) có nghiệm t = 1 ⇔ m = 1 1 với m = thì phương 4 4 t = −1 ∉( −1;1) không thoả mãn trình (12’’) có. .. k 2π  x = kπ Vậy nghiệm của phương trình là: x = k π 3 (k ∈ Z) Ví dụ 10: Giải phương trình sau: 3 cos x + 3 s inx = 3 − cos x + 3 s inx + 1 Bài giải: Đặt cosx + 3 sinx + 1 = t Điều kiện t ≠ 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành: t = 4− t = 3 (TM ) 3 ⇔ t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔  t t =1 (TM ) Bài toán trở về bài toán giải phương trình dạng asinx + bcosx = c * Với t = 1 ta có: cosx + 3 sinx + 1 = 1 π π... 12 6 12 ⇔ k = 0    k ∈ Z k ∈ Z 5π Do đó trường hợp này ta có nghiệm: x = 6 π 5π ,x =π Vậy nghiệm của phương trình (10) là: x = 0, x = , x = 6 6 và x = 2π sin 6 x + cos 6 x Ví dụ 16: Cho phương trình: = m tan 2 x (12) cos 2 x − sin 2 x + Với nghiệm x = 1) Giải phương trình với m = − 1 4 2) Với m = ? thì phương trình có nghiệm? Bài giải 3 1 1 − sin 2 2 x 1 sin 2 x (12’) 1) Với m = − thì (12) trở... ta có: f’(t) = hay f’(t) = > 0 , ∀t ≠ 0 2 t t2 ⇒ f(t) luôn đồng biến với ∀t ≠ 0 và t ∈ ( −1;0 ) ∪ ( 0;1) Lập bảng biến thiên: T -1 0 f’(t) 1 + + +∞ f(t) -1 1 -∞ Để phương trình có nghiệm thì đường thẳng y = -4m phải cắt đồ thị 1  m < −   −4 m > 1 4 y = f (t ) ⇔  ⇔  −4 m < −1  m > 1  4 1  m < −  4 Vậy phương trình có nghịêm ⇔  m > 1  4 • Cách 2: Phương trình (12) có nghiệm ⇔ phương trình. .. + kπ ( k∈Z) 6  6 * Với t = 3 ta có: cosx + 3 sinx + 1 = 3 hay cosx + 3 sinx = 2 π π  ⇔ sin  + x ÷= 1 ⇔ x = + k2π ( k∈Z) 3 6  Vì t = 1 và t = 3 đều thoả mãn điều kiện của phương trình nên cả hai họ nghiệm trên đều là nghiệm của phương trình đã cho Vậy nghiệm của phương trình đã cho π π x = − + kπ ( k∈Z) v à x = + k2π ( k∈Z) 6 3 Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1) tanx + tan2x = tan3x... cos3x =0 cos x + 1 x 2 2) Tìm các nghiệm trên khoảng [0;2 π ] của phương trình: tan = t anx 3) Tìm các nghiệm trên khoảng [1800; 2700] của phương trình: tanx + 2cotx = 3 4) Tìm các nghiệm của phương trình: 2+ 3 3 với 1800 ≤ x ≤ 3600 t anx + c otx = 2 2 5) Giải phương trình: cos3x = m cosx với giá trị nào của m thì phương 3π   trình đã cho có 5 nghịêm thuộc  −π ; ÷  Nguyễn Thị Mai Chinh 19 2  Trường... TH3: Phương trình (12’’) có 1 nghiệm nằm trong và một nghiệm nằm ngoài (-1; 1) 1  m >  4 ⇔f (−1) f (1)