SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có thể nói tốn bất đằng thức nói chung tốn tìm GTNN, GTLN nói riêng tốn quan tâm đến nhiều kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt với xu hướng đề chung Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học tốn bất đẳng thức tốn khó đề thi cần sử dụng số bất đẳng thức Sách giáo khoa học sinh gặp nhiều khó khăn số sai lầm thói quen Trong q trình tr c tiếp giảng dạy nghiên cứu t i thấy dạng tốn kh ng khó mà c n hay, l i m học sinh giỏi Để giúp học sinh hiểu sâu tốn c c trị đặc biệt trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, t i viết chun đề “Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức”, để viết sáng kiến kinh nghiệm trao đổi với đồng nghiệp Đứng trước th c trạng trên, với tinh thần u thích m n, nhằm giúp m hứng thú hơn, tạo cho m niềm đam mê, u thích m n tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức đ học, tạo tảng cho học sinh t học, t nghiên cứu Được s động viên, giúp đ thầy hội đồng m n Tốn sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp tổ Tốn – Tin học trường T T hàm Rồng T i đ mạnh dạn viết chun đề “Kü tht chän ®iĨm r¬i bất đẳng thức” II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Kiến thức đ học, tập đ luyện tập - ọc sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, t học u thích m n học - Có s khích lệ từ kết học tập học sinh th c chun đề - Được s động viên BG , nhận động viên đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp Khó khăn Giáo viên: Lê Thị Thủy SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC - Giáo viên nhiếu thời gian để chuẩn bị dạng tập - Đa số học sinh yếu bất đằng thức tốn tìm GTNN, GTLN Số liệu thống kê Trong năm trước, gặp tốn liên quan đến bất đằng thức tốn tìm GTNN, GTLN số lượng học sinh biết vận dụng thể qua bảng sau: Nhận biết, kh ng biết vận dụng Khơng nhận biết 60 66,7 Số lượng Tỉ lệ %) 20 22,2 Nhận biết biết vận dụng ,chưa giải hồn chỉnh 9,9 Nhận biết biết vận dụng , giải hồn chỉnh 1.1 III NỘI DUNG CHUN ĐỀ Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh kh ng kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn d t hoc sinh có kiến thức nâng cao cách t nhiên kh ng áp đặt kiến thức nâng cao) N i ung 2.1 BÀI TỐN MỞ ĐẦU  a, b  Bài tốn Cho  , tìm GTNN a  b  P 1  a  b2  2ab Giải Lời giải Ta có: P  1 a  b 2  4    2 2 2ab a  2ab  b  (a  b)  1  a  b2  2ab (a  b)2    (vônghiệ m) Vậy kh ng a  b  a  b  Dấu “=” xảy   tồn MinP ? ? Lời giải Ta có: P 1 a  b 2  1 4      2 6ab 3ab a  6ab  b  3ab (a  b)   4ab 3ab  ab Mặt khác ab     Vậy P    Giáo viên: Lê Thị Thủy  ab 2       ab 6     SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 1  a  b2  3ab  Dấu “=” xảy  a  b ab a  b   Lời bình: Bài tốn áp dụng bất đẳng thức Lời giải lại tách 1   Lời giải sai? a b ab 1   ? ? Làm nhận biết điều đó…? 2ab 6ab 3ab Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chun đề hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải tốn cực trị 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức qu n thuộc có ứng dụng rộng r i Đây bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, c ng cụ hồn hảo cho việc chứng minh bất đẳng thức * Bất đẳng thức Cauchy Cho n số th c kh ng âm a1, a2 , , an (n  2) ta ln có: a1  a2  L  an n  a1a2 an Dấu “=” xảy a1  a2  L  an n * Một vài hệ quan trọng:    1 1 (a1  a2  L  an )    L    n2 vớ i ai  0, i  1, n an   a1 a2 1 n2  L   vớ i ai  0, i  1, n a1 a2 an a1  a2  L  an Cho 2n số dương n  Z , n  ): a1, a2 , , an , b1, b2 , , bn ta có: n (a1  b1)(a2  b2 ) (an  bn )  n a1a2 an  n b1b2 bn Trong chứng minh bất đẳng thức, đ i việc ghép sử dụng bất đẳng thức sở kh ng thuận lợi dễ dàng Khi sử dụng liên tiếp nhiều bất đẳng thức ta phải ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện lu n thỏa m n suốt q trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian Và bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Để thấy kĩ thuật ta vào số ví dụ sau: Giáo viên: Lê Thị Thủy SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 1: Cho a  3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a+ a Phân tích tìm tòi lời giải Xét bảng biến thiên a, a a 3 S S để d đốn Min S a 10 11 12 4 5 6 7 8 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 … … 30 30 … 30 30 Nhìn lại bảng biến thiên ta thấy a tăng S lớn từ dẵn đến việc d đốn a=3 S nhận giá trị nhỏ nhất.Để dễ hiểu tạo s ấn tượng ta nói Min S= 10 đạt “Điểm rơi : a=3” Do bất đẳng thức c si xảy dấu điều kiện số tham gia phải ,nên “Điểm rơi:a=3”ta kh ng thể sử dụng bất đẳng thức c si 1  Lúc ta giả định sử dụng bất đẳng thức a a a   c si cho cặp số  ,  cho “điểm rơi:a=3”thì  tức ta có lược đồ  a  a  tr c tiếp cho số a “điểm rơi” sau đây: Sơ đồ: a       9 a=3    1   a Từ ta biến đổi th o sơ đồ “Điểm rơi”được nêu  a  8a a  10 Lời giải: S=a+ =    +   + = 9 a a Vậy với a=3 Min S= a 10 Ví dụ 2: Cho a  6.Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a + 18 a Sơ đồ điểm rơi :  18 36     a=6    a  18  a Lời giải: S=a +  18 36    18 18      a a 36      18 a Giáo viên: Lê Thị Thủy  a2 = 2    18   a 18       a + a + 1      a  6 a  6 SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC a a =6  + 1   6     1  .6 =36 +3 a  6  6 6 Vậy với a=6 Min S=2a+3  a, b  1 , tìm GTNN biểu thức P  2   4ab ab a b a  b  Ví dụ 3: Cho  Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta có : 1 4      4ab  2   4ab    4ab  2  2ab 2ab a b a  b  2ab 2ab (a  b)  2ab  1  4ab  4ab  2 Vậy P   2 nên MinP  2(2  2) Mặt khác 2ab 2ab P Sai lầm 2: 1   1 1    4ab   4ab   4 2  6  2 4ab  4ab (a  b) 2ab 4ab 4ab 4ab a  b ab  a  b  2ab  1   a  b  Thay a  b  Dấu xảy  a 2b2  vào ta 16  a  b   P   MinP  a  b  P Ngun nhân sai lầm: Sai lầm 1: ọc sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1   ab 2ab 2ab thói qu n để làm xuất a2  b2  2ab  (a  b)2 a  b   MinP   2    4ab  VN Dấu “=” bất đẳng thức kh ng xảy   2ab a  b  kh ng kết luận MinP   2 Sai lầm 2: ab ọc sinh đ có khái niệm điểm rơi, d đốn dấu 1 nên đ tách số hạng MinP  a  b  đúng, 2 bước cuối học sinh làm sai Ví dụ (1 x)2  x  x , dấu xảy x   Min ( x  1)2  x   1?? Lời giải đúng: Giáo viên: Lê Thị Thủy SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC biểu thức đối xứng với a, b , ta d đốn MinP đạt a  b  Do , ta có: 1   1   ab     ab  7   4ab  4ab (a  b)2 2ab a2  b2 2ab   ab 4    a  b  2ab  1  ab Dấu xảy  a 2b2  16  a  b    a, b  1 Ví dụ 4: Cho  , tìm GTNN biểu thức S  3   a b a b ab a  b  P Sai lầm thường gặp: Ta có: 1 2 2 1       3    2 2 2  a b ab  a b 3a b 3ab 3a b 3ab a  b  3a b  3ab  1 59       (a  b)3 ab  a b   ab ab 3.    59 MinS  a3  b3  3a2b  59 Ngun nhân sai lầm: MinS   a  b (vn) a  b   S Lời giải đúng: Ta d đốn dấu xảy a  b  , ta thấy: a3  b3  3a2b  3ab2  (a  b)3 ta muốn xuất (a  b)3 , ta áp dụng bất 1 đẳng thức 3   vậy: a  b 2a b 2ab2 1    a  b3 2a 2b 2ab (a  b)3  ab(a  b) Ta kh ng đánh giá tiếp ta phải áp dụng bất đẳng thức cho số: S 1 1 25       2 a  b 2a b 2ab 2a b 2ab (a  b)  ab(a  b) Dấu xảy a  b  Giáo viên: Lê Thị Thủy 25  20 3 ( a  b) ( a  b)  SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Bunhia Cũng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức cần có phương pháp để cân hệ số ta giải tốn liên quan đến bất đẳng thức * Bất đẳng thức Bunhia Cho 2n số dương n  Z , n  ): a1, a2 , , an , b1, b2 , , bn ta có: (a1b1  a2b2  L  anbn )2  (a12  a22  L  an2 )(b12  b22  L  bn2 ) a a a Dấu “=’ xảy    L  n (quy ước bi    0) b1 b2 bn * Một vài hệ quan trọng Dạng 1: a1  a22   an2 b12  b22  bn2   a1 b1  a2 b2   an bn  Dạng 2: a12  a22   an2  b12  b22  bn2   a1b1  a2 b2 .an bn Dạng 3: a12  a22   an2  b12  b22   bn2   a1 b1  a2 b2   an bn Dấu bằng: Dạng 1, dạng  a a a1 a a a    n ;dạng     n  b1 b2 bn b1 b2 bn a, b, c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a  b  c  Ví ụ 1:Cho  S= a  1  b2   c2  2 b c a hân tích tìm t i lời giải:Xét dang đặc biệt với n=2:   Dấu xẩy  [a12  a 22 ] b12  b22  a1b1  a b2 a1 a  0 b1 b2 Ý nghĩa: chuyển đổi biểu thức thành biểu thức khác ngồi Xét đánh giá giả định với số α, β a2  + 1  b 2 2 1 b   c  2 c2  1  2 a  2 Giáo viên: Lê Thị Thủy   2  2 a          b   2 2       a   b    2     b   b         2 a  c            2 c   a           2      c   a  (1) (2) (3) SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC    1   (a  b  c)    a  b  c   S    S 2 2 Do S biểu thức đối xứng với a, b, c nên d đốn S=S o điểm rơi a=b=c=2, tất bất đẳng thức 1), 2), 3) đồng thơi xảy dấu tức ta có sơ đồ điểm rơi sau: Sơ đồ: a=b=c=2  a  b b b  a b c         c  1 1 b c a c   a  4  1 Kết hợp với biến đổi th o “kỹ thuật điểm rơi cối ” ta có lời giải sau: Lời giải đúng: + a2  1   2  1   a  (4  )   4a   b b b  17  17  b2  1  1 2  1   b  (4  )   4b   c c c  17  17  c2  1   2  1   c  (4  )   4c   a a a  17  17   1 1 15  a b c 1  (a  b  c)          4a  4b  4c       a b c 17  17   4 a b c   15 a b c 1 1 17    66          4 a b c   45  17  17      17 Với a=b=c=2 Min S=  S a,b,c > Ví ụ 2: Cho Tìm Min S= a2  1  b2  c2  bc ca ab abc  Bình luận lời giải Phân tích để tìm lời giải: Xét đánh giá giả định với số  ,  Giáo viên: Lê Thị Thủy SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC   2         a  a   bc  b  c    (1)   2         b  b   ca  c  a    (2)   2         c  c   ab  a  b    (3)   +     _      S   (a  b  c)        S  a  b  c     2       ab bc ca  1      S o ab bc c  a    Do biểu thức đối xứng với a,b,c nên dứ đốn S=So điểm rơi a=b=c=2, bất dẳng thức 1), 2), 3)đồng thời xảy dấu tức có sơ đồ điểm rơi sau đây: *Sơ đồ điểm rơi: a a=b=c=2   b b  a b c         b  1 1 b c a c   a   4  1 Từ ta có lời giải sau đây: *Lời giải đúng:   2  2   (4  )  4a  a   bc  b  c    +   2  2   (4  )  4b  b   ca  c  a      2  2  (4  )  4b  c   ab  a  b      1   17 S  4(a  b  c)     bc ca  ab Giáo viên: Lê Thị Thủy SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC  4(a  b  c)   4(a  b  c)  a  b b  c c  a  4(a  b  c)  ab  bc  ca  4(a  b  c)  (12  12  12 )a  b   b  c   c  a  31 abc 9  ( a  b  c)    8 6(a  b  c) 6(a  b  c)  6(a  b  c) 31 abc 9 93 51   33     8 4 2 6(a  b  c) 6(a  b  c) S 51  17 3.17 3.17  2.17 Với a=b=c=2 S= 17 Ví ụ3: Cho a, b, c > thoả mãn a+b+c+ 2abc  10 Chứng minh S= 9b c a 9c a b       4 a2 b2 9a b c   6 c2 *Lời giải: D đốn điểm rơi: a = b = c = Sử dụng bất đẳng thức bunhiac pski có: +  18  9b c a     9b  ca a a2  18  9c a b     9c  ab b b2  18  9a b c     9a  bc c c2 _  1 1  24 S  4    +9(a+b+c)+ab+bc+ca a b c 4  4  4     a     b     c   (2a  bc)  (2bb  ca)  (2c  ab)  6(a  b  c) a  b  c  4 a 2 b   c  abc  abc  abc  6(a  b  c) a b c  12  6(a  b  c  2abc )  12  6.10  72  S  72 / 24  6 2 * Bài tập tương tự (trích dẫn đề thi đại học)  x, y, z  , chứng minh rằng:  xyz  Bài1: Cho  m  x3  y3 m  y3  z3 m  z  x3    3 , với xy yz zx m  N  : Nế u m  làđềthi Đại học khố i D nă m 2005 Giáo viên: Lê Thị Thủy 10 SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Bài 2: Cho x, y, z số thỏa x  y  z  , chứng minh rằng:  4x   y   4z  (đề tham khảo 2005) ab c   bc a   ca b  abc Bài 4: Cho a, b, c số dương thỏa m n a  b  c  Chứng minh rằng: a  3b  b  2c  c  3a  (ĐTK 2005) Bài 3: Cho a  2, b  3, c  , tìm GTLN: P  a,b, c  , tìm GTNN biểu thức sau: a  b  c   1 1 P 2 2   ab bc ca a b c 1 1 1 S 2 2    a b b c c  a ab bc ca 1 1 1 Q      a  bc b  ca c  ab ab bc ca Bài 5: Cho  Chú ý: Cần ý hai bất đẳng thức C si Bunhiac pxki, biết dấu hiệu dùng bất đẳng thức hát dấu hiệu có bình phương thường phải nghĩ tới Bunhiacopxki, có điều kiện số dương khả nghĩ tới C si Cách giải phải ngược qui trình th ng thường Đầu tiên phải d đốn điểm rơi xảy đâu, sau lồng ghép số bất đẳng thức cho xảy dấu điểm rơi đ d đốn… IV KẾT QỦA Chun đề đ th c giảng dạy t i tham gia dạy 10NC Luyện thi Đại học hai năm gần Trong q trình học chun đề này, học sinh th c s thấy t tin, biết vận dụng gặp tốn liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích m n tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức đ học, tạo tảng cho học sinh t học, t nghiên cứu Kết sau th c chun đề: Giáo viên: Lê Thị Thủy 11 SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Số lượng Tỉ lệ %) Khơng nhận biết 0.0 Nhận biết, kh ng biết vận dụng 3.3 Nhận biết biết vận dụng ,chưa giải hồn chỉnh 50 55.6 Nhận biết biết vận dụng , giải hồn chỉnh 37 41.1 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng tốn Kü tht chän ®iĨm r¬i bất đẳng thức nói chung đa dạng phong phú Mỗi tốn lại có nhiều cách giải khác nhau, việc l a chọn sử dụng linh hoạt kiến thức đ học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chun đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy s sáng tạo Để đạt kết cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY Q trình áp ụng Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, t i đ hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số tập phù hợp th o mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo t giải Hiệu sau sử ụng Sau học sinh học xong chun đề học sinh thấy t tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích m n tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức đ học, tạo tảng cho học sinh t học t nghiên cứu Bài học kinh nghiệm Từ th c tế giảng dạy chun đề này, kinh nghiệm rút trước hết học sinh phải n m ch c kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chun đề mở rộng, nâng cao, kh c sâu kiến thức cách hợp lý với đối tượng học sinh nhằm bồi dư ng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Giáo viên: Lê Thị Thủy 12 SKKN: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Chun đề chủ yếu đưa tập từ đơn giản đến nâng cao từ hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng tập khác để phát triển tư học sinh VII KẾT LUẬN Một tốn có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ng n gọn thú vị độc đáo việc kh ng dễ Do chun đề nhiều chun đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, s sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh n m ch c kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng tốn, thể tốn từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, b t đầu từ đâu b t đầu quan trọng để học sinh kh ng sợ đứng trước tốn khó mà tạo s t tin, gây hứng thú say mê m n tốn, từ tạo cho học sinh tác phong t học, t nghiên cứu Tuy nội dung chun đề rộng, song khu n khổ thời gian có hạn người viết ví dụ, tốn điển hình Rất mong s đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chun đề đầy đủ hồn thiện VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập đại số lớp 10, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 Tạp chí Tốn học tuổi tr năm 2010 Các dạng Tốn LT Đ han uy Khải- NXB Nội năm 2002 263 bất đẳng thức Nguyễn Vũ Thanh-NXB Giáo Dục Bất đẳng thức Trần Văn ạo-NXB Giáo Dục năm 2009 Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2013 Người th c Lê Thị Thuỷ Giáo viên: Lê Thị Thủy 13 [...]... nghiờn cu Kt qu sau khi th c hin chuyờn : Giỏo viờn: Lờ Th Thy 11 SKKN: K THUT CHN IM RI TRONG BT NG THC S lng T l %) Khụng nhn bit c 0 0.0 Nhn bit, nhng kh ng bit vn dng 3 3.3 Nhn bit v bit vn dng ,cha gii c hon chnh 50 55.6 Nhn bit v bit vn dng , gii c bi hon chnh 37 41.1 V GII PHP MI Dng toỏn Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bt ng thc núi chung rt a dng v phong phỳ Mi bi toỏn li cú rt nhiu cỏch gii khỏc... thỡ kh nng ngh ti C si Cỏch gii phi i ngc qui trỡnh th ng thng u tiờn phi d oỏn c im ri xy ra ti õu, sau ú lng ghộp cỏc s trong bt ng thc sao cho khi xy ra du bng ti ỳng im ri d oỏn IV KT QA Chuyờn ny c th c hin ging dy khi t i tham gia dy 10NC v Luyn thi i hc trong hai nm gn õy Trong quỏ trỡnh hc chuyờn ny, hc sinh th c s thy t tin, bit vn dng khi gp cỏc bi toỏn liờn quan, to cho hc sinh nim am... SKKN: K THUT CHN IM RI TRONG BT NG THC Chuyờn ny ch yu a ra cỏc bi tp t n gin n nõng cao t ú hỡnh thnh k nng, phng phỏp gii Do ú khi ging dy phi cung cp nhiu dng bi tp khỏc nhau phỏt trin t duy ca hc sinh VII KT LUN Mt bi toỏn cú th cú rt nhiu cỏch gii song vic tỡm ra mt li gii hp lý, ng n gn thỳ v v c ỏo l mt vic kh ng d Do ú õy ch l mt chuyờn trong rt nhiu chuyờn , mt phng phỏp trong hng vn phng phỏp...SKKN: K THUT CHN IM RI TRONG BT NG THC Bi 2: Cho x, y, z l 3 s tha x y z 0 , chng minh rng: 3 4x 3 4 y 3 4z 6 ( tham kho 2005) ab c 4 bc a 2 ca b 3 abc 3 Bi 4: Cho a, b, c l cỏc s dng tha m n a b c 4 Chng minh... nh th no l rt quan trng hc sinh kh ng s khi ng trc mt bi toỏn khú m dn dn to s t tin, gõy hng thỳ say mờ m n toỏn, t ú to cho hc sinh tỏc phong t hc, t nghiờn cu Tuy ni dung ca chuyờn khỏ rng, song trong khu n kh thi gian cú hn ngi vit cng ch ra c cỏc vớ d, bi toỏn in hỡnh Rt mong s úng gúp ý kin ca cỏc bn quan tõm v ng nghip chuyờn ny c y hon thin hn VII TI LIU THAM KHO 1 2 3 4 5 Bi tp i s lp