SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT DƯƠNG QUẢNG HÀM - - - - - - - - -  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC SÂU MỘT BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC Môn: Toán : LÝ CHÍ HƯỚNG N 2013-2014 SƠ YẾU LÝ LỊCH : LÝ CHÍ HƯỚNG Chứ vụ: Phó Hiệu Trưởng Đơn vị ôn t : Trường THPT Dương Quảng Hàm ên đề tà : KHAI THÁC SÂU MỘT BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC PHẦN PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Qua trình công tác giảng dạy trường THPT nhận thấy việc học toán nói chung bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải toán thân thầy, cô cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách hướng dẫn cho học sinh tiếp thu tiếp cận giải Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua toán để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động, tư sáng tạo, phát triển toán đề xuất tự làm toán tương tự nghiên cứu, bồi dưỡng Đào sâu suy nghĩ toán chủ đề lạ Thậm chí cổ điển lịch sử toán học Dạy cho học sinh nắm vững kiến thức bản, đảm bảo trình độ thi đỗ đại học khó cần thiết chưa đủ Là thầy giáo dạy toán trường THPT mong muốn có nhiều học sinh yêu quý, có nhiều học sinh đỗ đạt, có nhiều học sinh giỏi Song để thực điều người thầy cần có say mê chuyên môn, đặt cho nhiều nhiệm vụ, truyền say mê cho học trò “Khai thác sâu toán” phần việc giúp người thầy thành công nghiệp Với chút hiểu biết nhỏ bé niềm say mê toán học viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Khai thác sâu toán thi đại học” mong muốn chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán dạy toán với bạn bè tỉnh Hy vọng đề tài giúp ích phần nhỏ bé cho quý thầy cô công tác MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU -Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, rút kinh nghiệm trình giảng dạy, phát triển tư linh hoạt, sáng tạo học sinh, phát bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Thông qua đề tài này, tài liệu tham thảo có ích cho giáo viên học sinh, đặc biệt học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, thi đại học, cao đẳng 3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu phương pháp giải toán thi Đại học theo nhiều cách - Đề tài hướng tới đối tượng học sinh lớp chọn, chuyên Toán, học sinh giỏi học sinh ôn thi Đại học, học sinh khối 12 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu phương pháp thống kê, lựa chọn toán hay, độc đáo, có phương pháp giải sau phân tích, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa để làm bật phương pháp ứng rút kết luận KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU - Đề tài tác giả nghiên cứu hoàn thiện năm 2012 - 2014 PHẦN NỘI DUNG Bài toán Trong đề thi Đại học khối B năm 2007 có toán sau Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng: d: x + y – = 0; d’: x + y – = 0; điểm A(2;2) Tìm đường thẳng d diểm B đường thẳng d’ điểm C cho tam giác ABC vuông cân A Đứng trước toán học sinh thường đưa lời giải sau LG: B A C A Cách 1: Gọi B( b; – b ); C( c; – c ) điểm thuộc d d’  AB  AC Để tam giác ABC vuông cân A ta có hệ: uuur uuur   AB AC  uuur uuur Ta có: AB  (b  2; b) , AC  (c  2;  c ) (b  2)2  b2  (c  2)  (6  c) (b  2)(c  2)  b(6  c)  Hệ trở thành:  N ận xét: Là t eo Cách gặp k ó k n việ giải ệ Với tinh thần bền bỉ sáng tạo động viên học trò hướng dẫn em hai hướng giải sau: Hướng 1: Đặt ẩn p ụ đưa ệ đẳng ấp biết giải b2  2b   c  8c  20 (b  1)2  (c  4)2   bc  4b  c   bc  4b  c   Ta biến đổi hệ thành:   x2  y  b   x b  x  thay vào hệ ta được:    c   y c  y   xy  Đặt  Đến ta hệ đẳng cấp bậc biết cách giải Hướng 2: Sử dụng số p ứ Ta biến đổi hệ thành: b2  c  2b  8c  18   (b2  c  2b  8c  18)  (2bc  8b  2c  4)i   2bc  8b  2c    (b2  2bci  c )  2(b  ci )  8(bi  c)  18  4i   (b  ci)2  2(1  4i)(b  ci)  18  4i  Đến ta phương trình bậc tập số phức em dễ dàng tìm b  ci   5i nghiệm là:  có điểm B(3;1), C(5;3) B(-1;3), C(3;5) b  ci  1  3i Không dừng lại Cách Tôi hướng dẫn HS làm cách khác Cách Gọi H, K hình chiếu A d d’ta dễ dàng chứng minh hai tam giác AHB tam giác CKA tam giác ABC vuông cân A  AK  CH  BK  AH Ta có hệ:  Để tìm H K ta lập phương trình đường thẳng qua A vuông góc với d (cần ý d d’ song song) Đường thẳng cắt d d’ K H Ta có: K(1;1), H(4;4), B(b; – b ), C(c; – c ) AH  8, CH  2(c  4)2 , AK  2, BK  2(b  1)2 (c  4)  Hệ trở thành:  Giải hệ dễ dàng nhiên ta phải thử lại, loại (b  1)  nghiệm kết luận B K B A C A A H C A Tam giác ABC vuông cân A khiến cho nghĩ đến phép quay tâm A góc quay 900 Do hướng dẫn học sinh làm Cách Cách Giả sử ta có tam giác ABC vuông cân A thỏa mãn đề bài, Vậy điểm B ảnh điểm C qua phép quay tâm A góc quay 900 Ta dựng d’’ ảnh d’ qua phép quay tâm A góc quay 900 Giao điểm d d’’ điểm B Có điểm B ta dễ dàng tìm điểm C Cụ thể: Tính khoảng cách từ A đến d: d ( A; d )  2 Đường tròn tâm A bán kính R  2 có phương trình ( x  2)2  ( y  2)2  Đường thẳng d’’ tiếp tuyến đường tròn vuông góc với d’ Ta có d’’ có dạng: x –y + c = Do d’’ tiếp tuyến đường tròn: d ( A; d '')  R  22c  2  c  4 Trường ợp d’’ có phương trình: x – y + = ta có điểm B( -1;3) giao điểm d d’’ uuur uuur Gọi C(c, – c ) Ta có AC  (c  2,  c), AB  (3; 1) uuur uuur Mà tam giác ABC vuông A nên AB AC   3(c  2)  1(6  c)   c  Vậy điểm C(3;5) Trường ợp d’’ có phương trình: x – y - = ta có điểm B( 3;-1) giao điểm d d’’ uuur ur Gọi C(c, – c ) Ta có AC  (c  2,  c), AB  (1; 3) uuur uuur Mà tam giác ABC vuông A nên AB AC   1(c  2)  3(6  c)   c  Vậy điểm C(5;3) B d A d ’ C d’’ Không thỏa mãn với cách tiếp tục tìm tòi tìm Cách Cách Đây cách giải mà tâm đắc, với cách giải khiến mở rông toán thành nhiều toán thú vị, nhiều không làm theo cách gần bế tắc K A H y=2 C B d d’ Qua A kẻ đường thẳng y = song song trục hoành Giả sử có tam giác ABC vuông cân A thỏa mãn đề Gọi H, K hình chiếu vuông góc B,C đường thẳng y = Dễ dàng chứng minh tam giác AHB tam giác BKA  AK  BH CK  AH Ta có hệ:  Mà A(2;2), B(b; – b ), C(c; – c ), H(b; 2), K(c; 2) Nên AK  (c  2)2 , BH  b2 , CK  (c  6)2 , AH  (b  2)2 (c  2)  b Hệ trở thành:  2 2  (c  6)  (b  2) Giải hệ dễ dàng nhiên ta phải thử lại, loại nghiệm kết luận Tiếp tục đào sâu suy nghĩ nhận thấy giả thiết đường thẳng d d’ song song với đặc biệt, gợi ý cho toán tương tự cách dễ dàng thành công tất lời giải cách làm Nhưng thay đổi giả thiết cho hai đường thẳng d d’ cắt (không vuông góc) Cách mà đa số học sinh suy nghĩ làm theo gặp nhiều khó khăn việc giải hệ phương trình Và tất nhiên có cách làm số Cách Cách nguyên giá trị Sau dây đưa toán số Bài toán Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x – y = Và diểm A(2; 1) Tìm đường thẳng d điểm B, trục hoành điểm C cho tam giác ABC vuông cân A Khi đưa tập cho học sinh đa số em suy nghĩ làm theo Cách Và nhiều thời gian vào phương án thách thức đặt giải hệ phương trình Tất nhiên sử dụng phương pháp đưa phương trình bậc có hai nghiệm hữu tỷ tới kết Với phép quay toán giải cách nhanh chóng B A O C d d’ Giả sử ta có tam giác ABC vuông cân taị A thỏa mãn đề bài, Vậy điểm B ảnh điểm C qua phép quay tâm A góc quay 900 Ta dựng d’ ảnh Ox qua phép quay tâm A góc quay 900 Giao điểm d d’ điểm B Có điểm B ta dễ dàng tìm điểm C Cụ thể Xét đường tròn tâm A(2; 1) bán kính R = tiếp xúc với trục Ox Đường thẳng d’ tiếp xúc với đường tròn vuông góc với trục Ox có phương trình là: x = x = Trường ợp d’có phương trình: x = ta có điểm B( 3;3) giao điểm d d’ uuur uuur Gọi C(c; ) thuộc trục Ox Ta có AC  (c  2, 1), AB  (1; 2) uuur uuur Mà tam giác ABC vuông A nên AB AC   1(c  2)    c  Vậy điểm C(4; 0) Trường ợp d’có phương trình: x = ta có điểm B( 1;1) giao điểm d d’ uuur uuur Gọi C(c; ) thuộc trục Ox Ta có AC  (c  2, 1), AB  (1;0) uuur uuur Mà tam giác ABC vuông A nên AB AC   1(c  2)   c  Vậy điểm C(2; 0) 10 Việc giải hệ phương trình không khó khăn, ta cần xét trường hợp, ý thử lại, loại nghiệm kết luận Chú ý: Do vai trò B,C thuộc hai nhánh đồ thị hàm số Chúng ta giả sử b>1 c [...]... cho ta sáng tạo một dạng bài tập khác Từ một bài toán thi đại học tôi đã đào sâu suy nghĩ đưa ra được nhiều cách giải và mở rộng thành nhiều bài toán khác độ khó tăng lên rõ rệt Với phương pháp tư duy trên phần nào giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập, tạo động lực học tập một cách chủ động, tích cực của học sinh Đó chính là cái hay, cái đẹp của toán học, khiến người ta say mê toán học 24 TÀI LIỆU... khi chấm sáng kiến những SKKN nào được giải A, B, gửi về cho các trường tham khảo, học hỏi kinh nghiệm Tổ chức cho tác giả SKKN loại A báo cáo SKKN của mình để các tổ chuyên môn của các trường đi dự và học tập 23 KẾT LUẬN Nếu học sinh được biết một phương pháp mới có hiệu quả thì các em sẽ tự tin hơn trong giải quyết các bài toán dạng này và dạng tương tự Tuy nhiên mỗi bài toán có nhiều cách giải ,... huy được năng lực tư duy toán học của học sinh Qua thực tế giảng dạy các lớp chuyên đề 12A1, 12A3, 12A5 Các em rất hào hứng và sôi nổi trong việc đề xuất cách mới và bài toán mới Cụ thể kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh năm học 2012-2013 trước và sau khi áp dụng sáng kiến như sau: Tổng số học sinh Trước khi áp dụng SKKN Yếu TB Khá Giỏi kém 120 Số lượng % Sau khi áp dụng SKKN TB Khá Giỏi 5 35 60... chức cho học sinh tiếp nhận bài học một cách chủ động, tích cực, tất cả các em đều hứng thú học tập thực sự và hăng hái làm bài tập giao về nhà tương tự Phương pháp dạy học trên đây dựa vào các nguyên tắc:  Đảm bảo tính khoa học chính xác  Đảm bảo tính lôgic  Đảm bảo tính sư phạm  Đảm bảo tính hiệu quả Khi trình bày tôi đã chú ý đến phương diện sau:  Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh... luận Quay lại bài toán 1 ta n ận t ấy giả t iết ta đặ biệt Bây giờ tôi uốn ta giá ABC là ta giá ABC vuông ân tại A rất giá đều liệu kết quả ra sao ta có bài toán 3 11 Bài toán 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng: d: x + y – 2 = 0; d’: x + y – 8 = 0; và điểm A(2;2) Tìm trên đường thẳng d diểm B và trên đường thẳng d’ điểm C sao cho tam giác ABC đều Đứng trước bài toán trên học sinh thường... KINH NGHIỆM Tên SKKN: KHAI THÁC SÂU MỘT BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC III NỘI DUNG CAM KẾT Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của người khác Sáng kiến kinh nghiệm này đã áp dụng thành công trong giảng dạy tại trường THPT Dương Quảng Hàm Văn Giang, ngày 2 tháng 4 năm 2014 Người cam kết LÝ CHÍ HƯỚNG 27 XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THPT DƯƠNG QUẢNG... parabol rất quen t uộ và gần gũi tôi lại k ai t á bài toán trên đối với ột đường t ẳng và ột parabol Bài Toán 5 Cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và Parabol (P): y  x 2 , điểm A(3;2) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên parabol (P) điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A Bài toán tưởng đơn giản nhưng bắt tay vào làm mới thấy nhiều khó khăn  AB  AC Đa số học sinh đưa về hệ: uuur uuur   AB AC  0... 1 Một số ví dụ minh họa 4 3 Một số bài tập áp dụng 13 III KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 21 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo .24 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 26 Độ lập- Tự do- Hạn p ú BẢN CAM KẾT I TÁC GIẢ Họ và tên: Lý Chí Hướng Ngày sinh: 26/08/1979 Giáo viên môn: TOÁN Đơn vị công tác: Trường THPT Dương Quảng Hàm II TÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên SKKN: KHAI. .. kết luận 16 T ay đổi Parabol bằng oot Hypebol ta đượ bài toán Bài Toán 6 Cho đồ thị hàm số (H) y  x 1 và đường thẳng d : x + 2y – 5 = 0, điểm A(2;2) x 1 Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A Qua A kẻ đường thẳng y = 2 song song trục hoành Giả sử có tam giác ABC vuông cân tại A thỏa mãn đề bài Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của... sinh Đó chính là cái hay, cái đẹp của toán học, khiến người ta say mê toán học 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tác giả chỉ tham khảo một câu trong Đề thi tuyển sinh vào Đại Học khối B năm 2007 Còn lại toàn bộ sáng kiến là kinh nghiệm của tác giả tích lũy trong nhiều năm Không có trong bất cứ một tài liệu nào 25 MỤC LỤC I Phần mở đầu 1 1 Lý do chọn đề tài 1 2 Mục đích nghiên cứu