BÀI TẬP CƠ SỞ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI Bài tập Trong không gian Banach Chứng minh tập hợp hàm X   f 0;1 : f  0  f 1  0 không gian Banach với chuẩn sup : f  sup f  x  x0,1 + Chứng minh X không gian vec-tơ f o  x   x  0,1  f o  X  X   f , g  0,1; a, b  K , ta có f , g liên tục  0,1 nên af  bg liên tục  0,1 Do đó, af  bg  C 0,1 Mặt khác,  af  bg  0   af  0   bg  0  af  0  bg  0   af  bg Vậy X không gian vec-tơ + Chứng minh X không gian định chuẩn Ta có C 0,1 không gian định chuẩn với chuẩn sup  X không gian định chuẩn với chuẩn sup + Chứng minh X không gian Banach Giả sử  f n  dãy Cauchy X Ta chứng minh tồn lim fn  f  X   Vì f n dãy Cauchy nên lim f n  f m  lim  sup f n  x   f m  x    m,n m,n x0,1   Suy  f n  dãy hội tụ  0,1 Do tồn f  C 0,1 : f n   0,1   Vậy lim  sup f n  x   f  x    hay lim f n  f  0, suy lim f n  f  0,1 n n x0,1   Mặt khác, f  0  lim f n  0  lim0  ; f 1  lim fn 1  lim0  n n n n Vậy f  X , lim fn  f  X Bài tập Chứng minh không gian C k  0,1 hàm khả vi k  lần không không gian Banach với chuẩn sup Xét C1 0,1   f : 0,1   1   Đặt f n  t   0   2nt  n   : f  t  0,1 t  0, 2 1  t    ,1 ; f n liên tục  0,1  2n  1 1  t ,    2 2n  t Đặt gn  t    f n  x dx, t  0,1 ; gn  t   f n t  Vậy g n  C1 0,1 t t t0,1 0 Ta có gn  gm  sup g n  t   g m  t   sup t0,1  fn  x  dx   f m  x  dx t t t0,1 t0,1 0  sup   fn  x   fm  x  dx  sup  fn  x   fm  x  dx  fn  x   fm  x  dx  1 1  1 m,n         2 2m  2 n  2m 2n Vậy  g n  dãy Cauchy C1  0,1 n 0 Giả sử g n  g  C1 0,1 , g n  g  gn  g  sup gn  t   g  t   sup t0,1 t t  f  x  dx   g  x  dx   t0,1 n n Vì gn  g nên g n  t   g  t  , t  0,1 Với t  1: gn 1   f n  x  dx , gn 1 hội tụ suy  f n  x  hội tụ Vậy f n  x   f  x   1   1  Suy f    lim f  x   lim  , f    lim f  x   lim  1 x x   x 12   x 12 2  1   1  Vậy f    f   2  2  Điều mâu thuẫn với điều kiện f hàm liên tục khả vi k- lần Kết luận: Không gian C k  0,1 hàm khả vi k  lần không không gian Banach với chuẩn sup Bài tập Xét toán tử T : L1 0,1  L1 0,1 xác định Tf  t    f  s ds với t f  L1  0,1 t   0,1 a Chứng minh toán tử T tuyến tính liên tục b Tính chuẩn toán tử T + Chứng minh toán tử T tuyến tính liên tục Chứng minh T tuyến tính a, b  , f , g  L1 0,1 , ta có T  af  bg t     af  bg  s  ds    af  s   bg  s   ds   af  s  ds   bg  s  ds t t t t 0 0  a Tf  t   b Tg  t    aTf t   bTg t    aTf  bTg t  ; t  0,1 Suy T  af  bg  t    aTf  bTg  t  ; t  0,1 Vậy T  af  bg   aTf  bTg Chứng minh T bị chặn f  L1 0,1 : f Tf 2   f  s  ds   Tf  t  dt    Tf 2  t 2 1 t t  f  s  ds dt     f  s  ds  ds dt 0   1 1      f  s  ds dt   f 0   dt  f Suy Tf  f Do đó, T bị chặn c  Kết luận: T tuyến tính liên tục Tính chuẩn toán tử T Do T bị chặn ta có T   * 1 Đặt f o  t   t  0,1; f o  L1 0,1   fo    fo  s  ds   0,,1    1 Suy T  sup Tf  Tfo  f 1   Tf t  dt  2 o   Bài tập Với T  L  X , Y  tồn T *  L Y * , X * T *  T + T * tuyến tính a, b  K , f , g  Y * , x  X Ta có: T *  af  bg  x   af  bg Tx    af Tx    bg Tx   af Tx   bg Tx   a T * f   x   b T * g   x    aT * f  bT * g  x Suy ra: T *  af  bg   aT * f  bT * g + T * bị chặn T * f  sup T * f   x   sup f Tx   sup f Tx  f sup Tx x 1 x 1 x 1 x 1  f T  T f Vậy T * bị chặn C  T Từ chứng minh T * bị chặn ta có T *  C  T * Chọn f o phiếm hàm giá Tx : f o  Y * , f o  1, f o Tx   Tx Khi T *  sup T * f  T * f o  sup T * f o  x   sup f o Tx   sup Tx  T f 1 Vậy T *  T x 1 x 1 x 1 ** Từ *  ** có T *  T Bài tập Cho R L toán tử dời chỗ bên phải nâng bên trái không gian l2 Chứng minh R*  L R : l2 xn n  l2 R xn n   0; x1; x2 ; ; xn ;  L : l2 xm n  l2 R xm n   x2 ; x3 ; ; xn ;     x  xn n  l2   x  xn   :  xn   , f  l2* , f  a f   a1; ; an ;  n1    x, y   xn y n  x1 y1  x2 y   xn y n  n 1 Ta có Lf , x   a2 ; a3 ; ; an ;  ,  x2 ; x3 ; ; xn ;   a2 x1  a3 x2   an1 xn  f , Rx   a1; a2 ; ; an ;  , 0; x1; x2 ; ; xn ;   a10  a2 x1; ; an1 xn ;  a2 x1; ; an1 xn; Suy Lf , x  f , Rx Kết luận : R*  L Bài tập Với k  C 0,1 xét công thức Tf t   0 k t, s  f  s  ds với f  C  0,1 với t   0,1 a Chứng minh Tf  C  0,1 với f  C  0,1 b Chứng minh T tuyến tính bị chặn Tìm T t, s  0,1 k  t , s   với Chứng minh Tf  C  0,1 với f  C  0,1 Chứng minh Tf ánh xạ liên tục  0,1 Vì k liên tục 0,1  0,1 nên k bị chặn 0,1  0,1 Do M  cho k  t , s   M với  t , s  Vì k liên tục tập Compac 0,1  0,1 nên k liên tục 0,1  0,1 Ta có   0,      , t1  t2    k  t1 , s   k t2 , s    Do Tf t1   Tf t2   0 k t1, s  f  s  ds  0 k t2 , s  f  s  ds 1  Tf  t1   Tf t2    k t1, s   k t2 , s  f  s  ds    f ds   f với giá trị t1 , t2  0,1 Vậy Tf liên tục  0,1 hay Tf  C  0,1 Chứng minh T tuyến tính bị chặn T tuyến tính a, b, c  ; f , g  0,1 ta có T  af  bg t    k t , s  af  bg  s  ds   k t , s   af  s   bg  s   ds 1 0   k  t , s  af  s  ds   k t , s  bg  s  ds  a  k t , s  f  s  ds  b k t , s  g  s  ds 1 1 0 0  a Tf  t   b Tg t    aTf t   bTg t  với t   0,1 Vậy T  af  bg   aTf  bTg T bị chặn f  sup f  t  , f  0,1 t0,1 Tf  sup Tf  t   sup t0,1 t0,1  k  t , s  f  s  ds  sup  k t , s  f  s  ds t0,1  sup  k  t , s  ds sup  f  s  ds 1 t0,1 t0,1  M  f ds , với M  sup  k  t , s  ds 1 t0,1 M f Vậy T bị chặn T  M Đặt fo  t   Với t   0,1 ta có fo  0,1; fo  sup fo  t  t0,1 T  sup Tf  Tfo f 1 Tfo  sup Tfo  t   sup  k  t , s  f o  s  ds  sup  k t , s  ds  M t0,1 1 t0,1 t0,1 Vậy T  M Bài Chứng không gian định chuẩn hữu hạn chiều hội tụ hội tụ yếu tương đương Giả sử x j hội tụ yếu x Ta có f  x j   f  x  f  X * n Mỗi giá x  X có biểu diễn x   i ei ;  i  i 1 Xét ánh xạ fi : X  i  fi  x  phép chiếu tọa độ thức i x Ta có phép chiếu ánh xạ tuyến tính liên tục nên fi  X * Suy n fi  xi   fi  x   i  n với x j   ji ei i 1 Lại có x j  x   n i 1 ji  i     ji  i ei    ji  i n n i 1 i 1   fi  x j   fi  x   n i 1 Vậy: Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều hội tụ hội tụ yếu tương đương Bài tập Giả sử X không gian định chuẩn Chứng minh X hữu hạn chiều X * hữu hạn chiều X hữu hạn chiều X * hữu hạn chiều n Giả sử dim X  n ,  l1 , l2 , , ln  sở X , với x   i ei  X i 1 Đặt fi  x   i Ta i  1, , n  Khi  f1, , f n   X * fi tuyến tính (Do phiếm hàm tuyến tính không gian hữu hạn chiều X ) độc lập tuyến tính Với f  X * , đặt f  ei   i  i  1, , n  , ta có n f   i f  ei  Do i 1  f1 , , f n  sở X * Suy dim X *  n X * hữu hạn chiều X hữu hạn chiều Giả sử dim X *  n , cách chứng minh tương tự trên, ta dim X   n Do X  X  nên dim X  n   Kết luận: X không gian định chuẩn, X hữu hạn chiều X * hữu hạn chiều Bài tập Giả sử H không gian Hilbert  xn  , yn   H Chứng minh w a xn   x với a  H , xn , a  x, a w b Nếu xn   x yn  y xn , yn  x, y w c Nếu xn   x xn  x xn  x Câu a w Ta thấy f  H  tồn a  H cho f  x   x, a Do xn  x a  H xn , x  x, a Câu b Ta có: xn , yn  x, y  xn , yn  xn , y  xn , y  x, y  xn , yn  xn , y  xn , y  x, y  xn , yn  y  xn  x, yn  xn yn  y  xn  x, y  sup xn yn  y  xn  x, y n w w Ta thấy + xn   x  xn  x   Suy xn  x, y  0, y  + yn  y  yn  y  Suy xn , yn  x, y  hay xn , yn  x, y Câu c Ta có: xn  x  xn  x, xn  x  xn  xn , x  x, xn  x  (Vì lim xn n 2  xn ;lim x, xn  lim xn , x  xn ) 2 n n Suy xn  x  hay xn  x Bài tập 10 Giả sử n  dãy số T : l2  l2 xác định Tx  n xn  với x   xn   l2 a Tìm điều kiện n  để T ánh xạ a Tìm điều kiện n  để T ánh xạ bị chặn a Tìm điều kiện n  để T ánh xạ compắc Tìm điều kiện n  để T ánh xạ sup n   n xn   l2 ; sup n   ta chứng minh n xn   l2 n n Giả sử  xn   l2 mà n xn   l2 Khi đó, tồn sup n   tồn dãy n tăng  xk  cho nk 1  k : n  nk  k , k Ta chọn xn   k  n  nk : k   Suy Tx  n xn   l2  x   xn   l2 Tìm điều kiện n  để T ánh xạ bị chặn Ta có: nk xnk  nk     n xn   Điều mâu thuẫn với điều kiện k n1 n xn   l2 Do n xn   l2  sup n   Giả sử x   xn  , y   yn   l2 x  y n Ta có: x  y  xn  yn  n xn  n yn  n xn   n yn   Tx  Ty với giá trị n Tìm điều kiện n  để T ánh xạ compắc T : l2  l2 compắc  lim n  + lim n   T compắc Đặt Tn : l2  l2 Tn  x   1 x1 , 2 x2 , , n xn ,0,0,0,  Ta có T  Tn  sup k xk  hay T  Tn Suy T  compắc k n + T  compắc  lim n  en  sở trực chuẩn tắc l2 Ta có lim T  en   lim nen  Kết luận: T : l2  l2 compắc  lim n  Bài tập 11 Giả sử H không gian Hilbert Chứng minh họ toán tử tự liên hợp H không gian đóng L  H , H  Giả sử A  L  H  toán tử compắc tự liên hợp H   không giá trị riêng Khi Y  R  A   R  A   I  gọi họ toán tử tự liên hợp L  H , H  Ta chứng minh tồn r  cho A x  r x , x  H Giả sử ngược lại, với n  Axn   xn  n  2 1 tồn xn  H , xn  cho A compắc  xn n bị chặn nên tồn dãy Axnk  xo Khi  xn  Axn   Axn   xn   xo  xn    xo  k k k k k Từ   , Axnk   xnk   Axo   xo Như  không giá trị riêng, mâu thuẫn với giả thiết Chọn yn Y , yn  yo , tồn xn  H cho yn  Axn   xn Do điều kiện 1 ta có xn  xm  1 n ,m A xn  A xm  yn  ym  r r Vậy  xn n dãy H hội tụ xo  H Cho n   yn  Axn   xn ta yn   A   I  xn  Y Kết luận: Họ toán tử tự liên hợp H không gian đóng L  H , H  _Hết [...]... điều kiện của n  để T là một ánh xạ compắc T : l2  l2 compắc  lim n  0 + lim n  0  T compắc Đặt Tn : l2  l2 khi đó Tn  x   1 x1 , 2 x2 , , n xn ,0,0,0,  Ta có T  Tn  sup k xk  0 hay T  Tn Suy ra T  compắc k n + T  compắc  lim n  0 en  là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2 Ta có lim T  en   lim nen  0 Kết luận: T : l2  l2 compắc  lim n  0 Bài tập 11 Giả sử... trên H là một không gian con đóng của L  H , H  Giả sử A  L  H  là một toán tử compắc tự liên hợp trên H và   0 không là giá trị riêng Khi đó Y  R  A   R  A   I  gọi là họ các toán tử tự liên hợp trên L  H , H  Ta chứng minh tồn tại r  0 sao cho A x  r x , x  H Giả sử ngược lại, khi đó với mọi n  Axn   xn  1 n  2 1 tồn tại xn  H , xn  1 sao cho A compắc và  xn n bị... H  Ta chứng minh tồn tại r  0 sao cho A x  r x , x  H Giả sử ngược lại, khi đó với mọi n  Axn   xn  1 n  2 1 tồn tại xn  H , xn  1 sao cho A compắc và  xn n bị chặn nên tồn tại dãy con Axnk  xo Khi đó  xn  Axn   Axn   xn   xo và  xn    xo  0 k k k k k Từ  2  , Axnk   xnk  0  Axo   xo Như vậy  không là giá trị riêng, mâu thuẫn với giả thiết Chọn yn Y , yn...  yn  ym  0 r r Vậy  xn n là dãy cơ bản trong H hội tụ về xo  H Cho n   trong yn  Axn   xn ta được yn   A   I  xn  Y Kết luận: Họ các toán tử tự liên hợp trên H là một không gian con đóng của L  H , H  _Hết