CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I Giá trò lượng giác cung (góc) đặc biệt 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o α 3 1  2 2  5 cosα  3 2 2  2 2  sinα  tanα ∥  -1 cotα ∥ 3  3 -1 3 3 tan 180o  3  -1  ∥  II Giá trò lượng giác cặp góc đặc biệt Góc đối Góc bù Góc phụ Góc Góc 𝛑 𝛑/2   sin      cos    sin( )   sin  sin(   )  sin    sin      cos  2  sin(   )   sin  cos( )  cos  cos(   )   cos    cos      sin  2  cos(   )   cos    cos       sin  2  tan( )   tan  tan(   )   tan    tan      cot  2  tan(   )  tan    tan       cot  2  cot( )   cot  cot(   )   cot    cot      tan  2  cot(   )  cot    cot       tan    III Công thức nghiệm bản: sin sin cos cos tan cot tan cot cos Chú ý: 2k cos 2k k2 sin k k sin k2 k2 k2 sin cos k2 k k CÔNG THỨC LƯNG GIÁC IV Công thức lượng giác Công thức bản:  cot    cos3  cos   cos  tan   tan3   tan 3   tan  cos  Công thức cộng: sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan(a  b)  sin a.sin b tan a  tan b tan a.tan b sin3 cos 3 sin cos sin 2  2sin  cos cos 2  cos2   sin   cos2     sin  tan   tan  cot   cot 2  cot  tích:  cos 2  cos 2 cos    cos 2 tan    cos 2 cos sin 4 sin cos sin tan cot sin cot tan cot2  sin4α + cos4 α cos a  cos b  cos ab ab cos 2 ab ab cos a  cos b   2sin sin 2 =1= sin22 α cos 4  4 sin6 α + cos6α sin a  sin b  2sin ab ab cos 2 =1- sin a  sin b  cos ab ab sin 2 = sin22 α cos 4  8 Công thức biểu diễn Hệ quả: (Công thức hạ bậc hai) sin   cos cos Công thức biến đổi tổng thành Công thức nhân đôi: tan 2  sin sin cos sin sin Hệ quả: (Công thức hạ bậc ba) sin2  cos(a  b)  cosa.cos b cos tan cot  1  tan   Công thức bổ xung:  sin 3  3sin   4sin3  sin2  cos2  Công thức nhân ba: Công thức biến đổi tích thành  theo t = tan tổng:  cos(a  b)  cos(a  b)  2 sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)  sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  cos a.cos b   sin  2t  t2  cos    t2  t2  tan   2t  t2 BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM - NGUYÊN HÀM I Các công thức tính đạo hàm (u v)' (u.v)' u' v' ku ' Hệ Quả: u '.v u.v ' ' v k.u ' u v ' u '.v u.v ' v2 v' v2 II Đạo hàm nguyên hàm hàm số sơ cấp Bảng đạo hàm x ' x    u '   u '.u 1 sin x  '  cos x x   x dx  sin u  '  u '.cos u  cos x  '   sin x  tan x  '  cos1 Bảng ngun hàm  cos u  '  u '.sin u   tan x  tan u  '  cosu ' u  u ' 1  tan u  2  cot x  '  sin1 x   1  cot x   cot u  '  sinu 'u  u ' 1  cot u  2 2 u' u.ln a u' ln u ' u x ln a ln x ' x loga x ' ax ' loga u ' au ' a x ln a ex ' u c  sin xdx   cos x  c  sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   c  cos xdx  sin x  c  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c 1 1 1 dx  tan x  c  cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   c  sin2 x dx   cot x  c  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   c  cos x 2 x  a dx  x x  ax  b dx  a ln ax  b  c a x   c  ln a ax  b ax  b  e dx  a e  c ax c ln a  e dx  e u  1   x dx  ln x  c a u u '.ln a  e  '  u '.e ex  ax  b    ax  b  dx  a   x 1  c,   1  1  x  a dx  c Bổ sung: dx x a x arctan a a C x III Vi phân: dy VD: d(ax d(ln x ) b) x ln 2a x dx adx dx , d(tan x ) x a a a C dx a2 x2 arcsin x a C dx x a ln x y ' dx dx d (ax a dx , d(cot x ) cos2 x b ) , d(sin x ) dx sin2 x cos xdx , d(cos x ) sin xdx , x2 a2 C BẢNG CÔNG THỨC MŨõ - LOGARIT I Công thức hàm số Mũ Logarit Hám số mũ  ;a a  a  a a a  a   a.b a    a a a a b ; b   a a : a a    a a b : a  a loga ; loga a a    x  loga b.c loga b b c loga b logb c c x, logb a ;a  loga c loga   loga c.logc b loga b logb a loga  loga  : loga  a  loga b loga c loga b a a ; loga b loga b ; loga a  loga b a    M aM loga x loga   a  a ;  a   a Hàm số Logarit logc b logc a   loga  : loga    loga    II.Một số giới hạn thường gặp lim x x x lim 1  x   e x x  a 1 lim  ln a x 1  x  lim a x x e x 0 a x 0 lim x 0 log 1  x   log e x a a Ơn thi đại học 2010 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A- ĐỀ CHÍNH THỨC: 1, KhốiA-2002: Tìm nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2π ) phương trình: cos3 x + sin x    s inx +  = cos2 x + + 2sin x   Đáp số: x = π ;x = 5π cos2 x 2, KhốiA-2003: Giải phương trình cot x − = + sin x − sin x + t anx Đáp số: x = π + kπ (k ∈ ») 3, Khối A-2005: Giải phương trình cos 3x.cos x − cos x = Đáp số: x = k 4, Khối A-2006: Giải phương trình ( cos x + sin x ) − sin x cos x − 2sin x 5π + k 2π 5, Khối A-2007: Giải phương trình (1 + sin x ) cos x + (1 + cos x ) s inx = + sin x 6, Khối A-2008: Giải phương trình + s inx π ,k ∈» + kπ ; x = π (k ∈ ») + k 2π ; x = k 2π ( k ∈ ») 5π + kπ ( k ∈ ») 4π 2π +k 15 ( k ∈ »)  7π  = 4sin  − x 3π     sin  x −    Đáp số: x = − π + kπ ; x = − 7, CĐ khối A-2008: Giải phương trình sin 3x − 3cos3x = 2sin x Đáp số: x = 8, Khối A-2009: Giải phương trình =0 Đáp số: x = Đáp số: x = − π (1 − 2sin x ) cos x = (1 + 2sin x )(1 − s inx ) π π + kπ ; x = + k 2π ; x = Đáp số: x = − π 2π ( k ∈ ») 5π + kπ 12 ( k ∈ ») 18 +k 9, CĐ khối A-2009: Giải phương trình (1 + sin x ) cos x = + s inx + cos x Đáp số: x = − π + k 2π ; x = π 12 2 2 10, Khối B-2002: Giải phương trình sin 3x − cos x = sin x − cos x GV: Hồng Ngọc Quang + kπ ; x = Ơn thi đại học 2010 Đáp số: x = k 11, Khối B-2003: Giải phương trình cot x − t anx + 4sin x = π ;x = k π ( k ∈ ») sin x π + kπ (k ∈ ») 5π + k 2π ( k ∈ ») 2π + k 2π ( k ∈ ») 5π + kπ 12 ( k ∈ ») Đáp số: x = ± 12, Khối B-2004: Giải phương trình 5sin x − = (1 − s inx ) tan x Đáp số: x = π + k 2π ; x = 13, Khối B-2005: Giải phương trình + sin x + cos x + sin x + cos x = Đáp số: x = − π + kπ ; x = ± x  14, Khối B-2006: Giải phương trình cot x + sin  + t anx.tan  = 2  Đáp số: x = π 12 + kπ ; x = 15, Khối B-2007: Giải phương trình sin 2 x + sin x − = s inx 2π 5π 2π ;x = +k 18 18 3 2 16, Khối B-2008: Giải phương trình sin x − 3cos x = s inx.cos x − sin x.cos x Đáp số: x = π +k π ;x = π +k Đáp số: x = π +k π ;x = − π + kπ ( k ∈») ( k ∈ ») 17, CĐ khối B-2008: Giải phương trình sin x − 3cos3 x = 2sin x 4π 2π +k 15 18, Khối B-2009: Giải phương trình sin x + cos x.sin x + 3cos3 x = ( cos4 x + sin x ) Đáp số: x = Đáp số: x = − π + k 2π ; x = π + k 2π ; x = 19, CĐ khối B-2009: Giải phương trình (1 + sin x ) cos x = + s inx + cos x Đáp số: x = − π + k 2π ; x = π π ;x = 2π ( k ∈ ») 5π + kπ 12 ( k ∈ ») 42 + kπ ; x = 12 20, Khối D-2002: Tìm x thuộc đoạn [ 0;14] nghiệm phương trình: cos x − cos x + 3cos x − = Đáp số: x = π ( k ∈ ») +k 3π 5π 7π ;x = ;x = 2 x x π 21, Khối D-2003: Giải phương trình sin  −  tan x − cos = 2 4 Đáp số: x = π + k 2π ; x = − π + kπ ( k ∈ ») 22, Khối D-2004: Giải phương trình ( cos x − 1)( 2sin x + cos x ) = sin x − s inx GV: Hồng Ngọc Quang Ơn thi đại học 2010 π π + kπ π  π  23, Khối D-2005: Giải phương trình sin x + cos x + cos x −  sin  x −  − = 4  4  Đáp số: x ± + k 2π ; x = − π Đáp số: x = + kπ ( k ∈ ») (k ∈ ») 24, Khối D-2006: Giải phương trình cos x + cos2 x − cos x − = Đáp số: x = kπ ; x = ± 2π + k 2π k ∈ » x x  25, Khối D-2007: Giải phương trình  sin + cos  + cos x = 2 2  π Đáp số: x = π + k 2π ( k ∈ ») 2π π + k 2π ; x = + kπ ( k ∈ ») 4π 2π +k 15 ( k ∈ ») + k 2π ; x = − 26, Khối D-2008: Giải phương trình 2sin x (1 + cos2 x ) + sin x = + cos x Đáp số: x = ± 27, CĐ khối D-2008: Giải phương trình sin x − 3cos3 x = 2sin x π Đáp số: x = 28, Khối D-2009: Giải phương trình + k 2π ; x = 3cos5x − 2sin3x.cos2x − sinx = Đáp số: x = π +k π 18 29, CĐ khối D-2009: Giải phương trình (1 + sin x ) cos x = + s inx + cos x Đáp số: x = − π + k 2π ; x = π 12 ;x = − + kπ ; x = π +k π 5π + kπ 12 ( k ∈ ») ( k ∈ ») B- ĐỀ DỰ BỊ: 30, Dự bị I khối A-2002: Cho phương trình sin x + cos x + = a (a tham số) s inx − cos x + 3 b) Tìm a để phương trình có nghiệm a) Giải phương trình a = x  31, Dự bị II khối A-2002: Giải phương trình tan x + cos x − cos x = s inx  + tan x.tan  2  32, Dự bị I khối B-2002: Giải phương trình tan GV: Hồng Ngọc Quang ( − sin x +1 = ) x sin 3x cos x Ơn thi đại học 2010 33, Dự bị II khối B-2002: Giải phương trình 34, Dự bị I khối D-2002: Giải phương trình sin x + cos x 1 = cot x − 5sin x 8sin x = s inx cos x 35, Dự bị II khối D-2002: Xác định m để phương trình ( sin x + cos x ) + cos4 x + sin x − m =  π có nghiệm thuộc đoạn 0;   2 36, Dự bị I khối A-2003: Giải phương trình cos x + cos x ( tan x − 1) = 37, Dự bị II khối A-2003: Giải phương trình − t anx ( t anx + 2sin x ) + cos x = 38, Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình 3cos x − 8cos6 x + cos x + = ( − ) cos x − 2sin 39, Dự bị II khối B-2003: Giải phương trình 40, Dự bị I khối D-2003: Giải phương trình cos x − cos x ( cos x − 1) sin x + cos x 41, Dự bị II khối D-2003: Giải phương trình cot x = tan x + x π   −    =1 = (1 + sin x ) cos x sin x 42, Dự bị I khối A-2004: Giải phương trình ( sin x + cos3 x ) = cos x + 3sin x Đáp số: 43, Dự bị II khối A-2004: Giải phương trình − sin x + − cos x = π 1  44, Dự bị I khối B-2004: Giải phương trình 2 cos  x +  + =  sin x cos x  45, Dự bị II khối B-2004: Giải phương trình sin x.sin x = cos x.cos x 46, Dự bị I khối D-2004: Giải phương trình sin x.cos x + sin x.cos x = sin x.cos x 47, Dự bị II khối D-2004: Giải phương trình sin x + sin x = ( cos x + cos x ) GV: Hồng Ngọc Quang Ơn thi đại học 2010 π  48, Dự bị I khối A-2005: Giải phương trình 2 cos3  x −  − 3cos x − sin x = 4  Đáp số: x = π + kπ ; x = π + kπ sin x  3π  49, Dự bị II khối A-2005: Giải phương trình tan  − x+ =2   + cos x 50, Dự bị I khối B-2005: Giải phương trình sin x + cos x + 3sin x − cos x − = 51, Dự bị II khối B-2005: Tìm nghiệm khoảng ( 0; π ) phương trình sin x 3π   − 3cos2 x = + cos2  x −    Đáp số: x1 = 5π 17π 5π ; x2 = ; x3 = 18 18 52, Dự bị I khối D-2005: Giải phương trình sin x.cos2 x + cos x ( tan x − 1) + 2sin x = cos2 x − π  53, Dự bị II khối D-2005: Giải phương trình tan  + x  − tan x = cos2 x 2  54, Dự bị I khối A-2006: Giải phương trình cos x.cos3 x − sin x.sin x = 2+3 π  55, Dự bị II khối A-2006: Giải phương trình sin  x −  + sin x + = 6  56, Dự bị I khối B-2006: Giải phương trình ( sin x − 1) tan 2 x + ( cos x − 1) = 57, Dự bị II khối B-2006: Giải phương trình cos x + (1 + cos x )( s inx − cos x ) = 58, Dự bị I khối D-2006: Giải phương trình sin x + cos3 x + 2sin x = 59, Dự bị II khối D-2006: Giải phương trình sin x + sin x + 3sin x + cos x = 60, Dự bị I khối A-2007: Giải phương trình sin x + s inx − 1 − = cot x 2sin x sin x ( 61, Dự bị II khối A-2007: Giải phương trình cos x + sin x cos x + = s inx + cos x GV: Hồng Ngọc Quang ) Ơn thi đại học 2010 3x  5x π  x π 62, Dự bị I khối B-2007: Giải phương trình sin  −  − cos  −  = 2cos  4 2 4 63, Dự bị II khối B-2007: Giải phương trình sin x cos2 x + = tanx − cot x cos x s inx π   64, Dự bị I khối D-2007: Giải phương trình 2 sin  x −  cos x = 12   65, Dự bị II khối D-2007: Giải phương trình (1 − t anx )(1 + sin x ) = + t anx 66, Dự bị I khối A-2008: Giải phương trình tan x = cot x + cos2 x π π   67, Dự bị II khối A-2008: Giải phương trình sin  x −  = sin  x −  + 4 4   π π   68, Dự bị I khối B-2008: Giải phương trình sin  x +  − sin  x −  = 3 6   69, Dự bị II khối B-2008: Giải phương trình 3sin x + cos2 x + sin x = 4sin x cos2 x 70, Dự bị I khối D-2008: Giải phương trình ( sin x + cos x ) + cos4 x + sin x = C – MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN KHÁC:  3π 1, Giải phương trình: 2 cos 2x + sin 2x cos  x +  Đáp số: x = −   π  − sin  x +  =   4 π + k π ; x = k 2π ; x = 2 2 2, Giải phương trình: sin 3x − cos 4x = sin 5x − cos 6x Đáp số: x =  π 3, Tìm nghiệm khoảng  0;  phương trình:  2  π  x sin  π −  − sin  − 2x  = + 2cos 2  2  kπ 3π + k 2π ;x = kπ (k ∈» ) (k ∈ » )  3π   x   Đáp số: x= 4, Giải phương trình: sin 2x + sin x − GV: Hồng Ngọc Quang 5π 18 1 − = cot 2x sin x sin 2x Ơn thi đại học 2010 π Đáp số: x = 5, Giải phương trình: +k π (k ∈» ) 3sin 2x − sin x =2 sin 2x cos x π + k 2π (k ∈» ) + k 2π ; x = π + k 2π 7, Tìm nghiệm thực phương trình sau thoả mãn + log x ≥ : (k ∈» ) Đáp số: x = ± 6, Giải phương trình: cos x + = 2(2 − cos x )(sin x − cos x ) x= π sin x tan x + 3(sin x − tan x ) = 3 Đáp số: x = 8, Giải phương trình: cos 3x cos3 x − sin 3x sin x = π ;x = 5π 2+3 π Đáp số: x = ± 16 +k π (k ∈» ) 9, Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = Đáp số: x = π 2 10, Tìm nghiệm phương trình: cos x + cos x + sin x = thoả mãn : x − < (k ∈» ) + k 2π Đáp số: x = (sin x − sin x + 4) cos x − 11, Giải phương trình: =0 2sin x + Đáp số: x = π (k ∈ » ) + k 2π 12, Giải phương trình: s inx − cosx + 4sin x = Đáp số: x = π + kπ ; x = l π , (k , l ∈ » ) `13, Giải phương trình: cos 3xcos2x – cos x = Đáp số: x = k 14, Giải phương trình: π (k ∈ » ) 3sin x − 2sin x =2 sin x.cos x Đáp số: x = ± 15, Giải phương trình: cos x − cos x − cos x + cos π + k 2π 3x = Đáp số: x = 8kπ GV: Hồng Ngọc Quang (k ∈» ) ( k ∈ ») Ơn thi đại học 2010 16, Giải phương trình: cos x ( cos x − 1) = (1 + sin x ) sin x + cos x Đáp số: x = − π + k 2π ; x = π + k 2π (k ∈» ) Đáp số: x = kπ (k ∈» ) x x π x 17, Giải phương trình: + sin sin x − cos sin x = cos2  −  2  2 18, Giải phương trình: sin x.sin x + cos3 x cos x =− π  π  tan  x −  tan  x +  6 3   Đáp số: x = − 19, Giải phương trình: + kπ (k ∈» ) sin x.(1 + cot x ) + cos3 x (1 + tan x ) = 2sin x Đáp số: x = 20, Giải phương trình: π π + kπ (k ∈ » ) π π   sin  3x −  = sin x sin  x +  4 4   Đáp số: x = ± π + kπ (k ∈ » ) 21, Giải phương trình: cos x + cosx + sin x = Đáp số: x=π +k2π ,k ∈ »; x = 22, Giải phương trình: cos 3x − cos x + cos x =   ± ϕ + h 2π , h ∈ »  cosϕ = − 1, < ϕ < 2π    π 2π , k ∈ » , với k ≠ + 7m, m ∈ » 7 23, Tìm tổng tất nghiệm x thuộc [ 2; 40] phương trình: sinx – cos2x = Đáp số: S = 117π π  π  24, Giải phương trình: tan  x −  tan  x +  sin 3x = sin x + sin x 6 3   kπ 2π Đáp số: x = ;x = − + kπ ( k ∈ » ) 25, Giải phương trình : 21π   cos x + cos ( x + 3π ) = + sin 2( x − π ) + 3cos  x +  + s in x 3   Đáp số: x = π +k Đáp số: x = 26, Giải phương trình: GV: Hồng Ngọc Quang sin x + sin x − π + kπ (k ∈ ») 1 − = cot x 2sin x sin x Ơn thi đại học 2010 Đáp số: x = π +k π (k ∈» ) π  sin  − x  4  (1 + sin x ) = + tan x cos x 27, Giải phương trình: Đáp số: x = − π + kπ ; x = kπ (k ∈» ) tan x − tan x.sin x + cos3 x − = 28, Giải phương trình: Đáp số: x = k 2π ; x = 29, Giải phương trình: π + kπ ; x = π + α + k 2π ; x = 4 2cos3x + sinx + cosx = π − α + k 2π Đáp số: x = 30, Giải phương trình: π + kπ (k∈» ) (k ∈» ) sin x + cos x = tan x cos x − sin x Đáp số: Phương trình vơ nghiệm GV: Hồng Ngọc Quang BÀI TẬP : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM) Bài 1: Giải phương trình 2 + 32 = x + x +1 + x + x x Giải: Ta có f ( x) = x + x + x tăng R, nên phương trình tương đương f (2 x ) = f ( x + 1) ⇔ x = x + Hàm số g ( x) = x − ( x + 1) xác định R g / ( x) = x ln − ⇒ g / ( x) ≥ ⇔ x ≥ log (log e ) Vậy phương trình có nhiều nghiệm (− ∞ ; log (log e) ) v (log (log e) ; + ∞ ) Thử trực tiếp tìm hai nghiệm x = ; x = Bài 2: Giải phương trình log ⎛⎜ x − x − + x + − x − ⎞⎟ = x−2 x−1 + x+3−4 x−1 −1 − ⎝ ⎠ Giải : Điều kiện x ≥ Đặt t = x − x − + x + − x − − ≥ (chứng minh) phương trình tương đương log (t + 1) = t − ⎧5 t = y + ⎧⎪ ⎧5 t = t + 5t = y + ⇔⎨ y ⇔⎨ t ⇔ ⇔t=0 ⎨ ⎪⎩5 − y = y − t (*) ⎩5 = t + ⎩ y=t ⇔ x − x −1 + x + − x −1 −1 = ⇔2≤ x≤5 Bài 3: Giải phương trình x= 13 x − x + 24 x − Giải : ⇔ x − x − x + 12 x − = Xét hàm số y = x − x − x + 12 x − ⇒ y / = x − 12 x − x + 12 Lập bảng biến thiên, suy hàm số có trục đối xứng x =1 Do đặt x = X + , ta có phương trình ⎡ x = ± − 11 X − 8X + = ⇔ ⎢ ⎣⎢ x = ± + 11 Bài 4: Giải phương trình ( ) (1 + cos x) + cos x = 3.4 cos x Giải : Đặt cos x = y ( ⇔ (1 + y ) + Đặt f ( y ) = −1 ≤ y ≤ y ) = 3.4 y 3.4 y ln 4.4 y / − y − ⇒ f ( y ) = −1 2 + 4y + 4y ( ) ( f / ( y ) = ⇔ 16 ln 4.4 y = + y ) Đây phương trình bậc hai theo y , nên có khơng q nghiệm Vậy theo định lý Roolle phương trình f ( y ) = có khơng q nghiệm , y = nghiệm phương trình f ( y ) = π 2π Suy phương trình có nghiệm x = k 2π , x = + kπ , x = ± + k 2π Ta có y = , y = Bài 5: Giải phương trình log 2008 4x + = x − 3x − x + x +1 Giải : 4x + 2008 x + x +1 = ⇔ x + x + = x + hàm số f ( x) = x.2008 x tăng R 2 +2 x x + x +1 2008 Giải phương trình x − x − = ⇔ u − 3u − u ≥ phương trình có nghiệm (0,2) π Đặt u = cos t < t < ⇒ cos 3t = 2 Suy phương trình có nghiệm x = ± cos π Bài 6: Giải phương trình ⎛5⎞ cos x.⎜ ⎟ ⎝2⎠ sin x ⎛5⎞ = sin x.⎜ ⎟ ⎝2⎠ cos x Giải : Cosx = sinx = khơng nghiệm Xét x ≠ sin x ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⇔⎝ ⎠ sin x kπ cos x ⎛5⎞ ⎜ ⎟ =⎝ ⎠ cos x ⎛5⎞ ⎜ ⎟ Xét hàm số f (t ) = ⎝ ⎠ t t Suy sin x = cos x ⇔ x = t < , t ≠ Hàm số f (t ) nghịch biến π + kπ Bài 7: Giải phương trình ( x + 2) + log Giải : Đk x + > [ x + 4x + 2x + ] = 2x + ⇔ ( x + 2) + + log ( x + 2) + = 2 x + + log 2 x + Đặt f (t ) = t + log t (t > 0) Tương tự Phương trình có nghiệm x = −1 Bài 8: Giải phương trình sin 1975 x − cos1975 x = sin 2007 x − cos 2007 x Giải : sin 1975 x − = cos1975 x − 2007 2007 sin x cos x sin x = ; cos x = khơng nghiệm phương trình Đặt hàm số f (t ) = t 1975 − t ∈ (−1 ; 0) ∪ (0 ; 1) t 2007 Ta có f / (t ) = 1975t 1974 + 2008 > nên hàm số tăng khoảng t t ∈ (−1 ; 0) : f (t ) nhận giá trị dương t ∈ (0 ; 1) : f (t ) nhận giá trị âm 2007 Nên f (sin x) = f (cos x) ⇔ sin x = cos x ⇔ x = π + kπ Bài 9: Giải phương trình ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ sin x ⎟ − cos⎜ cos 2 x ⎟ = sin x sin 3x + cos x − cos x ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Giải : ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⇔ cos⎜ cos x ⎟ − cos⎜ cos 2 x ⎟ = cos x − cos 2 x + cos x − cos x ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⇔ cos x − cos 2 x + cos⎜ cos 2 x ⎟ = cos x − cos x + cos⎜ cos x ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ Xét hàm số f (t ) = t − 2t + cos⎜ t ⎟ ≤ t ≤ f (t ) giảm ⎝2 ⎠ kπ f (cos 2 x) = f (cos x) ⇔ cos 2 x = cos x ⇔ x = ( Bài 10: Giải phương trình 2x − 34 x + 93 ) [ Giải : Đặt t = x − 34 x + 376 (t ≥ 87) ⇔ t t log (2 t t ) = 35.2 283 = 256.256 log (256 t 256 ) Hàm số f (t ) = t t log (2 t t ) đồng biến [1; + ∞ ) ⇔ t = 256 ⇔ x − 34 x + 376 = 256 ⇔ x = 30 ; x = Bài 11: Giải phương trình ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ Giải : ] ( x − 34 x + 376) x − 34 x + 376 + log + ( x − 34 x + 376) = 35 sin x + = cos x + log (4 cos x − cos x − 1) Đặt y = cos x ( < y ≤ 1) = y + log (3 y − 1) Đặt t = log (3 y − 1) ⇔ t = y − ⇔ y −1 + (t ≤ 1) ⎧2 y = y + t − ⇔ y + y = 2t + t t = y − ⎩ Ta có hệ ⎨ Xét hàm số g (u ) = u + u , hàm số đồng biến R ⇔ t = 3t − ⇔ f (t ) = t − 3t + = Xét hàm số f (t ) = t − 3t + , sử dụng định lý Roll cm phương trình có khơng q nghiệm Phương trình có nghiệm t = t = 3( L) , suy phương trình có nghiệm x = kπ Bài 12: Giải phương trình 64 x − 8.343 x −1 = + 12.4 x x −1 Giải : Đặt a = ; b = −4 x ; c = 2.7 x −1 ⎡ (a − b) + (b − c) + (c − a) ⎤ ⇔ a + b + c − 3abc = ⇔ (a + b + c) ⎢ ⎥ = ⇔ a+b+c = ⎣ ⎦ x x −1 ⇔ − + 2.7 = Xét hàm số f ( x) = − x + 2.7 x −1 ⇒ f / ( x) = −4 x ln + x ln 7 / Phương trình f ( x) = có nghiệm nên theo định lí Lagrange phương trình f ( x) = khơng có q nghiệm phân biệt Phương trình có nghiệm x = ; x = Bài 13: Giải phương trình log 2+ ( x − x − 2) = log 2+ ( x − x − 3) Giải : Điều kiện x < −1 v < x ⇔ log 8+ ( x − x − 2) = log + ( x − x − 3) Đặt a = + t = x − x − ⇔ log a +1 (t + 1) = log a t Đặt y = log a t y y ⎛ a ⎞ ⎛ ⎞ ⇔⎜ ⎟ +⎜ ⎟ = ⇔ y = nghiệm ⎝ a + 1⎠ ⎝ a + 1⎠ Phương trình có nghiệm x = ± 11 + Bài 14: Giải hệ phương trình ⎧log x = log ⎪ ⎨log y = log ⎪ log z = log ⎩ ( ( ( ) z + 4) x + 4) y +4 Giải : Hệ phương trình khơng đổi qua phép hốn vị vòng quanh ⇒ x = y = z Từ ta có log x = log x + , đặt t = log x ( ) t t ⎛ 5⎞ ⎟ + 4⎛⎜ ⎞⎟ = ⇔ ⎜⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠ t t ⎛ 5⎞ 1⎞ ⎛ Phương trình có ngiệm t = hàm số f (t ) = ⎜⎜ ⎟⎟ + 4⎜ ⎟ = nghịch biến ⎝3⎠ ⎝ ⎠ Hệ phương trình có nghiệm x = y = z = 25 Bài 15: Giải hệ phương trình 1− x ⎧ ⎪ x − y = − xy − ⎨ 2 ⎪ 2 ( ) x y + x − x y + − x=0 ⎩ Giải : Từ phương trình (2) ⇔ x( xy + 2) = ⇔ y = 1− x x2 − 2x x2 1− x 1− x2 − 2x (1) ⇔ + =2 x + 2x 2x t xét hàm số f (t ) = t + ⇒ f / (t ) = t ln + > 2 1− x − 2x ⇔ = 2x 2x Hệ phương trình có nghiệm x = , y = − Bài 16: Giải hệ phương trình 2 ⎧ x2 +1 e y −x = ⎪ ⎨ y +1 ⎪⎩3 log ( x + y + 6) = log ( x + y + 2) + Giải : Đk x + y + > x + y + > (1) ⇔ ln( x + 1) + x + = ln( y + 1) + y + Hàm số f (t ) = ln t + t t > đồng biến (0 ; + ∞) ⇔ x2 +1 = y2 +1 ⇔ x = ± y Nếu x = − y (2) ⇔ log (6 − x) = ⇔ x = ; y = −3 .Nếu x = y (2) ⇔ log ( x + 2) = log ( x + 1) = 6u u u ⎧⎪ x + = 2u ⎛1⎞ ⎛8⎞ ⇔ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⇔⎨ 3u ⎪⎩ x + = ⎝9⎠ ⎝9⎠ u u ⎛1⎞ ⎛8⎞ Hàm số g (u ) = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ nghịch biến R, suy u = nghiệm ⎝9⎠ ⎝9⎠ Hệ phương trình có nghiệm x = , y = − x = ; y = Bài 17: Giải hệ phương trình ⎧ y2 + ⎪⎪2 x +1 − = 3( y − x ) ⎨ ⎪ ( x+ y ) + x+ y = ⎪⎩ 2 Giải : Đk x ; y ≥ ⎧⎪2 x +1 + x = ( y )2 +1 + y ⇔⎨ 2 ( x + y ) +1 + x + y = ⎪⎩ Hàm số f ( x) = x +1 + x đồng biến [0 ; ∞ ) ⎧ ⎧ ⎧ ⎪⎪ f ( x) = f (4 y ) ⎪x = ⎪⎪ x = y ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪x + y = ⎪y = ⎪ f ( x + y ) = f (1) ⎪⎩ ⎪⎩ ⎩ Bài 18: Giải hệ phương trình ⎧ cos x = log (8 cos z − cos x − 5) ⎪ ⎨cos y = log (8 cos x − cos y − 5) ⎪ cos z = log (8 cos y − cos z − 5) ⎩ Giải : ⎧8Z = X + X + ⎪ ⇔ ⎨ X = Y + 2Y + ⎪ 8Y = Z + Z + ⎩ ( ) t ⎛1 + 2t + đồng biến ⎜ ⎝2 ⇔ X = Y = Z = X + 2X + ⎡ X =Y = Z =1 Giải đồ thị ⇔ ⎢ ⎣ X = Y = Z = (l ) Hệ phương trình có nghiệm x = k 2π , y = l 2π Hàm số f (t ) = ( ) ⎤ ;1⎥ ⎦ ; z = m2π Bài 19: Giải hệ phương trình ⎧log (1 + cos x) = log (sin y ) + ⎨ ⎩log (1 + sin y ) = log (cos x) + Giải : Đk cos x ; sin y ≥ ⇒ log (1 + cos x) + log (cos x) = log (1 + sin y ) = log (sin y ) Hàm số f (t ) = log (1 + 3t ) + log t ⇒ f / (t ) = + > đồng biến ∀t > (1 + 3t ) ln t ln ⇒ sin y = cos x Thay vào phương trình (1) ⇒ log (1 + cos x) = log (cos x) + Lập BBT hàm số g (v) = log (1 + 3v) − log v với v = cos x ∈ (0 , 1] phương trình có nghiệm cos x = , cos x = Bài 20: Giải hệ phương trình ⎪⎧ x y − y = 28 ⎨ 2 ⎪⎩ x y + xy + y = 18 Giải: Hệ tương đương ( ) ⎧⎪ y x3 − y = 28 (1) ⎨ ⎪⎩ y ( x + y ) = 18 (2) ⇒x> y>0 ⎡⎛ ⎤ ⎞ 34 (2) ⇒ x = − y ⎟ − y ⎥ = 28 (3) − y , thay vào (1) được: y ⎢⎜ ⎟ ⎢⎜⎝ y ⎥ y ⎠ ⎣ ⎦ ⎡⎛ ⎤ ⎞ Đặt t = y > , (3) trở thành: t ⎢⎜⎜ − t ⎟⎟ − t ⎥ = 28 ⇔ t − − t ⎢⎝ t ⎥ ⎠ ⎣ ⎦ ( ( ) ) + 28t = Xét hàm f (t ) = t − − t + 28t ta có: ( ) f '(t ) = 9t + 9t − t + 28 > 0, ∀t > Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến khoảng (0;+∞) phương trình f(t) = có nghiệm Khoảng (0;+∞) nghiệm nghiệm Từ suy hệ phương trình đă cho có nghiệm (x0, y0) nghiệm nghiệm hệ Nếu chọn x = 2y từ (1) ta có: y = ⇔ y = ⇒ x = 2 Rỏ ràng cặp số (2 2; 2) thỏa (2) Vậy hệ có nghiệm (2 2; 2) Bài 21: Tìm số nghiệm nằm khoảng (0 ; 2π ) phương trình e cos x (8 sin x − 12 sin x + 10 sin x) = e + Giải : Đặt t = sin x = y ≤ t ≤1 2 (1− t ) Xét hàm số f ( x) = e (8t − 12t + 10t ) ⇒ f / ( x) = e (1−t ) (24t − 24t + 10) − 2(8t − 12t + 10t ) = −2.e (1−t ) g (t ) Với g (t ) = 8t − 24t + 22t − ⇒ g / (t ) = 2(12t − 24t + 11) ⇔ e (1−t ) (8t x − 12t x + 10t ) = e + [ ] Lập bảng biến thiên, suy phương trình g (t ) = có nghiệm t = u , < u < − t 1- + g' g -5 _ t + f' f u 0 _ Lập bảng biến thiên hàm số f (t ) , suy phương trình f (t ) = có nghiệm t =v ,0[...]... 2  3 Công thức lượng giác Công thức cộng Công thức nhân đôi, nhân ba cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b sin 2  2sin  cos  cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b cos 2  cos 2   sin 2   2 cos 2   1  1  2sin 2  2 tan  tan 2  1  tan 2  sin 3  3sin   4sin 3  Cần nhớ công thức cộng cho chắc chắn 3 cos 3  4 cos   3cos  Từ công thức cộng... 3  tan 3  công thức còn lại 1  3 tan 2  sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b tan a  tan b 1  tan a tan b tan a  tan b tan(a  b)  1  tan a tan b tan(a  b)   Name:…………………………………………… class:……… [Biên soạn gv Đặng Trung Hiếu – 0939.239.628 – www.gvhieu.wordpress.com] aug-2012 1 [Công thức lượng giác cần nhớ - Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh] Công thức hạ bậc Công thức biến tích thành tổng... − 3 t 1- 0 + g' g -5 1 6 0 _ t + f' 1 f 1 u 0 0 0 _ 6 Lập bảng biến thiên hàm số f (t ) , suy ra phương trình f (t ) = 0 có nghiệm duy nhất t =v ,0 1 đồng biến trên (0 ; + ∞) ⇔ x2 +1 = y2 +1 ⇔ x = ± y Nếu x = − y (2) ⇔ log 3 (6 − x) = 1 ⇔ x = 3 ; y = −3 .Nếu x = y (2) ⇔ 3 log 3 ( x + 2) = 2 log 2 ( x + 1) = 6u u u ⎧⎪ x + 2 = 3 2u ⎛1⎞ ⎛8⎞ ⇔ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1 ⇔⎨ 3u ⎪⎩ x + 1 = 2 ⎝9⎠ ⎝9⎠ u u ⎛1⎞ ⎛8⎞ Hàm số g (u ) = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ nghịch biến trên R, suy ra u = 1 là nghiệm... ⎣ X = Y = Z = 2 (l ) Hệ phương trình có 2 nghiệm x = k 2π , y = l 2π Hàm số f (t ) = ( ) ⎤ ;1⎥ ⎦ ; z = m2π Bài 19: Giải hệ phương trình ⎧log 2 (1 + 3 cos x) = log 3 (sin y ) + 2 ⎨ ⎩log 2 (1 + 3 sin y ) = log 3 (cos x) + 2 Giải : Đk cos x ; sin y ≥ 0 ⇒ log 2 (1 + 3 cos x) + log 3 (cos x) = log 2 (1 + 3 sin y ) = log 3 (sin y ) 3 2 Hàm số f (t ) = log 2 (1 + 3t ) + log 3 t ⇒ f / (t ) = + > 0 đồng biến