Đang tải... (xem toàn văn)
Kế hoạch học tập hợp lý: Để tiết kiệm thời gian và sức lực, đồng thời có kết quả cao nhất thì cần có một kế hoạch học tập hợp lý. Cần thu xếp học bài trong thời gian sớm nhất sau khi nghe giảng. Học ở đây có nghĩa là đọc và tìm hiểu kỹ sách giáo khoa, sau đó làm bài tập áp dụng rồi đến bài tập nâng cao. Càng để cách lâu thì càng tốn nhiều thời gian và sức lực hơn để đạt cùng một kết quả. Khi nghe giảng, có những điều chưa hiểu kỹ, nếu học sớm sẽ được khôi phục rất nhanh; để lâu sẽ mờ dần, phần không hiểu sẽ tốn rất nhiều thời gian mà chưa chắc đã nắm được bài. Điều này rất dễ thấy nhưng học sinh thường hay có thói quen đợi đến khi nào gần thi mới học, thật không hợp lý. Vì vậy cần học thật sớm, tốt nhất là ngay sau khi nghe giảng xong và học thành nhiều lần. Có thể lần đầu học qua, chỉ làm các bài tập áp dụng, lần 2 mới làm các bài tập nâng cao để soi rọi các kiến thức cơ bản mà mình chưa nắm vững, tích lũy thêm một số xảo thuật. Đối với môn toán thì không nên cố mà nhớ những điều không hiểu, vì như thế chỉ làm tốn công vô ích, mất công sức không đâu mà còn dễ thất bại vì nhớ lan man; chỉ có hiểu thật rõ thì tự động sẽ nhớ dễ dàng.
Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 142 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN Phương trình lượng giác bản: cos x cos x 2k sin x sin x 2k x k , k tan x tan x k cot x cot x k Bài Giải phương trình 2cos cos2 x cos sin x 2 Lời giải: Phương trình tương đương với 2cos cos2 x cos sin x cos cos x cos sin x 2 cos cos x cos sin x cos x sin x k 2 cos2 x sin x 2k cos2 x 2sin x 4k (*) Phương trình (*) có nghiệm 4k 1 12 22 1 1 k k 4 Khi phương trình (*) trở thành cos2 x sin x 1 cos x 4sin x cos x cos x cos x 2sin x 144 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos x x k , k , tan tan x x k 1 Vậy phương trình có nghiệm x k , k , k , tan 2 Bài Tìm tất nghiệm nguyên phương trình cos 3x x 160 x 800 8 Lời giải: Phương trình tương đương với x x 160 x 800 k 2 , k x 160 x 800 3x 16k 3x 16k 3x 16k 25 9 x 24k 40 3k 9 x 160 x 800 x 2k k 2 k 10 Vậy với x, k 25 3k x 7 x 31 Vậy có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu toán x 7, x 31 Bài Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình cos x x sin x Lời giải: Phương trình tương đương với 145 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos x x sin x cos x x sin x 2 x x x k 2 2 sin x x sin x , k x x x k 2 x k k 1 x 0 k xmin 0 k x k Vậy nghiệm phương trình x 1 Bài Tìm nghiệm x thuộc đoạn 0;14 thỏa mãn phương trình cos3 x 4cos x 3cos x Lời giải: Phương trình tương đương với 4cos3 x 3cos x cos2 x 1 3cos x 4cos3 x 8cos2 x cos x x x 14 k , k k 14 k 0,1, 2,3 3 5 7 Vậy có nghiệm thỏa mãn yêu cầu toán x ; ; ; 2 2 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Tìm tất nghiệm thuộc đoạn 1,10 phương trình sin xcos cos x sin 5 Bài Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình 146 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos x cos x 1 Bài Tìm tất nghiệm nguyên phương trình cos 3x x 80 x 40 10 Bài Giải phương trình x8 3x sin 16 x x Bài Tìm nghiệm thuộc đoạn 0; 2 phương trình cos3x +sin3x sin x cos2 x 2sin x Bài Tìm nghiệm x ; thỏa mãn phương trình 2 2sin x 3cos x 3sin x cos x ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX, COSX Cần nhớ đến biến đổi sau, xuất biểu thức giải toán áp dụng cách biến đổi tương tự 1 sin x cos x sin x cosx sin x 2cos x 2 1 sin x cos x sin x cos x 2sin x 2cos x 3 6 2 sin x cos x sin x cos x 2sin x 2cos x 6 3 BÀI TẬP MẪU 147 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình: sin 3x cos x 2sin x Lời giải: Phương trình cho tương đương với 1 sin 3x cos x 2sin x sin 3x cos3x 2sin x 2 3x x k 2 x k 2 3 sin x sin x , k 3 3x x k 2 x 4 k 2 15 Bài Giải phương trình sin x cos x sin x 3cos3 x cos4 x sin x Lời giải: Phương trình tương đương với 1 sin x sin 3x sin x 3cos3x 2cos4 x sin x sin x 2 2 sin 3x 3cos3 x 2cos4 x cos x cos4 x 6 3 x x k 2 x k 2 3 x 4 x k 2 x k 2 42 Bài Giải phương trình sin x sin x cos2 x cos x 148 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải: Phương trình tương đương với sin x sin x cos2 x cos x 1 sin x cos2 x sin x cos x 2 cos x sin x 2sin x sin x 3 6 6 6 x k sin x x k 2 , k sin x x k 2 6 Bài Giải phương trình 3sin x 4sin x 5sin x 3 6 6 Lời giải: Phương trình tương đương với 3sin x cos x 5sin x 3 6 2 7 3sin x cos x 5sin x 3 3 Đặt sin ; cos , phương trình tương đương với 5 7 5sin x 5sin x 9 k k x x 24 36 149 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình: 1 sin x cos x 1 2sin x 1 sin x Lời giải: sin x Điều kiện: (*) sin x Khi phương trình tương đương với: cos x sin x 1 sin x sin x sin x cos x sin x cos2 x sin x 3 cos x sin x cos2 x sin x 2 2 x x k x k cos x cos s x , k 3 6 x x k x 2k 18 cos x sin x 3cos2 x sin x So sánh với điều kiện (*) suy nghiệm phương trình là: x 2k , k 18 Bài Giải phương trình: cos2 x sin x sin x cos x Lời giải: Phương trình cho tương đương với: 1 1 3 sin x cos x sin x cos2 x 2 2 2 cos x cos x cos x cos x 3 3 3 3 cos2 x cos x 2 cos2 x cos x 3 3 3 3 cos x 1 2cos x cos x 3 3 x k 2 x k 2 , k 3 150 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Vậy phương trình có nghiệm là: x k 2 , k Bài Giải phương trình: sin x cos x sin x Lời giải: Phương trình tương đương với: 1 cos x sin x sin x sin x sin x 3 2 1 sin x Do nên phương trình tương đương với 3 1 sin 3x sin x 3 sin 3x x k sin x 3 sin 3x 1 Bài Giải phương trình: sin x cos x sin x 1 tan x tan x sin x Lời giải: Điều kiện: cos x cos x (*) Phương trình cho tương đương với: sin x sin x cos x cos x sin 2 x sin x sin x cos x cos x 151 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos4 x sin x sin x sin x sin x 2 6 x k 2 x 12 k , k thỏa mãn (*) 5 x k 2 x k 36 cos4 x sin x 2sin x 4x 4x Bài Giải phương trình sin x cos x sin x cos x Lời giải: Phương trình tương đương với 1 sin x cos x sin x cos x 2 2 cos x cos x 2cos2 x cos x 3 6 6 6 sin x cos x sin x cos x x k cos x x k 2 , k cos x 6 x 5 k 2 5 Vậy phương trình có nghiệm x k ; k 2 ; k 2 , k 3 Bài 10 Giải phương trình sin x sin x sin x cos2 x sin x cos x 6cos2 x cos x 4 Lời giải: 152 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 24 Giải phương trình: 4cos x cos x cos4 x Bài 25 Giải phương trình: cos2 x cos x sin x cos x Bài 26 Giải phương trình: 2sin3 x cos2 x sin x Bài 27 Giải phương trình: 4sin x 3cos x sin x 1 Bài 28 Giải phương trình: sin x cos4 x sin x cos x Bài 29 Giải sin x cos x 3 cos3 x 3 cos x phương trình: cos x sin x 3 BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG Bài Giải phương trình: 4cos x sin x sin x cos2 x 6 6 Bài Giải phương trình: 2 4sin x sin x sin x cos xcos x 3 3 4 cos x x x Bài Giải phương trình: cos x cos x 4sin sin 2 2 3 Bài Giải phương trình: 2sin x 1 cos x 1 sin x ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ CÙNG MỘT CUNG LƯỢNG GIÁC Đặt t ax b , với a nhỏ nhất, mục đích biến đổi biểu thức thành cung lượng giác t , 2t , 3t , Sau dùng công thức hạ bậc để giải phương trình với ẩn t 181 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI TẬP MẪU Bài Giải phương trình 3 x 3x sin sin 10 10 Lời giải: Đặt t 3 x 3x 3t , phương trình trở thành 10 10 sin t sin 3t 2sin t sin 3t 2sin t 3sin t 4sin3 t sin t sin t 1 4sin t sin t cos 2t 1 cos2t 2 3 x k 2 t k 14 x k 2 , k t k x 4 k 2 Bài Giải phương trình sin x sin x sin x 4 4 Lời giải: Đặt t x 3x 3t ; x 2t , phương trình trở thành 4 sin 3t sin 2t sin t sin 3t sin t cos 2t 3sin t 4sin3 t sin t cos 2t 2 sin t sin t sin t cos2t sin t 1 cos2t cos2t 1 182 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC x k t k ,k x k 2t 2k 1 Bài Giải phương trình 8cos3 x cos3x 3 Lời giải: Đặt t x x 3t , phương trình trở thành cos3 t cos 3t 8cos t cos3t 8cos t 3cos t cos t cos t 3cos t cos t 1 cos t cos 2t 1 cos2t 2 x k t k 2 x k t k x k BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Giải phương trình sin x 5sin x cos3x 3 6 Bài Giải phương trình 32 cos x sin x 4 Bài Giải phương trình 2cos x sin x cos3x 6 183 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình 2cos 6x 8x 3cos 5 Bài Giải phương trình 2 cos9 x cos x 2 NHÂN HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VỚI MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình: sin 5x x 5cos3 x sin 2 Lời giải: Nhận thấy cos x , không nghiệm phương trình Nhân hai vế phương trình với cos 2sin x , ta được: 5x x x x cos 10cos3 x sin cos sin x sin x 5cos3 x sin x 2 2 3sin x 4sin x sin x cos x 5cos x sin x sin x 5cos3 x cos x 4sin x sin x cos x 1 5cos x cos x 1 x x x x Xét sin x 2sin cos sin x k 2 , cos 2 2 Xét cos x x 1 21 cos cos x x k 2 Xét cos x cos x 1 21 x k 2 cos cos x k 184 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình: 2sin 3x 1 4sin x Lời giải: nhận thấy cos x không nghiệm phương trình: nhân hai vế phương trình với cos x , ta 2sin 3x 1 cos x cos x cos x 2sin 3x cos3 x 3cos x cos x 2 x k 14 sin 3x cos x cos x sin x cos x sin x 2 x k 2 10 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC Sau biến đổi phương trình có dạng: F sin x, cos x, tan x,cot x G sin x, cos x, tan x, cot x 0 Lưu ý: Khi giải phương trình dạng ta phải xét điều kiện mẫu thức khác 0, nên giải xong phải đối chiếu lại xem ngiệm có thỏa mãn điều kiện không Ta nên để điều kiện có nghiệm phương trình dạng thô BÀI TẬP MẪU Bài Giải phương trình: 1 cos x sin x sin x Lời giải: Điều kiện: sin x 4sin x cos x cos x (*) Khi phương trình tương đương với: 1 cos x 2sin x cos x 4sin x cos x cos x 185 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2sin x cos x cos2 x sin x cos x sin x sin x cos2 x sin x sin x sin x sin x sin x 1 sin x 1 sin x x k 2 Đối chiếu với điều kiện (*), có nghiệm sin x ,k x 5 k 2 Bài Giải phương trình: sin x cos4 x cos2 x 0 sin x cos x sin x Lời giải: Điều kiện: sin x cos x sin x (*) Khi phương trình tương đương với: 2sin x cos4 x cos2 x cos2 x cos4 x cos2 x cos 2 x cos x cos2 x cos2 x 1 Xét cos x sin x loại, không thỏa mãn điều kiện (*) Xét cos x cos x sin x cos x sin x , đối chiếu với điều kiện (*) ta suy có: cos x sin x tan x 1 x k , k nghiệm phương trình Bài Giải phương trình: 2sin x sin x sin x 1 2sin x cos x Lời giải: Điều kiện: sin x (*) Khi phương trình tương đương với: 2sin x sin x sin x sin x 2sin x sin x 186 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC x k 2 sin x 2 sin x sin x , k x k 2 Đối chiếu với điều kiện (*) có nghiệm x 3 k 2 nghiệm phương trình Bài Giải phương trình: cos4 x sin x 2sin x cos4 x Lời giải: sin x sin x Điều kiện: 1 cos4 x cos2 x Khi phương trình tương đương với: cos2 x 2sin x sin x sin x 2sin x sin x sin x sin x cos2 x 1 , đối chiếu với điều kiện phương trình vô nghiệm Bài Giải phương trình: sin x sin x sin 3x cos x cos2 x cos3 x lời giải: Phương trình tương đương với: sin x 1 cos x sin x sin x sin 3x 3 cos x cos2 x cos3x cos2 x 1 cos2 x cos x x m 1 2cosx , m tan x x k x 2m BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải phương trình sau: Bài Giải phương trình: sin x 2cos2 x cos x cos x cos3x sin 3x sin x 187 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos x 1 cot x Bài Giải phương trình: 3cos x sin x cos x cos3 x sin x Bài Giải phương trình: sin x 3cos x sin x Bài Giải phương trình: cos x sin x tan x cot x cot x Bài Giải phương trình: cot x tan x 16 1 cos4 x cos2 x sin x cos x cos 4 x tan x cot x 4 4 Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: Bài Giải phương trình: cos2 x cot x cot x cos2 x 2sin x sin x cos x cot x cot x 3 6 sin x sin x sin 3x cos x cos2 x cos3 x Bài 10 Giải phương trình: cot x cos2 x sin 2 x Bài 11 Giải phương trình: tan 3x cot x 1 Bài 12 Giải phương trình: sin x cot x cos9 x Bài 13 Giải phương trình: cos x 2sin x cos x cos2 x sin x Bài 14 Giải phương trình: cos4 x sin x 2sin x cos4 x cos x sin x sin x cos2 x 6 6 Bài 15 Giải phương trình: 0 sin x cos x BÀI TẬP TỔNG HỢP 188 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài Tìm x 2; thỏa mãn phương trình sin x 1 x 1 2x sin 1 x 1 2x 1 2x 2x 1 1 Bài Tìm nghiệm x ; sin sin cos 0 x 3x 3x 10 Bài Giải phương trình: 2011tan x cot x 1005 sin x Bài Giải phương trình: 1 cos x cot x 1 sin x sin x cos x Bài Giải phương trình: sin 3x cos 3x 2 cos x 4 Bài Giải phương trình: tan x 16cos x 2sin x 4 tan x Bài Giải phương trình: cos x cos x tan x Bài Giải phương trình: 3x 4cos4 x cos x cos x cos Bài Giải phương trình: tan x tan x sin 3x sin x sin x 6 3 Bài 10 Giải phương trình: 2sin5 x 2sin3 x cos2 x cos x sin x 189 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 11 Giải phương trình: 1 cos x 1 cos x 1 cos 3x Bài 12 Giải phương trình: sin x cos x cos x tan x tan x 4 4 Bài 13 Giải phương trình: 2cos x cos x cos 3x cos x Bài 14 Giải phương trình: tan x tan x sin x 1 cos x Bài 15 Giải phương trình: 2cos x cos2 x sin x 3cos x sin x 3 2 Bài 16 Giải phương trình: sin x sin x 2 1 sin x sin x sin x Bài 17 Giải phương trình: 2 cos2 x cos2 x 3 sin x 1 Bài 18 Giải phương trình: sin x sin x cos3 x cos x tan x tan x 6 3 Bài 19 Giải phương trình: cos 3x sin x cos x sin x sin 3x cos x Bài 20 Giải phương trình: sin x cot x sin x cos x 190 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam sin x sin x PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 21 Giải phương trình: tan x cot x tan x cot x Bài 22 Giải phương trình: sin x sin x sin x cos x Bài 23 Giải phương trình: cos x sin x sin x 4cos x cos x 2cos2 x Bài 24 Giải phương trình: cos2 x cos x tan x cot x 1 Bài 25 Giải phương trình: sin x sin x 3 sin x cos x sin x 3 Bài 26 Giải phương trình: sin x 8sin x sin x 4 Bài 27 Giải phương trình: x sin 1 x x 2sin x sin 2sin 6 2 3 2 3 Bài 28 Giải phương trình: 1 sin x 1 cos x 2sin x sin x 4 cos x tan x Bài 29 Giải phương trình: 2 1 cos x cos x cos x 3 cos x Bài 30 Giải phương trình: 191 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.1 sin x cos x 2 sin x cos8 x 2 1.2 sin x cos x 2 sin 8x cos8 x sin x cos x 2 Bài 31 Giải phương trình: 1.1 sin x 4 cot x sin x cos x 4 1.2 sin x 1 cos x cos 3x 1 2cos x cos x 1.3 sin x 3sin x cos2 x 3cos x 1.4 cos2 x 2cos x sin x x sin 2 1.5 1 2 sin x 4sin x sin x 2sin x 1.6 sin x x tan cos x 4cos x 2 1.7 x 3x 2 sin cos cos x sin x 8 2 1.8 sin x cos x 1 sin x tan x sin x sin x 1.9 sin x 1 sin 2 x 3sin x 1 sin x cos x 1.10 1 cos x sin x sin x sin x 1.11 1.12 sin 3x sin x 1 sin x sin x cos x cos x sin x 0 3cot x tan x cos2 x 192 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos 3x cos3 x sin x sin x 1.13 1.14 2sin x 23 0 cos x cot x 4sin x cos x cot x cos x 4 4 1.15 cos3 x sin x sin x cos x sin x 1.16 9 1.17 sin x sin 3x sin x sin x cos x cos x cos x cos 27 x 1.18 cot x cot x sin x cos x cos x 1.19 cos x sin x 1.20 tan 1.21 cos x cos x 11 8sin x cos x 1 cos3 x cos x 1.22 cos x sin x 1 cos x sin x 1.23 3 2 cos x sin x cos x 4sin x 4 1.24 sin x tan x cos x sin x cos x 1.25 sin x sin x 4 sin x 1 3cos x 4 1.26 cos x sin x cos x sin x sin x 3 x tan x tan x cos x tan x 2 sin x cos x x tan sin x cos x 2 4 193 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x 1.27 2sin x sin x cos x sin x 1.28 tan x cos4 x sin x 4 tan x 1.29 sin x cos 3x sin x 1 2 1.30 5sin x 2cos 3x 5cos 3x 2sin x 1.31 1 tan x cos x sin x cos x cos x cos x 1.32 2sin x 1 cot x cos x 1 1 2cos x.cos3x cos x 1.33 4 sin x cos x sin x 1.34 tan x tan 3x 1.35 x cos3x cot 2sin 3x sin x sin x 3 1.36 1.37 sin x 2 3 1 sin x sin x cos2 x 3x 4cos x sin 4 4 2cos x cos x 2sin x 1.38 cos x sin x sin x 1 cos x cos x sin x 2sin x 1 1.39 3tan x tan x 1.40 tan xcos3 x 2cos x sin x cos x 2sin x 1 sin x tan x x 8cos 2 194 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.41 1 sin x cos x cos x 4sin x cos x x cos2 sin x 5 2 sin x 1 1.42 sin x cos x x tan tan x sin x 2 1.43 cos x tan x cos x cos x 1.44 2sin x 2sin x sin 3x sin x sin x 1 1.45 2 cos x 12 1 sin x sin x sin x cos x 195 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam