Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Cao học Xây Dựng Bách Khoa Tp.HCM
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG, BỘ MƠN SỨC BỀN KẾT CẤU Địa chỉ: 268 Lý Thường Kiệt, Phường 14, Quận 10, Tp.HCM Email: lvhai@hcmut.edu.vn Website: www.hcmut.edu.vn BÀI GIẢNG CAO HỌC XÂY DỰNG KẾT CẤU TẤM & VỎ PLATE & SHELL STRUCTURES PGS TS LƯƠNG VĂN HẢI Tp Hồ Chí Minh, năm 2016 Cao học Kết cấu Tấm vỏ - Tham khảo từ Bài giảng Thầy PGS TS Chu Quốc Thắng MỤC LỤC Trang MỤC LỤC - i CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ SỤNG - iii TẤM CHỊU UỐN: - 1.1 Các khái niệm giả thiết: 1.1.1 Khái niệm tấm: 1.1.2 Các giả thiết tính toán tấm: 1.2 Chuyển vò biến dạng (Kinematical Relationships): 1.3 Ứng suất nội lực (Material law): 1.4 Phương trình vi phân chủ đạo chòu uốn: 10 1.5 Các điều kiện biên chu vi tấm: 11 1.6 Tấm ELIP: 13 1.7 Tấm chữ nhật biên tựa với nghiệm Navier: 15 1.7.1 Cơ sở lý thuyết: 15 1.7.2 Một số trường hợp tải trọng cụ thể: 16 1.8 Tấm chữ nhật biên tựa chòu tải phân bố với lời giải Levy: 19 1.9 Tấm chữ nhật chòu uốn momen phân bố cạnh: 21 1.9.1 Trường hợp đối xứng f1(x) = f2(x) = f(x): 21 1.9.2 Trường hợp phản xứng f1(x) = –f2(x): 22 1.9.3 Trường hợp tổng quát: 23 1.9.4 Trường hợp đặt biệt: 23 1.10 Tấm chữ nhật có cạnh tựa cố đònh, cạnh ngàm: 23 1.11 Tấm chữ nhật có cạnh tựa cạnh ngàm: 24 1.12 Các phương trình tròn chòu uốn: 25 1.13 Tấm tròn chòu uốn đối xứng trục: 26 1.13.1 Bài toán tròn biên tựa cố đònh chòu tải trọng phân bố đều: 27 1.13.2 Bài toán tròn biên ngàm chòu tải phân bố đều: 28 1.13.3 Bài toán có tròn có lỗ, biên ngàm chòu tải trọng phân bố đều: 29 1.14 Thế toàn phần: 30 1.15 Phương pháp Rayleigh – Ritz: 31 1.15.1 Vận dụng pp Rayleigh – Ritz vào giải toán chòu uốn: 31 1.15.2 Bài toán chữ nhật biên ngàm chòu tải trọng phân bố đều: 32 1.16 Giới thiệu lý thuyết dày MINDLIN – REISSNER: 33 1.17 Tấm bò uốn tác dụng đồng thời tải trọng ngang lực mặt phẳng tấm: 36 1.18 Ổn đònh chữ nhật biên tựa chòu nén đều: 39 1.19 Tấm chữ nhật biên tựa, chòu nén phương: 42 1.20 Tấm dò hướng chòu uốn: 43 Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn Cao học Kết cấu Tấm vỏ - Tham khảo từ Bài giảng Thầy PGS TS Chu Quốc Thắng 1.20.1 Phương trình vi phân tấm: 43 1.20.2 Xác đònh độ cứng trường hợp riêng: 44 LÝ THUYẾT VỎ: 47 2.1 Một số khái niệm lý thuyết mặt cong: 47 2.1.1 Phương trình mặt cong: 47 2.1.2 Mặt phẳng tiếp xúc pháp tuyến mặt cong: 47 2.1.3 Các thiết tuyến bán kính cong chúng: 48 2.1.4 Bán kính cong thiết tuyến thẳng góc: 48 2.1.5 Các đường độ cong: (Lines of curvature) 50 2.1.6 Phân loại kết cấu vỏ: 50 2.2 Lý thuyết vỏ màng (vỏ phi momen): 50 2.2.1 Các giả thiết lý thuyết vỏ màng: 50 2.2.2 Lý thuyết màng hệ tọa độ vuông góc: 52 2.2.2.1 Hình chiếu nội lực hay nội lực quy chiếu: 52 2.2.2.2 Phương trình vi phân vỏ màng – Hàm ứng suất: 53 2.2.2.3 Điều kiện biên: 55 2.2.2.4 Tải trọng vỏ màng: 55 2.2.3 Ứng dụng lý thuyết vỏ màng hệ tọa độ vuông góc: 56 2.2.4 Lý thuyết màng hệ tọa độ trụ 64 2.2.4.1 Lý thuyết chung: 64 2.2.4.2 Vỏ tròn xoay chòu tải đối xứng trục: 65 2.2.4.3 Vỏ paraboloid tròn xoay với biên tròn: 66 2.2.5 Lý thuyết vỏ màng hệ tọa độ tự nhiên: 68 2.2.5.1 Lý thuyết chung vỏ tròn xoay: 68 2.2.5.2 Tải trọng: 71 2.2.5.3 Áp dụng thí dụ: 71 2.2.6 Vỏ tròn xoay chòu tải trọng gió: 73 2.2.6.1 Phương pháp chung: 73 2.2.6.2 Vỏ cầu chòu tải trọng gió: 75 2.3 Vỏ chòu uốn: 77 2.3.1 Phương trình vi phân tổng quát: 77 2.3.2 Tìm nghiệm tổng quát: 79 Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn Cao học Kết cấu Tấm vỏ - Tham khảo từ Bài giảng Thầy PGS TS Chu Quốc Thắng CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ SỤNG x , y , z x , y Biến dạng dài theo phương x, y z xy , yz , zx Ứng suất cắt mặt có véctơ pháp tuyến x, y z có chiều trùng với phương y, z x Ứng suất pháp tuyến theo trục x, y z x , y , z Độ cong theo phương trục x trục y S x , S y , S xy xy A a, b d E F G h M Mx , My Mxy Nxy P p x, y Biến dạng trượt Hệ số Poisson vật liệu làm Độ cong Ứng suất cắt Thế Độ xoắn Công ngọai lực Chiều dài cạnh theo phương x, y Độ cứng uốn Mô đun đàn hồi Diện tích tiết diện Môđun đàn hồi trượt Bề dày Mômen đơn vò chiều dài, mômen tổng Mômen uốn đơn vò chiều dài theo trục x, y mặt phẳng Oxy Mômen xoắn đơn vò chiều dài mặt phẳng Oxz Lực trượt đơn vò chiều dài mặt phẳng x có chiều trùng với trục y Lực tập trung Tải trọng mặt tác dụng lên mặt phẳng Oxy pmn Qx , Qy rx, ry U u, v w x, y, z Hệ số chuỗi tải trọng Lực cắt đơn vò chiều dài mặt phẳng Oxy Các bán kính cong mặt phẳng Oxz Oyz Năng lượng biến dạng Chuyển vò theo phương x, y Độ võng theo phương z Tên hệ trục tọa độ Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn TẤM CHỊU UỐN: 1.1 Các khái niệm giả thiết: 1.1.1 Khái niệm tấm: Tấm vật thể lăng trụ hình trụ có chiều cao h nhỏ nhiều so với kích thước phương lại Mặt phẳng cách mặt bên gọi mặt trung bình Khi chòu uốn mặt trung bình bò cong Giao tuyến mặt trung bình mặt biên cạnh gọi cạnh biên (hay chu vi tấm) Để tiện nghiên cứu khảo sát: thường O chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, thường b mặt phẳng Oxy nằm mặt trung bình Trục z hướng xuống, vò trí gốc tọa độ y z O chọn tùy thuộc vào hình dạng chu vi đặc trưng liên kết biên h: chiếu dày cho cho phù hợp toán cụ thể a x h Tấm sử dụng rộng rãi xây dựng: sàn, panel, lợp nhà công nghiệp, … Phần lớn dùng xây dựng mỏng (tấm theo giả thiết Kirchhoff) h + Tấm gọi mỏng nếu: (trong đó: b kích thước nhỏ 80 b h h mặt trung bình) độ võng wmax (cũng sử dụng lý thuyết mỏng với ) b h 1 + Trường hợp có (hoặc > ) ta có dày b h + Nếu có độ võng wmax cần tính theo lý thuyết có độ võng lớn hay mềm (hay lý thuyết màng) 1.1.2 Các giả thiết tính toán tấm: Tấm mỏng tính toán ứng dụng theo lý thuyết chòu uốn sau dựa giả thiết sau (còn gọi giả thiết Kirchhoff) 1) Giả thiết đoạn thẳng pháp tuyến: đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình thẳng vuông góc với mặt trung bình chòu uốn độ dài chúng không đổi + Từ giả thiết dễ thấy góc vuông tạo phần tử thẳng vuông góc với mặt trung bình (và có phương dọc trục z) với trục x, y góc vuông trình biến dạng, trượt mặt phẳng yz Hay: (1.1) xz + Vì độ dài đoạn thẳng vuông góc không thay đổi nên dễ thấy biến dạng dài theo phương z Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn Hay: z (1.2) 2) Giả thiết mặt trung bình: mặt trung bình biến dạng kéo, nén hay trượt Khi bò uốn mặt trung bình mặt trung hòa Từ dễ thấy mặt trung bình, chuyển vò: u0 v0 hay u z 0 v z 0 (1.3) 3) Giả thiết tương tác lớp tấm: tương tác lớp song song với mặt trung bình bỏ qua Tức ứng suất pháp z bỏ qua (vì nhỏ so với x y ) 1.2 Chuyển vò biến dạng (Kinematical Relationships): Chúng ta nghiên cứu chòu tải trọng ngang, tức tải trọng vuông góc với mặt trung bình Để xác đònh biến dạng chuyển vò ta dựa vào giả thiết 1.1.2: w Theo giả thiết , z nên theo công thức Cauchy: z độ võng w z không phụ thuộc vào z hay: w wx, y Điều có nghóa tất điểm nằm đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình có độ võng yz Cũng từ giả thiết , từ điều kiện biến dạng trượt , sử dụng công thức xz Cauchy: v w w u yz z y z x ta được: w u v w xz x z z y Bằng cách tích phân, biểu thức vừa nhận theo z, ta có: w u z x f1 x, y v z w f x, y y (a) Các hàm f1 x, y f x, y xác đònh cách sử dụng giả thiết tính không biến dạng kéo, nén mặt trung bình Theo giả thiết chuyển vò u0 v0 điểm mặt trung bình u u | z 0 f1 x, y nên: v0 v | z 0 f x, y w u z x (1.4) Vậy tóm lại, theo (a) ta có: v z w y Điều có nghóa chuyển vò thành phần biểu diễn qua hàm độ võng w mặt trung bình Các thành phần biến dạng khác tìm thấy cách sử dụng công thức Cauchy: Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn u 2w z x x x v 2w (1.5) z y y y u v 2w 2 x xy y x xy Như chuyển vò thành phần, thành phần biến dạng biểu diễn qua hàm độ võng w 1.3 Ứng suất nội lực (Material law): Để tìm ứng suất, ta sử dụng công thức đònh luật Hooke (dạng ngược) với ý z Dễ dàng có cách sử dụng (1.5): E E 2w 2w z x x y y x E E 2w 2w (1.6) z y y x y x E E 2w xy z xy 21 xy Với yz zx , theo đònh luật Hooke công thức (1.1) Tuy nhiên điều mâu thuẫn với điều kiện cân thực yz zx khác Để tìm chúng, ta sử dụng điều kiện cân bằng: ij x j X i i 1, , Từ phương trình vi phân cân thứ nhất, bỏ qua lực khối, ta thấy: xz x xy z x y Thay x xy (1.6) ta có: xz E z 3w 3w E 3w z z xy xy x E E 2w 2w z z 2w 2 y x x x Tích phân theo biến z, ta có: Ez xz w f1 x, y 21 x Hàm f1 x, y xác đònh từ điều kiện mặt mặt ứng suất tiếp (vì tải song song bề mặt tấm), tức là: Eh w f1 x, y xz z h 2 1 x Suy ra: f1 x, y Eh w x Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn h2 z w x (1.7) h E 2 Tương tự với yz : yz z w y Sự phân bố theo bề dày h thành phần ứng suất vừa tìm thấy qua hình vẽ bên: xz Vậy E x xz x y yz yx y xy Cũng cách khảo sát phương trình vi phân cân thứ 3, dựa vào điều kiện biên tấm, người ta viết biểu thức tính z thấy rõ răøng z có bậc với cường độ tài trọng phân bố mặt và không đáng kể so với x y Cụ thể: q1 (x,y) z q q1 E 2 h2 z z3 w 3 h q2 (x,y) z Cũng tương tự sức bền, hợp lực ứng suất phân bố theo bề dày đơn vò dài gọi thành phần ứng lực (nội lực) hay thường gọi nội lực tấm: h 2w h2 E 2w dF 1.dx N x h2 x 1.dz zdz x y h 2 Tương tự ta có: N y Gọi Mx mômen uốn đơn vò dài mặt cắt có pháp tuyến trục x: h E 2w 2w h2 M x h2 x z.dF z dz x y h 2 2w 2w M x D y x đó: D Eh 12 Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn (1.8) gọi độ cứng trụ đặc trưng vật liệu hình học chòu uốn Cũng mặt cắt có pháp tuyến x có lực cắt Qx: h E h2 h2 Qx h2 xz dF w h z .1.dz D w x 21 x 2 Lực trượt (lực tiếp) Nxy (là tổng hình chiếu lên phương y ứng suất xy ) E 2w h2 zdz xy h 2 Mômen xoắn Mxy (do xy ) mặt cắt này: h N xy h2 xy dF 2w xy Tương tự, mặt cắt có pháp tuyến trục y, ta có thành phần nội lực phân bố đơn vò dài: 2w 2w Mômen uốn: M y D x y h M xy h2 xy zdF D1 Lực cắt: Q y D w y Mômen xoắn: M yx D 1 2w M xy xy Vậy ta tìm thành phần nội lực chòu lực ngang Hình vẽ bên biểu diễn giá trò dương nội lực thành phần Mxy Mx Nx My M yx Ny N xy N xy Qx Qy Ngoài ra, biết: biến dạng chuyển vò nhỏ xem đạo hàm bậc hai hàm độ võng w độ cong mặt võng Với hệ trục hình vẽ thì: 2w 2w x y x rx y ry độ xoắn: 2w xy xy rxy Từ đó, mômen biểu diễn qua độ cong sau: 1 1 M x D D x y ry rx 1 1 M y D D y x rx ry M xy D 1 D 1 xy rxy Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn Hay dạng ma trận: Mx rx x M x 1 12 M y y M y D ry Eh M 0 xy M xy xy r xy Các phương trình phương trình vật lý Nó cho biết mối liên hệ nội lực biến dạng mặt trung bình Tóm lại: Từ phương trình biến dạng (kinematical) phương trình ứng xử vật liệu (đònh luật Hooke) ta có phương trình biểu diễn mối quan hệ nội lực biến dạng mặt trung bình sau: 2w 2w M D x x y 2w M y D w y x 2w (1.9) M M D yx xy xy Q x D w x Q y D y w Kết hợp (1.6) (1.7) ta có biểu thức tính ứng suất qua nội lực: Mx Mx x h3 z I z 12 M My y z z y h I 12 M M yx xy xy z xy z h I 12 Qx z xz h h Qy 1 z yz h h z Cũng thấy rằng, tương tự dầm chòu uốn, ứng suất tiếp xz , yz biến thiên theo luật bậc hai nhỏ so với ứng suất xy Ngoài ra, ứng suất đạt giá trò lớn mặt trung bình: xz max Qx ; h yz max Qy h Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 67 nr rg r dr 2 r d n rnr dr Trường hợp tải trọng quy chiếu phân bố cường độ g0 (hình vẽ): rg r dr g0 rdr g0 r C g0 g0C1 nr 2 r 2 r 2 r 4 2 r + Nếu vỏ lỗ chiếu sáng tự nhiên từ điều kiện biên đỉnh (r=0) nội lực màng có giá trò , ta suy C1=0 g g a2 Vậy: nr 4 4f g0 g0 a d n rdr dr 4 4f nr + Nếu vỏ có lỗ chiếu sáng tự nhiên có bán kính b mép lỗ dầm vòng ta xem mép vỏ tự r=b Do đó, có điều kiện biên: g b2 nr r b nr r b C1 2 b Từ đó, ta nhận được: C1 b2 g r b2 g g 0b Vậy: nr 2 r 4 4 r g0 b2 n n r 1 r r 4 r nr Vỏ chòu tải trọng thân: Nếu trọng lượng thân đơn vò diện tích mặt vỏ g0 thành phần thẳng đứng quy chiếu hay cường độ tải trọng theo phương thẳng đứng đơn vò diện tích mặt Oxy g và: g gb zr2 gb 4 r Để tránh khó khăn tính toán sau công thức chứa bậc 2, ta sử dụng biểu thức khai triển gần sau: z2 g gb 1 r gb 2 r gb gb 2 r 2 Hay: g gb g1r đó: g1 2 gb Với nhận xét nội lực màng quy đổi số hạng thứ I biểu thức tải trọng g xét trên, nên thành phần lực màng số hạng thứ II g1r2 xét riêng sau (chú ý riêng số hạng g1r2): r4 g C2 1 rg r dr g1r dr g1 r 4C2 nr r2 2 r 2 r 2 r 8 Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 68 Cũng xét trên, vỏ lỗ C2=0 vỏ có đường kính b2 2b C2 Từ ta dễ dàng tìm thành phần lực màng quy chiếu cho vỏ chòu tải trọng trọng lượng thân vỏ với g g g1r sau: + Vỏ không lỗ: g g1b g0 gb a f 2 2 n r r 1 r 4 8 4 4f a 2 g 3g1b g0 gb a f 2 n 4 8 4 3 r f 1 a r nr f2 + Vỏ có lỗ đường kính 2b, đỉnh: với g1 2 gb gb a gb b g1 b nr 1 r 4 r 8 r gb b g1 b n 1 3r 4 r 8 r nr g(r) Bài toán: Cho mái vỏ paraboloid tròn xoay chòu tải trọng hình vẽ khảo sát phân bố g0 lực màng quy chiếu Xác đònh nội lực màng tác động mép vỏ Cho: a=15m, f=5m, g0=80kg/m2, gb=200kg/m2 (vỏ dày 5cm) r f z 2.2.5 Lý thuyết vỏ màng hệ tọa độ tự nhiên: 2.2.5.1 Lý thuyết chung vỏ tròn xoay: Trong hệ tọa độ tự nhiên (hệ tọa độ cầu), xét đến nội lực vỏ tròn xoay, người ta sử dụng đặc trưng hình học sau (hình vẽ): r – bán kính đường tròn thiết tuyến nằm ngang r – bán kính cong theo phương kinh tuyến r – bán kính cong theo phương vòng điểm khảo sát Các tải trọng mặt (cường độ đơn vò diện tích mặt cong) có thành phần vuông góc là: px – theo phương vòng py – theo phương kinh tuyến pz – theo phương pháp tuyến mặt cong Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn d c o s N N N N d px r r N r d pz d N d py r N N d N N d N N d N trục đối xứng d cos r r N r d N r d d ph r r ương t N r d iếp tuyến 69 d sin r phư ơng p háp tu yến N r d r N r d d d d d (N N d ) r d theo phương vòng (N N d ) r d theo phương tiếp tuyến Như phương pháp quen thuộc, ta khảo sát cân phân tố vỏ tách mặt phẳng kinh tuyến nghiêng với góc d mặt phẳng vuông góc với kinh tuyến nghiêng với góc d Mặt phẳng kinh tuyến mặt phẳng vuông góc kinh tuyến mặt phẳng độ cong (chứa đường cong chính) điểm khảo sát Bán kính cong đường cong r r Còn r bán kính cong vòng tròn vó tuyến nằm ngang qua điểm khảo sát Phương trình cân theo phương vòng là: N r N r d d d d N r cos d d px rr d d Theo phương kinh tuyến: N N r r d d N r cos d d d d p y rr d d Phương trình cân theo phương pháp tuyến: N r sin d d N rd d pz rr d d Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 70 r r sin Sử dụng quan hệ sau: N N phương trình cân đưa dạng: N N r r N r cos px rr N N r (2.18) r N r cos p y rr N N pz r r (2.18) hệ phương trình cân vỏ màng tròn xoay hệ tọa độ tự nhiên Trường hợp đặc biệt: tải trọng liên kết đối xứng trục, lúc trạng thái ứng suất vỏ không phụ thuộc vào biến N=0, tải trọng px=0 Các phương trình cân phương trình có dạng đơn giản đây: (Phương trình đầu đồng 0) N r p y rr N r cos (a) N N p z r r Từ phương trình cuối (a), ta có: N N N (b) N r pz r Dạng khác: pz r r r có: Thay N theo (b) vào phương trình đầu (a) nhân vế với sin, rút gọn lại, ta N r sin cos d N r sin d sin r r p y sin pz cos sin Dễ thấy vế trái phương trình đạo hàm d N r sin nên ta rút ra: d d N r r sin r r p y sin pz cos sin dr r r p y sin pz cos sin d C Từ đó, ta có: N r sin (c) Hằng số tích phân C xác đònh từ điều kiện biên Trường hợp tải trọng thẳng đứng: phản lực thẳng đứng nằm dọc biên biểu diễn theo lực kinh tuyến N sau: Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 71 G 2r N sin G G hợp lực tải trọng thẳng đứng tác dụng lên vỏ Từ suy ra: G G N 2r sin 2 r sin Sau đó, dễ dàng tìm lực vòng theo (b): N N r pz r N r r r N r 2.2.5.2 Tải trọng: Như biết trên, tải trọng tác dụng mặt vỏ phân thành thành phần theo phương phương vòng, phương tiếp tuyến phương pháp tuyến px, py & pz Và trường hợp tải trọng đối xứng trục ta có: px=0 Với tải trọng thân: Nếu ký hiệu gb trọng lượng đơn vò diện tích mặt từ hình vẽ bên dễ dàng thấy thành phần tải trọng là: px p y gb sin pz gb cos t dF=1 pz gb py Trường hợp tải trọng cho theo giá trò quy chiếu (trên đơn vò diện tích mặt bằng) (tải trọng tuyết hay đất đắp) Nếu gọi p giá trò quy chiếu theo phương thẳng đứng (phương z) tải trọng (trên đơn vò diện tích mặt bằng) từ hình vẽ dưới, ta dễ thấy giá trò thành phần theo phương vòng, kinh tuyến, phương px p y p sin cos pz p cos Tiếp tuyến vuông góc mặt vỏ có giá trò không đổi q (áp lực khí, gas, …), px p y đó: (dấu (+) ứng với trường hợp tải trọng có chiều hướng vào tâm vỏ = áp pz q lực nén) Vỏ chòu áp lực thủy tónh mặt vỏ chòu tải trọng: px p y h chiều cao cột chất lỏng pz h 2.2.5.3 Áp dụng thí dụ: Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 72 1) Vỏ nón: từ hình vẽ bên ta có: r y cot r y cos r y y khoảng cách từ đỉnh nón đến mặt cắt xét Với tải trọng thân, ta có: pz g cos p y g sin y z f r Ny N Thay ký hiệu N Ny, sử dụng công thức có trên, ta có: G N y N 2 y cos sin đó: G 2 cos y p sin pz cos ydy gy 2 cos : hợp lực theo y phương thẳng đứng tải trọng tác dụng phần vỏ xét Hay tính G đơn giản hơn: y y y G 2 rdy g 2 y cos gdy 2 g cos ydy gy 2 cos Vậy: N y 0 gy cos gy 2 y cos sin 2sin N Và lực vòng là: N r pz r pz pz y cot gy cos cot r Từ biểu thức Ny, N dễ thấy lực màng có giá trò tỉ lê với khoảng cách y, đến đỉnh nón 2) Vỏ cầu: Dễ thấy rằng, với vỏ cầu r r R : bán kính mặt trung gian vỏ Xét vỏ cầu chòu trọng lượng thân cường độ g (trên đơn vò diện tích mặt).Vậy dọc theo vòng tròn vó tuyến xác đònh góc , ta có tải trọng thành phần: px 0, p y g sin , pz g cos f r R 0 Lực màng theo phương kinh tuyến N xác đònh từ cân phần chỏm cầu tách mặt cắt xác đònh góc (như phần 1) nói) G G N : r r sin 2 r sin 2 r sin Diện tích bề mặt phần chỏm cầu: F 2 Rf 2 R 1 cos Nên dễ thấy là: G gF 2 R g 1 cos 2 R g 1 cos cos gR Vậy: N gR 2 r sin sin cos Biết N, ta dễ dàng tìm lực màng theo phương vòng N, từ biểu thức có: N N N r pz r R pz r Rpz N r r Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 73 N Rg cos gR Rg cos cos cos g(r) p y pz g g R2 - N Rg Rg N + gR N N + Sự biến thiên lực màng N N minh họa hình vẽ Hình thứ trường hợp 2.2.6 Vỏ tròn xoay chòu tải trọng gió: 2.2.6.1 Phương pháp chung: Nội lực màng vỏ tròn xoay chòu tải trọng gió nguyên tắc hoàn toàn tìm từ phương trình phương pháp nêu phần Tuy nhiên, việc thực tải trọng cách chặt chẽ thường gặp nhiều khó khăn toán học, thế, để đơn giản, tùy thuộc vào hình dạng mặt vỏ mà người ta sử dụng phương pháp đơn giản hiệu sau: Nếu tải trọng thân, tải trọng đất đắp, … xem tải trọng đối xứng gây hệ nội lực màng đối xứng trường hợp vỏ tròn xoay (cả hình dạng liên kết) ngược lại, với tải trọng gió – biết quy phạm tính – giá trò tải trọng phụ thuộc vào hướng gió, độ cao điểm khảo sát luật phân bố hút – đẩy phức tạp Tuy nhiên, toán đn giản nhiều trường hợp vỏ tròn xoay, ta xem tải trọng gió tải trọng vuông góc mặt vỏ, phản xứng có cường độ: (a) pz p cos biểu này, p biểu thò tải trọng biến thiên phụ thuộc vào độ cao điểm khảo sát theo phương kính tuyến: p n0 sin (n0: giá trò cho quy phạm) cos biểu thò ảnh hưởng hướng gió điểm khảo sát (lấy theo phương vòng) Vò trí tương ứng giá trò góc =0 tương ứng với hướng gió Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 74 Dưới tác dụng tải trọng phản xứng này, nội lực màng phản xứng cụ thể: mặt cắt ngang xác đònh góc (thì lực màng có luật phân bố (dọc phương vòng): N N o cos (b) N N o cos N N sin o đây, N0, N0 giá trò lực màng N N vò trí tương ứng góc =0, tức vò trí tương ứng với hướng gió Còn N0 giá trò lực N lớn mặt cắt tương ứng vò trí =900 (hình vẽ) Xét cân phần vỏ tách từ mặt cắt ngang (hình vẽ) với đặc trưng hình học hình vẽ Dọc theo mặt cắt có lực màng N N F h h npz A N C F F r h N N rd cos N d N r N N Gọi F hợp lực lực pháp N mặt cắt Do tính chất phản xứng, F vuông góc với trục đối xứng vỏ có điểm đặt ngang đỉnh hình nón ngoại tiếp phần vỏ xét mặt cắt khảo sát Và dễ thấy vi phân hợp lực F là: dF N rd cos cos rN cos cos d Sử dụng (b), ta có: dF rN cos cos d Vậy hợp lực F là: F toàn mặt cắt 2 2 0 dF rN cos cos d rN cos cos d F rN cos Từ đó, biết F biết N lực màng pháp N: F thay vào (b), ta biểu thức tìm cos F cos (c) r cos Tương tự: gọi F hợp lực tiếp N mặt cắt ngang vỏ dễ thấy F vuông góc trục đối xứng nằm mặt phẳng mặt cắt (vì lực N thuộc mặt cắt ngang đó) Và: dF N rd sin rN sin d N Vì theo (b), mặt cắt này: N N sin nên dF rN sin d Và hợp lực F có giá trò: Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 75 2 2 0 F rN sin d rN sin d rN Tương tự trên, biết F ta tìm N0, sử dụng (b) ta có biểu thức tìm lực tiếp N sau: F N sin (d) r Với ngoại lực, gọi F hợp lực tải trọng gió tác dụng lên phần vỏ tách (phần mặt cắt ngang khảo sát) Cũng tính phản xứng tải trọng gió, lực F phải vuông góc với trục đối xứng có độ lớn, vò trí điểm đặt phụ thuộc vào luật phân bố tải trọng hình dạng vỏ Các đại lượng hoàn toàn tính trường hợp cụ thể Cũng dễ thấy rằng, biết vò trí điểm đặt (điểm A) độ lớn hợp lực F dễ tính giá trò F F Từ hình vẽ, ta có: h h F F F F h h Thay vào biểu thức (c) (d) ta được: h F N r cos h cos (2.19) N F h sin r h Còn lực pháp N tìm từ phương trình thứ (2.18) (phương trình cân theo phương pháp tuyến): N (2.20) N r n r đó: n thành phần vuông góc mặt vỏ tải trọng gió có cường độ: n n0 sin cos (e) n0 cường độ tải trọng gió vò trí ứng với =0 2.2.6.2 Vỏ cầu chòu tải trọng gió: Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 76 F Với nhận xét rằng: tải trọng gió vuông góc với mặt cầu toàn mặt có phương tác dụng hướng vào tâm vỏ, vậy, vò trí điểm đặt hợp lực F với mặt cắt ngang khảo sát tâm vỏ cầu (hình vẽ) Từ hình vẽ, ta thấy rằng: h h h R cos R (f) h cos h R tan sin Tính giá trò hợp lực tải trọng gió F phần vỏ tách gió n rời: vi phân diện tích F mặt vỏ có độ lớn (rd.Rd) tải h trọng gió tác dụng lực vuông R góc mặt vỏ với giá trò: N N F n(rd.Rd) r Và thành phần nằm ngang theo phương gió thổi (tương ứng phương =0) vỏ là: dF n rd Rd sin cos Thay giá trò cường độ n theo (e) vào, ta có: dF n0 sin cos Rd rd Và r=Rsin nên: dF n0 R sin cos d d Thực tích phân tìm F: 2 F 0 Ta có: F 2 dF n0 R sin d cos d n0 R 0 3cos cos 3 Nếu ý rằng: trường hợp F F có dấu ngược lại nên lực màng có biểu thức xác đònh theo (2.19) (2.20) là: n0 R cos N 3sin 3cos cos cos n0 R 3cos cos3 sin N 3sin n0 R N 3sin cos 3sin cos cos Bài toán: Xác đònh nội lực màng phát sinh vỏ nón (liên kết gối tựa dọc biên) chòu tác dụng tải trọng gió có thành phần pháp tuyến với vỏ là: n n0 sin cos Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 77 2.3 Vỏ chòu uốn: VỎ TRỤ TRÒN THẲNG ĐỨNG CHỊU UỐN BỞI TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG TRỤC 2.3.1 Phương trình vi phân tổng quát: Xét vỏ trụ tròn (hình vẽ) chòu tải trọng thủy tónh: p l x Khảo sát cân phân tố vỏ x h (hình vẽ) Các nội lực tác dụng lên phân tố gồm: N: lực vòng Q: lực cắt theo phương bán kính M: momen uốn (Quy ước: M>0 làm thớ bò kéo) Do tính chất đối xứng trục, nội lực không phụ thuộc biến góc Q=0 dx L x O R M+dM N Q+dQ pR d dx dx Q M Rd dx dx N d d N M+dM Q+dQ R Q M N Rd d R d d N N Bỏ qua trọng lượng thân vỏ, phương trình hình chiếu lên phương bán kính là: dQRd Nd dx pdxd (2.21) Phương trình momen đường thẳng tiếp tuyến, bỏ qua VCB bậc cao, ta có: (2.22) Qdx dM Rd Chia vế (2.21) cho Rddx, ta có: dQ N p0 dx R dM Còn từ (2.22), ta có: Q dx Thay vào phương trình trên, ta nhận được: d 2M N p0 dx R Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn (2.23) 78 Dễ thấy rằng, lực kéo vòng N, vỏ bò kéo dãn theo phương vòng có xu hướng nở (hình vẽ) Biến dạng dày tương đối theo phương vòng là: N hE rằng: B' Rd R B d R w R A A' w Mặt khác, điểm mặt vỏ có chuyển vò theo phương bán kính w dễ thấy AB R w d R 1 d Cũng thấy: AB AB R w d Rd w AB Rd R Hay: w R Và: w NR hE N w hE R (2.24) Do có chuyển vò theo phương bán kính w, độ cong vỏ biến đổi từ đến giá giá trò R Do mà vỏ xuất momen uốn M theo phương vòng Tuy nhiên, momen Rw nhỏ R w ta bỏ qua tính toán cho đơn giản Còn theo phương đường sinh vỏ, biết sức bền độ cong chuyển vò tồn liên hệ sau: d 2w x dx Còn độ cong momen uốn có quan hệ: d 2w (2.25) M D x D dx Eh3 D độ cứng trụ vỏ: D 12 1 Thay (2.24), (2.25) vào (2.23), ta có: d w hE p D w dx R D D Eh 4 Đặt: R2 D 4 12 1 Eh h2 E R h2 Rh R2 12 Và phương trình vi phân cấp có dạng: d 4w p 4 w D dx Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn (2.26) 79 Đây phương trình vi phân chủ đạo vỏ trụ tròn thẳng đứng chòu tải trọng đối xứng trục Từ nó, sau tìm w ta tìm nội lực thành phần sau: Eh Lực kéo vòng: N w R d 2w Momen uốn: M dx d 3w Lực cắt: QD dx 2.3.2 Tìm nghiệm tổng quát: Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp không (2.26): w w0 w đó, w0 nghiệm tổng quát phương trình tương ứng w nghiệm riêng phương trình không cho Nghiệm riêng phương trình không w (2.26) phụ thuộc tải trọng p thường người ta lấy nghiệm riêng từ toán phi momen tương ứng x Trường hợp vỏ chòu áp lực thủy h tónh (hình vẽ): Dễ thấy lực vòng vỏ màng tương ứng là: N Rp R L x p= (l-x) Vậy chuyển vò theo phương bán kính là: NR R 2 w R L x Eh Eh R 2 Rõ ràng: w L x (2.27) dw O Eh dx Làm (2.26) trở thành đồng R nghiệm tiêng phương trình không (2.26) Nghiệm tổng quát phương trình w0 : R d 4w 4 w dx Có dạng: w0 e x C1 cos x C2 sin x e x C3 cos x C4 sin x N (2.28) (2.29) đó: C1, C2, C3, C4 số tích phân xác đònh dựa vào điều kiện biên Chú ý rằng: Vì e x x , mà w w0 w hữu hạn nên ta phải có C1 C2 Tuy nhiên, thực tiễn tải trọng, L người ta lấy C1 C2 Khi đó, vỏ xem vỏ cao lúc này: w w e x C3 cos x C4 sin x Còn vỏ thấp L người ta kể tới số tích phân này, tức: Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 80 w w e x C1 cos x C2 sin x e x C3 cos x C4 sin x (2.30) Vỏ trụ cao L ngàm biên dưới: R 2 L x e x C3 cos x C4 sin x Eh chuyển vò: w , ta có: Sử dụng điều kiện biên: x : dw góc xoay: dx R R2 C L w x 0 Eh L C3 Eh R2 R2 R 2 L dw C3 C4 C4 1 C3 dx x 0 Eh Eh Eh L w w w0 Các thành phần nội lực là: Eh w R L x Le x cos x N sin x R L d w M D D 2 e x [C3 cos x C4 sin x] dx D x e R 2 L cos x sin x Eh L d w D x Q D dx3 R L Eh e cos x sin x 1 L cos x sin x (2.31) (2.32) x h p= (L-x) L0 L L0 + O R R N L0 - M + - + Q Vỏ trụ thấp L ngàm biên dưới: R 2 L x e x C1 cos x C2 sin x e x C3 cos x C4 sin x Eh Sử dụng điều kiện biên để xác đònh số tích phân C1, C2, C3, C4 chuyển vò: w + Tại biên x : dw góc xoay: dx w w w0 d 2w M D 0 dx + Biên tự do: x L : Q D d w dx3 Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn y 81 b Ví dụ: + Vỏ trụ chứa nước có R=6m, cao L=16m, dày h=30cm, vật liệu bê tông có =1/6, trọng lượng riêng nước =1T/m3 1 Giải: Tính: Rh 1 1 6 0,972 6.0,3 Vậy: L=0,972.16=15,55>6 Vỏ cao sử dụng biểu thức nội lực (2.32) x h=0,3m p= (L-x) L=16m 88T/m + O R=6m R + - 7,86Tm/m 15,8T/m N M Q VỎ CAO + Trường hợp vỏ có chiều cao L=4m Vậy: L=0,972.4=3,89>6 Vỏ thấp Từ điều kiện biên ta xác đònh số tích phân C1, C2, C3, C4 Biểu đồ nội lực có dạng: h=0,3m p= (L-x) L=16m 18,8T/m 3,55T/m O R R=6m N VỎ THẤP Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 1,55Tm/m M Q [...]... a a a a a 1.9.1 b b (b) (c ) (d ) (e) (f) Trường hợp đối xứng f1(x) = f2(x) = f(x): Do bài toán là đối xứng nên Ym phải là hàm chẵn của y Am Dm 0 Khi này, hàm độ võng có dạng: m y m y m y m x w Bm cosh sinh Cm sin a a a a m 1 Bm & Cm được xác đònh từ điều kiện biên (c) và (d) như sau: Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 22 + Từ (c), trên y b 2 thì... Đưa (f) vào phương trình (e), ta nhận được: p x, y p mn sin (f) (g) 2 m2 n2 D Amn 2 2 p mn b a Sử dụng cả (g), ta có công thức xác đònh Amn: a b 4 mx ny Amn p x, y sin sin dxdy 2 2 2 0 0 a b m n 4 D ab 2 2 b a 4 (h) Vậy hàm độ võng dạng (c) với các hệ số của chuỗi được xác đònh theo (h) vừa thỏa mãn phương trình vi phân tấm và cả các điều kiện biên tấm. .. Ngoài ra, hàm độ võng w(x,y) phải thỏa mãn phương trình vi phân tấm (1 .10): 4w 4w 4w D 4 2 2 2 4 p x, y x y y x (a) Để thỏa mãn phương trình vi phân tấm (1 .10) và các điều kiện biên (a), người ta tìm hàm độ võng trong dạng chuỗi Fourier kép: Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 16 w x, y Amn sin m 1 n 1 m x n y sin a b (c) Amn là hệ số của... trình cân bằng (chiếu lên phương trục z) Ta có: Q y Q x dxdy p z dxdy 0 dxdy y x Q x Q y pz 0 (a) Hay: x y + Từ phương trình mômen với trục y, bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao, ta có M yx M x dxdy dxdy Qx dxdy 0 x y M x M yx Qx (b) Hay: x y + Từ phương trình mômen với trục x, tương tự ta có: M xy M y Qy (c) x y Thay (b) , (c) vào (a); loại bỏ lực... x 2 (1 .11) M 2w 2w 2 w 2 2 D y x Các điều kiện biên trên chu vi tấm: O b biên tựa biên nằm trên dầm a biên tư do Tùy thuộc vào điều kiện liên kết ở mép tấm mà trong thực tế ta thường gặp các điều kiện biên sau: biên ngàm 1.5 x y 1) Cạnh biên ngàm: (fixed or clamped or built in edge) (x=0): khi đó liên kết ngăn cản mọi chuyển dòch thẳng và xoay trong mặt phẳng xz, tức là: w 0 (1 .12)... Cạnh biên nằm trên dầm: (y = b) khi đó phải xem như cạnh nằm trên gối đàn hồi và ngàm đàn hồi Lúc đó, các lực quy đổi Kirchhoff ( Q yqđ ) và các mômen uốn (My) xuất hiện trên biên tấm là phản lực do dầm tác dụng lên tấm và ngược lại dầm cũng chòu các áp lực (như tải trọng) từ tấm truyền xuống qua các lực phân bố và mômen xoắn phân bố trên dầm Từ sự đồng thời biến dạng của biên tấm và dầm, sử dụng các... r r 2 r r r 1.13 (1 .19) (1 .20) Tấm tròn chòu uốn đối xứng trục: Bài toán tấm tròn chòu uốn được gọi là đối xứng trục nếu tải trọng cũng như điều kiện biên ở mép tấm không phụ thuộc góc cực Khi đó độ võng của tấm sẽ không phụ thuộc vào góc cực và sẽ chỉ là hàm theo biến r, tức là w w r Khi đó, phương trình vi phân của mặt trung bình tấm sẽ là: d 2 1 d d 2 w 1 dw ... 2) Biên tựa cố đònh: (simple support, hinge pinted) (y=0): Trên cạnh này sẽ không có chuyển vò đứng và mômen uốn My w 0 Hay tại y = 0 có: (1 .13) 2w 2w 0 M D 2 y y 2 x w 0 Hay tại y = 0 có: 2 w (1 .14a) 2w 0 2 2 y x Giảng viên: PGS TS Lương Văn Hải – lvhai@hcmut.edu.vn 12 w 0 Hay độ cong bằng không, (tại y = 0) có: (1 .14b) 1 2w 0... gọi là phương trình vi phân tấm chòu uốn (Phương trình Cofy German) Phương trình (1 .10) có dạng vi phân cấp 4 Nó là phương trình vi phân chủ đạo của bài toán tấm mỏng chòu uốn và biểu diễn theo hàm độ võng w của mặt trung bình Đôi lúc phương trình vi phân này được biểu diễn ở dạng vi phân cấp 2 bằng cách đưa ra hàm mômen M (moment function) hay còn gọi là hàm mômen tổng (moment sum): Mx My 2w... mãn phương trình vi phân tấm (1 .10): 4w 4w 4w p (c) 4 w 4 2 2 2 4 0 D x x y y và điều kiện biên tại 2 cạnh tựa đối diện nhau: x = 0 và x = a Còn wh cần chọn sao cho thỏa mãn phương trình thuần nhất của (c), tức là: 4w 4w 4w 4w 2 0 x 4 x 2 y 2 y 4 (d) Và w w p wh thỏa mãn tất cả điều kiện biên của tấm Lévy đưa ra dạng chuỗi sau đối với wh (và vì tính đối xứng nên