TR NG THPT ÀO DUY T Câu I: Cho hàm s THI TH I H C L N TH (29/11/2015) MÔN THI: TOÁN H C Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ y  x3  3x2  mx  1) (1,0 m) Kh o sát v đ th hàm s v i m = 2) (1,0 m) Tìm m đ đ th hàm s có m c c tr cách đ u đ Câu II: Gi i ph ng trình, b t ph ng th ng y = x – ng trình sau: 1) (1,0 m)  x.2x  23 x  x  2) (1,0 m) log log  x2  5   Câu III: Gi i ph 1) (1,0 m) ng trình h ph ng trình sau: cos x   sin x  sin x  cos x 2   x  y  x  y  12 2) (1,0 m)  2   y x  y  12 Câu IV (1,0 m) M t l p h c có 35 h c sinh, c n l p ban ch p hành y viên H i có cách l p? oàn g m bí th , phó bí th Câu V (1,0 m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình ch nh t v i AB = a, AD = 2a, c nh SA vuông góc v i m t ph ng đáy, c nh SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 600 Trên c nh SA l y m M cho AM  a M t ph ng (BCM) c t SD t i m N Tính th tích kh i chóp S.BCNM Câu VI (1,0 m) Cho elip (E) đ d  : x  y ng th ng (d) có ph ng trình: E : x2 y2  1 ; 2 0 1) Ch ng minh r ng (d) c t (E) t i hai m phân bi t A, B Tính đ dài AB 2) Tìm t a đ m C thu c (E) cho tam giác ABC có di n tích l n nh t Câu VII (1,0 m) Tìm a đ h ph  x  y4 ng trình :  có nghi m x y x y a         –––––––––H t–––––––– >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! ÁP ÁN I H C L N – THPT ÀO DUY T THI TH THÁI NGUYÊN Câu I 1) V i m = 0, y = x3 – 3x2 + +T p xác đ nh: D = +S bi n thiên Gi i h n: lim y  ; lim y   x x Chi u bi n thiên: y’ = 3x2 – 6x; y’ = x = ho c x = Hàm s đ ng bi n kho ng (–∞;0) (2;+∞) Hàm s ngh ch bi n (0;2) C c tr : Hàm s đ t c c đ i t i x = 0, yC = Hàm s đ t c c ti u t i x = 2, yCT = –2 B ng bi n thiên: x –∞ y’ + 0 – y + +∞ –2 –∞ + +∞ th    Giao v i Oy t i (0;2), giao v i Ox t i  3;0 ,  3;0 , 1;0 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 2) Ta có: y’ = 3x2 – 6x – m; y’ = 3x2 – 6x – m = (*) Hàm s có m c c tr ph ∆’ = + 3m > ng trình (*) có nghi m phân bi t m > –3 G i (x1;y1) (x2;y2) hai m c c tr v i x1,x2 hai nghi m c a (*) Theo đ nh lý Viét ta có: x1 + x2 = Vi t ph ng trình đ ng th ng qua m c c tr : 1  1  Ta có: x3  3x2  mx    3x2  x  m  x     m   x  m  3  3 3  1  1   y  x  y '  x  x     m   x  m  3  3 3   2   y1  y  x1     m   x1  m     Mà y’(x1) = y’(x2) =    y  y x     m  2 x  m  2    3  2  ng th ng qua m c c tr y    m   x  m   d  3   x  x y  y2  G i I 2;  trung m đo n th ng n i m c c tr   2 m c c tr cách đ u đ (d) // (d1) I (d1) ng th ng y = x – (d1) (d) // (d1) ho c I (d1) 2    m     m   (lo i) 3  y1  y2 x1  x2 2m  2m   1       x1  x2      x1  x2   2   2m  2m      x1  x2   6    Thay x1 + x2 = vào ta có m = (th a mãn) V y m = giá tr c n tìm Câu II 1) Ta có: >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!  x.2 x  23 x  x       x    x.2 x  x     x  x  1  x  x  1      x  1  x  x   2   x  x  (do x   0)  x.2 x  Xét tr ng h p: x   x.2 x  x   x    x.2 x   x    x   x.2 x  x   x.2 x   V y t p nghi m c a ph ng trình cho S= {2} 2) log log  x2  5   (1) x   x       x K:    x   log  x    1   log  x2  5    x2     x2    x3  (tm)  3  x   V y nghi m c a b t ph   x3 ng trình cho   3  x   Câu III 1) cos x   sin x  sin x  cos x 1 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! cos x  3 5 K:    k 2  x   k 2 4 sin x  cos x V i u ki n thì: 1  cos x  sin x  sin x  cos x  2sin x cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x       sin x  cos x  sin x  cos x   3    sin x  cos x  tan x   x   3  2 cos x    k cos x  sin x   cos x  cos x   cos x   cos x  cos x    cos x  cos x   x    k 2  3   cos x  1 K t h p v i u ki n, ta có nghi m c a ph ng trình cho x    k 2 ; x  5  k 2 ,k 2   x  y  x  y  12 (I) 2)  2   y x  y  12 K: x2  y2  x  y y   y   12   I    x  y   12   xy   y2  12 y  12 y   x2 y2  144  y4   2 12   y x y  x  y   x  y      xy  144  y4  II  ho c  xy   144  y4  III    4  144  y   y  12 y  12 1  144  y  y  12 y  12   >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! 2   y   y  12 y  12   y  12 y  12  Ta có 1       y  24 y  168 y  288 y   144  y    y  12 y  12  x  x  Do  II    ho c  (th a mãn u ki n) y  y   y2  12 y  12   Ta có:      y0    24 168 288 y y y   Do h (III) vô nghi m V y h ph ng trình cho có nghi m (5;3) (5;4) Câu IV S cách ch n bí th s cách ch n h c sinh t 35 h c sinh: có 35 cách S cách ch n phó bí th s cách ch n h c sinh t 34 h c sinh l i: có 34 cách S cách ch n y viên s cách ch n b h c sinh t 33 h c sinh l i: có C33  5456 cách Theo quy t c nhân, s cách l p ban ch p hành oàn g m ng cách i 35.34.5456 = 6492640 Câu V Ta có (ABCD)  (BCM) = BC; (ABCD)  (SAD) = AD Mà BC // AD (do ABCD hình ch nh t) nên (BCM)  (SAD) = MN v i MN // AD Vì SA (ABCD) t i A ; B (ABCD) nên góc gi a SB (ABCD)  SB; BA  SBA  60 Tam giác SAB vuông t i A: >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! SA  AB.tan 60  a SA SN SM  AM    ; MN / / AD  SD SA Ta có: SABC  SADC  AB AD  a 2 a3  VS ABC  VS ACD  SAa 2 3 Theo đ nh lý v t l th tích c a hai kh i chóp tam giác ta có: VS.BMC SM VS.MNC SM SN   ;   VS ABC SA VS ADC SA SD Suy th tích kh i chóp: 3   a 10a VS.BMNC  VS.BMC  VS.MNC      27 3 9 Câu VI ng trình  d  : x  y  1) Ta có ph Xét ph y ng trình tung đ giao m c a (d) (E): 2  2 y2   y2  y    y  2 2  x  1  3; y   x  1  y 2   2 6  2 6 V y (d) c t (E) t i hai m phân bi t, gi s A 1  3;  , B  1  3;  2     Suy AB  2 3    2 3 2) G i m C  xC ; yC    E   V CH xC2 yC2    xC2  yC2  8 AB t i H CH  d  C;  d    xC  yC  1 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t! Áp d ng hai b t đ ng th c a  b  a  b  ab  ab a  b   a  b2    a  b   ta có: xC  yC   xC  yC    xC2  yC2     CH   SABC  AB.CH  x   y  x    D u b ng x y ch    2 y     x  y   V y m C c n tìm C 2;   Câu VII  x  4 y x  y4  x  4 y         2 2 a   y  11y  26 * x  y  x  y   a    y  y    y  y   a     H ph ng trình cho có nghi m ph ng trình (*) có nghi m y ≤ Xét f  y   y2  11y  26 (–∞;4] f '  y  2 y  11; f '  y   y   11 B ng bi n thiên: –∞ x f ’(y) f(y) –∞ C n c b ng bi n thiên: Ph a≤ 11 225  + ng trình (*) có nghi m y ≤ 4 – –34 đ ng th ng y = a c t đ th f(x) 225 V y a 225 >> Truy c p trang http://tuyensinh247.com/ đ h c Toán – Lý – Hóa – Sinh – V n – Anh t t nh t!