Tuyển tập tập bất đẳng thức Cơsi - đáp án chi tiết A Kiến thức bản: * Một số bất đẳng thức cần nhớ: - Bất đẳng thức Cơsi Với Dấu xảy 3, Các bất đẳng thức khác : với a ,b > , Với Bài 1: Cho x,y,z số dương x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= Lời giải: Ta có P = ( 1) Theo bất đẳng thức Cơ si ta có : (2) Mặt khác theo giả thiết x+ y+ z = nên từ(2) ta có Từ (3) (1) Ta có P Dấu xảy x = y = z = (3) Vậy Max P = x = y = z = Bài 2: Cho x, y , z số dương thay đổi thỏa điều kiện : xy2z2 + x2z +y = z2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = Lời giải: Ta xét Từ giả thiết suy xy2 + Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có : (1) 1+ 1+ x4 + y4 +y4 (2) = 4xy2 (3) Cộng vế với vế BĐT (1), (2),(3) ta +3( ) Dấu xảy x =y = z = P Vậy Max P = x =y = z = Bài Cho a, b, c số thục dương thỏa điều kiện abc = Tìm giá trị lớn biểu thức P = Lời giải : Do a2+b2 2ab, b2 + 2b : Tương tự Khi P P ( Do ac = ) Dấu BĐT xảy a = b = c = Vậy Max P = a = b = c = Bài ( Đề thi HSG Tỉnh Hưng n) Cho a, b, c số dương tùy ý thỏa điề kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = Lời giải: Ta có 2c + ab = c( a+b+c) + ab = c2 + c( a+b) + ab = ( c+a) ( c+b) Vậy (1) Tương tự ta có : (2) (3) Cộng vế với vế BĐT (1),(2),(3) ta P P = a = b = c = = Vậy Max P = a = b = c = Bài Cho a,b,c ba số dương thỏa điều kiện a+ b+ c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Lời giải: Áp dụng BĐT (x+y+z) ta có Khi P Mặt khác theo BĐT Cơ si ta có : = Hay Suy Vậy P , tương tự + + =3 Dầu xảy a = b =c = Kết luận : Min P = a = b = c = Bài Cho số khơng âm x , y, z thỏa mãn x2 + y2 +z2 y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Lời giải : Ta có 2x + 4y + 2z ( x2 + 1) + ( y2 + 4) + (z2 + 1) 3y + Suy x + y + 2z Dấu xảy x = = z = Với a b số dương ta có : Áp dụng BĐT (1) ta : Vậy Min P = x = 1, y = , z = ( 1) Bài Cho x,y,z dương thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3x2 + 3y2 + z2 Lời giải: Ta có 2P = ( 4x2 + z2) + (4y2+ z2) +(2x2+ 2y2) Áp dụng BĐT Cơ si ta có 4x2 + z2 4xy 4xz , 4y2 + z2 4yz, 2x2 + 2y2 Khi 2P 4( xy + yz + zx) = 20 hay P 10 P =10 x = y = , z =2 Kết luận Min P = 10 x = y =1 , z= Bài Cho thức , Tìm giá trị lớn nhỏ biểu Lời giải : Ta có: = = = (vì x+y =1) = Đặt = Khi hay Giá trị lớn nhỏ biểu thức P giá trị lớn nhỏ biểu thức với Ta có f(t) = -5 + Để f(t) lớn tổng t +2 nhỏ hay t = Để f(t) nhỏ tổng t +2 lớn hay t = Vậy MaxP = x= 1, y =0 x= ,y= MinP = x = y= Bài Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện: lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = Lời giải: Ta có: Tìm giá trị Đặt t = xy, t Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức đoạn Sử dụng bảng biến thiên hàm số bâc hai học sinh tìm được: Bài 10 Cho x, y, z P= Lời giải: Ta có: P + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Dấu xảy Vậy MaxP = Bài 20 Cho x,y Ỵ R x, y > Tìm giá trị nhỏ Lời giải: Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy £ (x + y)2 ta có Do 3t - > Xét biểu thức f(t) = Do P = nên ta có f(t) = t = = f(4) = đạt I.2 Các tốn giao nhà cho học sinh thực Bài 21 Cho Lời giải: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= Có =2 Mặt khác: = Từ (1) (2) P Dấu “ = “ Vậy Min P = x = y = (1) (2) 1–x=1–y x=y= Bài 22 Cho số thực khơng âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y) (4y2 + 3x) + 25xy Lời giải: S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, x, y ³ x + y = nên £ t £ Khi S = 16t2 – 2t + 12 = f(t) Hàm số f(t) xét đoạn 0£t£ đạt giá trị lớn t = , đạt giá trị nhỏ t = Max S = x = y = Min S = hay Bài 23 Cho x, y, z biến số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải: Với x, y > ta chứng minh : 4(x3 + y3) ³ (x + y)3 (*) Dấu = xảy Û x = y Thật (*) Û 4(x + y)(x2 – xy + y2) ³ (x + y)3 Û 4(x2 – xy + y2) ³ (x + y)2 x, y > Û 3(x2 + y2 – 2xy) ³ Û (x – y)2 ³ (đúng) Tương tự ta có 4(y3 + z3) ³ (y + z)3 Dấu = xảy Û y = z 4(z3 + x3) ³ (z + x)3 Dấu = xảy Û z = x Do Ta lại có Dấu = xảy Û x = y = z Suy Dấu = xảy Û x=y=z=1 Vậy minP = 12 x = y = z = Bài 24 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Lời giải: Ta có A = ÞA Với x = y = A = Vậy giá trị nhỏ A Bài 25 Cho Tìm GTLN biểu thức Lời giải: Ta có: (1) Ta đặt a = 1/x, b = 1/y Mà (*) Cách 1: Ta có: A = ( a + b)2 Ta biết : “ = “ xảy ( a + b > ) a = b Từ suy : “ = “ xảy a = b = Vậy Max A = 16 1/x = 1/y = Cách : Ta có: A= a3 + b3 = (a+b)(a2 –ab + b2 ) = (a + b)2 Từ (1) suy : a + b = (a + b)2 -3ab Mà: Vậy MaxA = 16 x = y = ½ Cách 3: Đặt S = x + y , P = xy với S2 - 4P Từ gt suy ra: Ta có Khi Vậy MaxA = 16 ( x = y = ) Bài 26 Cho Tìm GTLN Lời giải: Đk : Ta có : Dấu “=” xảy x = , y = , z = Vậy Max M = Bài 27 Tìm giá trị lớn biểu thức P = z với x , y , số thực thuộc đoạn Lời giải: Ta có: Suy ra: Bài 28 Cho Tìm GTLN S = Lời giải: Ta có: (1) Mà: (2) Từ (1) (2) (a).Ta có S= (b) Từ (a) (b) S = Vậy MaxS = x = y = .Dấu xảy Bài 29 Cho x,y,z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz=1 Tìm GTNN biểu thức :P = Lời giải: Ta có P + ; + ; + Đặt a= ; b= ; ;c= ; Vậy P = Dấu “=” xảy Vậy Min P = + Bài 30 Cho số dương x, y, z thoả x + y + z £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x + y + z + Lời giải: Theo BĐT Cơsi: ³ x + y + z ³ x+ , y+ >0Û ³3 , z+ Từ đó: A= ³2+ ³ 10 Dấu "=" xảy x = y = z = Vậy MinA = 10 đạt x = y = z = Bài 31 Cho x, y, z số dương x + y + z £ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = Lời giải:Với Đặt ta có: (*) Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: Vậy P = ³ Khi đó: (x + y + z)2 + ³ 18(x + y + z) Suy P ³ Vậy Min P = = 81(x + y + z)2 + – 80(x + y + z)2 – 80(x + y + z)2 ³ 162 – 80 = 82 Dấu "=" xảy Û x = y = z = x = y = z = Bài 32 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn: z(z – x – y) = x + y + Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải: Từ giả thiết z(z – x – y) = x + y + suy ( z+1)( x+y) = z2 – z > nên ta có x + y + = z Khi biểu thức cho viết dạng Áp dụng BĐT Cơ si cho số dương x , y ta có : , , x + y Do Mà T = , suy T x = 3, y = 3, x= Bài 33 Tìm giá trị nhỏ biểu thúc: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức : Þ ( *) x = 3, y = 3, x= Vậy Max T = Ta có : 4xy với Khi x = A = Vậy Min A = Bài 34 Cho a, b, c số dương thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức P = Lời giải: Xét + a2 = ab + bc + ca + a2 = ( a + b)( a + c) + b2 = ab + bc + ca + b2 = ( b+a)(b +c) +c2 = ab + bc +ca +c2 = (c+a)(c+b) Khi P = = P P Dấu xảy chí Vậy giá trị lớn P [...]... x=y=z= Bài 13 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức: Dấu bằng xảy ra khi a = b Ta có : Hay Tương tự (1) (2) (3) Cộng vế với vế của (1),(2),(3) và áp dụng giả thiết ta được P 1 Mà P =1 Khi x = y = z = Vậy Max P = 1 x=y=z= Bài 14 Cho các số thực dương a,b,c thay đổi ln thoả mãn : a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =... trị nhỏ nhất của biểu thức: Lời giải: Ta có: Mà P = khi x = y = z= 1 Vậy Min P = x = y = z= 1 Bài 18 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Lời giải: Ta có : (*) Nhận thấy : x2 + y2 – xy ³ xy "x, y Ỵ Do đó : x3 + y3 ³ xy(x + y) "x, y > 0 hay "x, y > 0 Tương tự, ta có : "y, z > 0 và "x, z > 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên,... = 8 khi t = 4 = f(4) = 8 đạt được khi I.2 Các bài tốn giao về nhà cho học sinh thực hiện Bài 21 Cho Lời giải: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= Có =2 Mặt khác: = Từ (1) và (2) P Dấu “ = “ Vậy Min P = khi x = y = (1) (2) 1–x=1–y x=y= Bài 22 Cho các số thực khơng âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y) (4y2 + 3x) + 25xy Lời... 2 Cách 2 : Ta có: A= a3 + b3 = (a+b)(a2 –ab + b2 ) = (a + b)2 Từ (1) suy ra : a + b = (a + b)2 -3ab Mà: Vậy MaxA = 16 khi x = y = ½ Cách 3: Đặt S = x + y , P = xy với S2 - 4P Từ gt suy ra: Ta có Khi đó Vậy MaxA = 16 ( khi x = y = ) Bài 26 Cho Tìm GTLN của Lời giải: Đk : Ta có : Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2 , y = 4 , z = 6 Vậy Max M = Bài 27 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z là các. .. x + y + z £ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + Lời giải: Theo BĐT Cơsi: 1 ³ x + y + z ³ 3 x+ , y+ >0Û ³3 , z+ Từ đó: A= ³2+ ³ 10 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = Vậy MinA = 10 đạt được khi x = y = z = Bài 31 Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = Lời giải:Với mọi Đặt ta có: (*) Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có: Vậy P = ³ Khi đó: (x + y +... x = y = z = Bài 32 Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z – x – y) = x + y + 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lời giải: Từ giả thiết z(z – x – y) = x + y + 1 suy ra ( z+1)( x+y) = z2 – 1 và do z > 0 nên ta có x + y + 1 = z Khi đó biểu thức đã cho có thể viết dạng Áp dụng BĐT Cơ si cho các số dương x , y ta có : , , và x + y Do đó Mà T = , suy ra T khi x = 3, y = 3, x= 7 Bài 33 Tìm giá... , suy ra T khi x = 3, y = 3, x= 7 Bài 33 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thúc: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức : Þ ( *) khi và chỉ khi x = 3, y = 3, x= 7 Vậy Max T = Ta có : 4xy với Khi x = 3 thì A = Vậy Min A = Bài 34 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = Lời giải: Xét 1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = ( a + b)( a + c) 1 + b2 = ab + bc + ca + b2... giải: Ta có: Suy ra: Bài 28 Cho và Tìm GTLN của S = Lời giải: Ta có: (1) Mà: (2) Từ (1) và (2) (a).Ta có S= (b) Từ (a) và (b) S = Vậy MaxS = 4 khi x = y = 3 .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Bài 29 Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz=1 Tìm GTNN của biểu thức :P = Lời giải: Ta có P + ; + ; + Đặt a= ; b= ; ;c= ; Vậy P = Dấu “=” xảy ra Vậy Min P = 2 + Bài 30 Cho 3 số dương... Để P = 2 thì a = b = c = a=b=c= Bài1 5 Cho hai số dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Lời giải: Thay ở tỉ số cuối được: = khi Vậy Min P = Bài 16 Cho x, y, z > 0 thỏa điều kiện xyz = 1 Tìm GTNN của Lời giải: Áp dụng BĐT Cơ si cho 3 số dương ta có: Tương tự: ; Suyra: bằng xảy ra khi x = y = z = 1 Vậy MinS = khi x = y = z = 1 Dấu Bài 17 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 +... x = y = z Suy ra Dấu = xảy ra Û x=y=z=1 Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1 Bài 24 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Lời giải: Ta có A = ÞA Với x = y = 2 thì A = Vậy giá trị nhỏ nhất của A là Bài 25 Cho Tìm GTLN của biểu thức Lời giải: Ta có: (1) Ta đặt a = 1/x, b = 1/y Mà (*) Cách 1: Ta có: A = ( a + b)2 Ta biết : “ = “ xảy ra ( vì a + b > 0 ) a =